新高考数学解答题核心考点预测：数列通项公式与前n项和（解析版）

第5讲数列通项公式与前n项和

高考预测一：等差等比公式法求和

1.已知等比数列（凡｝满足：4-4卜10,等5.

（I）求数列｛%｝的通项公式；

（H）是否存在正整数根，使得_L+_L+…+-L..]?若存在，求/〃的最小值；若不存在，说明理由.

四七%

【解析】解：（I）设等比数列｛凡｝的公比为q,则由已知可得卜》3二“：

[\ayq-a/f|=10

=5

解得％=3或,q=-5

q=3q=­i・

故(ln=|-3"T=5.3"2,如”=-5.(_])z=5•(T)".

s1al

(n)若a=°・3"T,则,=,

3《，53

故｛"!■)是首项为3,公比为』的等比数列，

凡53

31

从而£加_1=凯-卡]9

«=>""

贝广=」㈠严，故1

若%=(-5)«-1)1,是首项为-工，公比为-1的等比数列,

5<~a'5

从叩£_=彳5故'—<1

"T4|(V〃=2k(kwN.).

m1

综上，对任何正整数〃？，总有

-Ia”

故不存在正整数〃？，使得-L+J-+…成立.

4%%

2.记S”为等差数列｛4｝的前〃项和.已知Sg=-6.

（1）若为=4，求｛4｝的通项公式；

（2）若％>0,求使得S,,../的〃的取值范围.

【解析】解：（I）根据题意，等差数列伍”｝中，设其公差为d,

若$9=-。5,则$9=望专"=%=-%，变形可得6=0,即4+4d=0,

1

若%=4,则"=-2

2

则an=6+(〃-3)d=-2n+10,

(2)若S“..〃“，则na｝+〃。；"d..a｝+(/z-l)t/,

当〃=1时，不等式成立，

当〃..2时，有弓.M—q,变形可得(〃—2)d…—2q,

又由品=-%,即s,"।?'196=一%,则有%=0,即4+4"=0,则有(〃一2)(…一2«,

又由4>0,则有几,10,

则有2釉10,

综合可得：〃的取值范围是51啜M10,neN].

高考预测二：裂项相消求和

3.已知各项均为正数的等比数列｛4｝的前〃项和为S”，且2s2=%-2,%=物+3%.

(I)若等差数列｛"｝满足4=q(i=l,2),求他“｝,｛4｝的通项公式；

(II)若c.=，求数列匕』的前〃项和

43”

在①----+1;③一这三个条件中任选一个补充到第(1【)问中,

也+4+&+…如+2)(〃+1)SfA+i

并对其求解.

【解析】解：(I)设数列｛〃〃｝的公比为q，则g>0.

2s2=9-2,

2a2=74-2,①

q=2%+3q,

g?—24—3=0,解得夕=3(舍/),

代人①得q=2,々2=6,

n

:.an=2-3-'；

则〃=q=2,b2=a2=6,②

设数列｛2｝的公差为d，

d=b2-/?!=6—2=4,

则4=2+4(〃-1)=4〃-2；

2

(II)选择①:

l\=4/z-2,bll+l=4〃+2,

I1

则q-------------+

〃也向+(4〃-2)(4〃+2)An-24/?+2

J111II、112〃(〃+1)

：.T=(-----F-----------------------)+n=----------F72=-------

n266104/1-24/7+224〃+22〃+1

选择②：

b,t=4/z-2,4=2,

i.,,n[b,+/?.,)〃(2+4〃-2).,

则mi印+A+...+/?„=―!—=-----------=2n~,

1-n22

.______________In_____________In_1_\___1_

"(々+Z>2+"+…"t+")(〃+1)2n2(n+1)〃(〃+l)nn+I

丁，11111,1n

T,=1—+----1-…+--------=1------=----；

223n〃+1n+\n+\

选择③:

由(I)知/=231；

型乜31.

“1-3

3"3"111、

■c=-----=--------------=-(-------------)

一”S"s向(3"-1)(3»|-1)2y-\3n+,-I

-+_L_L+_J_______"3(3f

―”2288262680…3"-13"'-14(3””一1)

4.S”为数列｛%｝的前〃项和，已知4=1,/叼z=2S”.

(1)求｛%｝通项公式；

(2)设b“=?>2,数列｛4｝的前〃项和7；，若7；+(-1)2/1〉0,求整数4值.

244+i

【解析】解：(1)q=1,〃%+]=2Snf

令=2q=2,

叫z=2S”，..・(，?-1)q=2sl(几•2)，

两式相减,得nan+l-(n-\)an=2(S”一SM.,)=2an.

