2023年圆各节知识点及典型例题

园的基本性质

一.圆二.圆的轴对称性三.圆心角四.圆周角五.弧长及扇形的面积六.侧面积及全面积

六大知识点：

1.圆的概念及点与圆的位置关系

2.三角形口勺外接圆

3.垂径定理

4.垂径定理时逆定理及其应用

5.圆心角的概念及其性质

6.圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系

【书本有关知识点】

1.圆的定义：在同一平面内，线段0P绕它固定的一种端点O,另一端点P所通过H勺

叫做圆，定点O叫做，线段OP叫做圆的，以点0为圆心的圆记作，读作圆O。

2.弦和直径：连接圆上任意叫做弦，其中通过圆心的弦叫做，是圆中最长的弦。

3、弧：圆上任意叫做圆弧，简称弧.圆的任意一条直径的两个端点把圆提成的两条弧、每一条

弧都叫做。不不小于半圆的弧叫做，用弧两端的字母上加上就可表达出来.不小于半圆的

弧叫做，用弧两端的字母和中间日勺字母，再加上就可表达出来。

4.等国：半径相等的两个圆叫做等圆；也可以说可以完全重叠的两个圆叫做等圆

5.点与圆口勺三种位置关系：

若点P到圆心01向距离为d.。。的半径为R.则：

点P在。O外：

点P在。O上；

点P在。。内0

6.线段垂直平分线上的点距离相等；到线段两端点距离相等II勺点在上

7、过一点可作个圆。过两点可作个圆，以这两点之间时线段的上任意

一点为圆心即可。

8、过________________________________的三点确定一种圆。

9、通过三角形三个顶点的圆叫做三角形时，外接圆日勺圆心叫做三角形H勺,这个三角形叫做圆

的o三角形的外心是三角形三条边H勺

【经典例题】

【题型一】证明多点共圆

例1.已知矩形ABCD,如图所示，试阐明：矩形ABCD的四个顶点A.B.CD在同一种圆上

AP

BC

【题型二】有关概念说法的正误判断

例1.（甘肃兰州中考数学）有下列四个命题：①直径是弦；②通过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到

