2025-2026学年北师大版九年级数学上册期末检测卷2（含答案）

2025-2026学年北师大版数学九年级上册期末检测卷（2）［范围：九上全册］

一、选择题（每题3分，共24分）

i.若A|,则下列结论一定正确的是（）

A.x=2,y=5B.2x=5yC.|D.牛=（

八-r-y/y

2.如图,△4BC与△DE/是以点O为位似中心的位似图形,若448。与4。”的面积比为4:9,则。如。。为

（）

A.4:9B.2:3C.2:1D.3:1

3.如图,在团4BCD中,AC,BD相交于点0,下列条件不能判定由4BCD为矩形的是（）

A./.BAD=90°B.AC=BDC.OA=OBD.AC1BD

4.小亮与小明在解一道一元二次方程时都发生了小错误，小亮石化简过程中写错了常数项，因而得到方程

的两个根是3和2；小明在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是-1和-2,则原来的方

程是（）

A.x2+5x-2=0B.x2+3x—6=0C.x2-3x4-6=0D.x2-5x4-2=0

5.如图，在△ABC中，AD和BE分别是BC,AC边上的高，且相交于F点，若BF=4F,黑=

搭，则需的值为（）

A

A.2B.1C.3D.Z

6.关于％的一元二次方程/-4x-k=0存在两实数根勺/2,下列说法•错•误的是（）

第1页

若%则>>一

A.若％=x2»则k=-4B.10%2»4

C.和％2一定异号D.若％i=血+2，则k=-3

7.如图，△ABC与△OEF是位似图形，点。是位似中心,若的面积为4,且。4=24。，则的面

C.9D.12

8.如图，点。为△ABC边AC上一点（可与点A重合），已知4c=8,BC=10.以点B为圆心，适当长为半径

作弧，分别交AB,BC于点、M,N;再以点。为圆心，BM长为半径作弧，交4c于点P（点P在点。下方）；最后

以点P为圆心，MN长为半径作弧，两弧交于点Q,连结DQ并延长且交BC于点£以下4个结论：①乙CDE=

乙B；②器=器；③CE的最大值为等：④若。为AC中点，则需其中正确的结论有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、填空题（每题3分，共15分）

9.如图，从A地到B地有两条路线可走，从B地到F地可经C大桥、D大桥或E大桥到达，现让你随机选

择一条从A地出发经过B地到达F地的行走路线，那么恰好选到经过D大桥的路线的概率是.

10.如下图，某书画家作品的局部画面装裱前是一个长为2米，宽为1米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的

比是黄金比，且四周边衬的宽度相等，则边衬的宽度应该是米.（保留根号）

H.若勺、切是方程/+2%—2028=0的两个实数根，则代数式/2+4/+2犯的值等于.

12.如图，点A（2,2）在双曲线丫=^。＞0）上，将直线OA向上平移若干个单位长度交y轴于点B,交双曲

X

第2页

线于点C.若BC=2,则点C的坐标是.

13.如果一个矩形的宽与长的比等于黄金比，则称该矩形为黄金矩形.如图，已知矩形ABCD是黄金矩形，

且AD>AB,AD=2,点E是AD上一点，点G是CD上一点，将△ABE沿直线BE折叠，使点A落在BC

边上的点F处，再将△DEG沿直线EG折叠，使点D落在EF上的点H处，则FH的长为

三、解答题（共7题，共61分）

14.用适当的方法解方程：

（1）x2+4x+1=0

（2）（2x-3）2=（3-2x）（1-%）

15.如图，在口ABCD中，点E在AD的延长线上，BE与CD交于点F.

（1）求证：△ABE^ACFB.

（2）若^DEF的面积为4,篙=：,求AABE的面积.

16.已知关于刀的一元二次方程/一（k+4）%+k+3=0.

（I）求证：不论k为何值，该方程总有两个实数根；

（2）若该方程有一个根是负数，求k的取值范围.

