一元函数的导数新定义题（含新定义解答题）学生版

专题12—元函数的导数新定义题（含新定义解答题）

1.（2025高三上•全国•专题练习）拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，其定理

陈述如下：假如函数/（幻在闭区间加上连续，在开区间S/）内可导，则在区间S。）内至

少存在一个点七w（〃力），使得/（/?）-f⑷=f（玉）S-。），x=/称为函数）'二/（X）在闭区间

S，〃］上的中值点，若关于函数/0）=sinx在区间［0,兀］上的“中值点〃的个数为小，函数

双幻=，在区间上的"中值点”的个数为小则有加+入=（）（参考数据：兀*3.14,门2.72.）

A.1B.2C.0D.〃二3

2.（23-24高三上•湖南益阳•阶段练习）用数学的眼光看世界就能发觉很多数学之“美〃现代

建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定

义如下：若/'（X）是/（X）的导函数，/"（X）是/'（"的导函数，则曲线在点（'/（力）

K.『⑸

处的曲率/,Ki若/（X）=XY',则曲线尸/⑺在（0,-1）处的曲率长是（）

（1+（rW）j

A.0B.yC.1D.e

3.（2025・陕西咸阳•模拟猜测）英国数学家布鲁克・泰勒（BrookTaylor,1685.8-1731.11）以

发觉泰勒公式和泰勒级数而有名于世.依据泰勒公式，我们可知：假如函数/（x）在包含凡的

某个开区间（《。）上具有5+1）阶导数，那么对于心€伍为），有

/（*）=察+华1（XT°）+粤（x-xj+-+粤1（工-%）"+一若取%=0,则

/（力=幽+/亚工+£121/+…+也9父+…，此时称该式为函数/（”在x=o处的

〃阶泰勒公式.计算器正是利用这一公式将sinx,cosx,e，，hix,4等函数转化为多项式

函数，通过计算多项式函数值近似求出原函数的值，tosinx=x-—+—-—+,

3!5!7!

cosx=l-^-+—-—+则运用上面的想法求2cosjq+:］sin：的近似值为（）

2!4!6!122）2

A.0.50B.-0.46C.-0.54D.0.56

4.（23-24高三上•福建•阶段练习）艾萨克牛顿英国皇家学会会长，英国有名物理学家，同

时在数学上也有很多杰出贡献，牛顿用“作切线〃的方法求函数/（“零点时给出一个数列

M我们把该数列称为牛顿数列.假如函数/（同=依2+加有

两个零点1,2,数列｛/｝为牛顿数列.设q=ln&q,已知％=1,｛〃“｝的前〃项和为S”,

X1

则S侬2+1等于（）

A.2025B.2025C.22023D.22022

5.（23-24高二下•黑龙江哈尔滨•期中）拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一，内容

为：假如函数/（力在闭区间句上的图象连续不间断,在开区间（。㈤内的导数为/'（"，

那么在区间（“〃）内至少存在一点c,使得/（〃）—=成立，其中c叫做f（x）

在上的“拉格朗日中值点”.依据这个定理，可得函数〃x）=lnx在［l,e］上的“拉格朗日

中值点"为（）

e+1

A.1B.eC.e-1D.

2

6.（23-24高二下•广东东莞•阶段练习）法国数学家拉格朗口于1797年在其著作《解析函

数论》中给出了一个定理，具体如下.假如函数y=/（x）满足如下条件.（1）在闭区间/回

上是连续的；（2）在开区间（&〃）上可导则在开区间（。力）上至少存在一点前使得

“人）-"〃）=/⑷（〃-〃）成立，此定理即〃拉格朗日中值定理"，其中4被称为〃拉格朗日中

值".则g（x）=V在区间［0』上的“拉格朗日中值"<=.

7.（23-24高三上•海南海口•阶段练习）英国有名物理学家牛顿用“作切线〃的方法求函数零

点时，给出的“牛顿数歹『'在航空航天中应用广泛.若数列｛%｝满足工向"rd)

则称数列｛七｝为牛顿数列.假如函数=数列｛1“｝为牛顿数列，设

%=ln3且%一1,数列｛%｝的前〃项和为S,,贝ijx?—_____,品「__________.

