2025-2026学年人教A版高中数学必修第二册课时达标：平面几何中的向量方法

6.4.1平面几何中的向量方法

一.选择题

1.已知A,B,C,D四点的坐标分别为(1,0),(4,3),(2,4),(0,2),则此四边形为()

A.梯形B.菱形

C.矩形D.正方形

2.如图,3CQE是半径为1的圆O的两条直径，前二2而厕布•朋的值是

()

A.--B.H

49

C.--D.f

49

3.在四边形ABCD中，若尼二(1,2),丽二(-4,2),则该四边形的面积为()

A.A/5B.2V5

C.5D.10

C

4.已知在直角梯形48CD中,ABJ_1,AB〃DC,则当ACJ_8。

时,AO=()

A.lB.2

C.3D.4

5.在四边形ABCD中，而二.而，亚•丽二0,则四边形ABCD为()

A.平行四边形B.矩形

C.等腰梯形D.菱形

6.在直角三角形ABC中，斜边BC长为2,0是平面ABC内一点，点尸满足丽=

刀+*而+尼)，则|而|等于()

A.2B.1

C.-D.4

2

7.在中工8=3dC=2,丽=［尻，则而•前的值为()

C.--D.-

44

8.如图，在矩形ABCD中点E为BC的中点，点F在边CD上,

若布•AF=V2MAE•丽的值是（）

A.V2B.2

C.OD.1

9.如图，设点P为工ABC内一点，且2同+2而+正=0,则拉”二（）

S^ABC

Bi

D.i

3

10.（多选题）已知点。在△A8C所在的平面内厕以下说法正确的有（）

A.若耐+OB+方=0,则点。为AABC的重心

B若方•（落第=丽•（薪箫）=。，则点°为A的垂心

C.若（市+OB）AB=（OB+沆）.近=0,则点O为〉ABC的外心

D.若方^OB=aB-OC=OC-a，则点O为△ABC的内心

二.填空题

11.已知在矩形ABCZ）中工8=24）=1,点£/分别为8C,CQ的中点，则（荏+

AF)'BD=,

12.如图所示，平行四边形A3CQ中，已知40=1/8=2,对角线3。=2,则对角线

AC的长为.

13.在边长为1的正方形ABCD中,£为线段CD的三等分点

而二幺瓦?+〃丽，则=-F为线段BE上的动点,G为线段A”的中点,

则丽•丽的最小值为.

三.解答题

14.已知在正方形A8C。中，点分别是CD,AD的中点交于点P.

求证：

(1)BE±CF;

(2)AP=AB.

15.在Rt"8C中,/C=90°,BC=44G6,求两条直角边的中线所夹的锐角的

余弦值.

16.已知三个点A(2,1),8(3,2),0(-1,4).

(1)求证/8_1_4。；

(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标以及矩形ABCD的两对角线所夹

锐角的余弦值.

6.4.1平面几何中的向量方法

一.选择题

1.A

解析:AB=(3,3)而=(-2,-2),

，宿二卫而，，检与方共线.

2

又I而罔而|,・••该四边形为梯形.

2.B

解析:因为而=而+而，即=而+云,

且丽二-福

所以而,FE=(FO+~ODy(FO+~OE)=FO2-OD2=i-l=-1.

3.C

解析:,・•尼•丽=0,AAClBD.

，四边形ABC。的面积

\AC\\BD\^xV5X2V5=5.

4.A

解析:建立平面直角坐标系，如图所示.

设AZ)=Q>0),则A(O,O),C(1J),8(2,0),

故前二(1,。，阮二(・l,f).

由4c_LBC,知前,BC=-1+/2=0,

解得41(负值舍去)，故AO=1.

5.D

解析:,・•荏=-丽,R。荏=DC,

：.AB与0c平行且相等.

・•・四边形ABCD是平行四边形.

又前•~BD=0,：.AC1丽，即AC.LBD,

・・・四边形ABCO是菱形.

6.B

解析:•・,加=瓦5+*通+前)，

：.OP-OA=^(AD+AC\

"・・3・♦1・・・,,・-―

即4P=2(48+AC),

2

：.AP为RtAABC斜边BC的中线，

A|AP|=1.

7.C

解析:因为丽=g就，

所以点Q是8C的中点，则而="南+而），丽=［配="前一荏），

所以而•丽=*四+AC）^（AC-AB）=^（\AC\2-\AB|2）=ix（22-32）=-j.

8.A

解析:,・,而=而+而，，荏•而=而.（而+而）=V5|而匚&,

/.|DF|=1,|CF|=V2-1,

：.AE-BF=（AB+BEy（BC+CF）=S-CF+5F-BC=-V2x（V2-1）+1x2=V2.

