高中数学一轮复习：空间几何中的平行和垂直

专题9.3空间几何中的平行和垂直

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■必背知识

1.线面平行的判定定理和性质定理

文字语言图形语言符号语言

如果平面外一条直线与此平面内

的一条直线平行，那么该直线与-----a

判定定理LJbUa

此平面平行

即：“线线平行n线面平行”

一条直线与一个平面平行，如果

1

过该直线的平面与此平面相交，

性质定理aUB

那么该育线与交线平行kb/an/?=J

即：“线面平行n线线平行”

2.面面平行的判定定理和性质定理

文字语言图形语言符号语言

如果一个平面内的两条相交直线a〃a一^//B

〃〃a

与另一个平面平行，那么这两个

判定定理

平面平行口aUR

即：”线面平行"面面平行”bUB

如果两个平行平面同时和第三个a//P

aCl7=a

性质定理平面相交，那么它们的交线平行7>=>a//b

pr\y=b\

即：“面面平行"线线平行”

3.直线与平面垂直

⑴定义：一般地，如果直线］与平面a内的任意•条直线都垂直，我们就说直线1与平面a互相垂直，记作

11a.直线，叫做平面a的垂线，平面a叫做直线［的垂面.直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足.

⑵直线与平面垂直的判定定理和性质定理：

文字语言图形语言符号语言

如果一条直线与一个平面内的两a,

1

条相交直线都垂直，那么该直线aC\b=()

判定定理k/_LQ

与此平面垂直4D-Q、j/ILa

即：“线线垂直今线面垂直”

垂直于同一个平面的两条直线平ab

性质定理行耳:'aba〃b

即：“线面垂直二线线平行”7

4.平面与平面垂直

⑴二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.以二面角的棱上任一点为端点，在两

个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角，二面角的大小可以用

它的平面角度量.二面角的范围是［0。，180。］.

若两个平面相交，所成的二面角是直二面角，就说这两个平面相互垂直.

⑵平面与平面垂直的判定定理和性质定理

文字语言图形语言符号语言

如果一个平面过另一个平面的垂

/时一

判定定理线，那么这两个平面垂直ht_L£

即：“线面垂直=>面面垂直”£

两个平面垂直，如果一个平面内

a_L£

有一直线垂直于这两个平面的交

/up

性质定理线，那么这条直线与另一个平面A_7

aPl2=a

垂直

4£7l_La.

即：“面面垂直"线面垂直”

【重要结论】

1.与平行有关的结论

⑴两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面.

⑵夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等.

⑶经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.

⑷两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例.

⑸司一条直线与两个平行平面所成角相等.

⑹如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行.

⑺垂直于同一条直线的两个平面平行

⑻如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的两条直线，那么这两个平面互相平行.

2.与垂直有关的结论

⑴若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线.

⑵若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.

⑶垂直于同一条直线的两个平面平行.

⑷一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直.

⑸两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面.

3.三垂线定理

在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.

4.三种平行关系的转化

判定

।I

线线平行二^线面平行二^面面平行

f性质性质|

性质

5.三种垂直关系的转化

划文>1*I

线线垂直七W线面垂直一面面垂直

）教材改编

1.【人教A版必修二习题8.5第3题P143】一正方体木块如图所示，点P在平面内，经过点P

和棱8。将木料锯开，锯开的面必须平整，共有N种锯法，则％为（）

A.0B.1C.2D.无数

2.【人教A版必修二习题8.6第15题P164］（多选）如图，正方形SG】G2G3的边长为1,E,尸分别是

GG，G2G3的中点，SG2交EF于D,现沿SE,S"及把这个正方形折成一个四面体，使仇，G2,G3三点重

合，重合后的点记为G,则在四面体S-GEF中必有（）

A.SG1平面EFG

B.设线段S尸的中点为H,则D"〃平面SGE

C.四面体S-GEF的体积为白

.L4

D.四面体S-GEr的外接球的表面积为,Jr

考点归

考点一线面平行的判定与性质

【方法储备】

1.判断或证明线面平行的常用方法：

⑴利用线面平行的定义：证明直线与平面无公共点；

⑵利用线面平行的判定定理：a。a,b(-a,a\\ha\\a-

补充：“找”线线平行的方法：

①空间直线平行关系的传递性法；②三角形中位线法：③平行四边形法；④线段成比例法：⑤利用直线与

平面平行的性质定理寻找线线平行.

