广东省汕头市2025-2026学年高一年级上册期末统考数学试卷

广东省汕头市2025-2026学年高一期末统考

数学试卷

总分：150分考试时长：120分钟

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

1.设集合A={川。g?'-）训,一{心_3»2领,则棍=（）

A.[-1,1]B.[2,3]C.[1,2]D.0

【答案】D

【解析】

【分析】根据对数不等式的求解方法求出集合A，根据一元二次不等式的求解方法求出集合A,根据交集的

运算求出Ac4.

【详解】丁log2（厂-2x-3）N1,i•.•xNl+#或

x~-2x-3>2

A={x|xNl+\/^或xKl一几},

VX2-3X+2<0».\1<X<2,:.B={X\\<X<2},

：.Ar\B=0,故选项D正确.

故选：D.

2.己知函数/（#=/+%,则不等式/（x—l）+/（2x）>0的解集为（）

【答案】B

【解析】

【分析】先判断函数的奇偶性，然后将不等式进行变形，最后根据函数的单调性求解即可.

【详解】因为函数因（x）=d+x,所以不等式〃x-l）+/（2久）>0变为

由于/（一X）=一/一/=一/（不），所以/（x）为奇函数，

所以〃一2司二一/（2"，所以不等式变为

由于/（x）=/+x在R上为增函数，所以工一1>一21，

解得

故选:B.

03

3.若。=0.30-2,〃=1呜）.2。.3,c=log030.2,ci=2-,则大小关系正确的是（）

A.b<a<d<cB.a<b<c<d

C.b<a<c<dD.a<b<d<c

【答案】A

【解析】

【分析】借助中间值和函数的单调性比较大小.

3243(3?32

【详解】•.•0.3=2>/.1=0.3°>O.3026/<1

1044

士-3

・・・。.3』.。。81>。。。8=。21.0.3>0.2。.。=脸2yI*0.3<*0.2,="

:.0<b<a<\

lg0.214

c=logo.?0?=—>—

lg0.3b3

z.x10z1x10i/-、2A

3

T=1+；>1+C；oxl+C?ox-=l+^+5>8=2\所以t/=2°-<-,

/.c>d>\,:.b<a<d<c.

故选：A

4.已知向量a=(l,2),b=(2-\],则。+2/?=()

A.MB.VV7C.5D.V26

【答案】C

【解析】

【分析】根据向量的坐标运算求Z+2B，进而可得模长.

【详解】因为向量2=(1,2),工(2「1),则2+方=(5,0),

所以=加2+()2=5.

故选：C.

5.函数"x)=cos2x-^的对称轴方程为()

^717TTt

A.x=——+—,〃wZB.x=kn+—,kE7J

266

E兀，~，兀，~

C.x=---1--,keZD.x=kn+—,keZ

233

【答案】A

【解析】

【分析】以2汇一2为整体，结合余弦函数对称性运算求解即可.

3

7Tkit7T

【详解】令2x--=kit,keZ,解得不=一十—,keZ,

326

(兀、l^TTTF

所以函数/(x)=cos2x--的对称轴方程为x=k+三，kez.

\3J26

故选：A.

6.某几何体三视图：正视图与侧视图均为高为3cin的矩形，俯视图是边K为2cm的正方形，该几何体的

体积为()

A.8cm3B.12cm3C.16cm3D.24cm'

【答案】B

【解析】

【分析】几何体为长方体，由长、宽、高求体积.

【详解】由三视图可知，几何体为长方体，底面正方形边长是2cm,高为3cm,

所以体积为2x2x3=12cm，.

故选:B

7.从1~5中取两数，事件A为“和为偶数”，B为“积为奇数”，则P(8|A)=()

111:

A.—4B.3-C.2~D./-

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意结合占典概型分别求P(A)，P(A8),代入条件概率公式即可得结果.

【详解】事件A分为两种情况：两个均为奇数和两个数均为偶数，

C；+C：3+12C23

所以P(A)=P(AB)=^r=—

C；C；10

3

由条件概率可得：P（例4）=与竽=母=：.

P（A）24

5

故选：D.

8.函数〃x）=d-3x+l的零点个数为（）

A.IB.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】求导，利用导数判断了（工）的单调性和极值，结合零点存在性定理判断零点个数.

【详解】因为"x）=d-3x+l的定义域为R,且/'（x）=3f-3,

令解得x>l或xv-l；令/'（x）<0,解得一l<xvl；

可知/（X）在（—1,1）内单调递减，在（―8,—1）,。,+8）内单调递增，

则了（%）的极大值为/（-1）=3>0,极小值为/⑴=一1<0,

且当X趋近于-8时，/（X）趋近于-8；当x趋近于+8时，/（外趋近于+8;

所以函数/（工）的零点个数为3.

故选：C.

