青年路校区2025-2026学年高一年级上册1月诊断性测试数学试题

山东省泰安第一中学青年路校区2025-2026学年高一上学期1

月诊断性测试数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.命题“力之0,/+"0”的否定是（）

A.Vx>0,x3+x<0B.Vx<0,x3+x>0

C.3x>0,^3+x<0D.3A>0,X3+X>0

2.设集合力=卜£必卜归2},5={xeR|l-x>0},则()

A.{0,1}B.{1,2}C.{x|-2<x<l}D.{-2,-1,0,1)

3.设aTogz"，c=；j,则()

A.c<b<aB.b<a<cC.a<b<cD.b<c<a

....兀I/Zn

4.若sina+-=-,plijcosa+—=()

k6J3I3)

八2五

A.D.2V2

3F

5.函数/（x）=ta“2x-：J的最小正周期为（）

BcD

A・兀-I-7-I

6.“Q42”是“函数/（x）=log2（/-ax）在区间（l,+oo）上单调递增”的（）

A.充要条件B.必要不充分条件

C.充分不必耍条件D.既不充分也不必要条件

7.牛顿冷却定律描述一个物体在常温环境下的温度变化：如果物体初始温度为经，则经过

一定时间/（单位：分钟）后的温度7满足r—乙二己）储―乙），其中1是环境温度，h为

常数，现有一杯8CTC的热水用来泡茶，研究表明，此茶的最佳饮用口感会出现在55。（？经测

量室温为25P,茶水降至75。（3大约用时一分钟，那么为了获得最佳饮用口感，从泡茶开始

试卷第1页，共4页

大约需要等待(参考数据：Ig2ao.30,lg3®0.50,lg5^0.70,lgll«1.04.)()

A.4分钟B.5分钟C.6分钟D.7分钟

8.已知定义在R上的奇函数满足〃2-x)+/(x)=0,当x«0,l]时,/(力=-1%彳.若

函数/(力=/(力-加兀\在区间[-1,向上有9个零点，则实数桃的取值范围是()

A.[3,3.5)B.(3,3.5]

C.(4.5,5]D.[4.5,51

二、多选题

9.(多选)若实数〃、力满足2“<2〃<1则下列不等式恒成立的是()

A.ac2<be2B.c>~~~C.10go.2(/+1)<log。,？+1)

D.

2

10.(多选)已知函数/(x)=/cos(5+e)(4>0M>0,0<e<7T)的部分图象如图所示，则

()

B./(x)在[，学上单调递增

_63

C.若为、々£佬,^|),玉5且/(司)=/伍),则/(%+9)=1

D.把/(X)的图象向右平移得乃个单位长度，然后再把所得曲线上各点的横坐标变为

原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，则函数y=gX+-H为偶函数

—V4--v<0

11.已知函数/&)=’4'一，若关于X的方程/(x)=NkwR)有四个不同的根，

|lr-r-l|,x>0

试卷第2页，共4页

它们从小到大依次记为为，5，七，X4,则()

A.0<Z:<-B.<x<c

43

e“D.函数g(x)=/(/(x))-：有8个零点

C.0<xrr2x3x4<—

三、填空题

12.已知扇形的半径为2®cm,圆心角408=120°，则扇形的面积为cm2.

13.已知?e0,工］,cosa+6cos(a+2/7)=2sin(a+/?)sin/7,则tan(a+0tan/?=

sin(a+24)

的最小值是

cos(tz+p)cosp

14.设。为实数，若实数与是关于x的方程e'+(1-a)x=In。+Inx的解，则—=________.

叫一

四、解答题

15.在平面直角坐标系xOy中，角。的始边为x轴的非负半轴，终边在第二象限与单位圆交

3

于点尸，点P的横坐标为

(1)求cos2。的值；

(2)若将射线OP绕点O逆时针旋转T,得到角a,求sin%-sinacosa-cos%的值.

16.函数y=log[Xxw2的值域为4,=J—!--一l(aeR)的定义域为A

(1)求4;

(2)若8cA4=0,求实数a的取值范围.

17.已知函数/")=-五斤.

(1)用定义证明函数/(4)在R上为减函数；

(2)若/(log/)>/(-l),求实数a的取值范围;

(3)若g(x)=T+/(x)在(1,2)上存在唯一-零点，求实数小的取值范围.