⑶利用面面平行的定义：a||/?,Qua=Q||"；

注意：线面平行的判定定理必须具备三个条件：

⑴直线a在平面a外，即aCa：

⑵直线匕在平面a内，即bua；

⑶两直线a,b平行，即“〃〃，这三个条件缺一不可.

2.线面平行性质定理的应用

证明线线平行，常常将线面平行转化为该线与过该线的一个平直和已知平面的交线平行.关键是确定交线的

位置，有时需要经过已知直线作辅助平面确定交线.

【典例精讲】

例1.(2025•江苏省南京市联考)如图，。为圆锥的顶点，。是圆锥底面的圆心，AC,8。为圆锥底面的两

条直径，M为母线尸。上一点，连接M4MO,MC.

(1)若M为PD的中点，证明：PB〃平面MAC；

(2)若P8〃平面MAC,证明：M为PD的中点.

例2.（2025•广西壮族自治区•模拟题）如图，在长方体ABC。4%GDi中，E为CQ的中点.

（1）求证：4G〃平面8DE；

（2）当点F在棱的中点时，求证：平面AGF〃平面80E.

【拓展提升】

练1-1（2025•广西自治区模拟）如图，点4,B,C,M,N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图

练1-2（2025•河南省♦联考题）

如留，在四棱锥P-48。。中，241平面48C0,底面48C0为直角梯形，AB1AD,BC//AD,M为P4的中

点，N为PC的中点，E为P。的中点，PA=AB=BC=^AD=3.

BC

⑴求证：AE〃平面BMN；

(2)求三棱锥0-8MN的体积.

考点二面面平行的判定与性质

【方法储备】

1.判断或证明面面平行的常用方法：

⑴面面平行的定义：即证两个平面没有公共点；

⑵面面平行的判定定理：Q||a,bIInb=P,au6，bu夕=aII伙

注意；利用面面平行的判定定理证明两平面平行，需要说明是在一个平面内的两条直线是相交直线.

⑶利用垂直于同一条直线的两个平面平行；

⑷利用平行的传递性：如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行.

2.面面平行性质定理的应用

⑴两平面平行，分别构造与之相交的第三个平面，交线平行：

⑵两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行.

【典例精讲】

例3.(2025•四川省期末考试)如图，在正方体/WCO中，S是当5的中点，分别是

B&DC,SC的中点，求证：

(1)EG〃平面BDO/i；

(2)平面EFG〃平面80。1当.

例4.（2025•黑龙江省哈尔滨市模拟）已知两条不同的直线2,m及三个不同的平面a,0,y,下列条件中

能推出a〃夕的是（）

A.，与a,0所成角相等B.aly,61y

C.Z1a»m1p,l//mD./ua,mup,l//m

【拓展提升】

练2-1（2025•安徽省模拟）（多选）已知m,n是两条不同的直线，a,0,y是三个不同的平面.下列说法

中正确的是（）

A.若m〃a,map,aC\p=n,则m〃九

B.若m〃n,m//a,ffln//a

C.若ac6=n,a1y,1y,则几1y

D.若m1a,7nl氏a//y,贝］0//y

练2-2（2025♦吉林市期末考试）如图，在三棱柱中，M为4cl的中点，N为侧面BCG当上的

一点，且MN〃平面4BG，若点N的轨迹长度为2,则（）

A.4cl=4B.BC]=4C.ABr=6D.BXC=6

考点三线面垂直的判定与性质

【方法储备】

1.证明线面垂直的常用方法：

⑴线面垂直的判定定理：a,b（zatar\b=O,lA.atllb=>lLa；

⑵垂直于平面的传递性:a\\b,ala=>bLa,或a||/?,a1a=>a1/?；

⑶药面垂直的性质定理：aid,Zu/?,an6=Q/J.Q=>，la.

补充：“找”线线垂直的方法：

①要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的

内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形（或给出线段长度，经计算满足勾股定

理1、直角梯形等等；

②通过线面垂直的定义得到线线垂直.

【典例精讲】

例5.（2025•云南省昆明市联考）如图，在四棱锥P-ABC。中，PA_L底面48C0,ABLAD,ACLCD,

/.ABC=60\PA=AB=BC,E是PC的中点.

求证：(1)C01)£;

(2)PDJL平面/BE.