二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）

9.已知集合A={R%?-4工+3=。},8={乂/nr-3=0},正确的是（）

A.若4口3=3,则B,若〃?=1,则A|J8=A

C.若加=3,则Ac3=lD.若8qA,则〃?=1或〃?=3

【答案】AB

【解析】

【分析】选项A,根据交集定义和子集的定义求解；选项B,求出集合8,根据并集的运算求解；选项

C,求出集合根据交集的运算求解；选项D,由根据子集的定义分别按照〃?=0和〃?工0讨

论求解.

【详解】4=伊丁-4》+3=0}={1,3},

选项A,•.•4口8=3,故选项A正确；

选项B,•.,〃?=1,8={x|x-3=0}={3},AU3={1，3}=A,故选项B正确;

选项C,・・・〃z=3,.一二例31-3=0}={1},「.AcBNl},故选项C错误;

选项D,

当机=0时，8=0,满足BqA,

333

当加。0时，B=（一＞,Ba.A,—=1或一=3,，〃=3或〃z=1,

,mmtn

综上可知，若Bq4,则〃2=0或〃?=1或〃?=3,故选项D错误.

故选:AB.

v2+1

10.函数/（力二土二（xwo）的性质有（）

A.奇函数B.偶函数

C.在（0,1）上单调递减D.在（l,+o。）上单调递增

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据奇偶性的定义判断AB；根据对勾函数的单调性判断CD.

【详解】因为/（力="+，的定义域为{x|“回0},

X

且/（一工）=一式+白=一1+—）=-/"），可知函数/（五）为奇函数，故A正确；

乂因为/（1）=2,/（-1）=-2,即/⑴。/（―1）,可知函数/。）不为偶函数，故B错误;

由对勾函数性质可知函数/（X）在（0,1）上单调递减，在（1,+0。）上单调递增，故CD正确；

故选：ACD.

11.函数/（X）=sinx十cosx十sinxcosx的取值范围是（）

B.[-1,V2+1]

A.

2

C.D.[―1，£

【答案】B

【解析】

【分析】利用换元法及同角公式变形给定函数，再利用二次函数求出取值范围.

【详解】令/=5皿戈+8$工=枕$皿(工+殳)£[一及,&],则寸1118$；1二^----

42

1911,

于是sinx+cosx+sinxcosx=-r-+r——=—(r+l)~-1,

222

当1=—1时，f(X)mE=-l；当f=/时，/(X)mx=&+g，

所以所求范围是+

故选:B

三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)

12.解方程2m=321,得1=,

In2+ln3

【答案】

21n3-ln2

【解析】

【分析】两边取对数可得(x+l)ln2=(2x-l)ln3,进而解方程即可.

【详解】因为2m=321,两边取对数可得(x+l)ln2=(2x-l)ln3,

In2+hi3

可得（21n3-ln2）x=ln2+ln3,所以/二

21n3-ln2

In2+In3

故答案为:

2In3-ln2

13.向量Z=(2,l),另=(1,—1),则£在》方向上的投影数量为.

【答案】—

2

【解析】

【分析】根据向量的坐标运算求7B，万，进而可得投影数量.

【详解】因为向量4=(2,1),5=(1,-1),则/=2-1=1，|5|=Jl2+(-l)2=V2,

ab1V2

所以3在B方向上投影数量为丁

故答案为：迫.

2

14.正三棱柱48C-44G底面边长为2,高为3,其外接球体积为.

4371297：

【答案】

54

【解析】

【分析】根据给定条件，利用球的截面小圆性质求出外接球半径，进而求出球的体积.

22

【详解】由正三棱柱ABC-ABC底面边长为2,得正外接圆半径一与同二方'

正三棱柱ABC-4AC的高为3,得正三棱柱A8C—AAG外接球球心到平面ABC的距离d=|,

因此该外接球半径R=+户

所以所求外接球体积用加手等、喑

故答案沏喏

四、解答题（本大题共5小题，共77分）

15.已知函数/(x)=sin(2x+g+可2工一看）.

（1）化简“X）；

（2）求/（X）的最小正周期;

（3）求/"）在0,|上的最大值和最小值.

JT

【答案】（1）/（x）=2sin2x+-

（2）T=n

（3）最大值为2,最小值为-J5

【解析】

/\

【分析1（1）整理可得2x-J=2x+g-g,利用诱导公式化简即可;

613J2

（2）根据正弦型函数的最小正周期公式运算求解即可；

兀

（3）以2%+彳为整体，结合正弦函数的有界性求最值即可.

3

【小问1详解】

兀)c兀

因为/(x)=sin2xIicos2xi

3<3

【小问2详解】

因为/G）=2sin（2x+^）,所以/（力的最小正周期7=当=兀.

