2024届数学高二年级上册期末经典模拟试题含解析

2024届山西大学附属中学数学高二上期末经典模拟试题

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.在等比数列｛an｝中，a3,ai5是方程x2+6x+2=0的根，则学的值为()

a9

B.-V2

2

C.72D.—夜或拉

2.设函数("是奇函数/(x)(xwR)的导函数，/(-2)=0,当x>0时，靖(戈)+2/(力>0,则使得/(6>0

成立的工的取值范圉是

A.(^o-2)U(0,2)B.(-2,0)J(2,-HX)

C(-oo,-2)U(2,*o)D.(-2,0)(0,2)

3.函数=为/(x)的导函数，令a=；/=k)g32,则下列关系正确的是()

B./(«)>f(b)

C.f(a)=f(b)D.f(a)<f(b)

4.如图，矩形BOEr所在平面与正方形ABC。所在平面互相垂直，BD=2,DE=｝f点尸在线段E尸上.给出下列

命题:

①存在点儿使得直线平面ACF;

②存在点P,使得直线OP_L平面ACF；

③直线OP与平面ABCO所成角的正弦值的取值范围是亨』；

④三棱锥A-CDE的外接球被平面AC”所截得的截面面积是五.

其中所有真命题的序号。

A.①③B.①©

C.①®®D.®®®

5.已知函数/(x)的导函数广(力的图像如图所示，则下列说法正确的是()

A.-3是函数“X)的极大值点

B.函数/(工)在区间(-3,0)上单调递增

C.-I是函数/("的最小值点

D.曲线)，=/(x)在X=0处切线的斜率小于零

6.若直线/的倾斜角是钝角，则/的方程可能是()

X.x+2y=0B.x-2y=0

C.2x-y=0D.x+2=0

7.用数学归纳法5+1)(〃+2)…(〃+〃)=2”13…(2〃-1)时,从“A到k+1”左边需增乘的代数式是()

2&+1

A.2A+1B.------

k+1

C.2(2^1)D.篁产

8.已知函数)=/(x)(xeR)的图象如图所示，则不等式/‘(勾＜0的解集为()

y=f(x)

Z1O

1

A.(■卜,0)&,2±B.(-lJ)(1,3)

•EM别务(1，2)

9.下列说法中正确的是()

A.棱柱的侧面可以是三角形

B.棱台的所有侧棱延长后交于一点

C.所有几何体的表面都能展开成平面图形

I).正棱锥的各条棱长都相等

10.若动圆的圆心在抛物线)，=8］上，且恒过定点(2,0),则此动圆与直线x+2=0()

A.相交B.相切

C.相离D.不确定

11.圆(x-l『+()，+2)2=2关于直线/：K+)-2=0对称的圆的方程为()

A.(X-4)2+(>>-1)2=2B.(x+41+()，+iy=2

C.(x-4)；+(y+l)2=2D.(A+4)2+(^-1)2=2

12.已知定义在A上的函数/(x)满足/(t)+r(x)>0,且有〃3)=3,则/(">女1的解集为。

A(3,+co)B.(l,+co)

C.(-oo,3)D.(-oo,l)

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.数列｛〃“｝的前"项和为工=〃2-2〃+3,则4=

14.若方程(〃L1)V+(〃L3)V=("?一］)(,〃-3)表示的曲线是双曲线.则实数机的取值范围是—：该双曲线的焦

距是,

15.在区间［1,4］上随机取1个数，则取到的数小于2的概率为.

16.已知直线小公+2y-3=()与Z2：3x+(l-a))，+4=0,若上！则实数〃的值为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)如图所示，AE_L平面ABCO,四边形尸8为矩形，BC//AD,BA1AD,AE=AD=2AB=2BC=4

(1)求证：CF〃平面4OE；

(2)求平面C。/与平面AE尸8所成锐二面角的余弦值

18.(125*)已知。，b,C分别是锐角一45C内角A,B,C对边，a=2b,sinA=巫.

4

(1)求sinB的值；

(2)若一ABC的面积为厉，求c的值.

19.(12分)阅读本题后面有待完善的问题，在下列三个条件：①—V+x+6>0,②二•<(),

③(x+3『(x+2)(x-3)<0中选择一个作为条件，补充在题中横线处，使问题完善，并解答你构造的问题.(如果选

择多个关系并分别解答，在不出现逻辑混乱的情况下，按照第一个解答给分).

问题：已知命题〃：/一(“+1)工+〃<0,aeR,命题，,若〃是夕的充分不必要条件，求实数〃的取

值范围.

20.(12分)已知圆。：一+/-6、，+4-0,42,2)是圆上一点，过4作直线/交圆。于另一点凡交x轴正半轴

于点。，且A为80的中点.

