江西赣州市安远县2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题【含答案】

2025—2026学年度上学期期末训练

八年级数学

（试卷满分：120分，考试时间：120分钟）

一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确的

选项

I.对称的形式被公认为是和谐、美丽且真实的，在图案设计中被广泛运用.以下手机应用

的标志（Logo）是轴对称图形的是（）

2.己知二角形的三功长分别为3cm、7cm、xcm,若工为整数.则满足条件的T的值有（)

A.4个B.5个C.6个D.7个

3.下列运算正确的是（）

A./=a'B.(a2)3=a5

C.（D.八/二/

4.如图，若△力8cg△。石尸，点B、E、C、”在同一直线上，8c=8,CF=3,则反?的

长是（）.

A.2B.2.5C.5D.4.5

5.为了践行“绿水青山就是金山银山”的理念，某地计划将30公顷的荒山进行绿化，实际绿

化时，工作效率是原计划的1.5倍，进而比原计划提前3天完成绿化任务，设原来平均每天

绿化荒山x公顷，则可列方程为（）

V♦------------—u.----1------——

3030330303

6.如图，将图1中的阴影部分拼成图2,根据两个图形中阴影部分的关系，可以验证下列

哪个计算公式（）

试卷第1页，共6页

图1图2

A.a1-b1=^a+b)(^a-h)B.(a+b^=a2+2ab+b2

C.(a-b)~=a2-2ab+b2D.(«+/>)'=(a-b)~+^ab

二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)

7.若分式义在实数范用内有意义，则x的取值范围是.

x-2-------

8.已知。"'=6,/=3,则/+"=.

9.极薄规格的锡箔纸厚度可达0.000025亳米,通常用干高灵敏度电子元件,数据0.()00025

用科学记数法表示为.

12.如图，在△力8c中，AB=\2,N8=30。，2是边BC上的动点，连接

AP.当“AP是等腰三角形时，ZAPC=度.

三、(本大题共5小题，每小题6分，共30分)

试卷第2页，共6页

13.(1)计算：(-1)2025-|11+(兀—3.14)°；

（2）因式分解：x2y-4xy+4y.

14.如图，在中，点。是8c的中点，E是力8选上一点，过点。作。尸〃力8交EO

的延长线于点厂.求证：BE=CF.

15.先化简，再求值：（x-l『-（x+2）（x-2）+3（x-l）,其中x=-2.

16.已知正方形/4CQ如图所示，〃、N在直线8。上，且M4=NC.

（1）在图1中仅用无刻度的直尺画出一个等腰三角形OMN.

AD

MBCN

图1

（2）在图2中仅用无刻度的直尺画出线段MN的垂直平分线.

AD

MBCN

图2

23

17.解方程：--——-=0；

x-3x-2

四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）

18.如图，△至。三个顶点的坐标分别为4（1」）潭（4,2）,C（3,4）.

试卷第3页，共6页

(i)请画出WBC关于7轴对称的△44G；

(2)若△48C与△4区。2关于X轴对称，点的坐标为；

(3)在x轴上有一点尸，能变△48的周长最小，请画图标出点尸的位置，并直接写出点尸的

坐标.

，2x—1、v

19.先化简：---Ik，再从0«x«2范围内选取一个合适的整数作为x的值

IX-1)X~-2x4-1

代入求值.

20.某学校在某商场购买甲、乙两种不同的足球，购买甲种足球共花费2000元，购买乙种

足球共花费1400元，购买甲种足球的数量是购买乙种足球数量的2倍.且购买一个乙种足

球比购买一个甲种足球多花20元.

(1)求购买一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元；

(2)为了进一步满足体育课器材的需求，该学校决定再次购买甲、乙两种足球共50个.如果

此次购买甲、乙两种足球的单价不变，总费用不超过2850元，那么这所学校最多可购买多

少个乙种足球？

五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分)

21.阅读下列材料，并完成相应的任务：

杨辉三角

我国著名数学家华罗庚曾在给青少年撰写的“数学是我国人民所擅长的学科”一文中谈到，

我国古代数学的许多创新与发展都曾居世界前列，他说：“实际上我们祖国伟大人民在人

试卷第4页，共6页

类史上，有过无比睿智的成就.”其中“杨辉三角”就是一例.

在我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》（1261年）一书中，给出

了二项式（a+b）”的展开式（按。的次数由大到小的顺序排列）及其系数规律.

如图所示

(a+b)°=l1

(a+Z?)1=a+b11

(a+bf=冉2曲+力？121

(a-rb^=3a加+/1331

1(▲)(▲)(▲)1

任务：（1）通过观察，图中的（▲）中可填入的数字依次为

（2）请直接写出他+〃『的展开式：伍+/＞）4=

（3）根据（2）中的规律，求IV*的值,写出计算过程.