例6.（2025•河北省期中）如图所示，在三棱锥P—中，P/lJ.3CRP/1=8C=1,PB=AC=

PC-C，则下列命题不正确的是（）

A.平面2481平面PBCB.平面P48_L平面48。

C.平面PACL平面PBCD.平面PACL平面48C

【拓展提升】

练3-1（2025・山东省东营市模拟）在正方体力8。一48£必中，点M,N分别是楂CD1和线段8cl上的动

点，则满足与DD1垂直的直线MM）

A.有且仅有1条B.有且仅有2条C.有且仅有3条D.有无数条

练3-2（2025•江苏省南通市•期末考试）如图，正三棱柱ABC-4tBic1中，AB=2,AA1=3,D是BC中点,

E是棱eg上一点.

A6

（1）求证：4D1平面BCGBi；

（2）若平面B]E41平面ADE,求CE的长.

考点四面面垂直的判定与性质

【方法储备】

1.证明面面垂直的常用方法：

⑴面面垂直的定义：两个平面二面角为90。；

⑵面面垂直的判定定理：2uJ.a—aJ./?；

在已知两个平面垂直时，一般要用性质定理进行转化.在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然

后进一步转化为线线垂直.

2.面面垂直性质定理的应用

⑴两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”.

⑵两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面.

【典例精讲】

例7.（2025•广东省佛山市联考）已知直线m、n,平面a、/?,给出下列命题：

①若m_La,nip,且m_Ln,则a_L/?；②若m〃a,n//p,且m〃九，贝Ua〃/?

③若m1a,n//pf且m1n,则a10；④若m1a,九〃0，且则a1/?

其中正确的命题是（）

A.@@B.①③C.①④D.③④

例8.（2025•安徽省•期末考试）如图，在四棱锥P-ABCD中,。（？1平面588,AB//DC,DCLAC.

（1）求证；DC，平面PAC；

（2）求证：平面2481平面24C；

【拓展提升】

练4-1（2025•河南省・期末考试）如羽，在四棱锥中，恻面是边长为2的等边三角形，点A,B,

C,。在同一个圆的圆周上，.目/BCD=90。，BC-2CD-xT5.平面ZMB_L平面PAD.

(1)求证：平面P481平面力BCD;

(2)求三棱锥尸一的体积；

(3)求二面角A-PB-C的正弦值.

练4-2(2025•重庆市模拟)(多选)在三棱锥P—4BC中，已知P41底面48C,_LBC,E,F分别是线段

PB,PC上的动点，则下列说法正确的是()

A.当AE1PB时，AE1PC

B.当力F_LPC时，△力£厂一定为直角三角形

C.当EF〃8C时，平面AEF1平面PA8

D.当PC_L平面AEP时，平面与平面PAS不可能垂直

考点五平行、垂直的综合应用

【方法储备】

1.证明折叠问题中的平行与垂直

关健是分清折叠前后图形的位置即数量关系的变与不变.一般地，折叠前位于“折痕”同侧的点、线间

的位置和数量关系折叠后不变，而折叠前位于“折痕”两侧的点、线间的位置关系折叠后会发生化.对

于不变的关系可在平面图形中处理，而对于变化的关系则要在立体图形中解决.与折痕垂直的线段，翻折

前后垂直关系不变；与折痕平行的线段，翻折前后平行关系不变.

2.与探索性问题有关的解题策略

⑴求条件探索性问题的主要途径：①先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；②先通过命题成立的

必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性.

⑵涉及点的位置探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索点存在问题，点多为中点

或三等分点中某一个，也可以根据相似知识建点.

【典例精讲】

例9.(2025•陕西省西安市联考)一个四面体木块如图所示，点。在平面24。内，且为的重心.

(1)过点。将木块据•开，使截面平行于直线48与PC,在木块表面应该怎样划线，并说明理由；

(2)在棱8C上是否存在点D,使得直线。0〃平面P4B?若存在，求出瞿的值；若不存在，说明理由.

例10.(2025•江苏省南通市期中)如图1,在矩形4BCD中，A3=2,BC=1,E是CD的中点，将△DAE

沿4E折起至△PRE的位置，使得平面/ME1平面力8CE,如图2：

(1)证明：平面P4E1平面PBE；

(2)若M为CE的中点，求直线BM与平面/MM所成角的正弦值.

【拓展提升】

练5-1(2025・湖北省孝感市期末)如图①，在矩形ABCD中，AB=2AD=46，«为。。的中点，如图②,

将A4ED沿力E折起，点M在线段CD上.