17.小明利小亮玩一个游戏：三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字2,3,4（背面完全相同），现将

标有数字的一面朝下.小明从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后小亮从中任意抽取一张，计算小

明和小亮抽得的两个数字之和.若和为奇数，则小明胜；若和为偶数，则小亮胜.

（1）请你用画树状图或列表的方法，求出小明和小亮各自获胜的概率；

（2）你认为这个游戏规则对双方公平吗？说说你的理由.

18.某水果批发商店经销一种高档水果，进货价为10元/千克，若按15元/千克批发，每天可售出500千

第3页

克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若批发价每千克每涨价1元，日销售量将减少1()千克,

(I)当某水果批发价每千克涨价2元时，每天销售量为千克，每天共盈利元;

(2)现该商店要保证每天盈利4500元，同时又要使顾客得到实惠，那么水果批发价每千克应涨价多少

元？

19.如图，在直角坐标系中，面积为18的矩形48co的48边在y轴上，点。的坐标为(2,6),双曲线y=［经过

(2)连接。。，若将矩形4BC0沿着％轴的负方向平移t个单位时，线段。。与双曲线恰有两个公共点，求t

的取值范围.

20.如图1,在矩形ABCD中，NADC的平分线交BC于点E.交AB的延长线于点F

(1)求证：BE=BF；

(2)如图2,若G是EF的中点，连接AG、CG、AC,请判断△AGC的形状,并说明理由.

(3)如图3,作NBED的角平分线EH交AB于点H,已知，BH=2AH=k,求BC的长.(用含k的代数

式表示)

第4页

答案解析部分

1.【答案】D

【解析】【解答】解：然春表示x与y的比值关系，x不一定是2,y不一定是5,比如：x=4,y=10时，＞

白二|,A项错误；

］二|,变形为5x=2y,B项错误；

楙=|,设x=2k,y=5k,(k#))则x+y=7k,代入帚;得多C项错误;

：=|,设x=2k,y=5k,(k和)则x+y=7k,代入亨得q，D项正确：

故答案为：D

【分析】玲=春表示x与y的比值关系，x不一定是2,y不一定是5,变形为5x=2y,设x=2k,y=5k,(k/0)

y。

则x+y=7k,代入帚得,代入亨得，进行判断选项是否正确.

2.【答案】B

【解析】【解答】解：:△ABC与ADEF是以点。为位似中心的位似图形，

.*.△ABC^ADEF,AB〃DE,

.*.△AOB^ADOE,

,OA_AB

,•丽一丽’

•・•△ABC与△DEF的面积比4：9,

・•・△ABC与^DEF的相似比2：3,即需=多

.0A_2

,,丽=4'

故答案为：B.

【分析】先证出△AOBs/^DOE,利用相似三角形的性质可得△ABC与△DEF的相似比2：3,即器=全

再结合霜=霜可得霜=卷从而得解・

ULfULUU3

3.【答案】D

【解析】【解答】解：A、•・•四边形ABCD是平行四边形，ZBAD=90°,

••©ABCD为矩形，故选项A不符合题意；

B、:叫边形ABCD是平行四边形，AC=BD.

・••口ABCD为矩形，故选项B不符合题意；

第5页

C、•・•四边形ABCD是平行四边形，

.*.OA=OC,OD=OD,

VOA=OB,

AOA=OB=OC=OD,

AAC=BD,

•••□ABCD为矩形，故选项C不符合题意；

D.•・•四边形ABCD是平行四边形，AC1BD,

•.•□ABCD为菱形，故选项D符合题意；

故答案为：D.

【分析】利用矩形的判定方法(①有三个角是直角的四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；

③有一个角是直角的平行四边形是矩形)分析求解即可.

4.【答案】D

【解析】【解答】解：设原一元二次方程为ax2+bx+c=0(a/)),小英漏写常数项，方程为ax2+bx=0,根为x」

=3,x_2=2,根据韦达定理，两根之和3+2=所以=5,即b=・5a；小梅漏写一次项系数，方程

为ax?+c=0,根为xi=1,X2=2,根据韦达定理，两根之积1x2系所以。=2,即c=2a。将b=-5a,c=

2a代入原方程ax?+bx+c=0,得到ax?-5ax+2a=0,两边同时除以a(a/0),得至ijx?-5x+2=0,与选项D一

致。

故答案为:D

【分析】用一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)，分别根据小英和小梅的错误情况，求出原方程的二

次项系数、一次项系数和常数项，确定原方程.

