2021-2025年中考数学试题分类汇编（山西专用）一次方程（组）与一元二次方程

专题04一次方程（组）与一元二次方程（解析版）

--©O0O--

考点1解二元一次方程组

3x-2y=li®

1.（2025•山西•中考真题）解方程组：J-

x+2y=1②

【详解】

解：①+②，得4%=12,

x=3.

将工=3代入②,得3+2），=1,

产T.

所以原方程组的解是广=3

[y=T

2x—y=3①

2.（2022•山西•中考真题）解方程组：_.

x+y=6®

【详解】

/2k-＞，=3①

解：j,Z^X♦

X+y=6②

①+②，得3工=9,

Ax=3.

将“3代入②，得3+），=6,

:.7=3.

所以原方程组的解为《x=3,,

[y=3

考点2利用一次方程（组）/一元二次方程解决实际问题

1.（2024.山西•中考真题）当下电子产品更新换代速度加快，废旧智能手机数量不断增加.科学处理废旧智

能手机，既可减少环境污染，还可回收其中的可利用资源.据研究，从每吨废旧智能手机中能提炼出的白

银比黄金多76U克.已知从2.5吨废旧智能手机中提炼出的黄金，与从。.6吨废旧智能手机中提炼出的白银

克数相等.求从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金与白银各多少克.

【答案】从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金240克，白银1000克

【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键.设

从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金X克，白银y克，根据从每一屯废旧智能手机中能提炼出的白银比黄金多

760克.从2.5吨废旧智能手机中提炼出的黄金,与从0.6吨废旧智能手机中提炼出的白银克黄相等.列出

二元一次方程组，解方程组即可.

【详解】解：设从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金x克，白银y克，

y=X+760

根据题意得:

2.5x=0.6y

x=240

解得：＜

y=1000

答：从每吨废I口智能手机中能提炼出黄金240克，白银10(X)克.

2.(2023•山西•中考真题)风陵渡黄河公路大桥是连接山西、陕西、河南三省的交通要塞.该大桥限重标志

牌显示，载重后总质量超过30吨的车辆禁止通行.现有一辆自重8吨的卡车，要运输若干套某种设备，每

套设备由1个A部件和3个8部件组成，这种设备必须成套运输.己知1个A部件和2个B部件的总质量

为2.8吨，2个A部件和3个3部件的质量相等.

⑴求1个A部件和1个B部件的质量各是多少:

（2）卡车一次最多可运输多少套这种设备通过此大桥？

【答案】（I）一个A部件的质量为1.2吨，一个8部件的质量为0.8吨

（2）6套

【分析】（I）设一个A部件的质量为x吨，一个3部件的质量为吨.然后根据等量关系“1个A部件和2

个B部件的总质量为2.8吨”和“2个4部件和3个B部件的质量相等”列二元一次方程组求解即可；

（2）设该卡车一次可运输机套这种设备通过此大桥.根据“我重后总质量超过30吨的车辆禁止通行”列不

等式再结合用为整数求解即可.

【详解】（1）解：设一个A部件的质量为x吨，一个8部件的质量为y吨.

x+2y=2.8

根据题意，得C,，

2x=3y

,,（x=\.2

解得

[y=0.8

答：一个A部件的质量为1.2吨，一个9部件的质量为0.8吨.

（2）解：设该卡车一次可运输机套这种设备通过此大桥.

根据题意，得（1.2+O.8X3）〃7+8W3O.

解得用《蔡.

因为，”为整数，，〃取最大值，所以m=6.

答：该卡车一次最多可运输6套这种设备通过此大桥.

【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次不笔式的应用等知识点，正确列出二元一次方

程组和不等式是解答本题的关键.

3.（2020•山西•中考真题）2020年5月份，省城太原开展了“活力太原•乐购晋阳''消费暖心活动，本次活动中

的家电消费券单笔交易满600元立减128元（每次只能使用一张）某品牌电饭煲按进价提高50%后标价，若

按标价的八折销售，某顾客购买该电饭煲时，使用一张家电消费券后，乂付现金568元.求该电饭煲的进价.

【答案】该电饭煲的进价为580元

【分析】根据满600元立减128元可知，打八折后的总价减去128元是实际付款数额，即可列出等式.

【详解】解：设该电饭煲的进价为x元

根据题意，得（1+5。％江・80%-128=568

解，得x=58（）.

答：该电饭煲的进价为580元

【点睛】本题主要考查了打折销售知识点，准确找出它们之间的关系列出等式方程是解题关键.

4.（2021•山西•中考真题）2021年7日1日建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个

数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65,求这个最小数（请用方程知识解答）.