X”一乙

8.（23-24高二下•上海黄浦•阶段练习）在微积分中“以直代曲〃是最基本，最朴实的思想方

法，中国古代科学家刘徽创立的“割圆术〃，用圆的外切正〃边形和内接正〃边形"内外夹逼"

的方法求出了圆周率乃的精度较高的近似值，事实上就是用"以直代曲”的思想进行近似计算

的，它是我国最优秀的传统科学文化之一.借用“以直代由"的方法，在切点四周可以用函数

图象的切线代替在切点四周的曲线来"近似计算”.请用函数/*）=/“近似计算〃第版的值为一

（结果用分数表示）.

9.（2025高三・全国•专题练习）人们很早以前就开头探究高次方程的数值求解问题.牛顿

在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法一一牛顿法.这种求方程根的方

法，在科学界已被广泛接受.例如求方程2f+3V+.r+l=()的近似解，先用函数零点存在

定理，令/(x)=2V+3f+工+1,/(-2)=-5<0,/(-1)=1>0,得(-2,-1)上存在零点

/1)

取.=T，牛顿用公式X”二X“T反复迭代，以&作为/(x)=0的近似解，迭代两

/(Vi)

次后计算得到的近似解为:以为初始区间，用二分法计算两次后，以最终一个

区间的中点值作为方程的近似解，则近似解为.

10.(23-24高三下•云南•阶段练习)牛顿迭代法是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复

数域上近似求解方程的方法.比如I,我们可以先猜想某个方程/。)=。的其中一个根「在

x=x°的四周，如图6所示，然后在点说,/(%))处作/(x)的切线，切线与x轴交点的横坐

标就是为，用々代替重复上面的过程得到巧；始终连续下去，得到而，阳，巧，…，马

从图形上我们可以看到为较与接近r,々较当接近八等等.明显，它们会越来越靠近匚于是，

求/•近似解的过程转化为求乙，若设精,度为£，则把首次满足|七一当/<£的甚称为，•的近

似解.

已知函数/(x)=V-x+l,aeR.

⑴试用牛顿迭代法求方程/(力=。满足精度£=0.5的近似解(取与=-1,且结果保留小数

点后其次位)；

⑵若/(M+3d+6x+5+〃e'«0对任意xeR都成立，求整数〃的最大值.(计算参考数值:

32

e«2.72,835ss3.86,产。4.48,1.35»2.46,1.35«1.82)

11.(2025・湖南•二模)罗尔定理是高等代数中微积分的三大定理之一，它与导数和函数的

零点有关，是由法国数学家米歇尔•罗尔于1691年提出的.它的表达如下：假如函数。的满

足在闭区间打力1连续，在开区间（。，刀内可导，且/（，）=/（〃），那么在区间（，，〃）内至少存

在一点%使得/5）=0.

⑴运用罗尔定理证明：若函数/*）在区间［。，目连续，在区间3,刀上可导，则存在玉《（。力），

使得/'（-%）=*）7"）.

b-a

⑵已知函数/。）=如以以"）=31—瓜+］,若对于区间（1.2）内任意两个不相等的实数小苍，

都有1/（内）-/（/）1>1前不）-8（/）1成立，求实数少的取值范围.

⑶证明：当〃>叱2时，有沙。［』一》］.

12.（23-24高二下•山东济南•期中）帕德近似是法国数学家亨利・帕德创造的用有理多项式

近似特定函数的方法.给定两个正整数〃?，〃，函数/*）在x=0处的［凤川阶帕德近似定义

%+罕++"”

为:R（x}=,且满足:/（0）=W））,/'（（））="（（））,r（O）=7?7O）

'1+Z?,x++l\xn

尸）（0）=（0）.己知/（x）=ln（x+l）在x=0处的［1,1］阶帕德近似为R（x）=J丁.注:

/〃（幻=［/'"）］',/汽幻=［r（幻］'J⑷（幻=［〃*）］'J⑸⑴=［/3>*）］',

⑴求实数。，〃的值；

（2）求证：+

⑶求不等式（］+［丫<0<11+口.的解集，其中0=2.71828..