18.已知函数/(x)=4氐吟cos争48s2*30),A.4是/'(x)的图象与直线

试卷第3页，共4页

y=T的两个相邻交点，且|力同=兀.

(1)求0的值及函数/(力在og上的最小值；

(2)若关于工的不等式/2(”-(3〃?+2)/(工)-切-1300恒成立，求实数〃?的取值范围.

19.对于函数/(力，若/'(X)的图象上存在关于原点对称的点，则称/(x)为定义域上的“伪

奇函数”.

⑴试判断/(')=一二一八是否为“伪奇函数”，简要说明理由；

⑵若/(戈)=噫3…)+1是定义在区间卜工］上的“伪奇函数”，求实数机的取值范围;

JJ

(3)试讨论/(%)=4'—机•2—+4〃/-3在R上是否为“伪奇函数”？并说明理由.

试卷第4页，共4页

《山东省泰安第一中学青年路校区2025-2026学年高一上学期1月诊断性测试数学试题》

参考答案

题号12345678910

答案CACADBCABCACD

题号11

答案BCD

1.C

【分析】由“改量词，否结论”，可得答案.

【详解】由“改量词,否结论”,命题"Vx20,F+xN0”的否定是“玉20,d+x<0”.

故选：C

2.A

【分析】先求出集合4"，再根据交集的定义求解即可.

【详解】由月={X€N||X|S2}={0,1,2},5={XGR|1-X>O}={X|X<1},

则力=

故选：A

3.C

【分析】利用指数函数性质与对数函数性质选取特殊值进行比较.

【详解】“=log二0<Z>=f1Y<f1>|=1»0<c

3⑴⑴

[L

因为函数口=/在(0产)上单调递增，所以z)=f!y<c」

'bJ{2)

综上a<h<c.

故选：C

4.A

【分析】利用三角函数的诱导公式求解.

【详解】解：因为sina+B=-,

k6y/3

匚(2兀)(n*.(JT)1

所以cosa+—=cos-+a+-=-sin。+-=---,

I3)【26)[6)3

故选：A

5.D

答案第1页，共13页

【分析】算出J，=tan2A-的最小正周期，再根据加绝对值后，函数之间的最小正周期关

\3）

系得到〃x）=tan（2x-f的最小正周期.

【详解】对于歹=tan（2x-[],0=2,因此它的最小正周期为土=三,

\37（D2

加上绝对值后，图象会将x轴下方的部分翻折到x轴上方，如图所示，

由图可知，加上绝对值后，周期不变，所以〃x）=tan（2x-三）的最小正周期与

y=tanf2x-f]一致，均为

3J2

故选：D.

6.B

【分析】根据对数函数的单调性，结合复合函数单调性的性质、充分性和必要性的定义进行

判断即可.

【详解】二次函数7=--办的对称轴为x=],

要使函数/（工）=1"；：[2-仆）在区间（1,+8）上单调递增，

~1

则2,解得

1-«>0

因为（f』是（一应2]的真子集，

所以“4W2”是“函数/（力=log/--G）在区间（1,+8）上单调递增”的必要不充分条件.

故选：B

7.C

【分析】根据已知条件求出参数人的值，进而转化为解指数方程，利用对数的运算以及换底

公式即可求出结果.

答案第2页，共13页

【详解】根据题意可知4=25。：：，7；=80℃,T_Ti=^^_Ty

因为茶水降至75。(2大约用时一分钟，即/=1,7=75℃,

-小；1.5(),1()/L

所以75—25=白(80-25)，解得z=bg]瓦=bg]1，则陶千

7ee

£

所以要使得该茶降至55。(3,BPr=55℃,则有55-25=(lj(80-25)，得

l=logl^=logll,

h755711

10«A.6

...6,;11_lgn_lg6Igll=lg2+lg3lgll_0.3+0.5—1.04

故/=logi—x/z==6,

log(12ig!£igio-igiiHgn1-1.04

所以大约需要等待6分钟.

故选：C.

8.A

【分析】先分析/(x)的周期性，再将问题转化为“尸/(x)j=sin?u的图象在区间［T,间上

有9个交点，求加的取值范围”，然后作出y=/("j=sinQ的图象，通过数形结合的方法

求解出机的取值范围.