12021年5<「月VI>

日四五六

1X3

叁:亮节

45678910

16

111213U17

18192021222324

25262728293031

【答案】5

【分析］根据日历.上数字规律得出，圈出的四个数最大数与最小数的差值为8,设最小数为X,则最大数为

x+8,结合己知，利用最大数与最小数的乘积为65列出方程求解即可.

【详解】解：设这个最小数为x.

根据题意,得X（%+8）=65.

解得玉=5,X2=-13（不符合题意，舍去）.

答：这个最小数为5.

【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，掌握日历的特征，根据已知得出的最大数与最

小数的差值是解题的关键.

一、单选题

1.（2025•山西太原•二模）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，书中记载了这样一个题目：今有木，

不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根

长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问长木长多少尺？这个问题可用方程

x-4.5-gx=l来解决，则方程中*Jx表示（）

A.长木的长B.长木一半的长C.绳子的长D.绳子对折后的长

【答案】C

【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意是解题的关键.

根据“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺“，而方程中出

现可得方程中的x表示绳子的长，再检查符合题意.

【详解】解：•・•用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余I尺，则

可得方程x-4.5-gx=1,

，方程中的x表示绳子的长，

故选：C.

2.（2025・山西吕梁•一模）约公元820年，中亚细亚数学家阿尔一花拉子米写了一本代数书，重点论述怎样

解方程.这本书的拉丁文译本取名为《对消与还原》，其中，“对消”指的是“合并同类项“，“还原”指的是“移

项”.我国古代数学著作《九章算术》的“方程”章，更早使用了“对消”和“还原”的方法，体现的数学思想是

（）

A.分类思想B.数形结合思想C.转化思想D.公理化思想

【答案】C

【分析】本题考查了一元一次方程，理解一元一次方程的解法是解答关键.

根据题中的材料，结合一元一次方程的解法来进行求解.

【详解】解：约公元820年，中亚细亚数学家阿尔一花拉子米写了一本代数书，重点论述怎样解方程.这

本与的拉丁文译本取名为《对消与还原》，其中，“对消”指的是“合并同类项“，“还原”指的是“移项我国

古代数学著作《九章算术》的“方程”章，更早使用了“对消”和“还原”的方法，体现的数学思想是：转化思想.

故选：C.

3.（2025•山西大同•二模）2023年12月22日，第78届联合国大会协商一致通过决议，将春节（农历新年）

确定联合国假日，“中国年”升格为“世界年”.某商场购进•批“国潮”年货礼盒，每盒进价为20。元，为庆祝

这一好消息，商场决定在12月22口，将这批“国潮”年货礼盒按标价的8折销售.若打8折后仍能获利20%,

则这批“国潮”年货礼盒每盒的标价应为（）

A.220元B.260元C.300元D.320元

【答案】C

【分析】本题考查了一元一次方程的应用之打折问题，熟练掌握打折问题的解法是解题的关键.

Q

设该服装每件标价是X元，根据题意，得台-200=20%x200,求解即可.

【详解】解：设该服装每件标价是x元，根据题意，得

Q

—x-200=20%x200,

10

解得x=300,

故选C.

4.（2025•山西•模拟预测）“朝三暮四”是一个源自于《庄子・齐物论》的寓言故事，某数学老师将其情景内容

改编成一道数学题：老翁计划早上给猴子的粮食是晚上的;，猴子们很不满意，于是老翁进行了调整，从

4

4

晚上的粮食中取3千克放在早上投食，这样早上的粮食是晚上的鼻，猴子们非常满意.问老翕每天给猴子

的食物总量共多少千克？设原计划早上投食3x千克，那么晚上投食千克，根据这一情景，你认为下列等

式正确的是（）

4彳一3

A.3x+3=-----B.4x-3x=3

3

34

C.3x+-=4xD.3x+3=-（4x-3）

4

【答案】D

【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设原计划早上投食3、千克，那么晚上投食4x千克，根据从晚上

的粮食中取3千克放在早上投食，这样早上的粮食是晚上的々列出方程即可；

【详解】解：设原计划早上投食3%千克，那么晚上投食4x千克，

4

根据题意，得：3x+3=-（4x-3）,

故选：D.

5.（2025•山西吕梁•二模）晋祠，这座承载着厚重历史文化的园冰胜境，已成为海内外游客心驰神往的旅游

地标.晋祠旺季每张门票的价格比淡季每张门票的价格多30元，旺季3张门票的总费用和淡季4张门票的

总费用相同，求晋祠旺季每张门票的价格和淡季每张门票的价格分别是多少元.若设晋祠旺季每张门票的

价格是x元，淡季每张门票的价格是元，则下列方程组正确的是（）

x-y=30x-y=30y-x=30y-x=30

A.J-B.3x=4），C-D.