5.【答案】D

【解析】【解答】解：•••黑

.••设BD=5a,CD=2a,

ABC=BD+CD=7a,

•・•在AABC中，AD和BE分别是BC,AC边.上的高，

ZBDF=ZAEF=90°,ZBEC=ZADC=90°,ZAEF=ZADC=90°,

在^BDFffAAEF中.

NBDF=4AEF=90°

乙BFD=LAFE1,

BF=AF

第6页

・•・△BDF^AAEF(AAS),

.*.DP=EF,

・・・BF+EF=AF+DF,

ABE=AD,

在^BEC和^ADC中，

(/.BEC=(ADC=90°

zC=zC

(BE=AD

••・△BEC=^ADC^AAS),

：•BC-AC-7a,

在"和△HOC中，

乙

^FAE=^CADf^AEF=ADC=90°,

•••△AEFADC,

丝变

：AC=CD,

AFEF^

"7a-2^a,

AF_7

：'EF=2,

DP-EF,

丝，

："DF=2'

故答案为：D.

【分析】根据罂=/设BD=5a,CD=2a,则BC=BD+CD=7a,先证明△BDF和△AEF全等得DF=

EF,进而得BE=AD,由此可判定△BEC和^ADC全等得BC=AC=7a,再证明△AEF和^ADC相似得

靠=备由此得等=：,然后根据DF=EF即可得出答案.

6.【答案】C

【解析】【解答】解：•・•关于X的一元二次方程无2一位一k=0存在两实数根均必，

.*.△=b2-4ac=16+4/c

A、若工1=%2，则16+4k=0,.'k=—4,故该选项正确，不符合题意；

B、若打工七，则16+轨＞0,・••女＞一4,故该选项正确，不符合题意；

C、,.'勺％2=-匕当k＞0,均和刀2异号，当kvo时，和工2同号，故该选项不正确，符合题意；

D、VXj4-x2=4,若%1=与+2,贝lj2%2+2=4

%2=1»则/=3

*•X\X2=-k=3

第7页

/./c=-3,故该选项正确，不符合题意.

故答案为：C.

【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且aR）”中，当bZ4ac>0时方程有两个不相等

的实数根，当b?-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4acV。时方程没有实数根，据此求解可判断A、B

选项；利用一元二次方程根与系数，设xi与X2是一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，旦a视）”的

两个实数根，则xi+X2二—±打・久2=,据此求解可判断C、D近项.

CI

7.【答案】C

【解析】【解答】解：•・•04=24。,

：.0D=0A+AD=3AD,

AOA:0D=2：3,

•••△48。与^。£尸是位彳以图形

・••位似比是2:3

24

・SfBC--

9即SA。/?尸=4^A4J?C,

-S&DEF~

•・•△ABGKJ面积为4,

9

-

49.

故答案为：C.

【分析】先根据位似图形中，对应点与位似中心的连线比例即为位似比，求出△4BC与△DEF的位似比，再

根据位似图形相的面积之比等于位似之比的平方可推出△的面积.

8.【答案】C

【解析】【解答】解析：①由尺规作图可得，LCDE=^B,故①符合题意；

②•••ZC=ZC,乙CDE=乙B,

CEDCAB,

.•.盖=罪，故②不符合题意；

③丁当。与4重合时，CE最大，此时。0-4C-8,裳=集，

即喘专,

解得。=手故③符合题意；

④当D为4c中点时，0C=/4C=4,由尺规作图可得BM=DQ<DE,

由小枷八以8,可得器=%=44

.••器<第=垓故④符合题意；

第8页

综上所述，①③④正确，

故答案为：C.