9.A

解析:设点D为AB的中点，连接PD（图略）.

•・・P4+PB=2PO=-；PC,

：.~PD=--PC,：.AP为CD的五等分点，

4

/.LABP的面积为AABC的面积的士

5

10.AC

解析:选项A,设点D为BC的中点，由于52=-。豆+沆）=-2时,所以点0为

BC边上中线的三等分点（靠近点。）,所以点0为△A3。的重心.

选项B,向量强,嘿分别表示在边AC和上取单位向量芯和衲，记它们的

|AC|\AB\

差是向量前，则当福•儒-源）=0,即0A_L3C时，点。在NBAC的平分线上，同

理由砺•儒•-劄=。，知点。在NABC的平分线上，故点O为△ABC的内心.

选项C,（H?+砺）•何=（）,表示以QA05为邻边的平行四边形的两条对角线

互相垂直，则这个平行四边形是菱形，即|刀|二|而同理有|而|二|瓦|,于是点0为

△ABC的外心.

选项D,由65-0B=0B-OC^OA-0B-~0B-OC=0,

：.0B-（0A-诟）=0,即赤,c3=o,

：.0B1CA.

同理可证瓦？1CB,0C1AB.

/.ORJLCAyOA1CR^OCIAR^AO是八4AC的垂心.故选AC.

二.填空题

nl

解析:如图，以A为坐标原点，以而，标的方向分别为龙轴、)，轴正方向建立平

面直角坐标系，则A(0,0),B(2,0),D(0,l),C(2,l).

to

.皎)Bx

・・•点E,F分别为BC,CD的中点，

・・・£(2,犷(1,1),

：.AE+AF=(3,|),丽=(-2,1),

・,•港+而)•丽=3x(-2)+|xl

12.V6

解析:设A方二力行二"则BD=a-b,AC=a+b,

而|瓦5|二|a-b|二、12_20山+12—,1+4-2ab=y/5-2a-b=2,®

\AC\1=\a^b\2=a2+la-b+b2=\a\2+2a-b+\b\2=\+^+2a'b.

•・•由①得2a6=1,

A|JC|2=6,A|^C|=V6,^AC=瓜.

45

318

解析:如图，以B为坐标原点建立平面直角坐标系.

由题意可知点A(-1,0),B(O,O),C(O,1),D(-1』)典T』),

则/=(-1,0),近=(0,1),而=([,1).由初=2^4+〃近阀([,1)=2(-1,0)+〃(01),

J

1114

•*--A=--,//=hAZ=..*.2+//=-+1=-.

3j733

丁/7为线段5E上的动点,设万？二〃锯，则前二〃(-；l)=(-L,a)(OW〃Wl).

33

又四二(1,()),・••而=而+前二(1,())+(△〃,〃)

33

又G为线段A/的中点,・,・E=|AF=(1-

又而二(0,-1),・••丽=而+而=(0,-1)+(；—)，切吒一加，»1)，

•.AF-DG=(l-^a,a\(^—%,夕-1)二(1-夕)g—1tz)+a(^a-1)+1=

5/6、23

9'5710

又OWaW1,・•.当a-\时，而•瓦取得最小值，且最小值为二.

1s

三.解答题

14.

证明:建立平面直角坐标系如图所示,

设AB=2,则A(0,0)£(2,0),C(2,2),E(l,2),尸(0,1).

⑴•・•露=(-1,2),赤=(-2,-1),

-CF=(-l)x(-2)+2x(-l)=0,

，雇JL前，即BELCF.

(2)设点P坐标为(xj),则而=(xj・l),丽=(2,1),

*：FP//FC,

.•・x=2(y-1)抑x=2y-2,

同理，由丽||丽，得产-2x+4,

6

X=­

x=2y25，

由

,y=-2x+4,何_8

y=9

・・・点尸的坐标为

'I而T(J+G)，2二函,

即AP=AB.

15.

解:方法一:如图①，

①

在RSABC中,NC=90°,

点分别是BCAC边的中点,8C=4/C=6.

则CD=2,CE=3,

所以|而|=y/AC2ICD2=2，IU,

|函二+3=5,

AD­~EB=(AC+CD)-(FC+CB)

=AC-EC+AC-CB+CD-EC+CD-方=6x3+0+0+2x4=26.

设而与丽的夹角为仇

ml八ADEB2613x/l0

贝UCOS0=—»—-=—.

\AD\\EB\2710x550

故直线AQ与8E所夹的锐角的余弦值为等.

方法二:如图②所示，

以点。为坐标原点，瓦石?的方向分别为A•轴、》轴正方向建立平面直角坐标

系.

其中点A(0,6)1(4。),0(2,0),E(0,3),则同