初中数学八年级下册《图形的平移》教案 -3

初中数学八年级下册《图形的平移》教案

一、课标要求与教材分析

本节课内容隶属于《义务教育数学课程标准（2022年版）》中“图形与几何”领域“图形的变化”主题。课标明确要求，通过具体实例认识平移，探索平移的基本性质；理解对应点连线平行（或在同一条直线上）且相等的性质；能按要求画出简单平面图形平移后的图形；运用平移进行图案设计，认识并欣赏平移在自然界和现实生活中的应用；从平移的角度欣赏现实生活中的图案，并运用平移进行简单的图案设计。

在本套北师大版教材体系中，平移是继轴对称之后学习的第二种全等变换，是“图形的变化”这一核心主线上的关键环节。它不仅是探索图形性质、研究几何问题的重要工具（如后续学习平行四边形、函数图象平移等奠定基础），更是培养学生几何直观、空间观念、推理能力和模型思想的重要载体。教材通过丰富的实例，引导学生从生活现象抽象出数学本质，经历观察、操作、归纳、概括、应用的过程，实现从感性认识到理性认识的飞跃。

本节内容的核心在于“对应”思想与“运动变化”观念的建立。学生需要理解，平移是一种保持图形形状、大小不变的刚体运动，其本质特征是图形上每一点都沿同一方向移动了相同的距离。这种运动观的建立，对学生从静态几何转向动态几何分析具有里程碑式的意义。

二、学情分析

认知基础：八年级学生已经学习了平面直角坐标系、全等三角形、轴对称等知识，具备了一定的图形认知、逻辑推理和抽象概括能力。他们对生活中的平移现象（如电梯运行、推拉门窗）有丰富的感性经验，但往往停留在现象层面，未能从数学本质进行概括。

认知特点：该年龄段的学生思维正处于从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的关键期，喜欢动手操作，乐于探究，但空间想象能力和严谨的归纳演绎能力尚在发展中。他们可能存在的认知障碍在于：难以脱离具体图形抽象出平移的普遍性质；对“对应点”概念的理解不到位；在复杂图形中识别平移关系或进行平移作图时容易遗漏关键点。

教学应对策略：教学中将充分利用信息技术（如动态几何软件）将运动过程可视化，降低空间想象的难度。设计层层递进的操作与探究活动，让学生在“做数学”中建构概念、发现性质。强调“对应点”这一核心概念，并以此为线索贯穿整个探究过程。

三、学习目标

1.知识与技能：

1.2.结合具体实例，认识平移现象，理解平移的基本内涵，能举出生活实例。

2.3.通过观察、测量、分析等数学活动，探索并理解平移的基本性质：一个图形和它经过平移所得的图形中，对应点所连的线段平行（或在同一条直线上）且相等；对应线段平行（或在同一条直线上）且相等，对应角相等。

3.4.能依据平移的性质，在方格纸或平面直角坐标系中，按要求画出简单平面图形平移后的图形。

4.5.能运用平移进行简单的图案设计与欣赏，体会平移的应用价值。

6.过程与方法：

1.7.经历观察、操作、实验、归纳等探索平移性质的过程，发展抽象概括能力和几何直观。

2.8.学会用运动变化的观点分析问题，初步掌握研究图形变换的一般方法（从特殊到一般，从具体到抽象）。

3.9.在解决问题中，体会转化、对应等数学思想方法。

10.情感、态度与价值观：

1.11.通过欣赏和创造平移图案，感受数学之美，激发学习兴趣。

2.12.在探究活动中，培养合作交流意识和严谨求实的科学态度。

3.13.体会数学与生活的紧密联系，认识到数学来源于生活又服务于生活。

四、教学重点与难点

1.教学重点：平移的基本性质及其探索过程；在方格纸或坐标系中进行简单的平移作图。

2.教学难点：平移性质的探索与归纳；在复杂背景或无网格支持下，理解和进行图形的平移。

五、教学准备

1.教师准备：交互式电子白板课件、动态几何软件（如几何画板、GGB）、预设的平移动画视频、导学案、实物模型（如可移动的三角形纸板）。

2.学生准备：三角板、直尺、量角器、方格纸、坐标纸、剪刀、两个全等的三角形纸片。

3.环境准备：具备小组合作条件的教室布局。

六、教学过程

第一课时：感知平移，探索性质

环节一：创设情境，引入概念（预计用时：8分钟）

1.情境激趣：

播放一组动态视频：商场电梯上人的移动、传送带上货物的移动、推拉窗的滑行、缆车的运行。提出问题：“这些运动有什么共同特点？”