【分析】根据作一个角等于已知角的步骤可判断①；先利用两角相等的两个三角形相似判定△CED〜△C4B,

再根据相似三角形的对应边成比例可判断②；先找到当。与4重合时，CE最大，再根据相似三角形的对应边成

比例可判断③：利川△CED八CAB,推出空的值，再根据8M=DQ<0E可判定④.

9.【答案】1

【解析】【解答】解：设从A地到B地有两条路线分别为Bi,B2.

由树状图可知等可能的结果有9种情况，

其中恰好选到经过D大桥的路线的结果有2种情况，

所以恰好选到经过D大桥的路线的概率是

故答案为：1

【分析】用树状图列举出所有情况，再根据概率公式即可得出答案.

10.【答案】匹二

【解析】【解答】解：设边衬的宽度应该是xm,

则共至二与1,

2+2x2

解得x=^zl,

经检验：X二与1是方程的解，

4

•.•AX--V--5----1-,

4

故答案为：与1.

4

【分析】设边衬的宽度应该是xm,根据黄金比，列分式方程，解出x的值并检验解答即可.

11.【答案】2024

第9页

【解析】【解答】解：・・・xi是方程x2+2x-2028=0的实数根，

••・对2I2xi2028=0,

2

.\X1=-2XI+2028,

2

.,.X14-4XI+2X2=-2XI+20284-4x1+2x2=2028+2(xi+x2),

Vxi,X2是方程x24-2x-2028=0的两个实数根，

/.X1+K2=-2,

/.Xi24-4x1+2X2=2028+2x(-2)=2024.

故答案为：2024.

【分析】先求出X/=_2XI+2028,再将其代入x/+4勺+可得2028+2(xi+x2),再利用根与系数的关

系可得XI+X2=-2,最后代入计算即可.

12.【答案】(2鱼，V2)

【解析】【解答】解：如图，

过C作CMiy轴于M,过A作轴于H,则根据题意得：BC||OA,NC||HA,乙BMC=^AHO,

：.Z.HAD=乙NDO=乙DCB==(CBM,

：,LHAO~AMBC,

.OA_MC

••阮=丽

根据A(2,2)得：OH=2,AH=2,

-*-OA=70H2+AH2=V22+22=2企,

VBC=2,

•.孥=等即：MC=272,

•二点C的横坐标为：xc=24,

•・•点A(2,2)在双曲线丫=上,

X

:・k=4,

4,、

；・y=六》〉0)，

44/—

・••点C的纵坐标为：丫。=薮=袤=鱼,

C

第10页

・・.C的坐标是仅&V2).

故答案为：(2或，V2).

【分析】过C作C〃_Ly轴于M,过A作/"lx轴于H,则根据题意得：BCIIOA,NC||HA,乙BMC=

^AHO.可证明AHA。〜AMBC,可得窗=需，根据根据A(2,2)得：0H=2,AH=2,进一步得点C的横

坐标为：X=2V2,根据点A(2,2)在双曲线y=K(%>0)上，得y=S(x>0),当%c=2&时，VC=原，即

cXX

可得点C的坐标.

13.【答案】2V5-4

【解析】【解答】解：•・•矩形ABCD是黄金矩形，且AD>AB,AD=2,

••AB=，S=y/5—I,

乙

•・•△ABE沿直线BE折叠，使点A落在BC边上的点F处，

Z.AB=BF=V5-1,ZBFE=ZA=90°,

，四边形ABFE为正方形，

AAE=EF=AB=V5-1,

同理可得四边形DEHG为正方形，

・•・EH=DE=AD-AE=2-(V5-1)=3-V5,

・・・HF:EF-EH=V"(3-四)=2后4.

故答案为：2V5-4.

【分析】首先根据黄金矩形的定义，可得出AB=与14。=遍_1，再由折叠的性质可得出AB=BF二遍-

1,ZBFE=ZA=90°,进而即可得出四边形ABFE为正方形，进而得出AE二EF二AB二花-1,同理可证四边形

DEHG为正方形，可得出EH=DE=AD-AE=2-(V5-1)=3-V5,进而得出HF=EF-EH=V5-1-(3-75)=275-4.