三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧。其中对的I的有（）

A.4个B.3个C.3个D.2个

例2.下列说法中，错误的是（）

A.直径是弦B.半圆是弧C.圆内最长的弦是直径D.弧不不小于半圆

例3.下列命题中，对的的是（）

A.三角形的三个顶点在同一种圆上B.过圆心H勺线段叫做圆的直径

C.不小于劣弧H勺弧叫优弧D.圆内任一点到圆上任一点H勺距离都不不小于半径

例4.下列四个命题：①通过任意三点可以作一种圆；②三角形的外心在三角形的内部；③等腰三角形的外心

必在底边的中线上；④菱形一定有外接圆，圆心是对角线的交点。其中真命题的个数（）

A.4个B.3个C.3个D.2个

【题型三】点和圆的位置关系的判断

例1.00的半径为5,圆心O在坐标原点上，点P的坐标为（4,2）,则点P与。O的位置关系是（）

A.点P在。O内B.点P在。O上C.点P在。0外

例2、已知矩形ABCD的边AB=3cm,AD=4cm,若以A点为圆心作。A,使B、C、D三点中至少有一种点在圆

内且至少有一种点在圆外，则。A的半径r的取值范围是

【题型四】“不在同一条直线上的三点确定一种圆”的应用

如“把破圆复原成完整的圆”；如“找一点，使它到三点的距离相等”：措施就是找垂直平分线日勺交点

例1、平面上不共线的四点，可以确定圆的个数为

【题型五】圆中角时求解

如图,AB为00的直径,CD为。0的弦,AB.CD的延长线交于点E,已知AB=2DE,ZE=18°,求NA0CU勺度数

温馨提醒：（1）在同圆或等圆中，直径为半径的12倍；（2）圆中常用半径相等来构造等腰三角形,这些看似十分

简朴的性质和措施，却最轻易被遗忘。

巩固练习

1.如图，一根5m长口勺绳子，一端拴在柱子上,

另一端拴着一只羊（羊只能在草地上活动），请画出羊的活动区域。

6m

2.假如。0所在平面内一点P到。0上日勺点的最大距离为7,最小距离为1,那么此圆的半径为

3、如图，点A、D、G、M在半圆上，四边形ABOC,DEOF、HMNO均为矩形，设BC=a,EF=b,NH=c,则a,b,c

的大小关系是

4.已知OOH勺半径为1,点P与圆心。的距离为d,且方程x2-2x+d=0有实数根，则点P在。0的

5、如图,MN所在的直线垂直平分线段AB.运用这样的工具，至少使用次就可以找到圆形工件的圆心

6.若线段AB=6,则通过A.B两点的圆的半径r日勺取值范围是

7、在Rt^ABC中，ZC=90°,两直角边a、b是方程x2-7x+12=0的两根，则^ABC的外接圆面枳为

8、如图，平面直角坐标系中一第圆弧通过网格点A、B、C,其中B点坐标为(4,4),那么该圆弧所在圆的圆心

坐标为

9、己知网上有3个点，以其中两个点为端点的弧共有条

【书本有关知识点】

1.轴末称图形：假如一种图形沿着某一条直线直线，直线两旁的部分可以，那么这个图形就叫做

轴对称图形，这条直线就是对称轴。

2.圆是轴对称图形，都是它H勺对称轴

3、垂径定理：垂直于弦的直径，并且平分

4.分一条弧成H勺点，叫做这条弧的中点。

5.日勺距离叫做弦心距。

6.垂径定理曰勺逆定理1：平分弦()时直径垂直于弦，并且平分

垂杼定理的J逆定理2:平分弧的J音杼

【经典例题】

【题型一】应用垂径定理计算与证明

例1.如图所示，直径CE垂直于弦AB,CD=1,且AB+CD=CE,求圆的半径。

例2.如图所示，己知线段AB交。O于C.D两点,OA.OB分别交OO于E、F两点，且OA=OB,求证:AC=BD

AB

D

温馨提醒：在垂径定理中，“垂直于弦的直径”可以是直径，可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段。

【题型二】垂径定理的实际应用

例L某居民区内一处圆形下水道破裂，修理人员准备更换一段新管道，如图所示，污水的水面宽为60cm,水面至

管道顶部距离为10cm,问：修理人员应准备内径多大的管道？

温馨提醒：要学会自己多画图，这样有助于书写解题过程。

例2、工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径，假设钢珠的直径是10mm,测得钢珠顶端离零件表面的距离为

8mm,如图所示，则这个小孔的直径AB是

【题型三】垂径定理与逆定理的实际应用

例1.如图，已知M是的中点，过点M的弦MN交AB于点C,设。O的半径为4cm,MN=4cnu

（1）求圆心O到弦MN的距离

（2）求NACM时度数

【题型四】应用垂径定理把弧2等份,4等份等

巩固练习

1.下列说法对时时是（）

A.每一条直径都是圆的对称轴B.圆的对称轴是唯一H勺

C.圆的对称轴一-定通过圆心D.圆的对称轴与对称中心重叠

2.下列命题：①垂直于弦的直径中:分这条弦；②平分弦口勺直径垂直于弦；③垂直且平分弦FI勺直线必然通过圆心。

其中对日勺的有（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

3.如图，00的直径为10cm,弦AB为8cm.P是弦AB上一点，若0P的J长是整数,

则满足条件的点P有（）个

A.2B.3C.4D.5

4.半径为5cmH勺圆内有两条互相平行欢J弦，长度分别为6cm和8cir.,则这两弦之间的距离为cm

5.圆的半径等于2cm,圆内一条弦长2cm,则弦H勺中点与弦所对弧H勺中点的距离等于

6、如图，矩形ABCD与€)0相交于M、N、F、E,假如AM=2,DE=1,EF=8,那么MNB勺长为

第6题第7题第X题给c斯

7、如图,AB是。O的直径,CD是弦。若AB=10cm,CD=6cm,那么A.B两点到直线CD的距离之和为

8、如图，半径为5的。P与y轴交于点M(0,-4)、N(0,-10),函数y=(x<0)H勺图象过点P,贝Uk:

9、如图，将半径为2cm日勺圆形纸片折叠后，圆弧恰好通过圆心O,则折痕ABH勺长为

10、如图，已知AB.AC为弦,OM_LAB于点M.ON_LAC于点N,BC=4,则MN二

II、已知圆内接AABC中,AB=AC,圆心O到BC日勺距离为3cm,圆的半径为7cm,求腰ABH勺长

12.如图，已知。。的J半径为10cm，弦AB_LCD,垂足为E,AE=4cm,BE=8cm,求弦CD的J长

13.如图，某菜农在生态园基地搭建了一种横截面为圆弧形的)蔬菜大棚，大棚的跨度(弦AB的I长)为米，大棚

顶点C离地面的高度为2.3米.