4x=3y4.r=3y3x=4y

【答案】B

【分析】本题考查了列二元一次方程组，根据晋祠旺季每张门票的价格比淡季每张门票的价格多30元，旺

季3张门票的总瞽用和淡季4张门票的总钙用相同，日设肝季门票的单价为x元/张，淡季门票的单价为经亓

/张，进行列方程组，即可作答.

【详解】解：根据题意：

3x=4y

故选:B.

6.（2025•山西晋中•二模）我国古典数学文献《增删算法统宗•六均输》中有一个“隔沟算羊''的问题：“甲乙

隔沟牧放，二人暗里参详.甲云得乙九只羊，多乙一倍之上，乙说得甲九只，两家之数相当其大意如下：

甲、乙两人隔一条沟放牧，二人心里暗中合计，甲对乙说：“我若得到你的九只羊，我的羊就比你多一倍.

乙对甲说：“我若得到你的九只羊，咱俩家的羊就一样多.“设甲有x只羊，乙有V只羊，则下列所列方程组

正确的是（）

2（x+9）=y-9卜+9=2），卜+9=2（），-9）x-9=2（y+9）

D.<

x-9=y+9•[x-9=y*x-9=y+9x+9=y-9

【答案】C

【分析】本题考查了二元一次方程组的运用，理解题意中的数量关系正确列式是关键.

根据题意，分别表示出甲、乙得到对方的羊是的数量即可求解.

【详解】解：设甲有k只羊，乙有y只羊，

甲对乙说：“我若得到你的九只羊，我的羊就比你多一倍.”

・・・1+9=2（丁-9）,

乙对甲说：“我若得到你的九只羊，咱俩家的羊就一样多.

・・.工一9=），+9,

x+9=2()，-9)

・••方程组为\r-9=y+9

故选：C.

7.（2025•辽宁铁岭•二模）《九章算术》“盈不足”中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四.

问人数、物价各几何?”大意为：“今有人一起购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又差4钱.问人

数、物品价格各是多少?”设有x人，物品价格为钱，以下列出的方程组正确的是（）

8x-y=38x+3=ySx-y=38x+3=y

A-{7x-y=4B,l7x-y=4C

y-7x=4•7x+4=y

【答案】C

【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组.根据每人出8钱，则多出3钱，可得8I-），=3,根

据每人出7钱，则还差4钱，川得），-7工=4,从而可以7出相应的方程组即口J.

【详解】解：由题意可得，

8A-y=3

[t

y-7x=4

故选：C.

8.（2025•山西忻州•二模）《哪吒之魔童闹海》连续三个月获得全国月度票房冠军，某小组12名同学相约一

起观看该电影，其中8人购买了20电影票，4人购买了3。电影票，共花费560元.已知每张3。电影票的

售价比2。电影票的售价多5元，求每张2。电影票、3。电影票的售价分别为多少元.设每张2。电影票的

售价为x元，每张3。电影票的售价为了元，根据题意，可列方程组为（）

x-5=yjx+5=yx+5=yx-5=y

,8x+4,y=560B，[&E+4y=56(F[4.r+8y=560D.

4x+8y=560

【答案】B

【分析】本题主要考查了列二元一次方程组，审清题意、找到等量关系是解答本题的关键.

设每张2。电影票的售价为x元，每张3。电影票的售价为丁元；根据等量关系“8人购买了2。电影票，4人

购买了3。电影票，共花费56（）元.已知每张3D电影票的售价匕2短电影票的售价多5元”即可列出二元一

次方程组.

【详解】解：设每张2。电影票的售价为x元，每张3。电影票的售价为＞元,

x+5=y

根据题意，可列方程组为

8x+4产560'

故选：B.

9.（2025・山东临沂•一模）学校根据上级文件要求，打算安排七、八年级师生进行研学活动.某班两位同学

关于租车方案讨论如下：

现有甲、乙两种类型的客车，若租用2辆甲种客对，若租用1辆甲种客车与2

MJ车与3辆乙种客车，那总数客量为180人：辆乙种客车的总我客量为

105人：

ft若我们安排七、八年级的240名师生集体外出活

动，可以租用甲、乙种客车共6辆（要求两种不过甲车的租用费用比乙车

类型的客车都要租），一次将全部师生送到指定的贵120元，每辆甲种客车的

地点.租金为400元.fl

根据他们的对话得到以下四个结论：

①每辆甲车的载客量要比乙车多15人；②共有两种租车方案；③租车最低费用是2160元；④两种方案的

租车费用一样多.其中正确的结论是（）

A.①②B.①②③C.②③D.①②®

【答案】B

【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，设甲车载客量为x人，乙车载客量为

人，列出方程组得出甲车载客量为45人，乙车载客量为30人，即可判断①，设租甲车。辆，则租乙车（6-々）

辆，根据题意列出不等式组，得出44。<6,进而判断②③©,即可求解.

