华师大版九年级数学下册《圆中的计算问题》教案

华师大版九年级下册数学27.3圆中的计算问题教案

第1课时弧长和扇形的面积

教学目标

口知识与技能

1.理解弧长、扇形面积公式的由来.

2.会利用公式计算弧长及扇形的面积.

A过程与方法

1.在探究弧长计算公式时，体验从特殊到一般的学习方法.在推

导扇形面积公式的过程中，学会类比的数学思想方法.

2.能用弧长、扇形面积公式解决一些实际问题.

方情感、态度与价值观

通过弧长和扇形面积的发现与推导，提高学生运用已有知识探究问

题获得新知的能力.

重点难点

A重点

弧长和扇形面积公式，准确计算弧长和扇形的面积.

方难点

运用弧长和扇形的面积公式计算比较复杂图形的面积.

教学过程

一、自学导纲

1.圆的周K公式是什么？

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2.圆的面积公式是什么？

3.什么叫弧长？

4.如图是圆弧形状的铁轨示意图，其中铁轨的半径为100米，圆

心角为90°.你能求出这段铁轨的长度吗？（兀取3.14）

二、合作互动

问题一弧长公式

1.探索

上面的问题就是求90°的圆心角所对的弧长，若圆心角为n°,

如何计算它所对的弧长呢？

还记得圆的周长公式吗？弧是圆上的一部分,你能否借助圆的周长

公式，来寻找弧长公式？请同学们计算半径为3cm,圆心角分别为

180°、90°、45°、1°、n°所对的弧长.

说明：（1）教师可引导学生通过等分圆周和圆心角的方法，探索计

算弧长公式.

（2）等待同学们计算完毕，与同学们一起总结出弧长公式（这里关

键是1°圆心角所对的弧长是多少，进而求出n°的圆心角所对的弧

长）弧长的计算公式为：

1=•2Jir=.

2.对应练习

（1）75度的圆心用所对的弧长是2.5cm,则此弧所在的圆的半径是

_______cm.

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(2)有一段弯道是圆弧形的,道长是12m，弧所对的圆心角是81度,

求这段圆弧的半径R(精确到0.1m).

(3)如图，在aABC中，NACB=90°,NB=25°,以C为圆心,

CA为半径的圆交AB与D,若AC=6,则的长为.

问题二扇形的面积

1.探索

(1)定义：如图由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成

的图形叫做扇形.

(2)由弧长推导公式，你能推导出扇形的面积公式吗？

说明：让学生完成下列填空：

(1)圆心角是180°,占整个周角的，因此圆心角是180。

的扇形面积是圆面积的________:

(2)圆心角是90。，占整个周角的_______，因此圆心角是90。

的扇形面积是圆面积的;

(3)圆心角是45。，占整个周角的,因此圆心角是45。

的扇形面积是圆面积的;

(4)圆心角是1°,占整个周角的，因此圆心角是1°的

扇形面积是圆面积的；

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(5)圆心角是n°,占整个周角的,因此圆心角是n°的

扇形面积是圆面积的.

如果设圆心角是n。的扇形面积为S,圆的半径为r,那么扇形的

面积为：S==X=lr.

因此扇形面积的计算公式为$=或S=lr.

2.对应练习

(1)如果扇形的圆心角是230°,那么这个扇形的面积等于这个扇

形所在圆的面积的.

(2)圆心角为60。的扇形的半径为10厘米，求这个扇形的面积和

周长.(五^3.14)

(3)一个扇形的弧长是20冗cm,面积是240"cm?,则扇形的圆心角

是.

3.例题精讲

例1如图，半圆0的直径AB=10,P为AB上一点，点C、D为半

圆的三等分点，求阴影部分的面积.

分析：阴影部分是一个不规则的图形，因此要设法将它转化为规则

图形的面积.连结0C、0D,则Sapco=Sz\coo，所以S|gj=S扇COD.

解答：连结CD,0C,0D.•・,点C,D是半圆的三等分点，.•・==.