⑴求该圆弧形所在圆日勺半径；

⑵若该菜农身高L70米，则他在不弯腰的J状况下，横向活动的I范围有多大？

14.。O11勺半径为2,弦BD=2,人为口勺中点，E为弦AC的中点，且在BD上。求四边形ABCD的

【书本有关知识点】

1.中心对称图形：把一种图形绕着某一点，假如旋转后的图形可以与本来的图形，那

么，这个图形叫做中心对称图形，这个点是它的

2.过中心对称图形的向任意一条直线可以平分其面积。

3.圆的旋转不变性：将圆周绕圆心0旋转，都能与自身重叠，这个性质叫做圆B勺旋转不变性。

4、圆心角：叫做圆心角。

5.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的，所对的（这就是圆心角定理）

6.n°的圆心角所对旧勺弧就是,圆心角和口勺度数相等。

注意：在题目中，若让你求，那么所求的是弧长

7、在同圆或等圆中，假如两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对最相等，那么

都相等。（姑且称之为圆心角定理时逆定理）

注解：在由“弦相等，得出弧相等”或由“弦心距相等，得出弧相等”时，这里的“弧相等”是指对应的劣弧与

劣弧相等，优弧与优弧相等。

【经典例题】

【题型一】与圆心角定理时逆定理的有关说法时对时与否

例L下列说法：①等弦所对的弧相等；②等弧所对的弦相等；③圆心角相等，所对的弦相等；④弦相等，所

对的圆心角相等；⑤在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等。对的的个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【题型二】运用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系证明线段、角度、弧相等