【详解】解：设甲车载客量为x人，乙车载客量为V人，根据题意得，

21+3y=180

x+2y=105

x=45

解得：

y=30

・•・甲车载客量为45人，乙车载客展为30人,

・••每辆甲车的载客量要比乙车多15人，故①正确;

设租甲车。柄，则租乙车（6-。）辆，根据题意得,

45a+30（6-々）之240

6-a>0

解得：4<a<6,

67=4,5

・••方案一：租甲车4辆，则租乙车2辆,

方案二：租甲车5辆，则租乙车1辆，

・•・共有两种租车方案，故②正确；

依题意，甲车的费用为400元/辆，乙车的费用为400720=280元/辆

方案一费用：400x4+2x280=21607G,方案二费用：400x5+1x280=22807G

③租车最低费用是2160元，故③正确；④不正确

故选:B.

10.（2025•湖北襄阳•一模）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一题，原文是：“今有大器五小器一容

三斛，大器一小器五容二斛，问大小器各容几何？''意思是：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个

小桶可以盛酒3斜斛（斛，^hu,是古代的一种容量单位），1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛：问：1

个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？若设I个大桶可以盛酒X斛，1个小桶可以盛酒y斛，则列方程组

是（）

5.rIy=2f5xIy=3f5xIy=3f5x=yI3

A-《「.B.{u-C.《二3D.《=，

x+5y=3=21x=5y+2[x+5y=2

【答案】B

【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组若设1个大桶可以盛酒x斛，।个小桶可以盛酒y斛，

根据“5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛”，即可得出关于X,的

二元一次方程组，此题得解.

【讲解】解：设I个大桶可以盛酒r斛，1个小桶时以盛洒y斛，则列方程组是

5x+y=3

x+5y=2'

故选：B.

11.（2025・山西太原•模拟预测）化学方程式是用化学式来表示物质化学反应的式子.化学方程式不仅表明

了反应物、生成物和反应条件，同时化学计量数代表了各反应物、生成物物质的量关系.例如

占燃

2HV2H?0就表示两份H?（氢气）与一份。2（氧气）点燃生成两份的H/）（水）.依据化学反应

过程中的质量守恒定律，在化学方程式等号左边和等号右边同一元素原子的个数一定相同.已知

点燃

+=

>^2^6A€O2+3AH2O?由此可列出关于X,y的二元一次方程为（）

A.x+y=6x+3xB.x+y=6x+3x2

C.2y=6x+3xD.2y=6x2+3%

【答案】D

【分析】本题考查了列二元一次方程，正确找出等量关系是解题的关键，根据题意列出方程求解即可.

【详解】解：•・•化学方程式等号左边和等号右边氧元素原子的个数一定相同，

点燃

=

.IC6H6+>O2^6ACO2+3AH2O

2y=6x・2+3x.

故选：D.

12.（2025・山西吕梁•二模）如图是一块长40m、宽30m的矩形区域，中间有四块等面积的绿化区域，其余

部分为等宽的道路，绿化区域的面积为616m2.设道路的宽度为xm,则可列方程为（）

A.4（）x30-3x3（）x-2x4（）x=616

B.40X30-3X30X-2X（40-2X）A=616

C.（40-2x）（30-3x）=616

D.（40-3x）（30-2x）=616

【答案】D

【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是设道路的宽度为xm,则余下的部分可合成长为

（<i-3x）m,宽为（30-2x）m的长方形，根据花圃的面积是616m"可列出关于”的一元二次方程.

【详解】解：设道路的宽度为xm,,

由题意得（4。-3X）（30-2%）=616,

故选：D.

13.（2025・山西吕梁•二模）太原的名优特产老陈醋醋香四溢，具有软化血管等功效.一位经销商在直播平

台经营某种老陈醋礼盒，其进价为每盒50元，按70元出售，平均每天可售出100盒.后来经过市场调查

发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20盒.若该经销商想要平均每天获利2240元，每盒老

陈醋礼盒应降价多少元？若设每盒老陈醋礼盒应降价x元，根据题意，所列方程正确的是（）

A.(70+x-50)^100+|x20j=2240B.(70-X-50)100+|x20i=2240

C.(70-A-50)^100-1X20^=2240D.(70+x-50)ll00-1x201=2240

【答案】B

【分析】本题考查一元二次方程的实际应用.根据题意设每盒应降价x元，再根据利润=（售价-进价）*销

量即可列出方程.