/.2),

«+1n

•・・”=幺，

21

/.也=%(〃eN").

77+In

3

二数列｛%｝为常数列，

n

所以4=〃.

n

⑵由⑴可得31=武嵩=(1百余力-舟F

令c,，=6'则却“=^7^’0=；'

•••2=4-%，

.•.数列｛〃｝的前〃项和7；t=(c,-c2)+(c2-c3)+...+(c„-c„+1)=c,-%+)，

T11八T1

T=c.~c„=--------------------，0<T<—»

+12(〃+l)2“"2

若［+(-1)向4>0,且尤为整数,

当〃为奇数时，7；f+/l>0,：.A>-T„,由0<7；1cg,可得几.0,

当〃为偶数时，Tti-Z>0,：.A<Ttl,由0<7；<g,可得入0,

/.A=0.

5.记S”为数列｛4｝的前〃项和.已知q>0,6S.=d+3%—4.

(1)求｛4｝的通项公式；

22

(2)设2=求数列｛以｝的前〃项和

凡。”+1

【解析】解：(1)由题意，当〃=1时，6sl=64=端+34-4,

整理，得-34-4=0,解得4=4,或4=一1(舍去).

当儿.2时，由65„=+3%-4,可得:

6sz=。"3aM-4,

两式相减，可得6s“-6S〃T=6〃“=q；+34-匕-3。,一，

整理，得(an+%)3"-an_t-3)=0,

“°，=3・

•••数列｛为｝是首项为4,公差为3的等差数列.

数列｛4｝的通项公式为%=4+3(〃-1)=3〃+I,neN*.

4

22(3〃+1产+(3〃+4/今33

(2)由(1)知，+""+|-------------------------=2d-------

anan^\(3〃+1)(3〃+4)3/7+13〃+4

故Z,="+b2+...+/?“

333333

=(2+---)+(2+---)+...+(2+)

477103〃+13〃+4

33

)

3n+13n+4

c/33

=2〃+(----

43〃+4

=2〃+―^

4(3〃+4)

6.已知数列｛为｝为各项非零的等差数列，其前〃项和为S.,满足S2M

（I）求数列｛%｝的通项公式;

（ID记2=」一（-1）"，求数列｛〃,｝的前〃项和乙.

【解析】解：（/）由题设可得：S2n7=4+；2I（2,L1）=q（2〃_1）=d,

・3°

(-ir=-------------------(-ir=l(—!—1

（〃）由（I）可得：b=—)(—1)"，

n(2〃-1)(2〃+1)42ALi2n+\

1I11、、一〃

当〃为偶数时，———+,・・4--------+---------1/1=­(—1+-------)=---------

n41335572〃-12/2+1412〃+14n+2

1)=-(---一—)=^1

当〃为奇数时，一十・・・

”41335572/7-12/7+1412〃+14〃+2

-11

，〃为偶数

4〃+2

综上，T=«

n-n—1

，〃为奇数

4〃+2

7.已知数列｛〃"｝满足q=3,anM=2an-n+\t数列｛"｝满足〃=2,bn+l=bn+a„-n.

（1）证明数列｛q-〃｝为等比数列,并求数列｛q｝的通项公式：

（2）数列｛qr｝满足c“=一”/-----求数列｛c“｝的前〃项和

（2+1）（%+•）

【解析】（1）证明：an+l=2a„-w+1»

•.•q+i-(〃+D=2(a”一〃)，

又《=3，

5

q-1=2H0,

•••数列｛%-〃｝为首项、公比均为2的等比数列，

a"一〃=2"»

a„=n+2"；

（2）解：由(1)可得：be=b“+%-〃=b“+2",即限「"=2",

又4=2,

h+〃-6+••—+4=2"1+2""+...+2+2=2(1-2"'+2=2”,

/.当〃..2时，nw?t-In―1n—£111]2

又当〃=1时，4=2也适合上式,

.•.2=2",

_______________

0”—（.+1）（么+[+1）一（2"+1）（2』+1）-2"+1-2e+1'

丁111111II

T=—------；——+-------：——+…+----------：——=------：——.

"2'+122+122+123+l2"+12M+I+132n+,+1

高考预测三：错位相减求和

8.已知数列｛%｝满足。”+2=的（9为实数，且qwl）〃eN'，q=1,出=2,且%+%,a3+a4,%+6成

等差数列.

（I）求q的值和｛♦“｝的通项公式；

（II）设a=122」，f,求数列｛"｝的前〃项和.

