完全平方公式的运用课件2025-2026学年北师大版数学七年级下册

北师大版数学7年级下册第一章整式的乘除1.3.4完全平方公式的运用2.掌握完全平方公式，能正确运用公式进行简单

计算和推理.3.了解完全平方公式的几何背景，发展几何直观

,培养数形结合思想.2026年3月8日星期日11时42分20秒1.会利用多项式乘多项式的运算法则推导完全平学习目标方公式.前面我们学习了完全平方公式：(a+b)²=a²+2ab+b²(a-b)²=a²-2ab+b²口诀：首平方，尾平方，首尾乘积的2倍放中间。复习导入(1)102²;解：原式=(100+2)²=100²—2×100×2+2²=10000+400+4=10404.(2)197².解：原式=(200—3)²=200²—2×200×3+3²40000

—1200+9=38809.思考

怎样计算102²,197²更简便呢?

探究点：完全平方公式的运用2026年3月8日星期日11时42分21秒探究点：完全平方公式的运用例

1运用乘法公式计算：(1)x+2y-3x-2y+3);平方差公式

a

<

同号

异号

整体解：原式=[x+(2y-3)][x-(2y-3)]=x²-(2y-3)²=x²-(4y²-12y+9)=x²-4y²+12y-9.方法总结：用平方差公式进行计算，需要分组.分组方

法是“符号相同的为一组，符号相反的为另一组”.(2)(a+b+c)²

.

→

都同号

完全平方公式

解：原式=[(a+b)+c]²=(a+b)²+2(a+b)c+c²=a²+2ab+b²+2ac+2bc+c²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac.方法总结：要把其中两项看成一个整体，再按照完全平方公式进行计算.

探究点：完全平方公式的运用2026年3月8日星期日11时42分21秒探究点：完全平方公式的运用例2

计算：(1)(x+3)²-x²;解：原式=

x²+6x+9-x²还有其他的

方法吗?=6x+9或原式=;(x+3+x)(x+3-x)=(2x+3)×3=6x+9;2026年3月8日星期日11时42分21秒=a²+2ab+b²-9;(3)(x+5)²-(x-2)(x-3).解

：(

3

)

原

式

=x²+10x+25-(x²-5x+6)=x²+10x+25-x²+5x-6=15x+19.2026年3月8日星期日11时42分22秒探究点：完全平方公式的运用(2)(a+b+3)(a+b-3);解

：

(2

)

原式

=[(a+b)+3][(a+b)-3]=(a+b)²-3²探究点：完全平方公式的运用【练一练1.

化简：

(x—2y)(x²—4y²)(x+2y).解：原式=(x—2y)(x+2y)(x²—4y²)=(x²—4y²)²=x⁴—8x²y²+16y⁴.方法总结：先运用平方差公式，再运用完全平方公式.2026年3月8日星期日11时42分22秒

探究点：完全平方公式的运用2.

已知a+b=7,ab=10,

求

a²+b²,(a—b)²的值.解：因为a+b=7,所以(a+b)²=49.所以

a²+b²=(a+b)²—2ab=49-2×10=29,(a—b)²=a²+b²—2ab=29-2×10=9.2026年3月8日星期日11时42分22秒探究点：完全平方公式的运用【观察

·

思考】观察下图，你认为(m+n)×(m+n)

点阵中的点数

与

m×m

点阵、n×n

点阵中的点数之和一样多吗?请

用所学的公式解释自己的结论。(m+n)²—m²—n²=m²+2mn+n²所以(m+n)×(m+n)

点阵中的点数比

m×m

点阵、n×n点阵中的点数之和多2mn●●1×12×2

3×3●●●●探究点：完全平方公式的运用【练一练】3.有这样一道题，计算：2(x+y)(x—y)+[(x+y)²—xy]+[(x-y)²+xy]的值，其中x=2006,y=2007;某同学把“y=2007”

错抄

“y=2070”但他的计算结果是正确的，请回答这是

怎么回事?试说明理由.解：原式=2x²—2y²+(x²+y²+2xy—xy)十(x²+y²—2xy+xy)=2x²-2y²+x²+y²+xy+x²+y²—xy=2x²—2y²+2x²+2y²=4x²

.答案与y

无关.

2026年3月8日星期日11时4综合运算实际应用：运用完全平方公式进行推理计算数的平方：根据数的

特点，将其变形为(a+b)²

或(a-b)²再进行计算课堂小结完全平

方公式简便计算随堂练习1.

已知α²+β²=1,

(a+β)²=2,则aβ

的值为(A)A.

B.

2

C

.1

D.

2.

已知a—b=3,ab=2,

则a²+b²

的值为(

A)A.

1

3B.7C

.

5

D.

11随堂练习3.计算1016²-2032×1018+1018²等于[提示：完全平方公式的逆用](

B

)A.2B

.4C.6D.84.运用完全平方公式计算：(1)10.1²=(

1

0

十

0.1)²=102.01;(2198²=(

200

一

2)²=

392045.如图，某广场有一块边长为(a+b)

的正方形草坪，现计划在草坪中挖一个边长为(a—b)

的正方形

水池，则剩余草坪的面积为

4

aba+b随堂练习随堂练习6.计算：(1)501²;解：原式=(500+1)²=500²+2×500×1+1²

=250000+1000+1=251001.(2)(x一y+4)(x+y+4).解：原式=[(x+4)一y][(x+4)+y]=(x+4)²-y²

=x²+8x+16—y²

.1.

用简便方法计算9.52,下列变形正确的是(

A)A.9.5²=10²-2×10×0.5+0.52B.9.5²=(10+0.5)(10-0.5)C.9.5²=92+0.52D.9.5²=92+9×0.5+0.522026年3月8日星期日11时435

人2.如图①是由4个相同的白色长方形和1个灰色的正方形拼接而成的正方形瓷砖，图②是由5个白色的长方形(每个长方形大小和图①相同)和1个灰色的不规则图形构成

的长方形瓷砖.已知图①和图②中灰色图形的面积分b别为35和102,则每个白色长方形的面积为

8

·8月8日星期日11时42426积①,所以ab=8,

所以每个白色长方形的面积为8.2026年3月8日星期日11时42326【点拨】由题图①可得(a+b)²-4ab=35,

即a²+b²=2ab+35①,

由题图②可得(2a+b)(a+2b)-5ab=102,即a²+b²=51②,

由①②得2ab+35=51

中考考法3.利用简便方法计算：(1)499.92;【解】499.9²=(500-0.1)²=500²-2×500×0.1+0.1²=250000-100+0.01=249900.01.2026年3月8日星期日11时42326积(2(3)2026²-4050×2026+20252;【解】2026²-4050×2026+2025²=2026²-2×2025×2026+2025²=(2026-2025)²=1²=1.2026年3月8日星期日11时42326

中考考法4.先化简，再求值：(2x-3y)²-(2x+y)(2x-y),其

中x=

-当

,y=1时，10

=12.【解】原式=4x²-12xy+9y²-4x²+y²=-12xy+10y²,2026年3月8日星期日11时423265.

计算：(1)(3x-1)²-(2x+5)²;【解】(3x-1)²-(2x+5)²=9x²-6x+1-(4x²+20x+25)=9x²-6x+1-4x²-20x-25=5x²-26x-24.(2)(m+n)²(m-n)²;(m+n)