14.【答案】(1)解：Va=l,b=4,c=l,

.*.A=b2-4ac=42-4xlxl=12>0.

/.x=-h±Jh2-4nc

2a

=-4±^

=—2±V3.

**»xi=-2+V3»X2=-2一6；

(2)解:(2x-3)2=(3-2x)(1-x),

(2x-3)2+(2x-3)(1-x)=0,

(2x-3)[(2x-3)+(1-x)]=0,

第11页

(2x-3)(x-2)=0,

.*.2x3=0,x2=0,

3

/.Xl=^,X2=2.

【解析】【分析】(1)利用一元二次方程的公式法的计算方法及步骤分析求解即可；

(2)利用因式分解法(先提取公因式，再利用平方差公式或完全平方公式将多项式和的形式变成乘积的形

式)的计算方法及步骤分析求解即可.

15.【答案】(1)证明：•・・四边形ABCD是平行四边形,

・・・AD〃BC,ZA=ZC,

AZCBE=ZE,

?.△ABE^ACFB.

(2)解：•・•四边形ABCD是平行四边形，

・・・AB〃CD,AB=CD,

・•・△DEF^AAEB,

£F_2

VCF=3,

.DF_DF_2

,•而二丽=弓’

•・,△DEF^AAEB,

.S△。即_,DF.2

••_(A3)'

..DF_2

•祢二丁

S^DEF=4,

••SAABE=25.

【解析】【分析】(1)利用平行四边形的性质易得AD〃BC,ZA=ZC,再利用平行线的性质可得

ZCBE=ZE,最后根据相似三角形的判定即可证明.

(2)利用平行四边形的性质易得AB〃CD,AB=CD,从而推出△DEFs/\AEB,结合已知条件可得找=

I，利用相似三角形面积比等于相似比平方可推出辿M=(|)2=X,利用已知条件SQF=4即可求解.

5bLAEB》

16.【答案】(1)证明：•・•方程x2—(k+4)x+k+3=0,

a=1,b=—(k+4),c=k+3,

:.△=*_4ac=[―(k+4)]2-4x1x(k+3)=+4k+4=(k+2)2之0,

・•・无论k为何值，该方程总有两个实数根.

第12页

（2）解：由方程/一（A+4）x+k+3=0得（x-l）（x一k-3）=0,

•*»x—1=0或A:—k—3=0,

xr=1,%2=忆+3,

•・•方程有一个根为负数，

:k+3Vo.

A/c<-3.

・・・k的取值范围是k<-3.

【解析】【分析】（1）根据一次方程判别式△=b2-4ac>0,可得方程有实数根.

（2）根据因式分解法解方程，再根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.

（1）证明：•・•方程》2一（攵+4）%+^+3=0,

a=1»b=—（/c+4）>c=k+3,

•••△=£）2—4ac=[―（Zc+4）]2—4x1x（k+3）=/c2+4/c+4=（Zc+2）2>0,

・•・无论A为何值，该方程总有两个实数根.

（2）解：由方程/一（4+4）%+上+3=0得（工一1）（%-忆一3）=0,

/.x-1=0或3—k-3=0,

*,•%1=1,%2=k+3,

•・•方程有一个根为负数，

二k+3<0.

r./c<-3.

・・・上的取值范围是k<-3.

17•【答案】（1）解：根据题意，列出表格，如下：

234

2456

3567

4678

总共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，和为奇数有4种，和为偶数有5种，

..45

所以P（小明胜）=（小亮胜）=9;

（2）解：这个游戏规则对双方不公平，理由如下：由（I）得两数之和为奇数的概率为小两数之和为偶数

的概率为5.

..4_3

所以这个游戏规则对双方不公平.

第13页

【解析】【分析】（1）列表得到所有等可能结果，然后得到符合条件的结果数，再根据概率公式求出两人获胜

的概率；

（2）比较两人获胜的概率，即可得出游戏的公平性.