例1.如图.OO的弦AB.CD相交于点P,PO平分NAPD。求证:AB=CD

例2.如图。A与。B是两个等圆，直线CF〃AB,分别交。A于点CD,交。B于点E、F。求证：ZCAD=ZEBF

例3.如图所示,AB.CD是。。的直径,CE〃AB交。O于点E,那么与相等吗？阐明理由。

【题型三】计算弧的度数

例1.如图所示,C是。O的直径AB上一点，过点C作弦DE,使CD=CO,若的度数为40。，求的度数

【题型四】运用用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系处理实际问题

例1.已知张庄、李庄分别位于直径为300米的半圆弧上的三等分点M、N的位置，目前要在河边（直径所在的位

置）修建水泵站，分别向两个村庄供水，求最小需要多少米的水管？（提醒：将半圆补全，将军饮马问题）

巩固练习

1.假如两个圆心角相等，那么（）

A.这两个圆心角所对的弦相等B.这两个圆心角所对的弧相等

C.这两个圆心角所对的弦的弦心距相等D.以上说法都不对

2.下列命题中，对的的是（）

A.相等H勺圆心处所对弦的弦心距相等B.相等U勺圆心角所对的弦相等

C.同圆或等圆中，两弦相等，所对的孤相等D.同圆或等圆中，相等口勺弦所对的弦心距也相等

3、在半径为1的圆中，长为日勺弦所对的圆心角的度数是（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

4.在00中,AD是直径,AB.AC是它的两条弦，且AD平分NBAC,那么：①AB=AC：②=；③=；

④AD1BC.以上结论中对的的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

5.如图所示，在AABC中，NA=70。，。。截AABC的三边所得Fl勺弦长相等，则NB0C等于（）

第颍

7第8题

6.如图，在。0中，=2,则弦AB和弦CD的关系是（）

A.AB>2CDB.AB<2CDC.AB=2CDD.无法确定

7、如图，在条件：®ZCOA-ZAOD-60°；©AC-AD-OA；③点E分别是AO、CD日勺中点；④OA_LCD且

ZACO=60°中，能推出四边形OCAD是菱形口勺条件有个。

8、如图所示，在。O中，弦AB>CD,OMJ_AB,ON_LCD,M、N为垂足，那么OM、ON的关系是（）

A.OM>ONB.OM=ONC.OM<OND.无法确定

9、如图所示，已知AB为。。日勺弦，从圆上任一点引弦CD_LAB,作/OCD/、J平分线交。0于点R持续PA、PB。

求证：PA=PB

10、如图所示,M、N为AB.CD日勺中点，且AB二CD。求证：NAMN=NCNM

A

11.如图，MO_LNO,过MN的中点A作AB〃ON,交于点B,试求的度数

ON

D

【书本有关知识点】

1.顶点在上，且两边的角叫圆周角。

2.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的

3.圆周先定理推论1:半圆(或直径：所对的圆周角是；90°的圆周角所对的弦是

4.拓展一下：圆内接四边形的对角

5、圆周角定理推论2：在同圆或等圆中，所对的圆周角相等；相等W、J圆周角所对H勺也相等

【经典例题】

【题型一】圆周角定理的应用

例LZkABC为。O的内接三角形，ZBOC=100°,求NBAC的度数。

【题型二】圆周角定理推论的应用

例1.如图所示，点A.BCD在圆上,AB=8,BC=6,AC=10,CD=4,求AD时长。

例2.如图所示,ABC三点在OO上,CE是。O的直径,CD_LAB于点D。

(I)求证：ZACD=ZBCE；(2)延长CD交。O于点F,连接AE、BF,求证：AE=BF

【题型三】应用圆周角知识处理实际生活问题

例1.将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上，点A.B的读数分别为86°,30°,则N

ACB的大小为

例2.现需测量一井盖（圆形）的直径,但只有一把角尺（尺的两边互相垂直.一边有刻度,且两边长度都长于

井盖半径）.请配合图形、文字阐明测量方案，写出测量的I环节.（规定写出两种测量方案）

竺空.

解法一：如图（1）,把角尺顶点A放在井盖边缘，记角尺一边与井盖边缘交于点B,另一边交于点C（若角尺

另一边无法到达井盖的边上，把角尺当直尺用，延长另一边与井盖边缘交于点C）,度量BC长即为直径；

解法二：如图（2）,把角尺当直尺用，量出AB的长度，取AB中点C,然后把角尺顶点与C点重叠，有一边与

CB重叠，让另一边与井盖边缘交于D点，延长DC交井盖边于E,度量DE长度即为直径；

巩固练习

第a颈第5题

2.如图，正方形ABCD内接于。0,点P在AB上，则NDPC

3.如图，已知EF是。O的直径，把/A为60°的直角三角板ABCH勺一条直角边BC放在直线EF上，斜边AB

与。。交于点P,点B与点O重叠，将三角板ABC沿OE方向平移，使得点B与点E重叠为止.设NPOF=x°,

则xH勺取值范围是（）

A.30°WxW60°B.30°WxW90°C.30°这xW120°D.60°WxW1200

4.如图，田S交。。于点A.B,交0（）于点C.I）,已知的度数为42°,度数为38°,则/"NQ二

5.如图，AB是。。的J直径，C,D,E都是。0上的J点，则N1+N2=

6、如图，AB是。0的直径，AD二DE,AE与BD交于点C,则图中与/BCE相等的角有（)

A2个R4个「4个D.5个

第只颍

7、已知，如图,AB为。0的直径,AB=AC,BC交。O于点D,AC交。O于点E,ZBAC=45°。给出下列四个结

论：①ZEBC=22.5°:②BD=DC：③是的2倍；④AE=BCo其中对的结论的序号是

8、如图，。。的半径为1cm,弦AB、CD11勺长度分别为cm.1cm,则弦AC、BD所夹的锐角为

9、如图,AB,AC是。O的两条弦，且AB=AC.延长CA到点D.使AD=AC,连结DB并延长，交。O于点E.求

证:CE是。OH勺直径.

10、如图，在。0中AB是直径，CD是弦，AB_LCD.

（1）P是上一点（不与C,D重叠）.求证：ZCPD=ZC0B；

（2）点，在劣弧CD上（不与C,D重叠）时，NCP/D与NC0D有什么数量关系？请证明你的结论.

11.（1）如图（1）已知，已知△ABC是等边三角形，以BC为直径的。。交AB.AC于D.E.求证：A0DE是等边三

角形；

（2）如图（2）若NA=60",AB^AC,则（1）的结论与否成立？假如成立，请给出证明，假如不成立，请阐明

理由.

12.如图所示，直径AB.CD互相垂直、P是0C的中点，过点PH勺弦MN〃AB,

试判断NMBC与NMBA的大小关系。

13.如图,AB为。0H勺直径，弦DA.BCH勺延长线相交于点P,且BC=PC,求证:

(1)AB=AP(2)BC=CD

【书本有关知识点】

1.弧长公式：在半径为RH勺圆中,n°的圆心角所对的弧长口勺计算公式为=

2.在弧长公式中，有3个变量：，已知其中的任意两个，都可以求出第3个变量。我们只需

要记住一种公式即可。(有些老师规定它的此外两个变形公式都要记住，其实完全没有必要)