(1)若DM=2MC,求证40〃平面

(2)若平面1平面BCE4是否存在点M,使得平面。EB与平面MEB垂直•若存在，求此时三棱锥8-DEM

的体枳，若不存在，说明理由.

练5-2（2025・安徽省合肥市模拟）如图，在四棱锥P-A8CD中，平面PAC1平面4BCD,且P41AC,PA=

AD=2.四边形47C0满足8c〃力。，力B1AD,AB=BC=l.E为侧棱PB的中点，F为侧棱PC上的任意一点.

⑴若F为PC的中点，求证：面EFP1平面R48；

（2）求证：平面平面

（3）是否存在点F,使得直线力尸与平面PCO垂直？若存在，写出证明过程并求出线段PF的长；若不存在，请

说明理由.

新题放送

1.12025•江苏省苏州市•月考试卷）如图，四棱柱力8。。一为a6。1中，四边形48co为平行四边形，E,广分

别在线段DDi上，且将二赢•二：,G在CCi上且平面4EF〃平面BDiG,则*'=（）

2.（2025•辽宁省沈阳市•期末考试）如图，在棱长为a的正方体力3。。一为8传1。1中，P,Q分别是被。劣，AB

的中点.

(1)若平面PQC与直线4公交于R点，求煞的值；

1A

(2)若M为棱CC［上一点且CM=/lCCi，若BM〃平面PQC,求/I的值.

3/2025•山东省•期中考试)

《九章算术》中有这样一段话：“斜解立方，得两堑堵,斜解堑堵、其一为阳马，一为鳌瞒”，这里所谓

的“阳马”，就是底面是矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，四棱锥P-H8C。为阳马，P41底面

ABCDtAB=PA=AD=1,E,尸分别为48,PC的中点.

(1)证明：EF//平面PAD；

(2)证明：平面PCD；

(3)求直线3尸与平面486所成角的大小.

【答案解析】

1.1人教A版必修二习题8.5第3题(1)P143]

解:在平面4B'C'D'上，过点P作"〃B'C',则E/7/BC,

所以沿E/，8c所确定的平面锯开即可，

由于此平面唯一确定，所以只有一种方法.

故选B.

2.【人教A版必修二习题8.6第15题P164]

解：(1)^SG«LFG,SG±EG,EGAFG=G,

'.SG故A正确；

(2)由题意易知。是的中点，

•••”是SF的中点，••.DH〃SE,

•:SEu平面SGE,DHc平面SGE,

；•DH〃平面SGE,故8正确；

(3)vEG1FG,EG=FG=

c1111

二S^GEF=2X2X2=8，

又SG，平面GEF,SG=1,

11

-X-X

38五,故C错误;

(4)vSG,EG,FG两两垂直，且EG=FG=，SG=1,

••・三棱锥S-GEF的外接球可看作棱长分别为：，a1的长方体的外接球，

故外接球的直径2r=/；+；+1=江.•"=邙，

、4424

•••外接球的表面积为：4仃2=呼，故。正确.

故选ABD.

例1.解：证明：(1)若M为PD的中点，由8D为圆锥底面的直径，有。为8。的中点

则在△P8D中有M0〃P8,

又M。u平面MAC,PBC平面MHC,

则有P8〃平面M4C.

(2)若PB〃平面MAC,由P8u平面P80,平面P80CI平面M/1C=MO,

可得PB〃MO,

所以在APS。中，咨=器，

又。为8。的中点，则有OM=MP,

则M为户。的中点.

例2.解：解：（1）证明：设ACnBZ）=。，连接。£AC,

•••0、E为别为4C、CQ的中点，

.\OE

又ACC平面8DE,OEu平面BDE,

..\（\平面8DE.

（2）证明：•••点尸为棱中点，£1为CG的中点，

.•.0/"'；£且。F=CXE=^CCV

GE为平行四边形，

1.FG/DE,

乂「平面8DE,OEu平面BDE,

/G平面80E,

又八G〃平面BDE,且FCi。，FG，AGu平面4C］凡

•••平面""平面BDE.