（1）解：根据题意，列出表格，如下：

234

2456

3567

4678

总共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，和为奇数有4种，和为偶数有5种，

~45

所以P（小明胜）="（小亮胜）=9;

（2）解：这个游戏规则对双方不公平，理由如下：

由（1）得两数之和为奇数的概率为小两数之和为偶数的概率为引

..4_5

•尹y

所以这个游戏规则对双方不公平.

18.【答案】（1）480；3360

（2）解：设水果每千克应涨价x元，则

（5+x）（5OO-10x）=4500

解得:xi=5,X2=40.

因为同时又要使顾客得到实惠，所以水果每千克应涨价5元.

答：水果在原售价的基础上应涨价5元。

【解析】【解答］解：（1）销售量：500-2x10=480（千克）；盈利：480x（17-10）=3360（元）

故答案为:480；3360

【分析】（1）销售量=原销售量-涨价减少的销量，盈利二（售价-进价）x销量

（2）根据销量x单价利润=总盈利，设涨价为x元，根据题意列出方程解得

解得：xi=5,X2=40.因为同时又要使顾客得到实惠，所以水果每千克应涨价5元.

19.【答案】（1）解：•・•点。的坐标为（2,6）,

・・・AD=2,

•・,矩形ABCD的面积为18,

A2BC=18,

ABC=9,

•・•点。的坐标为（2,6）,由图得线段CD为矩形4BC0的长，

第14页

・••点C和点。的横坐标相等，

设点。(2,%)，

CD=-yc+6=9,

解得：％=-3,

.•・。(2,一3),

•・•双曲线y=1经过点C,

・••把。(2,-3)代入双曲线y=父

解得：k--6,

・•・双曲线y=—裂

(2)解:设直线。。的解析式为尸二七%(七工0),

•・•点。的坐标为(2,6),

=3,

，直线。。的解析式为y=3x,

・・•将矩形A8CD沿着不轴的负方向平移£个单位，

，平移后的直线。。的解析式为y=3(x+t),

[y=3(x+t)

・•.6，

(y=—

化简得：x2+tx+2=0,

•・•平移后的线段。。与双曲线恰有两个公共点，

.*.△=b2-4ac=t2-8=0,

即解得：t=±2

Vt>0,

***t=2企，

・•・当亡=2或时，平移后的线段。。与双曲线有1个公共点，

・・・当£>2企时，平移后的线段。。与双曲线恰有两个公共点.

【解析】【分析】(1)首先根据点D的坐标得出AD=2,然后根据矩形面积公式求出CD=9,根据点的坐标与

图形性质设点。(2,%)，进而根据。。=-%+6=9求出',=-3,则点。(2,-3),然后利用待定系数法求解反

比例函数解析式；

(2)先利用待定系数法求出直线OD的解析式，根据图象平移规律“左加右减”设平移后的直线。。的解析式为

y=3(》+t),然后和双曲线解析式我立方程组根的判别式求出方程组有唯一解时I的值，即可即可求解t的取

值范围.

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(1)解：•・•点。的坐标为(2,6),由务得线段CO为矩形A8C0的长,

・••点C和点。的横坐标相等，

设点。(2,%)，

:・BC-2,CD=­yc+6,

^•SCJABCD=BC-CD=2x(-yc+6)=18,

解得：yc=-3,

・・.C(2,-3),

•・•双曲线y=2经过点C,

・••把C(2,-3)代入双曲线y=1,

解得：k=—6,

・,•双曲线y=—3；

(2)解：设直线。。的解析式为、=的无(心工0),

•・•点。的坐标为(2,6),

/.3=3,

，直线。。的解析式为y=3x,

•・•将矩形力BCD沿着％轴的负方向平移t个单位，

・•・平移后的直线。。的解析式为y=3(x+t),

[y=3(x4-1)

6，

Ik一工

化简得：x2+tx4-2=0,

•・•平移后的线段。。与双曲线恰有两个公共点，

.*.△=b2-4ac=t2-8=0,

即解得：£=±2&，

Vt>0,

***t=2A/2,

，当£=2企时，平移后的线段。0与双曲线有1个公共点，