22.如图1,△XBC是边长为9c，〃的等边三角形，点尸，。分别从顶点/,8同时出发，沿

线段BC运动,且它们的速度都为1厘米/秒.当点尸到达点8时，P、。两点停止运

动.设点。的运动时间为，（秒）.

图1图2

（1）当运动时间为，秒时，4。的长为------厘米，4尸的长为-------厘米.（用含，的式子表

示）

（2）当,为何值时，是直角三角形；

（3）如图2,连接力。、CP,相交于点则点P,。在运动的过程中，NCMQ会变化吗？

若变化，则说明理由；若不变，请直接写出它的度数.

六、（本大题共1小题，共12分）

23.【课本再现】如图是人教版八年级上册数学教材第50页的部分内容.

我们知道，角的平分线上的点:到角的两边的距离相等.到角的两边的距离相等的点是否在角

的平分线上呢？利用二角形全等，可以得到：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分筏

试卷第5页，共6页

【定理证明】

(1)请根据教材中的分析，结合图1,写出角平分线的判定定理“角的内部到角两边距离相

等的点在角的平分线上''完整的证明过程.

已知：点户在OC上，PDVOA,PEtOB,垂足分别为。、E,且-----.

求证：OC是的平分线.

请根据上述已知和求证，写出证明过程.

【定理应用】

(2)如图2,N8=/C=90。，E是〃。的中点，4E平分N8/1D.求证：是“力。C的平

分线.

【拓展提升】

(3)如图3.ZUBC中.点。在8c功上,BE平分/ABC,OE平分/4OC.若4B=6.

AD=3,CD=5,S^CD=\6,请求出的面积.(提示：过点£作/也的垂线)

图2图3

试卷第6页，共6页

1.A

【分析】本题考杳轴对称图形的定义，掌握轴对称图形的概念是解决的关健.在平面内，如

果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形.

【详解】解：A、是轴对称图形，故符合题意；

B、不是轴对称图形，故不符合题意：

C、不是轴对称图形，故不符合题意；

D、不是轴对称图形，故不符合题意；

故选：A.

2.B

【分析】本题考查三角形三边关系的应用.利用“三角形任意两边之和大于第三边，任意两

边之差小于第三边”确定x的取值范围，再找出范围内的整数即可得出答案.

【详解】解：二•三角形的三边长分别为3cm、7cm、xcm,

7-3<x<7+3,即4<10,

■:x为整数，

・•・X的值为5、6、7、8、9,共5个.

故选B

3.A

【分析】本题主要考查的是同底数幕的乘法，幕的乘方运算，积的乘方运算，同底数零的除

法运算，根据运算法则一一判断即可.

【详解】解：A,Q2.Q3=Q5,原选项正确，故本选项符合题意；

B.(a2)3=a6,原计算错误，故本选项不符合题意；

C.(a2W3=a6^,原计算错误，故本选项不符合题意：

D.不+/=/,原计算错误，故本选项不符合题意；

故选：B.

4.C

【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、线段的和差等知识点.根据全等三角形的性质

可得痔=3C=8,然后根据CE=M—计算即可.

【详解】解：•：4ABC44DEF,

：.EF=BC=8,

•:Ck=3,

答案第1页，共13页

:.CE=EF—CF=8—3=5.

故选：C.

5.A

【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，找到等量关系列出方程是解题的关键.

设原来平均每天绿化荒山x公顷，则实际绿化时，平均每天绿化荒山1.5%公顷，根据题意列

出分式方程即可求解.

【详解】解：设原来平均每天绿化荒山工公顷，则实际绿化时，平均每天绿化荒山L5x公顷,

根据题意得，—-^-=3,

XI.JX

故选：A.

6.C

【分析】本题考查平方差公式的几何解释，数形结合，分情况表示阴影部分面积是解决问题

的关键.

分别表示出图1阴影部分面积S阴影=（a-b）2,再表示图2阴影部分面积，由两个图的阴影

部分面积相等即可得到答案.

【详解】解：由图1可知，S阴影=（。一6）2；

如图所示:

s阴影=s人正方形—长方形-s竖长方形+s中间小正方形

=a2—ab-ab+b2

=a~-2ab+b~»

由两个图的阴影部分面积相等可得，（。-6『=。2一2"+〃，

故选：C.

7.工。2

【分析】本题考查了分式有意义的条件.根据分式有意义的条件是分母不等于0,故分母

X-2H0,求解即可.

答案第2页，共13页

3

【详解】解：•••分式一式在实数范围内有意义，

x-2

，x—2工0,

解得：Xd

故答案为：XH2.

8.18

【分析】直接运用同底数制的乘法逆运算求解即可.