练1-1.解：对于4作出完整的截面A8CD,。为平面力8c与正方体的另一交点，

由正方体的性质可得MN〃8。，MN不在平面力BC内，可得MN〃平面ABC,能满足；

对于B,因为MN〃AB,MN不在平面ABC内,ABu平面ABC，可知MN〃平面4BC,能满足;

对于C,取AC的中点E,连接8E,易知MN//BE,可证MN〃平面A8C,能满足；

对于。，作出完整的截面，可得MN在平面48c内，不能得出平行，不能满足.

故选：D.

练1-2.解：（1）证明：在四棱锥P-ABCZ）中，连接ME、CE、AC,

p

\E

BC

由M、E分别为24、PD的中点，

得ME//4。，ME-\AD,

^BC//AD,BC=^AD,

则.1〃一BC.MEBC,即四边形BCEM是平行四边形,

于是CE〃BM,又('E《平面8MN,8Mu平面8MN,

则(7平面BMN,

由M、N分别为PA、PC的中点,得“V

而.1(•,平面BMN,MNu平面8MN,

因比.1(平面BMN,

又('/CE、ACa^ACE,

则平面平面BMN,

又,4Eu平面ACE,所以.』/平面BMN；

(2)令.Mm)-0,由"I",

得EMOD-aCOB,贝喘=言=/

由(1)知,4c〃平面BMN,

则%-BMN=匕-BNM=VN-ABM'

由N为PC的中点，得点N到平面718M的距离为点C到平面力8M距离的右

j3

则=2^C~ABM，所以%-BMN=3V°_BMN=2>

山PAJJK面/BCD,面/BCD,得ZMJLBC,

由BC//4D,ABLAD,得8C1AB,

而48nPA=448,PAu平面PA8,

因比BC1平面248,即BC为三棱锥C-ABM的高,

则，C-A8M=团ABM,^=lX|X3x|x3=p

FKIM1.3.r3!J27

所以I。“L\.Lm4,,J、•

例3.解：（1）

如国，连接SB,•••E,G分别是BC,SC的中点，••.EG〃SB.

又；SBu平面BDDiBi,EG仁平面BDDiBi,.••直线EG//平面BDD$i.

(2)连接SD,・・・F,G分别是DC,SC的中点,

FG//SD.又•.•SDu平面BDD]Ei,FGC平面BDDR,

FG//平面BDDiB],由(1)知,EG//平面8叫反,

且EGu平面EFG,FGu平面EFG,EGCFG=G,

••・平面EFG〃平面BDD1B1.

例4.解：对于4正方体4BCD—aBiGDi中，设边长为Q,连接力当，

则4G4%为ACX与平面48丛4所成角，

由勾股定理得到AB1=Ua,4G=>/~3a,故sin^GAB]=消^=?>

同理可得AC.和ADD.A.所成角的正弦值为二,

故4cl与平面和力0。遇1所成角大小相等,

但平面力BB]4与平面zW。4]不平行，故人错误;

8选项，平面ABCD平面ABBXAX,平面ABCD_L平面ADD^,

但平面与平面AODMi不平行，故8错误；

对于C,由，_La,〃/沆得m_La,又m_L/?,所以a〃夕，故C正确；

对于D,2与m可同时平行于a与0的交线，故。错误.

故选：C.

练2T.解：对于力：若根〃0,mu0,ar\p=n,则m〃几，根据线面平行的性质定理可知是正确的，故

A正确：

对于3：若m〃几，77i〃a,则九〃1或九ua,故8错误；

在平面y内取点P,由P向平面a,y的交线做垂线，垂足为N,则PN_La,nca,故PN_Ln,

同理由P向平面0,y的交线做垂线，垂足为M,则PM_Ln,又PM、PN是平面y内两条相交直线，

由线面垂直的判定定理可得-_Ly,故C正确；

对于D：根据线面垂直的性质定理“垂直于同一条直线的两个平面平行”可得a〃仇又力",即可得勿力,

故。正确.

故选：ACD.

练2-2.解：如图，

AB

o

G

取81cl的中点0,SB1的中点M连接MD,DE,ME,

可知MD/fA^f/AB,DE//BCi,

又MOU平面ABg,ABu平面ABCX,

所以MO〃平面4BG,

同理可得DE//平面4BG，

又MDCDE=D,MD,DEu平面MDE

所以平面MDE//平面ABCX,

又MN〃平面ABCX,

故点N的轨迹为线段OE,

又0E=^8Ci=2,可得8G=4.

故选:B.