【详解】因为/(2-力+〃力=0,所以f(2-x)=-f(x),

又因为/(x)为R上的奇函数，所以/(T)=-/(X)，

所以/(2T)=/(T),所以/(2+X)=/(X),

所以/(x)是周期为2的周期函数，

产(x)在卜1,问上的零点个数。函数y=/(x),y=sin口图象在b1,问上的交点个数,

且y=sin也是最小正周期为2的周期函数，

在同一平面直角坐标系中作出3=/")/=5布心的图象，如下图所示:

答案第3页，共13页

因为/（。）=/（2）=0,且sin0=sin2兀=0,

由图象可知：当xw卜1,3］时，y=/（x）,y=sinm•的图象共有9个交点，且第9个交点的横

坐标为3,

又因为〃3.5）=/（1.5）=/（-0.5）=-/（0.5）=log20.5=-I,sin（3.5n）=sin^27r+yj=-1,

所以/（3.5）=而（3.5兀），所以第10个交点的横坐标为3.5,

所以〃，的取值范围是［3,3.5）,

故选：A.

【点睛】思路点睛：求解函数零点的个数问题，采用数形结合思想能高效解答问题，通过数

与形的相互转化能使问题转化为更简单的问题，常见的图象应用的命题角度有：

（1）确定方程根的个数；

（2）求参数范围；

（3）求不等式解集：

（4）研究函数性质.

9.BC

【分析】先利用函数了=2,为R上的增函数，得a<6<0,选项A,选项D利用不等式性质

可得到，选项B则利用作差法即可得到结果；选项C利用对数函数的单调性即可得到.

【详解】因为函数y=2'为R上的增函数，由2a<2'<1=2°，可得

对于A,当。=0时，ac2cbe2不成立,故A不正确；

对于B,因为。<人<（）,所以上—互±1=巴业二0>0,故正确：

ababcib

对于C,因为Q<b<0,则同>|司>0,可得/>〃>o，所以/+i>/+i>o,

答案第4页，共13页

因为函数J，=10g02X为((),-8)上的减函数，所以1%2W+1)<1%2W+1)，C正确：

对于D,由于。<〃<(),所以竺2<0<而，故D不正确.

2

故选：BC.

10.ACD

【分析】利用图象求出函数/(力的解析式，可判断A选项；利用余弦型函数的单调性可判

断B选项；利用余弦型函数的对称性求出西+工的值，代值计算可判断C选项；利用三角

函数图象变换结合余弦型函数的奇偶性可判断D选项.

【详解】对于A选项,由图可知,r=/(x)1Mx=2,

函数/(x)的最小正周期7满足y=*==,可得r=*则“=§=生=2,

46124Tn

则/(x)=2cos(2*Ie),

又因为/-=2cos—4-^1=2,可得cos(-^-+*=1,

e、1八n.t5兀57i87rLL,、i5兀/7i

因为0<夕<兀，则w<8+r-<w，所以，。+《-=2兀，可得zri夕二可，

JJJJJ

所以，/(x)=2cos^2x+yJ,A对；

对于B选项，当巴WxK女时，—<2x+-<—,

63333

所以，/(x)在上,?]上不单调，B错：

.63

对于C选项，当时，W<2x+fv=，由2x+f=n可得x=f,

121223233

所以函数/(x)在区间(展，段)内的图象关于直线x=T对称，

若为、“傍，胃，x尸X?且/(再)=/(9)，则须+々=?,

、'乙'乙)J

所以/(演+七)=/(?=2cosf=2cos&T)=2cos]=1,C对；

对于D选项，把/(4)的图象向右平移1个单位长度，

可得到函数J=2cos22cosl2J-^-1=2sin2.r的图象,

再将所得曲线上各点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象,

答案第5页，共13页

则g(x)=2situ,y=g1+g冗=2sinfx+-it

=-2co<t为偶函数，D对.

I2,

故选：ACD.