【详解】解:・・・/=6,，=3,

amt"=am*an=6x3=18.

故答案为：18.

【点睛】此题主要考查了同底数幕的乘法，熟练掌握同底数幕的乘法运算法则是解答此题的

关键.

9.2.5x10-5

【分析】本题考查科学记数法表示绝对值小于1的数.科学记数法的表示形式为。xlO"的形

式，其中14同＜10,〃为整数.确定〃的值时，要看把原数变成。时，小数点移动了多

少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相同.

【详解】解：数据0.000025用科学记数法表示为2.5x10-5,

故答案为：2.5x107.

1().65

【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角的性质.根据平行线的性质可得

//80=105。，进而根据三角形的外角的性质，即可求解.

【详解】解：-DC//EG,N/收=105。，

："ABD=/AFE=105°,

又：乙ABD=ZJ+ZC,

=ZABD-ZC=105°-40°=65°,

故答案为：65.

11.3

【分析】本题考查的是应用三角形的中线求三角形面积，熟练掌握三角形的中线将三角形的

面积分为相等的两部分是关键.根据力。是△/8C的中线可先求得的值，再根据OE是

答案第3页，共13页

△ABD的中线即可求得S»BDE的值.

【详解】解：•.,力。是△48C的中线，SAABC=12,

S4ABD=QSM8C=6,

•;DE是&ABD的中线，

••S^BDE=QS4*BD=3.

故答案为：3.

12.60或105或150

【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和以及三角形的外角性质：分

BP=PA,8P=84和三种情况讨论，根据等腰三角形的性质进行运算解题即小

【详解】解：当尸力时，NPAB=NB=30。

则/力PC=/PAB+ZB=30°+30°=60°：

、》,,1800-Z51800-30°

当4P=84时ri，NzAPnBD=——-——=——-——=75°,

22

则ZAPC=180°-/APB=180°-75°=105°；

当“尸二48时，NAPB=/B=3G°,

则N%PC=180-力尸8=180。-30°=150。；

故答案为：60或105或150

13.(1)一3；(2)y(x-l)2

【分析】本题考查有理数为运算及因式分解.

(1)利用有理数的乘方法则，零指数曷，负整数指数录计算即可；

(2)提公因式后利用完全平方公式求解即可.

【详解】解：(1)(一11”-(；)'+(兀-3.14)°

=-1-3+1

=-3:

(2)x2y-4xy+4y

=y(x2-4x+4)

=y(x-2)2.

答案第4页，共13页

14.见详解

【分析】此题考杳平行线的性质，全等三角形的判定与性质，掌握相关知识是解决问题的关

键.由。/〃/2，得NBED=NF,而N8QE=/COE,BD=CD,即可证明"DEa

CDF,则=

【详解】证明：.••点。是8c的中点，

BD=CD,

vCF〃AB交ED的延长线于点F,

:.乙BED=Z.F,

在和△CO厂中，

4BDE=ZCDF

<ABED=NF,

BD=CD

ABDE^ACDF,

:.BE=CF.

15.x+2,0

【分析】此题考查了整式的混合运算和代数式的求值，熟练掌握乘法公式是解题的关键.利

用完全平方公式、平方差公式、去括号法则展开，再合并同类项得到化简结果，再把字母的

值代入计算即可.

【详解】解：(X-1)2-(X4-2)(X-2)+3(A-1)

=X2-2X+1-(X2-4)+3X-3

=X2-2X+1-X2+4+3X-3

=x+2

当x=-2时，原式=-2+2=0

16.⑴见解析

(2)见解析

【分析】(1)连接力。和80,相交于点O,连接。必、ON即可；

(2)连接4N,DM,交于巴连接力C,BD,交于凡作直线M即可.

【详解】(1)解：如图：AOW为所求；

答案第5页，共13页

AD

(2)如图：直线E/为所求;

【点睛】本题考杳了作与一复杂作图：更杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般

是结合了几何图形的性质和基本作图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质,

结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图,逐步操作.解决本题的关键是掌握等

腰三角形的判定和垂直平分线的判定.

17.x=5

【分析】本题考查解分式方程，利用解分式方程的步骤解方程即可；

23

【详解】解：：-——=0

x-3x-2

原方程去分母，得2(x-2)-3(x-3)=0,

去括号得：2x-4-3x+9=0,

移项，合并同类项得：-x=-5,

系数化为1得：x=5,

经检验，x=5是原方程的解；

18.(1)见解析

⑵0T)

⑶(2,0)

【分析】本题主要考查了坐标与图形变化一轴对称，轴对称最短路径问题:

(1)关于y轴对称的点纵坐标相同，横坐标互为相反数，据此可得4、8、C对应点4、8、G

的坐标,描出4、4、c,,再顺次连接4、4、q即可;

(2)关于X轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此可得答案:

答案第6页，共13页

(3)连接48交X轴于P,点尸即为所求，再结合图形写出点尸坐标即可.