13.（23-24高三下•甘肃••阶段练习）曲线的曲率是描述几何弯曲程度的量，曲率越大，曲

线的弯曲程度越大.曲线在点M处的曲率K=U（其中），'表示函数y=f（x）在点用

（"打

处的导数，）严表示导函数/*）在点M处的导数）.在曲线），=/*）上点M处的法线（过

该点且垂直于该点处的切线的直线为曲线在此处的法线）指向曲线凹的一侧上取一点D,使

得|MO|=1=p,则称以。为圆心，以夕为半径的圆为曲线在M处的曲率圆，由于此曲率

K

圆与曲线弧度亲密程度格外好，且再没有圆能介于此圆与曲线之间而与曲线相切，所以又称

⑴求出曲线6：），2-/=2在点/（0,正）处的曲率,并在曲线6："=1的图象上找一个点£，

使曲线。2在点£处的曲率与曲线G在点M（0,正）处的由率相同;

⑵若要在曲线C：r-x2=2上支凹侧放置圆G使其能在M（o,&）处与曲线G相切且半径

最大，求圆G的方程;

⑶在（2）的条件下，在圆Cdt任取一点P,曲线G上任取关于原点对称的两点A,从求以

的最大值.

14.（23-24高三下•山东前泽•阶段练习）帕德近似是法国数学家亨利•帕德创造的用有理多

项式近似特定函数的方法给定两个正整数，"，"，函数/(“在x=0处的上〃,〃］阶帕德近似

定义为：R")=*：:：：二:：夕,且满足:/⑼=A(o),r(o)=R'⑼，r(o)=/r(o),

，/(i(O)=i”)(0)，注：/〃(”=［r(切'，〃(X)=［/"(%)］'，/⑼⑺=［尸(前，

/⑸3=［-()］，……

已知函数/(x)=ln(x+l).

⑴求函数/(x)=ln(x+l)在x=O处的［1,1］阶帕德近似欲x),并求1M.1的近似数(精确到

O.OOI)；

⑵在(1)的条件下：

①求证：瑞R(x)

②若/(X)-〃?(5+1JRWK1-COSX恒成立，求实数，〃的取值范围.

15.(2025.浙江宁波•一模)定义：而于定义在区间［小句上的函数,若存在实数CW(4⑼,

使得函数在区间上单调递增（递减〉，在区间忆司上单调递减（递增），则称这个函

数为单峰函数且称C为最优点.已知定义在区间.可上的函数/（X）是以C为最优点的单峰函

数，在区间（4〃）上选取关于区间的中心与2对称的两个试验点不天，称使得

|/（七）一/（。）|（'=1，2）较小的试验点F为好点（若相同，就任选其一），另一个称为差点.简

洁发觉，最优点c与好点在差点的同一侧.我们以差点为分界点，把区间［。，司分成两部分，

并称好点所在的部分为存优区间，设存优区间为［〃”自］,再对区间也在］重复以上操作，可

以找到新的存优区间［生上］，同理可依次找到存优区间&e］，&也］•…，满足

［0句“知4］2&也］24,4］2&e］2，可使存优区间长度逐步减小.为了便利找到最

优点（或者接近最优点），从其次次操作起，将前一次操作中的好点作为本次操作的一个试

验点，若每次操作后得到的存优区间长度与操作前区间的长度的比值为同一个常数。，则称

这样的操作是〃美丽的"，得到的每一个存优区间都称为美丽存优区间，。称为美丽存优

区间常数.对区间［。回进行〃次"美丽的"操作，最终得到美丽存优区间区也］,令

邑=与二生，我们可任取区间［可能』内的一个实数作为最优点。的近似值，称之为/（X）在

b-a

区间［。力］上精度为£■的“合规近似值〃，记作忆（川小句）.已知函数

JTJT

/（x）=（x+l）cosx-1,XG（）,—,函数g（x）=sinx-ln（l+7t-x）,xe—,兀.

22

⑴求证：函数/（X）是单峰函数；

⑵已知c为函数/（x）的最优点,d为函数g（x）的最优点.

（i）求证：c+4〈兀；

（ii）求证：参兀一％/呜［

注：V2«1.414,x/3^1.732,石工2.236,V7。2.646.

16.（2025•河北沧州•一模）对于函数），=.“幻，xel,若存在与",使得〃无）=%，则

称％为函数/（X）的一阶不动点；若存在&