3.扇形面枳公式1:半径为R.圆心角为n°日勺扇形面积为。这里面波及3个变量：

________________,♦知其中任意两个，都可以求出第3个变量。我们中需要记住一种公式即可。

4、扇形面积公式2:半径为R,弧长为日勺扇形面积为

5.求阴影部分面积一般遵照“四步曲”，即：一套，二分，三补，四换

一套：直接套用基本几何图形面积公式计算；二分：将其分割成规则图形面积附和或差；三补：用补形法拼凑成

规则图形计算；四换：将图形等积变换后计算。

【经典例题】

【题型一】静止图形的弧长计算与运动图形的I弧长计算

【例1】、如图所示，在△ABC中，ZACB=90°,ZB=15°,以C为圆心,CA的长为半径的圆

交AI3于点Do若AC=6,求时长

【例2】、如图，菱形ABCD中,AB=2,ZC=60°,菱形ABCD在直线I上向右作无滑动的翻滚，每绕着一种顶点

旋转60°叫一次操作，则通过36次这样的操作菱形中心。所通过的途径总长为

【题型二】求阴影部分的面积问题

【例1】、如图，在矩形ABCD中,AD=2AB=2,以B为圆心，以BA为半径作圆弧，交CB的）延长线于点E,连接

DEo求图中阴影部分的面积。

【例2】、如图所示，分别以n边形的顶点为圆心，以单位1为半径画圆，则图中阴影部分的面积之和为

【例3】、如上图，RtZXABC中，ZACB=90°,ZCAB=30°,BC=2,O、H分别为边AB.AC的中点，WAABC

绕点B顺时针旋转120°到△A1B1C1的位置，则整个旋转过程中线段OH所扫过部分的面积（即阴影部分面积）

为（）

A.B.C.D.

【例4】、如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm,其中水面高0.3cm,求截面上有水部分的面积。

【题型三】用弧长及扇形面积公式处理实际问题

【例1】、当汽车在雨天行驶时，为了看清晰道路，司机要启动前方挡风玻璃上的雨刷器。如图是某汽车的一种雨

刷器的示意图，雨刷器杆AB与雨刷CD在B处固定连接（不能转动），当杆AB绕A点转动90°时，雨刷CD

扫过的面积是多少呢？小明仔细观测了雨刷器的转动状况，量得CD=80cni.ZDBA=20°,端点C.D与点A的

距离分别为”5cm、35cm.他通过认真思索只选用了其中的部分数据就求得了成果。也请你算一算雨刷CD扫

过欧I面积为

_____________________cm2（/取3.14）

【例2】、如图是一种滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是10cm,当重物上升10cm时，滑轮的J一条半径OA

绕轴心。按逆时针方向旋转的角度约为度.（假设绳索与滑轮之间没有滑动，。取3.14,成果精确到

r）

巩固练习

1.假如一条弧长等于r,它的半径是r,那么这条弧所对的圆心角度数为

2.假如一条弧长为，它时半径为R,这条弧所对日勺圆心角增长1。，则它日勺弧长增长

3.扇形的弧长为20cm,半径为5cm,则其面积为cm2

4.一种扇形的弧长是20cm,面积是240cm2,那么扇形的圆心角是

5、图中4个正方形的边长都相等，其中阴影部分面积相等的图形个数是（）

6.如图所示,扇形AOB的圆心角为90°,分别以OA.OB为直径在扇形内作半圆，P和Q分别表达两个阴影部分

日勺面积，那么P和Q的大小关系是

第7颗装R颗

7、如图，AB=12,C.D是以AB为直径日勺半圆上的三等分点，则图中阴影部分面积为

8、如图，在RtAABC中，ZC=90°,AC=4,BC=2,分别以AC、BC为直径画半圆，则图中阴影部分日勺面积为

（成果保留）（到了初中阶段，其实虽然不说，成果也要保留，这是一种基本常识）

9、如图,在RtZ\ABC中,ZC=90°,NA=30°,AB=2.将AABC绕顶点A顺时针方向旋转至△AB'C'的位置，B,

A,C'三点共线，则线段BC扫过的区域面积为

第9颗第1()题

BAC

10、(温州中考题)在aABC中，NC为锐角，分别以AB,AC为直径作半圆，过点B,A,C作，

如图所示，若AB=4,AC=2,，则的值是()

A.B.C.D.

11、如图，。0的半径为R,AB与CD是。0的两条互相垂直的直径，以B为圆心，BC为半径为，交AB于点E,求

圆中阴影部分的面积。

12.如图，已知矩形ABCD中，BO2AB,以B为圆心，BC为半径的圆交AD于E,交BA的延长线于F,设AB=1,求

阴影部分的面积.