【详解】解—：设每盒应降价%元,

•・•商场平均每天可销售老陈醋礼盒100盒，如果降价2元，则每天可多售出20盒,

Y

，销量为:100+-X20盒,

乙7

•・•平均每天盈利2240元,

A(70-x-50)l100+jx201=2240,

故选:B.

14.（2025•山西阳泉•模拟预测）一元二次方程2丁-3、+2=0的根的情况为（）

A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根

C.只有一个实数根D.没有实数根

【答案】D

【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，利用一元二次方程根的判别式判断根的情况是解题的关

键.利用一元二次方程根的判别式即可解答.

【详解】解：Q2/—3X+2=0,

/.6=2,/?=—3♦c=2,

.•.A=/?2-4i7c=（-3）2-4x2x2=-7<0,

・•・方程2/-3工+2=0没有实数根.

故选：D.

15.（2025•山西朔州•一模）若关于工的一元二次方程V-2x+c=0有两个相等的实数根，则实数c的值为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【分析】本题考查根的判别式，根据方程有两个相等的实数根，得到△=（）,进行求解即可.

【详解】解：•・•关于”的一元二次方程寸―2x+c=0有两个相等的实数根，

・•・△=（2『4c=0,

解得：c=\;

故选：A.

16.（2025•山西•模拟预测）下列一元二次方程中，没有实数根的是（）

A.x2+5x+6=0B.x2+x-l=0

C.X2-2X+5=0D.x2=6x-9

【答案】C

【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，熟记根的判别式是解题的关键.

直接利用一元二次方程根的判别式对每个方程逐一计算即可求解.

【详解】A、A=52-4xlx6=l>0,故选项A有两个不相等的实数根，不合题意；

B、△=『-4xlx（-l）=5>（）,故选项B有两个不相等的实数根，不合题意；

C、A=（-2）2-4xlx5=-16<0,故选项C没有实数根，符合题意；

D、方程化为d-6x+9=0，A=（-6）2-4xlx9=0,故选项D有两个相等的实数根，不合题意.

故选C.

17.（2025・山西长治•模拟预测）关于x的一元二次方程丁+2〃吠+〃?2+i=o的根的情况是（）

A.没有实数根B.有两个相等的实数根

C.有两个不相等的实数根D.实数根的个数与实数小的取值有关

【答案】A

【分析】先计算出根的判别式的值得到△<（），然后利用根的判别式的意义对各选项进行判断.本题考查了

根的判别式：一元二次方程"2+双+。=0但工0）的根与△=〃-4比有如下关系：当A>0时，方程有两个不

相等的实数根；当△=（）时，方程有两个相等的实数根；当A<0时，方程无实数根.

【详解】解：依题意，为2+2〃次+1+]=0

2

,A=（2m）-4（,"+1）=-4<0,

•.•方程无实数根.

故选：A.

18.（2025•山西忻州•三模）如图，某广场欲在角落半径为5米的扇形Q4B区域内做绿化，先在外围种植一

圈大叶黄杨作为隔离带，再在内部扇形CO。区域内种植月季花，已知408=90。,若种植大叶黄杨和月季

花的区域面积相等，则扇形OCO的半径为（）

A

「大叶黄松、

月季花\\

oDB

A.述米B.2米C.纪4米D."兀米.

2248

【答案】A

【分析】本题考杳的是求解扇形的面积，一元二次方程的解法，掌握解法步骤是解本题的关键，根据面积

相等建立方程求解即可.

【详解】解：・・・0A=0B=5,设OC=OD=r,

而种植大叶黄杨和月季花的区域面积相等，

：.-nr2=-x25n--nr\

444

解得「=生旦，

2

故选A

19.（2025•山西阳泉•二模）已知关于x的一元二次方程/・工一6=0,其中一次项系数被墨迹污染了.若这

个方程的一个根为-2,则一次项系数为（）

A.-2B.-3C.-1D.-6

【答案】C

【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程的定义.熟练掌握一元二次方程的解，•元二次方

程的定义是解题的关键.

设一元二次方程为一+"-6=0,将％=-2代入，计算求解，然后作答即可.

【详解】解：设一元二次方程为丁+灰―6=0,

将工二-2代入得，（-2）2+（-2）电一6=0,

解得，b=—\,

，一次项系数为-1，

故选：C.

二、填空题

20.（2025•山西长治•模拟预测）2024年11月1日，山西省商务厅等部门发布了关于增加家电以旧换新补贴

品类的通知.某品牌打印机按进价提高50%后标价，若按标价的八折销售，某顾客购买该打印机时，将家

里的旧打印机用于以旧换新，抵打了258元后，又支付了942元，则该打印机的进价为元.