引导学生用语言描述：物体沿着某个方向移动了一段距离，运动过程中物体的形状、大小没有改变，位置发生了改变。

2.抽象建模：

将上述生活场景中的物体抽象为几何图形。在白板上演示：一个三角形沿着一条直线从一个位置移动到另一个位置。

追问：“图形的这种运动，在数学上我们称之为什么？”引出课题——平移。

学生尝试用自己的语言描述“什么是平移”。教师引导并板书规范定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。平移不改变图形的形状和大小。

3.概念辨析：

出示辨析题：判断下列现象是否属于平移，并说明理由。

1.4.钟摆的摆动。

2.5.汽车在弯道上行驶。

3.6.国旗随着升旗手拉绳子的动作冉冉升起。

4.7.抽屉的拉出与推进。

通过辨析，强化学生对平移概念的理解，明确平移的两个要素：方向和距离。同时指出，方向也可以由一条有向线段（向量）来表示。

环节二：动手操作，探究性质（预计用时：22分钟）

1.初步感知与问题提出：

活动1：每个学生用剪刀在方格纸上剪下一个自己喜欢的简单图形（如三角形、四边形），将其放在方格纸上的任意位置，记为图形F。然后按照自己规定的方向和距离（在方格纸上可数格子）进行平移，得到图形F‘。

思考：图形F与平移后的图形F‘有什么关系？（形状、大小完全相同，即全等）

追问：这种全等关系，具体体现在哪些元素上？如何更精确地描述平移前后图形各部分的关系？由此引出“对应点”、“对应线段”、“对应角”的概念。

2.深入探究对应点关系：

活动2：在活动1的基础上，学生用笔在图形F上标记三个关键点A、B、C，并找出它们在图形F‘上的对应点A‘、B‘、C‘。

任务：

1.3.连接AA‘、BB‘、CC‘，观察并测量这些线段，它们有怎样的数量和位置关系？（使用直尺、三角板、量角器）

2.4.分组讨论，将发现记录下来。

学生分组汇报，可能得到：AA‘//BB‘//CC‘，AA‘=BB‘=CC‘。也可能发现这些点在同一直线上的情况。

教师利用几何画板进行动态验证：任意改变平移的方向和距离，或改变原图形的位置和形状，软件自动测量并显示对应点连线的长度和角度关系，验证学生发现的普遍性。

5.归纳平移性质：

引导学生将发现的关于对应点的关系，用准确、简洁的数学语言进行表述。教师板书平移性质1：

性质1：一个图形和它经过平移所得的图形中，对应点所连的线段平行（或在同一条直线上）且相等。

解释“或在同一条直线上”的含义（即平移方向与原图形中某些点所在的直线共线时）。

启发：由对应点的这种关系，我们可以进一步推导出对应线段、对应角的关系吗？

学生推理：因为对应点移动的距离和方向相同，所以对应线段也应是平行且相等的，对应角由于图形全等而相等。

教师利用几何画板演示验证，并板书完整性质：

性质2：一个图形和它经过平移所得的图形中，对应线段平行（或在同一条直线上）且相等，对应角相等。

6.形成概念网络：

强调平移的两个核心要素（方向、距离）与性质之间的关系。平移的方向和距离，正是由任意一对对应点的连线所决定的。因此，平移的方向和距离，也称为平移向量。这为后续在坐标系中用坐标表示平移埋下伏笔。