生”

【解析】解：（I）数列｛叫满足12=的0为实数，且

%=1,a2=2,且%+%,%+%,%+%成等差数列,

（l

所以（%+«4）-（«2+6）=（。4+6）-（。3+。4），即A一生=%-。3.所以《的一D=（"-D'

由于"工1,所以a?=/=2，解得＜7=2.

“一In

22

①当〃=2攵一1时，an=alk_x=2,②当〃=2%时，cin=a2l=2.

6

n-\

所以数列的通项公式为：％=.2:5为奇数）.

2；（〃为偶数）

（II）由（I）得：匕二上’

42”

所以（=%』+…+黑①，则聂=1+±+…+篇，②

_（j———）

①一②得"-品，整理得k-*•

乙\-LL/

2

9.设等差数列｛凡｝的前〃项和为S,，且邑=4S2,生“=2q+l.

（1）求数列伍』的通项公式；

（2）设数列｛4｝满足包=出口，求数列｛〃｝的前〃项和

【解析】解：（I）设等差数列｛〃“）的首项为q,公差为d,

44+6d=84+4d,

由邑=4S2,%,=%+1得・解得4=1,d=2.

a[+（2n-\）d=2%+2（〃一\）d+1,

因此⑸=2〃-l（〃wN"）.

（2）由题意知：〃=立==（〃—l）d）i

"4"4

所以凡=0x（1）°+1x（1）'+2x（I）2+3x（；）3+…+（〃_1）x（1）-,,

!&=0x（!y+lx（J）2+2x（!）3+...+（〃-2）x（:）M+（〃-l）x（!）",

444444

两式相减得］（=J+（j）2+…+（!r'-（/：-i）4r=J4-一（〃一i）（3"

44444,14

1-----

4

整理得用="（4—誓），

所以数列｛&｝的前八项和6=%4-喂）.

10.设等差数列｛an｝的公差为d前〃项和为S“，等比数列｛〃｝的公比为4.已知A=%,&=2,4=d,$=49.

7

（1）求数列｛4｝,｛2｝的通项公式;

（2）当d>l时,记q,=",求数列｛%｝的前〃项和7；.

4二2

【解析】解：（1）由题设知：\q=d

7%=7（4+3d）=49

1

d=q=2…d=q=一

解得：,或《“3，

%=I

[4=6

.•.当d=1时，a=-n+—fd=ady"；当4=2时，alt=2n-\,2二2"。

(2)当d>l时，由(1)可得，口“=2，1一1,a=2"T,则&=竺」，

.•.7；=lx(3°+3,+5xd)2+...+生^，

“52%2”T

▽I丁1352〃-32w-l

又/下+声+浮-+^-+

hi-dr']1-2〃

两式相减可得:=l+2x^---2——+

1="0吴…+5*联2"

1--

2

整理得：［=6-笔.

乙

高考预测四：分组求和

11.已知等差数列｛q｝前10项的和是120,前20项的和是440.

（1）求｛%｝的通项公式；

（2）若等比数列也｝的第2项和第5项分别是6和162,求数列以-包｝的前〃项和.

120=3+等

【解析】解：（1）设等差数列｛4｝的公差为d,由题设条件知:解得：4=3,d=2,

440=20/+2。；19d

：.an=3+(〃-1)x2=2〃+1：

（2）设等比数列｛〃｝的公比为夕，由题设条件知：［?［=6解得：〃=2,9=3，...2=2x3"，

b、q=162

4-a=2〃+l-2x3”」，

所以其前”项和为(3+5+7+...+2〃+1)—2(1+3+32+...+3”T)

8

八(3+2〃+1)2乂1-3"

-2X1-3

=/r+2/;+l-3n.

12.已知S"为数列｛%｝的前〃项和，且J=26,+〃2-3〃-1,〃=/,2,3…

(1)求证：数列｛3-2〃｝为等比数列：

(2)设力”=an-cosnn,求数列｛a｝的前〃项和Tn.

*2

【解析】(1)证明:当八.2时,an=Sn-Sn_t=2a„+-3/i-1-[2an_｝+(n-1)-3(n-1)-1],

整理得an=2al-2〃+4,

a”-2〃=2fa“_]—2(/?—1)],

.a“-2n

-2(/?-1)

丁Si=2q+1-3x1-1,

4=3,

.•.｛4-2川是以1为首项，以2为公比的等比数列.

(〃)解：由(/)得q-2〃=2”T,

an=2"-'+2n.

当n为偶数时，T“=b｛+b2+么+…+Z?”=(4+瓦+…+2_1)+(勿+"i+…+»

=-(l+2xl)-(22+2x3)-...-[2rt-2+2(H-l)l+

(2,+2X2)+(23+2X4)+...+(2/-,+2XW)

2(1-2M)1(1-2M)1人”，