【答案】KXX)

【分析】本题考查了一元一次方程的应用.设该打印机的进价为4元，根据题意列一元一次方程，据此求解

即可.

【详解】解•：设该打印机的进价为x元，则标价为(l+50%)x元，售价为80%・(l+50%)x元，

根据题意得80%(1।50%)x258=942,

解得x=1000,即该打印机的进价为1(XX)元，

故答案为：1000.

21.(2025・山西太原•二模)运动心率(次/分)是指人体在运动时保持的心率状态，保持最佳运动心率对于

运动效果和运动安全都很重要.对于一般人来说，最佳运动心率控制区域计算法如下：(220一年龄)x0.8二最

大运动心率，(220—年龄＞0.6=最小运动心率.健身教练给一位正常成年男性制定的运动方案中，最大运动

心率与最小运动心率之差为33次，分，则这位男性的年龄是岁.

【答案】55

【分析】本题考查了•元•次方程的应用.设这位男性的年龄是1岁，根据“最大运动心率与最小运动心率

之差为33次/分”列一元一次方程，解方程即可求解.

【详解】解：设这位男性的年龄是x岁，

依题意得0.8(220-力-0.6(220-力=33,

解得x=55,

答：这位男性的年龄是55岁，

故答案为：55.

22.（2025•山西・模拟预测）如图，8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，设每块小长方形地砖的长为

2x=x+3y

【答案】

x+y=40

【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键.设

每块小长方形地砖的长为xcm,宽为ycm,由图示可得等量关系：①2个长=1个长+3个宽，②一个长+一

个宽=40cm,列出方程组，解方程组即可.

【详解】解：设每块小长方形地砖的长为xcm,宽为ycm,由题意得：

2x=x+3y

[x+）,=40'

2x=x+3y

故答案为：<

x+y=40

23.（2025•山西晋城•三模）已知科〃是一元二次方程f+5x-3=0的两个实数根，则'+』=—.

inn

【答案】|5/1>2

【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，代数式求值，熟练掌握一元二次方程根与系数的关

系是解题的关键，

根与系数的关系：若为，/是•元二次方程加+云+c=0（"0）的两根时，%+』二-7人泾十，据此

可求出m+〃和阳〃的值，然后利用整体代入的方法计算即可.

【详解】解：・・・利〃是一元二次方程f+5x-3=O的两个实数根，

m+n=-5,inn=-3,

.11m+n-55

..—卜—=----=—=—,

innmn-33

故答案为："I.

三、解答题

24.（2025•山西大同•三模）为贯彻落实省纪委监委开展群众身边不正之风和腐败问题集中整治的部署安排，

结合近年来部分群众对出租汽车运营乱象反映强烈的实际情况，吕梁市交通运输局加强整治出租汽车拒载、

宰客等运营不规范及驾驶员仪容仪表不整洁、服务不文明等行为，并通过“红、黑榜”形式，激励优秀者，教

育落后者，以此推动全市出租汽车行业专项整治取得实效.已知3月份进入红、黑榜的司机共有15人，进

入红榜的司机比进入黑榜的司机的2倍还多3人，求进入红、黑榜的司机各有多少人.

【答案】进入红榜的司机有11人，进入黑榜的司机有4人.

【分析】本题可通过设未知数，利用进入红、黑榜司机人数的数量关系建立方程来求解.本题主要考查一

元一次方程的应用.解题的关键在于准确设出未知数，根据题目中所给的数量关系列出方程，再利用等式

的基本性质求解方程，从而得出进入红、黑榜司机的人数.

【详解】解：设进入黑榜的司机有x人，则进入红榜的司机有（2x+3）人.

由题意可得,x+（2x+3）=15

3x=12

解得x=4.

把工=4代入2x+3,可得2x4+3=8+3=11（人）.

答：进入红榜的司机有11人，进入黑榜的司机有4人.

25.（2025•山西晋中•二模）山西作为典型的旱作农业区，种植业结构以粮食作物为主，尤其是小麦、玉米、

杂粮等，近年来山西在有机旱作农业、特色杂粮、设施农业等方面有较多布局.2024年吕梁和晋中为谷子

主要种植区，晋谷21号和长农35号是两个广泛推广的优质谷子品种.吕梁某农业基地有两块试验EDA,B各

30m,A试验EQ种植晋谷21号，8试验田种植长农35号，收获后统计发现，长农35号亩产量是晋谷21号

的1.2倍，两块试验田单次共收获谷子23MX）千克，求晋谷21号的亩产量是多少千克？

【答案】晋谷21号的亩产量是350千克

【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解一元•次方程，理解题意、正确列出方程是解题关键.