13.如图，在AABC中，已知AB=4cm,NB=30°,ZC=45°,若以A为圆心,AC长为半径作弧，交AB于点E,交

BC于点Fo

(I)求CE的长(2)求CF口勺长

【书本有关知识点】

1.圆锥可以看做是直角三角形绕旋转一周所成的图形。旋转而成的曲面叫做圆锥的侧

面。另一条直角边旋转而成口勺面叫做o圆锥附和的和叫做圆锥口勺全面积（或表

面积）。

2.沿圆锥的母线把圆锥剪开并展平，可得圆锥日勺侧面展开图是•种，圆锥日勺侧面积等于这个扇形的I面积,

其半径等于圆锥的，弧长等于圆锥的I

3.圆锥的侧面积：：圆锥日勺全面积：

4.圆锥H勺母线长，高h,底面圆半径r满足关系式

5、己知圆锥日勺底面圆半径r和母线长，那么圆锥日勺侧面展开图的圆心角为

6.圆锥欧）侧面展开图欧|圆心角x的取值范围为

【经典例题】

【题型一】与圆锥有关的计算（重要是算面积）

【例1】如图所示，在aABC中，ZBAC=30°,AC=2a,BC=b,以AB所在直线为轴旋转一周得到一种几何体，则

这个几何体的全面积是（）

A.2aB.abC.3a2+abD.a（2a+b）

【例2】如图，有一圆心角为120°,半径长为6cm的扇形，若将OA.OB重叠后围成一圆锥侧面,那么圆锥的高

是（）

A.4cmB.C.D.

【例3】如图，在纸上剪下一种圆形和一种扇形纸片，使之恰好可以围成一种圆锥模型，若圆的半径为r,扇形的

半径为R,扇形口勺圆心角等于120°（如图）,则r与R之间的关系是

制I柘||?

【题型二】与圆锥有关的方案设计题

【例1】在一种边长为all勺正方形材料上截取一扇形，围成母线长为aII勺圆锥

（1）试设计两种不一样的截法（规定每一种截法尽显减少挥霍的材料），并把截法在图上表达出来

(2)分别求出(1)中两种不一样截法所得的圆锥底面的半径和高

(3)(1)中哪一种截法所得的圆锥侧面积较大？

【题型三】与圆锥有关的最短距离问题

【例11如图，圆锥底面半径为I•，母线长为3r,底面圆周上有一蚂蚁位于A点，它从A点出发沿圆锥面爬行一周后

又回到原出发点，请你给它指出一条爬行最短口勺途径，并求出最短途径。

巩固练习

1.一和圆锥形零件II勺底面半径为4,母线长为12,那么这个零件侧面展开图的圆心角为

2.一种圆锥的侧面积是底面积的2倍，则该圆锥的侧面展开图U勺扇形的圆心角等于

3、如图，扇形OAB是圆锥的侧面展开图，若小正方形方格的I边长为1cm,则这个圆锥的底面半径为

4.如图所示是小芳学习时使用H勺圆锥形台灯灯罩H勺示意图，那么围成这个灯罩的铁皮的面积为

5.如图是一种用来盛爆米花H勺圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径EF长为10cm,母线()E(OF)长为l()cm.在母线

OF上时点A处有一块爆米花残渣，且FA=2cm,一只蚂蚁从杯II的点E处沿圆锥表面爬行到A点，则此蚂蚁爬行

II勺最短距离cm.