例5.证明：⑴•・•P41底面ABC。,CDu面48CD,・・•PALCD,

>LAC1CD,PAOAC=A,PA,jCu平面P/C,

故CO1平面24C,

又4Eu平面PAC,CD1AEx

(2)由题意：ABLAD,AB1PA,AD,PAu平面PA。，ADC\PA=A,

/IB_L平面P40,P0u平面PRO,从而4B_LP。，

又MB=BC,且448C=60°,

AC=AB,从而AC=PA.

又E为PC中点，•••/IEJ.PC,

由［1)知：AELCD,PCfyCD=C,PC,CDu平面PCD,

•••1平面PCO,又P/)u平面PCO,则AE1P。，

ABAAE=A,AB,AEu平面A8E,

故PD1平面ABE.

例6.解：由P4=BC=1,PB=AC=>T1，PC=S，

HPP/42+/4C2=PC2,可得ZMJL.4C,又R4JLBC,

ACHBC=C,AC,BCu平面ABC,所以P41平面ABC,

PHu平面PA8,所以平面P48JL平面ABC,故B正确；

/Mu平面PHC,所以平面/MC1平面ABC,故。正确；

由巴4_L平面ABC,可得P4JL/W,而P/l=1,PB=C，所以48=L

XSC=1,4C=。，^^AB2+BC2=AC2,即48IBC,

由PAJ?产面A8C,可得P4J.8C,ABnPA=A,AB,PAu平面PAB

则5cl平面P4B,又BCu平面PBC,所以平面PBC1平面P/B,故A正确；

若平面24cl平面P8C,过人作AHJLPC,垂足为H,平面PBCC平面PAC=PC,可得4H，平面PBC,

则4HJ.8C,又BCA.PA,PAHAH=A,PA,AHc平面PAH,所以8C_L平面P4C,则与8。J,48

矛盾，故C错误.

故选C.

练3-1.解：过点N作NE1BC,垂足为E,连接0E,

当M,N高度一样，即MD=NE时，一定有DDi1MN,理由如下:

在正方体力BCD-中，NE//CC\〃MD,

所以四边形MDEN为平行四边形，

所以MN//DE,

因为DD11平面ABCD，且OEu平面ABCD,

所以0。11DE,即DDi1MN.

所以当M,N高度一样，即M。二NE时，一定有DDi工MN,

此时满足条件的直线MN有无数条.

故选：D.

G

练3-2.解:(1)正三棱柱力BC-力道iCi中,BB1lmABC,又ADu面ABC,

:.BB11AD,

•••△48C为等边三角形，。是8c的中点，

•••AD1BC,

又BB'CBC=B,u平面BCG%

：AD1平面8CC$i；

(2)在正三棱柱4凤;一必4。1中，取B©中点。i，连结ODi则04DB,。为两两垂直，以｛万?，而，西｝为

正交基底建立如图所示的空间直角坐标系。-xyz,

AB=2,AAt=3,

D(0,0,0),4(「,0,0),81(0,1,3)，设E(0,—

.•.瓦5=(厅0,0),DE=(0,-1,/i),福=(一口1,3),瓦T=(0,-2,h-3),

设平面AOE的法向量为沆=。1，%,zD，

.(DA.沅=0即=0

,

"lDFm=0l-yi+hzr=0/

令Z]=1,则沆=(0,h,1)；

设平面丛£4的法向量为元=(x2,y2^2)，

•五=0,g.jf-Af3x2+y2+3z2=0

-n=02)^2+(八一3)Z=0'

@2

令句=2,则元—,h—3,2)；

若平面々E4，平面则访1n,

••・沆•元=0,即八(/1-3)+2=0,即九2一3九+2=0,

解得九=1或h=2,

ACE=1或CE=2.

例7.解：对于①，显然a与?不平行，否则根据面面平行和线面垂直的性质定理易得m〃/，与已知矛盾,

设aC/?=Z,设平面y_LhydI=0,yC\a=a,yC\p=

在丫内取一点P，作PAd.a,垂足为A,作PBd.b,垂足为B,

则由面面垂直的性质定理可得P4la,PB1/7,又：若7711%nl£,.且mln,1PB,

在平面四边形/MOB中有三个角为直角，J.OB,根据二面角的定义可得平面al夕，故①正确；

对于②，若血〃。，几〃。，且m/"i，a,。可以相交，故②错误；

对于③，若m_La,n//p,且mJ.n,a和。不一定垂直，甚至可以平行，故③错误；

对于④,•・・n〃氏.•.过九作平面y,使之与£相交与直线I,则？1〃!,

X'->m//n,vm1a»：.n1a,乂•：IuR,：.a1R,故④正确.