设晋谷21号的亩产量是x千克，则长农35号的亩产量是1.2x『克，结合题意，构建一元一次方程

30|>+1.2%）=23100,解方程，即可求解.

【详解】解：设晋谷21号的亩产量是不丁克.

根据题意，得：30（x+1.2x）=23100,

解得：x=35（）.

答：晋谷21号的亩产量是350千克.

26.（2025•山西阳泉•一模）炎炎夏日，外观迷你、携带方便的迷你小电扇受到越来越多人的喜爱，某商家

计划购进A,8两款迷你小电扇进行销售，已知A款迷你小电扇的进价为30元，B款迷你小电扇的进价为

40元.该商家购进这两种迷你小电扇共100台，用去了3350元.

力款迷你小电扇8款迷你小电扇

（1）该商家分别购进这两款迷你小电扇多少台？

⑵为了满足市场需求，该商家决定用不超过5200元的资金再购进•批这两款迷你小电扇共15。台，问该商

家这次至少购进A款迷你小电扇多少台？

【答案】（1）购进A款小电扇65台，B款小电扇35台.

⑵80

【分析】此题考查一元一次方程的实际应用，一元一次不等式的应用，正确理解题意是解题的关键.

⑴设购进4款小电扇力台，则8款小电扇（100-力台，根据小电扇共100台，用去了3350元列一元一次方

程，即可得出结论；

（2）设购进A款小电扇〃台，则购进8款小电扇（150-〃）台，根据用不超过5200元的资金购进A,B两款小

电扇共150台，即可得出关于y的一元一次不等式，解不等式即可得出结论.

【详解】（1）解：设购进A款小电扇x台，则8款小电扇（100-力台，

30x+40（100-x）=3350

解得：x=65

.•.1007=35

答：购进A款小电扇65台，8款小电扇35台.

（2）解：设购进A款小电扇。台，则购进B款小电扇（150-a）台.

.•.30«+40（150-tz）<5200

Ad>80

，购进A款小电扇至少80台.

27.（2025・山西吕梁•一模）每年的5月15日是“全国低碳日”,2024年的主题是“绿色低碳、美丽中国5鼓

励市民骑自行车出行，减少碳排放.某社区在这一天对平时骑自行车出行和开车出行的总数1000人进行统

计，结果显示骑自行车出行的人数比平时增加了20%,而开车出行的人数比平时减少了10%,已知活动当

天骑自行车出行的人数比开车出行的人数多360人.求平时骑自行车出行的人数和开车出行的人数.

【答案】平时骑自行车出行的人数为600人，平时开车出行的人数为400人.

【分析】本题考杳了一元一次方程的应用，理解题意是解题关键.设平时骑自行车出行的人数为、人，根据

“骑自行车出行的人数比平时增加了20%,而开车出行的人数比平时减少了10%,已知活动当天骑自行车出

行的人数比开车出行的人数多360人”，列方程求解即可.

【详解】解：设平时骑自行车出行的人数为K人，则平时开车出行的人数为(1000-力人，

则(l+20%)x-(l-10%)(10007)=360,

解得：x=600,

1(XX)-6(X)=4(X)(7k),

答：平时骑自行车出行的人数为600人，平时开车出行的人数为400人.

28.(2025•山西•模拟预测)2024年3月22日，“世界水日”、“中国水周”山西省宣传活动在太原启动,本1次

活动，旨在调动全社会各方力量团结治水兴水，吸引并推动社会公众关心支持水利事业为贯彻落实本次活

动精神，太原市现计划修一条水渠便于引水用水.已知，甲工程队活单独修需20天完成，乙工程队单独完

3

成需要的天数比甲工程队单独完成天数的三少2天.

(1)乙工程队单独完成需要多少天？

(2)若甲先单独修5天，之后甲乙合作修完这条水渠，求甲乙还需合作几天才能修完这条水渠？

【答案】(1)10天

(2)5A

【分析】(1)根据题意列出算式计算即可求解；

(2)设甲乙还需合作丁天才能修完这条水渠，根据题意列出方程即可求解；

本题考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键.

3

【详解】(I)解：20xj-2=10,

答：乙工程队单独完成需要10天;

（2）解：设甲乙还需合作y天才能修完这条水渠，

由题意得,2（5+y）+5y=i，

解得产5,

答：甲乙还需合作5天才能修完这条水渠.

29.（2025•山西晋中三模）⑴计算:（—；）+（—；）+9+5|；

（2）下面是小明同学解方程号-1=三1的过程，请认真阅读并完成相应任务:

o2

解：去分母，得x+2—6=3（x—5）..............第一步

去括号，得工+2-6=3工一15..................第二步

移项，得工一31=-2-6+15..................第三步

合并同类项，得一2x=7........................第四步

两边都除以-2,得工=-擀2......................第五步

任务：

①以上解答过程中，第一步的依据是—；

②以上解答过程中，从前一步到后一步的变形中，共出现一处错误，其中最后一次错误在第步，原

因是—:

③直接写出该方程的正确解是一.