【小问3详解】

因为八00,g,贝iJ2x+'e—,

2J3|_33_

当2%+'=工，即％=/■时,函数/（A）取到最大值2sin5=2；

3212乙

当2x+g=f,即不专时，函数/"）取到最小值2sinf=-G；

综上所述：/（力在0卷上的最大值为2,最小值为-JL

16.已知函数f（x）=d-3、+2.

（1）求/（x）的单调区间；

（2）求〃力的极值；

⑶求/（X）在［T3］上的最大值和最小值.

【答案】（1）/（x）的单调递增区间为（2,+功,（y,0）,单调递减区间为（0,2）.

（2）/（X）的极大值是2,极小值是-2.

（3）/（X）在［-1,3］上的最大值为2,最小值为-2.

【解析】

【分析】（1）对函数求导，根据导数的符号求解不等式的解集，进而求得函数的单调区间.

（2）先求出函数的极值点，然后根据函数的单调性确定函数的极大值和极小值.

（3）先确定函数在［T3］上的单调区间，然后求出端点的函数值和极值，进而得到函数在［-1,3］上的最

值.

【小问1详解】

对函数求导得了'（X）=3工2—6x=3x（x—2）.

当r＞2或YVO时,r（x）＞0：当0vxv2时，/r（x）＜0：

所以“X)的单调递增区间为(2,+8),(-8,0),单调递减区间为(0,2).

小问2详解】

因为/'(x)=3x2_6x=3x(x-2),令为，(%)=0,解得x=0或x=2.

由(1)知，的单调递增区间为(2,y),(一8,0),单调递减区间为(0,2).

所以当x=()时，/(x)取极大值为了⑼=2,当工=2时，/(x)取极小值为/'(2)=8—3x4+2=-2.

【小问3详解】

由(1)知，/(力的单调递增区间为(2,0),单调递减区间为(0,2).

因为XE［-L3］,所以/(力在卜1,3］上的单调递增区间为［2,3］,卜1,0),单调递减区间为［0,2］.

而/㈠)=_1_3+2=_2,/⑼=2,/(2)=872+2=_2,/⑶=27-27+2=2,

所以/(力在［-1,3］上的最大值为2,最小值为-2.

17.已知向量a=(cosa,sina),b=(cos/?,sin/?),夹角为60。.

(1)求|£+〃|：

(2)若c=a+2B,d=2a-b»求。•［；

(3)若Z=(l,2),a1(«+e),求tana.

【答案】(i)75；

⑵-；

2

4

(3)tana=—或tana=0

3

【解析】

【分析】(1)利用数量积的定义及运算律求解.

(2)由(1)中信息，利用数量积的运算律求出数量积.

(3)利用垂直关系的向量表示及数量积的坐标表示，结合同角公式求出tana.

【小问1详解】

由向量3=(cosa,sina),B=(cos/7,sin尸)，得|Z|=Jcos?a+sin2a=1，

同理〃=1,由&B〉=60,得£石=|2|出|85〈7历=3，

所以|Z修|=斤=石.

【小问2详解】

由（1）知同=同=1,75=3，而"=£+2九d=2a-b^

所以cM=（4+2B）・（2a-B）=2a-2b+3ah=—.

2

【小问3详解】

由“_L（d+g）,得。•伍+卜）=东+"包=1+无〃=0,则不々=—1,

而。=（1,2）,则cosa+2sina=-l,两边平方并整理得4sinacosa+3sin2a=0，

4

显然cosa工0,则4tana+3tan2a=0,解得tan。=一§或tana=0,经验证符合题意，

4_

所以tana=—或tana=0.

3

18.直三棱柱A6C-A4G底面为直角三角形，NAC4=90，AC=BC=2,M=3,。为A向中

点.

（I）证明：G"_L平面AA〃4；

（2）求二面角A-CO—B的余弦值.

【答案】（1）证明见详解

⑵—

1（）

【解析】

【分析】（1）根据题意可得G。，，C.DA.AA,,进而可得线面垂直：

（2）建系并标点，分别求平面AC。、平面8CO的法向量，利用空间向量求二面角的余弦值.

【小问1详解】

因为4G=4G，。为4片中点，则。]。_1_4罔，

又因为4AJ.平面,GOu平面A^G，则GD_LAA，

且A百CAA}=A,AiBi,AAiu平面A]ABBi,

所以G。，平面

【小问2详解】

因为CC|_L平面ABC,ACA.BC,

以。为坐标原点,CA,CB,CC分别为XKz轴建立空间百角坐标系.

则,4（2,0,0）1（0,2,0）,。（0,0,0），4（2,0,3）,6（0,2,3）,。（1』,3）,

可得CA=(2,0,0),在=(0,2,0),CD=(1,1,3),

nCA=2%j=0

设平面ACO的法向量斤二（xi，x，zj,则,

nCD=X