向量的减法运算 - 学生版

6.2.2向量的减法运算

【课程标准要求】1.理解相反向量的含义,向量减法的意义及减法法则2掌握向量减法

的几何意义.3.能熟练地进行向量的加、减综合运算.

必备知识•归纳落实

知识点一相反向量

1.定义

与向最a长度相等，方向相反的向最，叫做a的相反向与记作卫

2.性质

(1)零向量的相反向量仍是零向量.

(2)对于相反向量，有a+(-a)=(-a)+a=O.

(3)如果a、b互为相反向量，那么a=-b.b=~a.a+b=O.

・疑难解惑•

对相反向量的理解

相反向量与相等向量一样，从“长度”和“方向”两方面进行定义，相反向量必为平行向量.

知识点二向量的减法

1.定义

向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即。-力=〃+(4),因此,减去一个向量相当于力口上

这个向量的相反向量，求两个向量差的运算叫做向量的减法.

2.几何意义

在平面内任取•点O,作后二a办曲则易二〃-"如图所示.

3.文字叙述

如果把两个向量的星点放在一起，那么这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向

量的终点为终点的向量.

・温磐提示，

用三角形法则作向量减法的注意事项

(I)两个向量作差的前提是将两个向量移到共同的起点.

⑵在用三角形法则作向量减法时,要注意“共起点,连终点，指向被减”.解题时要结合图形,

准确判断，防止混淆.

基础自测

1.（人教A版必修第二册P13练习T2改编）化简力。等于（）

[A]AD[B]AC[C]DB[D]CB

2.四边形ABCD中，设应=”.筋=尻立=c,则备等于（）

[A]a-b+c

[B]b~（a+c）

[C|a+b+c

[D]b~a+c

3.已知在四边形ABCD中，法-&二n-G,则四边形ABCD一定是（）

[A]平行四边形[B]菱形

[C]矩形[D]正方形

4.若菱形ABCD的边长为2MAB-CB+CD\=.

关键能力•素养培优

题型一向量减法及其几何意义

[例1]如图所示,O为△ABC内一点,04二。,08=b,OC=c.求作:b+cu.

^\0D=0B+0C=b+c,

AD=0D-0A=b+c~a.

A

0

8弋/

D

法二作cB二茄二"

连接AD,

^\AC=OC-OA=c-a,

AD=AC+CD=c~a+b=b+c~a.

・解题簸略・

向量减法的三角形法则的内容是:两向量相减，表示两向量起点的字母必须相同，这样两向

量的差向量以减向量的终点字母为起点,以被减向量的终点的字母为终点.

［变式训练］如图，已知向量ahc不共线，求作向量ah-c.

题型二向量加减法的混合运算

［例2］(1)如图,RQ是A4BC的边8C上的两点，且加二淳则化简几+后-6-束？的结果

为()

[A]0[B]BP[C]PQ[D]PC

⑵化简：(4。-BM)+(8C-MC尸.

⑵原^=AD+(MB+BC)-MC=AD+MC-MC=AD.

•解题策略•

(1)向量减法运算的常用方法

可以通过相反向景，把向量减法的运

算转化为加法运算，

常

用运用向量减法的三角形法则，此时要,

方

法注意两个向量要有共同的起点.

引入点。，逆用向量减法的三角形法则，,

将各向―起点统一，

⑵向量加减法化简的两种形式

①首尾相连且为和.

②起点相同且为差.

解题时要注意观察是否有这两种形式,同时注意逆向应用.

[变式训练I如图，已知O为平行四边形ABC。内一点,&二〃,办公=c,则晶=

题型三向量加减法的综合应用

[例3]设点M是线段BC的中点，点A在线段外而|=4.|应+船|=|而-几|,则以访等

于()

[A18[B]4[C]2[DI1

又四边形ACDB为平行四边形，所以四边形ACDB为矩形，故AC148.

则AM为RtAA8C斜边BC上的中线，因此,|嬴鸟|访=2.故选C.

•解题策略・

(1)重要思想与方法

在应用三角形法则进行向量的减法运算时，应用数形结合的思想方法.

⑵易错易混点提醒

在用三角形法则作向量减法时,要注意“差向量连接两向量的终点，箭头指向被减向量”.解

题时要结合图形，准确判断，防止混淆.

[变式训练]已知|力8|=7,团。|=9,则|/8-力。|的取值范围为.

且|力3|=9,

\AB\=1,

所以20耘-G|W16.

所以|亚-而|的取值范围为⑵16].

课时作业

（分值:95分）

单选每题5分.

ISA级一基础巩固练

1.向量a力互为相反向昂•.已知固=3.则下列结论正确的是（）

IAJa=b[B]a+6为实数0

[C]a与方方向相同[D]|a|=3

2.已知非零向量。与b同向，则a-b（）

[A]必与a同向

[B]必与b同向

[C]可能与。同向、反向，也可能是0

ID]不可能与〃同向

3.下列表达式化简结果与命相等的是（）

[AlAB+BP[B]PB+BA

[C]BC+CA-PA[D]PB+PC

对于B,而+易二易，满足题意；

对于C,品t+易-船二加1-潘二扇+/=丽.不满足题意；

对于D,而+后不确定是否等于易.

故选B.

4.在四边形ABCD中,油=茄，若|筋-6|二|品＜-易|,则四边形ABCD是（）

［Al菱形IB］矩形

rci正方形［D］不确定

^\BD\=\AC\,

所以平行四边形ABCD是矩形.故选B.

5.如图,A,8,CQ是平面上的任意四点，下列式子正确的是（）

[A]AB+CD=BC+DA

网AC+BD=BC+AD

[ClAC+DB=DC+BA

|D]AB+DA=AC+DB

故选B.

6.已知向最a,b满足⑷=1，MY|总则网的取值范围为（）

［A］（景|）IB］净］

©嘿］ID］苜

7.（5分）下列四个等式:①a+b=b+a\®③AB+BC-CA=O-,@a+（-a）=O.

其中正确的是.（填序号）

8.（5分）已知非零向量a力满足:同=|加二|所乩作+瓦则

9.（13分）如图，已知向量a和向量b,用三角形法则作出。-b+a

B

b

0

A

10.（15分）如图，中国象棋的半个棋盘上有一只“马”，开始下棋时，它位于点4,这只“马”第一

步有几种可能的走法?试在图中画出来.它能否从点A走到与它相邻的点8?它能否从任一

交叉点出发，走到棋盘上的其他任何一个交叉点？

回B级一综合应用练

11.P为四边形ABC。所在平面上一点，/+而+而+访=法+2）,则2为（）

[A1四边形ABC。的对角线交点

[B]AC的中点

[C18。的中点

[D]CO边上一点

12.（5分）如图,在矩形ABC。中,|G|=4VI|几1二8.设几二妣立二氏病二c,贝c|=,

则|a冲-c|=|D'夕上2+(2X8斤8夕.

13.（17分）如图所示,在平行四边形ABCD中，EF分别为边A