【答案】（1）5；（2）①等式的基本性质2；②3；五,没有除以-2；③x

【分析】本题考查了零指数暴，负整数指数暴，解分式方程；

（1）根据零指数基，负整数指数哥进行计算即可求解；

（2）根据解分式方程的步骤进行计算即可求解.

【详解】（1）（-g）+（-：）+卜9+5|

=1+16+4

=1+4

=5

（2）①以上答过程中，第一步进行的是去分母，这一步的依据是等式的基本性质2；

②以上解答过程中，从前一步到后一步的变形中，共出现3处错误，其中最后一次错误在第五步，原因是没

有除以-2

故答案为：3；五，没有除以-2.

③27-

62

解：去分母，得x+2-6=3（x-5）

去括号,得力+2-6=3x75.

移顶，得x-3x=-2+6-15.

合并同类项，得-2x=-ll.

两边都除以-2,得

故答案为：—.

30.（2025・山西临汾•二模）山西省科学技术馆（后称“科技馆”）是一座集科普展览、科教影视、科技培训、

学术交流和大文观测等多功能为一体的重要科普场所.科技馆内部设有九个展厅，包括Q.“数学展厅''、

W.“宇宙与生命”、R.“机器与动力”、X.“儿童科学乐园''和了.“走向未来为了让学生近距离接触各

种先进的科技设备和展品.直观感受科技给人们带来的便捷，我校组织九年级全体师生参观科技馆.

（1）在科技馆内部的五个展厅中，君君和娜娜两位同学计划各选一个展厅进行深入了解参观，请用树状图或

列表来分析她们两人选到同一个展厅的概率；

（2）参观科技馆当天，为考虑路途及安全问题，我校租用了两种型号的大巴车共6辆.已知中型大巴车载客

45人，大型大巴车载客60人，师生共有330人.求租用中型大巴车和大型大巴车各多少辆？

【答案】⑴]

⑵祖用中型大巴车2辆，大型大巳车4辆

【分析】（1）利用画树状图法计算概率即可；

（2）设租用中型大巴车x辆，大型大巴有（6-6辆，根据题意，得45x+60（6-x）=330,解方程即可.

本题考查了画树状图求概率，一元一次方程的应用，熟练掌握画树状图，列方程是解题的关键.

【详解】（1）画树状图如下：

开始

QWRXT

八八八八//IV

QWKXT0WKXTQWRXTQWRXTQWKX1

根据题意，一共有25种等可能性，同一展馆的等可能性有5种,

故她们两人选到同一个展厅的概率为言=1.

（2）设租用中型大巴车x辆，大型大巴有（6-x）辆，

根据题意，得451+60（6-力=330,

解得x=2,

则（6-力=4,

答：租用中型大巴车2辆，大型大巴车4辆.

31.（2025♦山西吕梁•模拟预测）某校计划租用A8两种型号的客车送300名师生去劳动实践基地开展综合

实践活动.已知租用1辆A型客在和1辆4型客车共需550元，租用2辆A型客车所需的费用比租用3辆

8型客车所需的费用多100元.已知每辆4型客车允许载客35人，每辆B型客车允许载客18人.

（1）分别求租用一辆A型客车和一辆3型客车需要多少元.

（2）若学校计划租用12辆客车，至少需要租用A型客车多少辆？

【答案】（1）租用一辆A型客车的费用为350元，租用一辆8型客车的费用为200元

（2）至少需要租用A型客车5辆

【分析1本题考查二元一次方程组与一元一次不等式解决实际问题，分析题意，找到数量关系是解题的关

键.

（I）设租用•辆A型客车的费用为x元，租用一辆8型客车的费用为>元.根据“租用1辆A型客车和1辆

B型客车共需550元，租用2辆A型客车所需的费用比租用3辆B型客车所需的费用多100元”列出方程组，

求解即可；

（2）设租用A型客车。辆，3型客车（12-〃）辆，根据租用的两种客车能提供的座位数不少于师生总数300

即可列出不等式，求解即可.

【详解】（1）解：设租用一辆A型客车的费用为x元，租用一辆8型客车的费用为元.

x+y=550,

根据题意得，

2x-3y=100,

(x=350,

解得

答：租用•辆4型客车的费用为350元，租用•辆8型客车的费用为200元.

(2)解：设租用A型客车“辆，3型客车(12-a)辆，

根据题意