环节三：初步应用，巩固理解（预计用时：10分钟）

1.基础应用：

如图，三角形ABC经过平移后成为三角形DEF。

（1）点A的对应点是____，点B的对应点是____。

（2）线段AB的对应线段是____，∠B的对应角是____。

（3）若AD=5cm，则BE=____，CF=____。

（4）图中平行且相等的线段有哪些？（至少写出三对）

2.性质辨析：

判断下列说法是否正确，并说明理由。

1.3.平移前后图形的对应角相等，对应线段也相等。（）

2.4.平移改变图形的位置，也改变图形的形状。（）

3.5.经过平移，图形上任意一点移动的距离都相等。（）

4.6.若线段AB平移后得到线段A‘B‘，则AB//A‘B‘永远成立。（）

环节四：课堂小结与展望（预计用时：5分钟）

引导学生回顾本节课的探索历程：生活现象→数学抽象→操作探究→归纳性质→初步应用。

提问：今天我们学到了平移的哪些知识？研究平移性质的基本思路是什么？

学生总结后，教师提炼：平移的定义、要素、性质；研究图形变换，可以从具体的操作和观察出发，关注“对应”元素的关系，从特殊到一般进行归纳。

布置课后思考：平移性质在画平移后的图形时有什么用处？如何准确地画出一个图形平移后的图形？

第二课时：平移作图与应用

环节一：温故引新，明确目标（预计用时：5分钟）

1.知识回顾：通过快速问答方式，复习平移的定义、要素和性质。

2.问题导入：上节课我们知道了平移的性质，那么如何运用这些性质，精准地画出一个已知图形平移后的图形呢？这就是本节课我们要解决的核心问题。

环节二：技能形成，掌握画法（预计用时：20分钟）

1.方格纸中的平移作图：

例1：如图，在方格纸中，将三角形ABC向右平移4格，再向上平移3格，画出平移后的三角形A‘B‘C‘。

学生先尝试独立完成。教师巡视，收集典型画法（正确的和错误的）。

请学生代表分享画法。可能有两种主流方法：

1.2.方法一（顶点确定法）：分别作出三角形的三个顶点A、B、C平移后的对应点A‘、B‘、C‘，然后顺次连接这三点。

2.3.方法二（关键点确定法）：选取图形中的关键点（对于复杂图形），作出这些点平移后的对应点，再根据原图形形状连接各点。

引导学生对比两种方法，并思考：哪种方法更普适、更可靠？为什么？

达成共识：基于平移性质1，只要确定了图形上一组关键点（对三角形而言是三个顶点）平移后的位置，整个图形的位置就唯一确定了。因此，“找关键点的对应点”是平移作图的核心步骤。

教师规范作图步骤与语言表述。

4.无网格支持下的平移作图：

挑战性问题：如果没有方格纸，只有一把直尺和三角板，已知平移的方向和距离（由有向线段PQ表示），如何画出三角形ABC平移后的图形？

小组讨论：如何利用尺规作图，实现“沿PQ方向移动PQ长度”这一操作？

师生共同探究，形成作图方法：

1.5.过点A作PQ的平行线。

2.6.在所作射线上截取AA‘=PQ。

3.7.点A‘即为点A的对应点。同理可作B‘、C‘。

这一过程，将“平移”这一运动操作，转化为了“作平行线”和“截取等长线段”的静态尺规作图问题，深刻体现了平移性质1的应用和数学的转化思想。教师在白板上规范演示。

8.变式与巩固练习：

练习1：四边形ABCD经过平移，顶点A移到了点E处。请画出平移后的四边形。

练习2：将小船图案先向左平移5格，再向下平移2格。

环节三：综合应用，拓展提升（预计用时：12分钟）

1.平移与图案设计：

展示由基本图形（如一朵小花、一片树叶）经过多次平移后形成的美丽地毯图案、壁纸图案。

活动：我是小小设计师。

任务：在方格纸上设计一个基本图案，然后通过若干次平移，创作一幅有规律的装饰图案。

学生创作后，进行展示与交流。引导学生从数学角度（平移的方向和距离）描述自己的设计，欣赏他人作品中的平移之美。

2.平移解决简单几何问题：

例2：如图，在一块长为a米，宽为b米的长方形草地上，有一条弯曲的小路（小路的任何地方水平宽度都是1米）。求草地的实际面积。

引导学生思考：弯曲的小路导致图形不规则，面积不易直接求。能否通过图形的变换，将问题简化？

启发：想象将小路“左侧”的草地向右平移1米。通过动态几何软件演示平移过程，学生直观地发现，平移后，两块草地恰好拼成了一个新的长方形，其长为(a-1)米，宽为b米。问题迎刃而解。

此例旨在让学生初步体会平移作为一种工具，在解决几何问题中的巧妙应用，感受数学思想的力量。

环节四：总结升华，布置作业（预计用时：3分钟）

1.总结：师生共同总结平移作图的基本方法（找关键点、作对应点、连线），以及平移在图案设计和解决问题中的应用价值。

2.作业布置（分层设计）：

1.3.基础性作业：教材课后练习题，巩固平移性质与基本作图。

2.4.拓展性作业：

（1）搜集生活中利用平移原理的实例（如建筑、机械等），并尝试用数学语言解释。

（2）在平面直角坐标系中，将点（2，3）向右平移3个单位，再向下平移2个单位，它的坐标变成了什么？猜想点的平移与坐标变化有何规律？（此为下节课的预习任务，建立与函数图象平移的初步联系）

七、板书设计

左侧（主板书区）

右侧（副板书区/学生展示区）

课题：图形的平移

学生探究记录：

一、定义

对应点连线：AA‘，BB‘，CC‘

平面内，沿某方向移动一定距离。

测量发现：AA‘//BB‘//CC‘

（形状、大小不变）

AA‘=BB‘=CC‘

二、要素：方向、距离（平移向量）

学生作图区：

三、性质

（例1、例2的图形与作图痕迹）

1.对应点连线平行(共线)且相等。

辨析题解答要点：

2.对应线段平行(共线)且相等，对应角相等。

四、作图方法（关键点法）

1.找关键点。

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