11.BCD

【分析】作出函数/（力的图象，对于A：直接观察即可；对于B：通过0<l-hiXjK；求解;

对于C：根据图象得到司+々=T,lnv3-l+lar4-l=0,进一步计算求解;对于D：令/（可=/,

求出/（/）-;二°的根，代入/（、）=，，继续根据图象可求根的个数•

/.x2+X+—,x<0

【详解】因为/（%）=4，

|1RY-1|,X>0

当xVO时/（x）=f+x+：=（x+g）,

所以/（X）在（-8，-?上单调递减，在6，0上单调递增，且/（0）=5，-升°：

当x>0时，/（x）=M.U={:;二；［:<e'所以/（,在B+8）上单调递增，在（°，c）上

单调递减,

作出函数/'（X）的图象如下:

对于A：关于工的方程/（x）=A（AeR）有四个不同的根,

即函数y=/（x）与y=Z的图象有4个交点，由图象可得0<A-W；,故A错误：

对于B：由图可知Ovl-ln/M；，即解得故B正确;

对于C：由图象知步/■=-；,所以％+工2=-1，且

1)

x=

所以x]x2=(-l-X2)x2=-Xy~2-

答案第6页，共13页

2

又由|ln.r5-1|=|ln.r4-1|=>Inq-1+lnx4_1=0=lnv3x4=2=>x3x4=e,

所以0Kxrv2x3x4<上，故C正确；

对于D：对于函数g(x)=/(/(x))T，令/(*)=£,则于x)=〃f)V=0,

即/S=；，因为/(0)=/(T)=0，fe4=l-lne4=-,fe4=lne^-l=-,

12-

可得，2=0,(==e，"4=fe=，

e4

当/(x)=4=0时，由图可得，有2个根，

当/(力=乙=-1时，由图可得，有0个根，

当‘3乜=)>1时，由图可得，有3个根，

当=时，由图可得，有3个根，

综合得函数鼠》)=/(/卜))-：有8个零点，故D正确.

故选：BCD.

12.4n

【分析】由扇形的面积公式计算即可求解.

【详解】已知4O5=12(r=与，r=2后,

所以扇形的面积为5=^408乂尸2=于(黄仅白片4兀.

故答案为：47t.

13.12

【分析】先拆角。=。+夕-夕，。+2夕=。+夕+/，再利用和差角公式化简可得

tan(a+/?)tan夕，利用基本不等式可求的最小值.

cos(a+p)cos/>

【详解】因为cosa+6cos(a+24)=2sin(a+〃)sin〃,

所以

cos(a+/?-/?)+6cos(<z+夕+夕)

=cos(a+/?)cos.+sin(o+p}sinp+6[cos(a+p}cosp-sin(a+p)sinfl]

=7cos(a+fi)cos0-5sin(a+sin0=2sin(a+£)sin0,

答案第7页，共13页

所以7cos(a+4)cosA=7sin(a+〃)sin0,于是有tan(a+/7)tanP-\.

sin(a+2〃)sin(a+/7+/?)

又

cos(a+/?)cos夕cos(6f+/?)cosp

sin(a+/?)cos尸+cos(a+/?)sinp

cos(a+P)CQSP

=tan(a+//)+tanP=+tan〃之2J'『tan[=2,

当且仅当」=tan即tan/?=1时取等号,

tan/?

所以的最小值是2.

cos(a+p)cosp

故答案为：12

14.-/e-1

e

【分析】将已知等式变为e，+x=『"+lnat,构造函数/(x)=e'+x,xeR,结合其单调性

推出e'=or,即得由此可化简求值，即得答案.

【详解】由题意知e'+(l-4)x=lnq+lnx,得e*+x=or+lnox,

即e'+xeKlnax，

设/(x)=ev+x,xeR,则/(x)=c'+xftR上单调递增，

贝(j由e'+x=+Inax可得x=Inax=>e'=ax，

而实数与是关于x的方程e'+(l-〃)x=lna+lnx的解，即e"=ax0,

“e"」ev«1_

故一=一

ax。CCIXQC67Xc

O

故答案为：-

e

【点睛】关键点睛：解答本题的关键是能够变形得到eX+x=eMaY+lnat，从而结合

/Cr)=e'+x,xwR的单调性推出c'=ar,即e、=aj,即可求解.

7

5⑴-天

⑵-里

~25

【分析】(1)根据三角函数的定义，求出cos。的值，再根据倍角公式求出cos2。即可;

(2)求出tana的值,将sin%-sinacosa-cos%结合sin%+cos%=1化为齐次式，上下同

答案第8页，共13页

除以cos%得到关于tai?。的表达式，再代入tana的值即可.