6、如图所示，有一直径为1m的圆形铁皮，要从中剪出一种圆心年为90°的最大扇形ABC

（1）求被剪后阴影部分的面积

（2）用所得H勺扇形铁皮围成一种小圆锥，则该圆锥口勺底面半径是多少？

A

7、卷一种底面半径为2,高为2的圆锥侧面，有如下4个扇形纸片可供选择。假如要使材料挥霍至少，你认为

选哪一种最合理？请阐明理由。

8、在一次科学探究试验中，小明将半径为5cm"勺圆形滤纸片按图1所示的环节进行折叠，并围成圆锥形。

（1）取一漏斗，上部欧I圆锥形内壁（忽视漏斗管口处）的母线0B长为6cm,开口圆的直径为6cm。当滤纸片重

叠部分为三层，且每层为圆时，滤纸围成的圆锥形放入该漏斗中，能否紧贴此漏斗的内壁（忽视漏斗管口处）,

请你月所学的数学知识阐明；

（2）假设有一特殊规格的漏斗，其母线长为6cm,开口圆的直径为7.2cm,现将同样大小的滤纸围成重叠部分为

三层时圆锥形，放入此漏斗中，且能紧贴漏斗内壁.问重叠部分每层的面积为多少？

第三章《圆的基本性质》的知识点及经典例题

知识框图

圆、圆心、半径、直径

弧、弦、弦心距、等弧弧可分为劣弧、半圆、优弧

概念

圆心角、圆周角

三角形的外接圆、三角形I内外心、圆的内接三角形

点和圆H勺位置关系三角形口勺外心到三角形三人顶点FI勺距离相等

J不在同一直线上的三点确定一种圆

圆的轴对称性

圆的基本性质

垂径定理及其2个逆定理

圆的中心对称性和旋转不变性

圆

圆心角定理及逆定理圆心角定理及逆定理都是根据圆口勺旋转不变性推出来日勺

圆周角定理及2个推论

去生珞.昉¥.昉,3阳

圆的有X：计簟:去味心佳用围住己扁股内面和间摊内稠II面和我志而和

求不加川阳能抑分叫而和

加HH续能七府I同41新目芋兹.；汇H日品南夕同小的吕¥东

mHH孤席十同的粉目手芟.

同时有左证明

济阳名彷弦的弦状.泳即两绅再自

I.过一点可作个圆。过两点可作个圆，以这两点之间日勺线段的上任意一

点为圆心即可。过三点可作个圆。过四点可作个圆。

2.垂径定理：垂宜于弦的直径,并且平分

垂径定理的逆定理1：平分弦（）的直径垂直于弦，并且平分

垂径定理的逆定理2:平分弧日勺直径

3.圆心角定理：在问圆或等恻中，相等的网心角所对的,所对的

圆心角定理的逆定理：在同圆或等圆中，假如两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么

都相等。

注解：在由“弦相等，得出瓠相等”或由“弦心距相等，得出弧相等”时，这里的“弧相等”是指对应的劣弧与

劣弧相等，优弧与优弧相等。在题目中，若让你求，那么所求的是弧长

4.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的I

圆周角定理推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是；90°口勺圆周角所对的弦是

圆周角定理推论2：在同圆或等圆中，所对口勺圆周隹相等；相等口勺圆周角所对的也相等

5.拓展一下：圆内接四边形的对角之和为

6.弧长公式：在半径为R的圆中,n°的圆心角所对的弧长的计算公式为=

7、扇形面积公式I:半径为R,圆心角为n。的扇形面积为。这里面波及3个变量：

,已知其中任意两个，都可以求出第3个变量。我们中需要记住一种公式即可。

扇形面积公式2:半径为R,弧长为的扇形面积为

8、沿圆锥的母线把圆锥剪开并展平，可得圆锥的侧面展开图是一种,圆锥的侧面积等于这个扇形的I面积,

其半径等丁圆锥的,弧K等于圆锥的

9、圆锥的I侧面积：；圆锥的全面积：

10、圆锥的母线长，高h,底面圆半径r满足关系式

II、已知圆锥的）底面圆半径r和母线长，那么圆锥日勺侧面展开图的圆心角为

12.圆锥口勺侧面展开图的圆心角xU勺取值范围为

考点一、与圆有关的命题的说法对的的I个数，绝大多数是选择题，也有少部分是填空题（填序号）

考点二、求旋转图形中某一点移动的距离，这就要运用弧长公式

考点三、求半径、弦长、弦心距，这就要运用勾股定理和垂径定理及逆定理

考点四、求圆心角、圆周角

考点五、求阴影部分H勺面积

考点六、证明线段、角度、弧度之间的）数量关系；证明多边形日勺详细形状

考点七、运用不在同一直线上的三点确定一种圆的作图题

考点八、方案设计题，求最大扇形面积

考点九、将圆锥展开，求近来距离

练习

一、选择题

1.下列命题中：①任意三点确定一种圆；②圆日勺两条平行弦所夹的弧相等；③任意一种三角形有且仅有一种外

接圆；④平分弦的直径垂直于弦；⑤直径是圆中最长的弦，半径不是弦。对的的个数是（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

2.如图，AB是半圆O的直径，点P从点O出发，沿H勺途径运动一周.设为,运动时间为，则下图形能

大体地刻画与之间关系的是（）

3.如图所示，在aABC中，ZBAC=30°,AC=2a.BC=b,以AB所在直线为轴旋转一周得到一种几何体，则这个几

何体日勺全面积是（）

A.2aB.abC.3a2+abD.a（2a+b）

4.如图，有一圆心角为120°,半径长为6cm的扇形，若将OA.OB重叠后围成一圆锥侧面，那么圆锥的高是

（）

A.4cmB.C.D.