・・・NA0C=NC0D=ND0B=60°.又0C=0D,「.△OCD为正三角形，，

ODC—60°,•,*CD//AB,/•S△PCD~SZSCOD»-••S阻影=S均形OCD=XnX52—

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总结反思:扇形的面积公式一般用于求组合图形或不规则图形的面

积，常用的方法有：割补法，和差重组法，方程法，等积变形法等.计

算时，要注意观察和分析图形，学会分解和组合图形.

例2如图，已知扇形AOB的半径为10,NA0B=60°,求的长（结

果精确到0.1）和扇形A0B的面积（结果精确到0.1）.

分析：要求弧长和扇形面积，只知道圆心角，半径便可求，本题已

满足.

解：的长=nXio=五七10.5,

S扇形=nX102=n=52.3.

因此,的长为10.5,扇形A0B的面积为52.3.

例3如图，在Rt^ABC中，ZC=90°,0为直角边BC上一点,

以0为圆心、OC为半径的圆恰好与斜边AB相切于点D,与BC交于另

一点E.

（1）求证：△AOCgAAOD；

（2）若BE=1,BD=3,求的半径及图中阴影部分的面积S.

解答：（1）证明：TAB切。。于D,A0D1AB.

在RtAAOC和RtAAOD中，

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ARtAAOC^RtAAOD(H.L).

(2)设半径为r,在RtaODB中，r2+32=(r+1)2,解得r=4.

由⑴有AC=AD,・・・AC2+92=(AC+3)2,解得AC=12..・.S=AC•BC

2

—JIr=x12X9—nX42=54—8冗.

三、反馈训练

1.如图，OA、OB、©C两两不相交，且半径都是2cm,则图中

三个扇形（阴影部分）的面积之和为（）

A.cm2B.cm2

C.ncm2D.2ncm2

2.如图，扇形AOB的圆心角为直角，正方形OCDE内接于扇形.点

C、E、D分别在OA、0B、上，过点A作AFLED交ED的延长线于F,

垂足为F.如果正方形的边长为1,那么阴影部分的面积为_______.

3.如图，一块等边三角形的木板，边长为1,现将木板沿水平线

翻滚，那么B点从开始至结束所走过的路径长度是多少？

BCR'

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A

4.如图是某工件形状，圆弧BC的度数为60°,AB=6cm,点B到

点C的距离等于AB,ZBAC=30°,求工件的面积.

四、导学归纳

本节课你有什么收获？还有什么疑惑？

五、作业

1.《能力培养与测试》同步课时作'也.

2.如图1,从P点引。。的两切线PA、PB,A、B为切点，已知。0

的半径为2,ZP=60°,求图中阴影部分的面积.

3.如图2,ZiABC是正三角形，曲线CDEF叫做“正三角形的浙开

线”，其中、、的圆心依次按A、B、C循环，它们依次相连接，若AB

=1,那么曲线CDEF的长是（）

A.2nB.4nC.6nD.8n

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BD

4.如图，已知在。0中，AB=4,AC是。。的直径，ACLBD于F,

NA=30°.求图中阴影部分的面积.

课后反思：

教学过程中，强调学生应熟记相关公式并灵活运用，特别是求阴影

部分的面积时，要灵活运用割补法、转化法等.

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第2课时圆锥的侧面积和全面积

教学目标

中知识与技能

掌握圆锥的特征，了解圆锥的侧面积计算公式，并会应用公式解决

圆锥的侧面积和全面积问题.

干过程与方法

让学生通过观察、想象，再猜想结果，最后经过实践得出结论.

a情感、态度与价值观

培养学生初步的空间想象能力和相应的计算能力.

重点难点

潸重点

圆锥的侧面展开图，计算圆锥的侧面积和全面积.

帝难点

经历探索圆锥侧面积计算公式.

教学过程

一、自学导纲

如图是蒙古包，请你仔细观察图片，说说整体框架近似地看成是由

哪些几何体构成的？你知道包围在它外表毯的面积吗？

二、合作互动

1.圆锥的概念

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我们知道圆锥是由一个底面和一个侧面围成的.如图:

(1)母线：圆锥底面圆周上任意一点与圆锥顶点的连线叫做圆锥的

母线.