故选C.

例8.证明：(1)因为PC1平面;4BCD,DCu平面ABCD,则DCJ.PC,

又DC14C,PCQAC=C,PC、ACu平面PAC,

所以OCJ_平面PAC：

(2)因为48〃DC,DCLAC,所以/IB_L4C,

XPCL^-^ABCD,ABu平面力BCO,则_LPC,

PCdAC=C,PC.4Cu平面P/C,

所以1平面PAC,

因为ABu平面P/W,

所以平面P4B1平面P4C.

练4-1.解：(1)证明：取尸4的中点M,连接8M,如图(1),

因为△/MB为等边三角形，

所以BM1PA,

又平面2481平面/540,同平面/\48仆平面/?4/)=41,BMu平面PAB,

所以BM1平面P4D,

又4Du平面24。，

所以BM1AD,

因为点A,B,C,C在同一个圆的圆周上，zBCD=90。,

所以4BAD=90°,

即BA140,又力8nBM=B,AB,3Mu平面R48,

故AZXL平面P/8,

又40u平面4BC0,故平面P4BJ■平面48c0;

(2)在RtABCC中，BD=VBC2+CD2=

在Rt△BDA中，AD=VBD2-AB2=

又由(1)知4。_L平面PAB,

故？三核锥P-ABD=V三楂锥D-PAB=拉的TD="?X4X|=3

故三棱锥P—480的体积为学；

(3)如图(2),设P8的中点为点N,连接4N,则4NJ.P8,

过点C作直线CH〃4。交A8于点H,

由［1)可知，40JL平面/MB,

所以CHJ_平面048,

过点H作HG〃AN交PB于点G,连接CG,

则，G1PB,N//GC即为二面角A-PB-C的平面角,

在底面ABC。中，过点C作CE1/W交4D的延长线于点E,如图(3),

则西边形力HCE是矩形，

图（2）图（3）

m2+n2=7

不妨设DE=m,CE=n,m,n>0,则有<7,

（2+m）?+（2-n）2=5

解得W=2（负值舍去），

ln=1

所以“为48的中点，HC=2,

于是在Rt^HGC中，HC=2，HG=*AN==，所以GC=7HC?+HG2=中,

则、：“.〃（7「=柒=唁，

OOJLz

故二面角力-PB-C的正弦值为察.

19

练4一2.解：对力选项，R41底面48C,且BCu平面48C,•••PA1BC,

-AB1BC,PAQAB=At且P4,H8u平面PA8,8C1平面P48,

•••AEu平面PA8,:.BC1.AE,-AE1PB,BCC\PB=B,

且BC,P8u平面BCP,.••力E_1_平面58,

•••PCu平面8CP,二4EJ.PC,故A正确；

对8选项，当4F_LPC时，无法得出一定为直角三角形，例如E点取点8八/189不是直角三角形,

若乙力/8=90°,］）^BF1AF,乂：AF1PC,

BFCPC=F,BF,PCu平面BCP,则4尸1平面8CP,

•••8Cu平面BCP,则力尸1BC,而P711BC,AFQPA=A,

AF,PAu平面ACP,则8CJ■平面ACP,•••?!（：（=平面ACP,则BC14C,

显然不成立，故此时乙4F8工90°;

若乙8力r=90°,则4FJL48,■：AP1AB,AFC\AP=A,4F,/1Pu平面4CP,

.•./18_1平面力。。，・.・力。（=平面力。「，:.ABLAC,显然不成立，故此时48人“H90°;

若4力B尸=90°,则BF1/L4,而CB1B4B居C8u平面BCP,

BFCCB=B,所以841平面BCP,•••BPu平面8CP,

BA1BP,显然不成立，故乙4BFO90。，故B错误；

对C选项，由A选项证得BC1平面P48,•••£/〃BC,.••£?！平面PA8,

•••u平面AEF,•••平面力EF1平面248,故C正确；

对D选项，在平面P4?内，过点P作力E的垂线，垂足为G,

假设平面力EFJ•平面PA8,•••平面力EFn平面户为8=4£,PGA.AE,

且PGu平面P4B,•••PGJL平面4EF,而若此时PC,平面力EG

这与过半血外一点作半血的垂线芍且只有一条矛盾，

故当PC1平面力E尸时，平面力EF与平面P4B不可能垂直，故。正确.