5.如图所示，长方形ABCD中，以A为圆心,AD长为半径画弧，交AB于E点。取BC的中点为F,过F作一

直线与AB平行，且交于G点,求（AGF=（)

(A)110°(B)120°(C)135°(D)150°o

第7颗第父颈

6.如图,AB是。OR勺直径，AD=DE,AE与BD交于点C,则图中与NBCE相等的角有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

7、如图，弧BD是以等边三角形ABC一边AB为半径日勺四分之一圆周，P为弧BD上任意一点，若AC=5,则

四边形ACBP周长的最大值是（）

A.15B.20C.15+D.15+

8、如图，已知。0的半径为5,点到弦的距离为3,则。0上到弦所在直线的距离为2的点有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

9、如图，C为。0直径AB上一动点，过点C的直线交。0于D、E两点，且NACD=45°,DF_LAB于点F,EG

_LAB于点G当点C在AB上运动时，设AF=,DE=，下列中图象中，能表达与的函数关系式的图象大体是

10、如图5,AB是（DOH勺直径，且AB=10,弦MN的长为8,若弦MN的两端在圆上滑动时，一直与AB相交,

记点A.B到MN的|距离分别为hl,h2,则|hl—h2|等于（）

A.5B、6

C.7D、8

11.如上图,RtZ\ABC中，ZACB=90c,NCAB=30。，BO2,0、H分别为边AB.AC的中点，将AABC绕点B顺

时针旋转120°到△AIB1C1的位置.，则整个旋转过程中线段OH所扫过部分H勺面积（即阴影部分面积）为（)

A.B.C.D.

12.（温州中考题）在AABC中，NC为锐角，分别以AB,AC为直径作半圆，过点B.A,C作，

如图所示，若AB=4,AC=2,，则的值是（）

A.B.C.D.

二、填空题

1.如图，是等腰三角形的外接圆，，,为。O/、J直径，，连结，则

第4题

2.如图，为。OH勺直径，点在。0上，，则

3.如图,ABAC分别是。O的直径和弦,OD_LAC于点D,连结BD.BC。AB=5,AC=4,则BD二

4.如图，AB为。0H勺直径，弦CD1AB,E为上一点，若NCEA=,则NABD二

5.在半径为5cm的圆中，两条平行弦口勺长度分别为6cm和8cm,则这两条弦之间日勺距离为

6.在半径为1的。0中，弦AB、AC分别是和，则NBAC时度数为

7、如图，扇形OAB是圆锥的侧面展开图，若小正方形方格的边长为1cm,则这个圆锥的底面半径为

第7颗第9颗

第X撅

8、如图所示是小芳学习时使用H勺圆饰形台灯灯罩的示意图、那么围成这个灯罩日勺铁皮的J面积为

9、如图是一种用来盛爆米花H勺圆锥形纸杯，纸杯开口圆日勺直径EF长为10cm,母线OE（OF）长为10cm.在母

线OF上的点A处有一块爆米花残渣.旦FA=2cm,一只蚂蚁从杯口II勺点E处沿圆锥表面爬行到A点,则此蚂蚁

爬行的最短距离cm.

10、如图，是的直径，弦.若，则

第11题

（第颍）

11.如图,AB是00的直径，点C在OO上,NBAC=30',点P在线段0B上运动.

设NACP=x,则x的I取值范围是

12.、如图，是日勺直径，是上的点，则

13.以半圆0时一条弦BC（非直径）为对称轴将弧BC折叠后与直径AB交于点Do若AD=4,DB=6,那么AC

的K为

14、如图，菱形ABCD中，AB=2,NC=60°,菱形ABCD在直线1上向右作无滑动的翻滚，每绕着一种顶点旋转

60°叫一次操作，则通过36次这样的操作菱形中心0所通过口勺途径总长为

第12颗第14颍第15颍

15.当汽车在雨天行驶时，为了看清晰道路，司机要启动前方挡风玻璃上日勺雨刷器。如图是某汽车的一种雨刷器

的示意图，雨刷器杆AB与雨刷CD在B处固定连接（不能转动），当杆AB绕A点转动90°时，雨刷CD扫过的

面积是多少呢？小明仔细观测了雨刷器的转动状况，量得CD=80cm、ZDBA=20°,端点C.D与点AH勺距离分别

为115cm、35cm.他通过认真思索只选用了其中的部分数据就求得了成果。也请你算一算雨刷CD扫过的面积为

______________cm2（n取3.14）

三、解答题

1.如图所示,AB是00的一条弦,OD_LAB,垂足为C,交。O于点D,点E在。O上。

（I）若NAOD=52