有限元基础及在汽车中的应用 课件 第三章 弹性力学的基本理论

有限元法基础及在汽车中的应用第3章弹性力学的基本理论3.1弹性力学的基本假设及基本概念3.2弹性力学的基本方程3.3弹性力学的平面问题目

录CONTENTS3.4弹性力学的基本原理3.5弹性问题的解析求解123弹性力学的基本假设弹性力学的基本原理弹性力学的平面问题内容导航图4弹性力学的基本方程5弹性问题的解析求解123了解弹性力学的基本假设及相关的基本概念。掌握弹性力学的基本方程的推导要点。理解弹性力学的两类常用的基本原理。学习目标3.1弹性力学的基本假设及基本概念3.1.1弹性力学的基本假设（1）连续性假设假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙，这样的材料，也称之为连续介质。连续介质内所有点

（数学意义上的点）都有物质，所有点的力学量都有意义，在整个物体上就可以用数学的连续函数来描述。（2）完全弹性假设认为材料在外力下发生的变形只处于完全弹性阶段，不进入屈服阶段，或者材料本身为完全弹性材料。也就是说材料在外力作用下发生变形，一旦撤去外力，材料将毫无保留的恢复到原始状态而没有任何剩余变形。（3）均匀性假设假定整个物体是由同一种材料组成的。（4）各向同性假设假定物体内任意点的弹性性质在各个方向上都相同，弹性常数不随方向而变。（5）小变形假设假定物体变形是微小量。3.1.2弹性力学的基本概念1.宏观的载荷

除集中力外，作用在物体上的外力按作用方式分为体积力（体力）和表面力（面力）：（1）体力：指分布在物体体积内部的力，如：物体的重力、惯性力等。（2）面力：指作用在物体表面上的力，如：均布载荷等。2.力学三类量

力学求解的目的就是计算位移、应变、应力这三类量，其中用位移和应变衡量刚度，用应力来衡量强度，现将这三类量简述如下：（1）位移：由外力使物体尺寸或形状发生变化的现象。（2）应变：由外力使物体尺寸或形状发生相对变化的现象，常以百分数(%)表示。（3）应力：截面某一点单位面积上的内力称为应力。3.2弹性力学的基本方程3.2.1四类问题的基本方程3.2.1四类问题的基本方程3.2.1四类问题的基本方程3.本构方程三维问题平面应力问题平面应变问题轴对称问题3.2.1四类问题的基本方程3.2.1四类问题的基本方程5.边界条件3.2.2基本方程的推导1.平衡方程的推导3.2.2基本方程的推导

2.几何方程的推导3.2.2基本方程的推导3.

本构方程的推导根据胡克定律3.2.2基本方程的推导4.协调条件的推导3.2.2基本方程的推导5.边界条件的推导（1）力边界条件（2）位移边界条件3.3弹性力学的平面问题3.3.1平面应力问题（1）几何特征：某一尺寸远小于另外两个尺寸，形状类似薄板。（2）受载情况：所受载荷在物体板面内。注意：平面应力问题的三类量个数是9个（3个应力，4个应变，2个位移），应力是平面的，应变是三维的，平面应力问题的独立三类量的个数应该是8个。3.3.2平面应变问题（1）几何特征：某一尺寸远大于另外两个尺寸，形状类似长筒。（2）受载情况：所受载荷为平行于横截面且沿纵向长度均布的面力或体力等。注意：平面应变问题的三类量个数是9个（3个应变，4个应力，2个位移），应变是平面的，应力是三维的，平面应变问题的独立三类量的个数应该是8个。3.3.3轴对称问题（1）几何形状：物体必须是旋转体。（2）所受载荷：所受载荷也必须是旋转一周的载荷。（3）约束条件：所受约束也必须是旋转一周的约束。3.3.4三种平面简化的对比分析1.弹性矩阵的对比分析3.3.4三种平面简化的对比分析2.受内压厚壁筒计算结果的对比分析3.4弹性力学的基本原理3.4.1圣维南原理圣维南原理(SaintVenant's

Principle)是弹性力学的基础性原理，是法国力学家圣维南于1855年提出的。其内容是：分布于弹性体上一小块面积（或体积）内的荷载所引起的物体中的应力，在离荷载作用区稍远的地方，基本上只同荷载的合力和合力矩有关；荷载的具体分布只影响荷载作用区附近的应力分布。还有一种等价的提法：如果作用在弹性体某一小块面积（或体积）上的荷载的合力和合力矩都等于零，则在远离荷载作用区的地方，应力就小得几乎等于零。不少学者研究过圣维南原理的正确性，结果发现，它在大部分实际问题中成立。3.4.1圣维南原理圣维南原理应用的注意要点有两个：（1）两个力系必须是按照刚体力学原则的“等效”力系；（2）替换所在的表面必须小，并且替换导致在小表面附近失去精确解。圣维南原理在实用上和理论上都有重要意义。在解决具体问题时，如果只关心远离荷载处的应力，就可视计算或实验的方便，改变荷载的分布情况，不过须保持它们的合力和合力矩等于原先给定的值。3.4.2变分原理变分原理是物理学的一条基本原理，以变分法来表达。把一个力学问题(或其他学科的问题)用变分法化为求泛函极值(或驻值)的问题，就称为该物理问题(或其他学科的问题)的变分原理。如果建立了一个新的变分原理，它解除了原有的某问题变分原理的某些约束条件，就称为该问题的广义变分原理；如果解除了所有的约束条件，就称为无条件广义变分原理，或称为完全的广义变分原理。1964年，钱伟长教授明确提出了引进拉格朗日乘子把有约束条件的变分原理化为较少(或没有)约束条件的变分原理的方法。虚功原理、最小势能原理、最小余能原理都是根据变分原理推导而来。3.4.2变分原理1.虚功原理（1）位移和虚位移虚位移：是假设的、位移约束条件允许的、任意的、无限小的位移，但它并未实际发生，只是说明会有产生位移的可能性。（2）虚功和虚变形能3.4.2变分原理2.最小势能原理3.4.2变分原理3.最小余能原理3.4.2变分原理3.4.2变分原理3.5弹性问题的解析求解3.5.1解析求解思路1.位移法一从位移解题（1）从几何方程（应变-位移）和本构方程（应力-应变）中消去应变，这样便从12个方程中去掉了6个方程，得到表示应力-位移关系的6个新方程。将这6个新方程代人平衡方程，得到的就是用位移表示的平衡方程。（2）解位移形式的平衡方程，可求得位移分量u，v和w。这当中由于进行了积分运算，会出现坐标的任意函数。这些任意函数可用由位移表示的边界条件确定。因此，必须把边界条件式也用位移表示。（3）当需要求应变时，可对位移的函数式求偏导数，即：由几何方程求出应变。（4）当还需要求应力时，可将求出的应变式代入到本构方程，即得应力表达式。3.5.1解析求解思路2.应力法—从应力解题（1）取平衡方程。由于这里只有3个式子不足以决定6个应力分量，于是考虑把协调条件配上求解。（2）借助本构方程，把协调条件用应力表示，与平衡方程一起共得9个方程，把这9个方程一并考虑，得到一组确定应力的综合方程。积分这些方程时，会有坐标的任意函数出现，它们可以由力边界条件确定。（3）将所得应力式代人本构方程，可求得应变分量表达式。这一步只是代数运算。（4）为了求得位移的表达式，应将所得的应变式代入几何方程，从中积分求出位移来。这时又会有坐标的任意函数出现，这些函数可以由约束条件确定。3.5.2解析求解算例例3-3如图3-