故选ACQ.

例9.解：（1）如图，在平面PAC内过点0作直线MN〃PC交P力于M,交AC于N,

在平面P4B内过点M作直线M/〃AB交PB于点/,

在平面/8C内过点N作NQ〃力B交BC于Q,

连接/Q,则MN、NQ、Q/,/M为截面与木块各表面的交线，

证明：•••M///4B,NQ//AB,

M/〃NQ,

•♦.M、N、Q、/四点共面，

•••ABC平面MNQ/,NQu平面MNQ/,

••・皿/平面时照，

同理可证PC〃平面MNQ/,

p

M

B

(2)如图，连接CO交PA于点E,连接BE,若BC上存在点。满足。。〃平面PA8,

由于0D”平面PAB,平面BCEn平面PAB=BE，ODu平面BCE,

故。。//组喘专,

由于。为△「相的重心，所以睁2,从而需=2,

所以在棱8C上存在点。，使得直线。。〃平面P48,且怒=；.

例10.解：(1)证明：在矩形A8CD中，AB=2,BC=1,E是CD的中点，

AE=y/~2^BE=6,^VXAE2+BE2=AB2,所以BflAE，

在折叠后的图形中，也有8EJ.4E,

因为平面PRE_L平面平面产｛EC平面48CE=AE,

BEu平面ABCE,RBELAE,所以BE1平面P4E,

因为BEu平面PBE,

所以平面PBE1平面PAE.

(2)解:取AE的中点0,AB的中点F,连接PO,0F,

因为P4=PE,所以P0J.4。，因为OF//BE,BE1AE,所以。41.。/，

因为BE_L平面P4E,所以8EJ.P。，所以。尸_LP。，所以P。，。力，OF两两垂直,

建立如图所示的空间直角坐标系0-xyz：

则4(1,0,0)，8(一?,。,0)，C(—C,?,0).E(一?,0,0)，P(0,0,?)，M(一亨,1,())，

则笳=（干,_?,0）.而=（亨,_?,?）

设平面PAM的法向量为五=（x,yz）,

'5\T2C

由解:”得—x~-y=Qn

—x-—y+—z=0

令x=l,得记=(1,5,1),

设直线3M与平面41M所成的角为仇因为两=（—¥，-学,01,

、44

忻丽I二一苧一空、

所以sin。=8F

।训两厂J1+25+1]1+盘45

即直线与平面PAM所成角的正弦值为中.

练5T.解：（1）证明：连结4C,交EB于G,在矩形力BCD中，E为DC中点,

•••A8〃EC,KAB=2EC,:.AG=2GC,：.AG=2GC,

又DM=2MC,•••AD//MG,/.AD“MG,又MGu平面MEB,ADU平面M/?8,

(2)在矩形A8CD中，DE=DA=^AB,AZ.DEA=^BEC=45°,AZ.AEB=90°,即AE1EB，

又平面力EOn平面8CE4=AE,；.BE，平面4ED,二BE1DE,

取,4E中点0,KIJDO1AE,

•・•$F面/4ED1■平面BCE/,邛:面AEOn'P面BCE4=5E,•••D。L平面BCE4,

由［1)知当DM=2MC时，AD//MG,♦:ADIDE,：.MG工DE,

而BECMG=G,.••DE1平面ME8,又DEu平面DEB,.•.平面DEB1平面ME8.

即当0M=2MC时，平面0E8与平面ME8垂直.

依题意有DE=AD=2\T2,AE=4,DO=2,AE=4,DO=2,

VB-DEM=1^B-DEC=|^D-BEC=1X|XX^&BEC=|X|X2xix(2\/~^)2

练5-2.解：⑴••・〃、户分别为侧棱P8、PC的中点,

EF//BC.

vBC//AD,AEF//AD.

•••面PAC1*F面4BCD,且PAJLAC,l^iPACQ^ABCD=AC,PAu面PAC,

APA1平面力BCD,结合力。u平面A8CD,得P41AD.

y.：ABLAD,PAdAB=A,PA,A8u平面PAB,

••.RD_L平面PAB,AEFL^^PAB.

vEFu平面E",

•••平面EFPJ■平面P/18.

(2)•.•平面4BCDL平面产力C,

平面ABC。n平面PAC=AC,月.P41AC,P4u平面PAC.