(2)圆锥的高：连接顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高.

如图中a就是圆锥的一条母线，而h就是圆锥的高.

2.探究归纳

教师把事先做好的圆锥分发给每个学习小组，引导学生，沿一条母

线将侧面剪开.并思考下列问题：

(1)圆锥的侧面展开图是什么图形？

(2)这个扇形的弧长与底面图的周长有什么关系？

(3)圆锥侧面展开图是扇形，这个扇形是半径与圆锥中的哪一条线

段相等？

归纳：如图，圆锥的底面周长就是侧面展开图扇形的弧长，圆锥的

母线就是其侧面展开图扇形的半径.

圆锥的侧面积就是弧长为圆锥底面周长、半径为圆锥的一条母线的

长的扇形面积，而圆锥的全面积就是它的侧面积与它的底面积的和.

设圆锥的母线为a,底面圆的半径为r,那么这个圆锥侧面展开图

扇形的半径为a,扇形的弧长为2n-所以可得圆锥的侧面积为S圆惟

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侧面积=兀ra,S全面积=兀ra+兀r2.

3.典型例题

例1已知圆锥的侧面展开图的圆心角为120°,圆锥的底面积为

16n,求圆锥的侧面积.

分析：设圆锥底面半径为r,侧面展开图的半径为R,根据2nr

=乂兀1?求出比再利用S=即可求出侧面积.

解答：设圆锥底面半径为r,侧面展开图的半径为R,由兀/=16

兀,得r=4,由=2兀X4得R=12,，S扇形==48兀.

总结反思：求圆锥的侧面积时一定要弄清两个公式的区别：是立体

图形时$恻=nrLr是底面圆的半径，1是母线长；是侧面展开图形

时，圆锥侧面积就是扇形的面积公式S=,这里的R是扇形的半经，

也是圆锥的母线长.

例2一个圆锥形零件的母线长为a,底面的半径为r,求这个圆

锥形零件的侧面积和全面积.

解答：圆锥的侧面展开后是一个扇形，该扇形的半径为a,扇形的

弧长为2冗”所以

SX2nrXa=itra；S底=五一；

S仝=nra+叮r2.

答：这个圆锥形零件的侧面积为「ra,全面积为兀ra+冗一.

三、反馈训练

L小红量得一个圆锥的母线长为15cm,底面圆的直径是6cm,它

的侧面积为_______cm?（结果保留3T）.

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2.小刚制作了一个高12cm,底面直径为10cm的圆锥，这个圆锥

的侧面积是_______cm2.

3.圆柱的底面半径为1,母线长为2,则它的侧面积为_____（结

果保留兀）.

4.某抗震篷的顶部是圆锥形，这个圆锥的底面直径为10米，母

线长为6米，为了防雨，需要在它的顶部铺上油毡，所需油毡的面积

至少是（）

A.30米?B・60米2c.30“米?D・60n米?

5.一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，这个圆锥的侧面展开图扇

形的圆心角是（）

A.60°B.90°C.120°D.180°

6.在如图所示的扇形中，半径R=10,圆心角=144°,用这个扇

形围成一个圆锥的侧面.

（1）求这个圆锥的底面半径r；

（2）求这个圆锥的高（精确到0.1）.

四、拓展练习

1.如图，从一个直径是2的圆形铁皮中剪下一个圆心角为90°的

扇形.

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(1)求这个扇形的面积(结果保留兀).

(2)在剩下的三块余料中，能否从第③块斜料中剪出一个圆作为底

面与此扇形围成一个圆锥？请说明理由.

2.(难题)已知RtaABC中，ZC=90°,AB=13cm,BC=5cm,求：

(1)以BC所在直线为中心轴旋转一周得到的几何体的侧面积和全

面积；

(2)以AB所在直线为中心轴旋转一周得到的几何体的侧面积和全

面积.

五、导学归纳

1.圆锥的侧面积和全面积.

2.圆锥母线a、底面圆半径r