【详解】(1)解：如图所示，△44G即为所求;

(2)解：•••△4与G与ZU5C关于〉轴对称,C(3,4),

.•<(-3,4),

•••LABC与△44G关于x轴对称，

二点G的坐标为(3,-4)；

(3)解：如图所示，连接交x轴于尸，点。即为所求:

，P(2,0).

答案第7页，共13页

19.x-l：x=2时，原式=1

【分析1本题考查的是分式的化简求值，--元一次不等式组的整数解，熟知以上知识是解题

的关键.先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的》的值代入进行计算即

可.

—“■A”（2x-\八x

［详解］解：---p--_z

I3-1）X*-2x+l

_2x-l-x+l

x-\x

X（入-1）-

x-\

=x-\,

•••X为0WxW2的整数，

x—0,1,2,

x=0,x-100,

二.x工0,I,

二.当x=2时，原式=2-1=1.

20.(1)购买一个甲种足球需50元，购买一个乙种足球需70元

(2)这所学校最多可购买17个乙种足球

【分析】】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用.

(1)设购买一个甲种足球需x元，则购买一个乙种足球需(x+20)元，根据购买甲种足球共

花费2000元，购买乙种足球共花费1400元，购买甲种足球的数量是购买乙种足球数量的2

倍，列出分式方程，解分式方程即可：

(2)设学校购买乙种足球”个，则购买甲种足球(50-勿)个，根据此次购买甲、乙两种足

球的单价不变，总费用不超过2850元，结合(1)的结论，列出一元一次不等式，解不等式

即可.

【详解】(1)解：设购买一个甲种足球需x元，则购买一个乙种足球需(x+20)元.

2000C1400

根据题意，得”?=2---------

x+20

解得x=50,

经检验，x=50是原方程的解,

答案第8页，共13页

则x+20=50+20=70,

答：购买一个甲种足球需50元，购买一个乙种足球需70元；

(2)解：设学校购买乙种足球机个，则购买甲种足球(50-〃?)个，

根据题意，得50(50)+70〃?K2850,

解得〃?£17.5,

••・〃?为正整数，

••・〃？的最大值为17.

答：这所学校最多可购买17个乙种足球.

21.(1)4,6,4；(2)a2+4ayb+6a2b2+4ab3+b\(3)14641.

【分析】(1)根据“杨辉三角”的规律写出各项系数即可；

(2)根据“杨辉三角”的规律即可得答案；

(3)把IL变形为(10+1>,根据“杨辉三角”的规律计算即可得答案.

【详解】(1)•.・“杨辉三角''的特征为两条斜边都是数字1组成，其余的数是等于它“肩''上的

两数之和，

.•.(▲)中可填入的数字依次为4,6,4,

故答案为：4,6,4

(2)由(1)可知m+加4的展开式中各项系数为1、4、6、4s1,

•••(a+b)4=a2+4a3b+6a2lr+4ab3+b3，

故答案为：a2+4crb+6(rh2+4ahy+by

(3)ll4=(10+l)4

=104+4X103+6X102+4>10+1

=10000+4000+600+40+1

=14641

【点睛】本题考查数字的变化规律，正确得出“杨辉三角”的规律是解题关键.

22.(1“，(9-/)

⑵当/为3或6时，&PBQ为直角三角形

(3)NCM。不会变化，/CMQ=60。

【分析】本题主要考查了等边二角形的性质，含30度角的直角二角形的性质，全等二角形

答案第9页，共13页

的性质与判定：

⑴根据点P、。的速度都为1厘米/秒.得到8。=/厘米，=/厘米，则

8P=4尸=(9一"厘米；

(2)分当/。。8=90。时和当N8尸。=90。时，两种情况讨论求解即可;

(3)只需要证明△/出0^A。尸得到/84。=乙4CP,则

Z.CMQ=乙4cp十Z.CAM=Z6/1Q十々CAM=ZBAC=60",即乙CMQ不会变化.

【详解】(1)解：.••点尸、。的速度都为1厘米/秒.

.••5。=1厘米,4P=1厘米,

BP=48_4P=(9—f)厘米，

故答案为：乙(9一)；

(2)解：由题意得：厘米，BP=ABAP=(9/)厘米,

①如图1,当NP08=9()c时，

。是等边三角形，

Z5=60°,

N8PQ=30°,

/.PB=2BQ,得9T=2f,

解得，/=3,

②如图2,当乙9"。二90。时,

♦.♦N8=60。，