【详解】（1）•・・△在单位圆上，且在第二象限，横坐标为一（3，可求得纵坐标为三4,

JJ

434

所以sin0=—,cos0=——,ianO=——

553

则cos20=2cos2^-1=-卷.

(2)由题知a+四，Osin/y=sin(0+=cos〃=—'

2

cosa=cosf^+yj=-sin^=-—4,则tana=sina3

5cosa

sin%—sinacosa-cos%tan2a-tan«-1

故sin2a-sincrcosa-cos2a=

sin%+cos2atan2a+i

16.（1）J={x|-l<x<4}

⑵卜3,1].

【分析】（1）利用对数函数的单调性求出函数y=i°gB在['上,2"|上的最大值和最小值，即

2|_16_

可得出集合；

（2）求出集合8={X|-4<X«F+1},利用集合的包含关系可得出不等式组，解之即可.

【详解】（1）因为）'=1°昵在[白,2]上单调递减，所以当x=」时N有最大值，且最大值

2[_\6J16

为1呜白=4,

I16

当x=2,V有最小值，且最小值为bg/nT.

2

所以4=5|-1W}.

(2)由一!--1>0,得解得一4+1,所以，B={x\-a<x<-a^\}f

x+ax+a

因为所以二:二解得-3。"

故实数。的取值范围[-3[].

17.（1）证明见解析

答案第9页，共13页

⑵

【分析】（1）利用单调性的定义求证；

（2）利用函数的单调性求解；

（3）利用函数的单调性纭合零点存在性定理可求.

【详解】（1）任取XcWeR，且芭<与，

2演［2x'（2t2+l）-2t;（2*'+l）

2v,+1J-（2X2+1）（2X'-1）

（2J1）（2』+1），

因为M<X2，所以0<2用〈23所以（2,二1）<°'则/&）</（演），

所以函数/（X）在R上为减函数；

（2）由⑴得/。）在R上为减函数，又则log“2<-l=logj,

a

当0<4<1时，有2〉！，解得:<4<1;

当。>1时，2<—,解得a<1,不成立，

a2

综上所述，实数。的取值范围为（；1}

（3）由（1）得/（力在R上为减函数，则g（x）=?+/（x）在R上也为减函数，

又g（x）在（1,2）上存在唯一零点，

则由零点存在性定理可得，g（l）=-^y+^>0,g（2卜-言+]<（）,

解得:</〃<之，

（L8、

故实数，〃的取值范围为T，-

18.（1）,=2,最小值为1

（2）l</n<5

/\

【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式为/（x）=4sin+3,根据题中信息

\6）

答案第10页，共13页

求出函数/(文)的最小正周期，可得出。的值，即可得出函数/(X)的解析式，再利用正弦型

函数的基本性质可求出函数/")在0弓上的最小值；

(2)设f=/'(x),可得出-1WY7,设/0=『―(3/M+2)-JM73,可知

9(/)二r-(36+2”〃?-13«0在上恒成立，可得出关于机的不等式组，解之即可.

COX

【详解】(1)解：函数/(x)=2\/Jsin函+22C0S?I+3

2

=2\Z^siiwx+2cos<yx+3=4si，<yxq)+3,

则〃<L=—4+3=—l

因为力、8是函数/(X)的图象与直线y=-l的两个相邻交点，且|相|=冗,

所以，函数/(.»)的最小正周期为7=%，则/=§=至=2,

17t

可得/(力=4呵2»扑3.

由xe0,—,得JW2x+]w7?n,所以，一；IKsin|2x+N<1,

22J6o666622\6J

i

所以，/(X)min=4x--+3=1,故函数/(X)在。仁上的最小值为1.

1)

(2)解：设£=/(x),因为一l«sin(2x+*l,所以-14/(上7.

因为不等式/2(x)-(3m+2)/(x)T〃-13《。恒成立,

设0(，)=J-(3〃?+2)，-13,

所以=/一(3m+2)-川—13M0在I«T,7]上恒成立.

(}9(-1)<0J1+3〃？+2—-13=2/7/-10<0

则8(7)40'KfJ149-21w-14-w-13=22-22w<0>

解得故〃?的取值范围为1

19.(1)是“伪奇函数)理由见解析

⑵卜制

(3)答案和理由见解析

【分析】(1)由“伪奇函数''的定义判断即可；

(2)由题意可得〃sin'=!在有解，进而结合正弦函数的性质即可求解:

433