(1)求圆C在点A处的切线方程；

(2)求直线/的方程.

21.(12分)已知(x+2)的展开式中只有第五项的二项式系数最大.

(1)求该展开式中有理项的项数;

(2)求该展开式中系数最大的项.

22.(10分)在平面直角坐标系工。>，中，过点P(0,2)的直线/的参数方程为，。为参数).以坐标原点为

极点，汇轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C的极坐标方程为储cos28=1

(1)求直线/的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

(2)设曲线C与直线/交于A,B两点，求线段A4的中点的直角坐标及=+的值

IP4IIP8|

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解题分析】由韦达定理得a3al5=2,由等比数列通项公式性质得：392=333:5=32316=2,由此求出答案

【题目详解】解：•・•在等比数列｛痴｝中，痴a】s是方程*&+2=。的根，

/♦33315=2>0>33+315=-6<0

♦♦a2ai6=a3al5=2,

a92=a3ais=2，

•.ag=-5/2，

为

故选B

【题目点拨】本题考查等比数列中两项积与另一项的比值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性

质的合理运用

2、B

【解题分析】构造函数g(x)=V/(x),可知函数)，=g(x)为奇函数，利用导数分析出函数y=g(x)在(0,+8)上

的单调性,并得出g(2)=g(—2)=0,然后分别在x>0和x<0解不等式x(x)>0,由此可得出不等式f(x)>0的

解集.

【题目详解】构造函数g(1)二//(力，该函数的定义域为

由于函数y=/(x)为R上的奇函数，则g(-x)=(-A)2/(-x)=-x2/(x)=一g(x)，

所以，函数)，=£(T)为A上的奇函数,且g(O)=O,^(-2)=4/(-2)=0,g(2)=-g(-2)=0.

当x>0时,/(x)=Jr(x)+29(x)=x[_xff(x)+2f(x)]>0,

此时，函数y=g(x)单调递增，由〃力>0,可得g(x)>0=g(2),解得、>2；

当x<0时，则函数y=g(x)单调递增，由/(">(),可得g(x)>0=g(-2),解得—2vx<0.

综上所述，使得/(另>0成立的x的取值范围是(-2,0)U(2,+8).

故选；B.

【题目点拨】本题考查利用函数的单调性求解函数不等式，根据导数不等式的结构构造合适的函数是解题的关键，考

查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

3、B

【解题分析】求导后，令尸与，可求得/'停)=-；，再利用导数可得,3为减函数，比较〃的大小后，根据.〃x)

为减函数可得答案.

【题目详解】由题意得，/'(x)=cosx+2/'(q)/^yl=C0Sy+2/y,

解得'Ci=一;，所以f(x)=sinx-x

所以/'(x]=cosx—l«0,所以/(x)为减药数

因为〃=log32>log3^3---a,

所以/3)>/3)，

故选：B

【题目点拨】关键点点睛：比较大小的关键是知道/(X)的单调性，利用导数可得/(x)的单调性.

4、D

【解题分析】当点。是线段E尸中点时判断①；假定存在点P,使得直线6_L平面ACH推理导出矛盾

判断②；利用线面角的定义转化列式计算判断③；求出A6外接圆面积判断④作答.

【题目详解】取E尸中点G,连OG,令4(704。=。，连尸0,如图，

Ei

在正方形ABC。中，。为80中点，而是矩形，则QO//G尸且QO=G。即四边形OGFO是平行四边形，

即有DG〃尸O,而EOu平面4c尸，QGQ平面ACr，于是得QG//平面ACF,当点。与G重合时，直线OP//

平面AC凡①正确；

假定存在点P,使得直线OPJL平面ACF,而/Ou平面ACF,则OP_LFO,又DG//FO,从而有DPLDG,

在RtZ\DEF中，ZDEF=90，OG是直角边E广上中线，显然在线段EF上不存在点与。连线垂直于OG,

因此，假设是错的，即②不正确；

因平面瓦）Eb_L平面/1BCO,平面BOEVc平面ABC£>=3O,则线段E产上的动点尸在平面八3co上的射影在

直线BD上,

于是得//7汹是直线。〃与平面48「。所成角的，在矩形4。司尸中，当尸与五不重合时，/PDR=/DPE,

sin^PDB=sin^DPE=^=->------==-,1,,而0<律42,则正<sin/PO8<1,

DPyjDE2+EP2V1+EP25

当「与£重合时，ZPDB=-,sinZPDB=l,因此，—<sinZPDB<l,③正确;

25

因平面平面八BCD,平面BDEFC平面ABCD=BD,BFtBD,BFu平面BDEF,则，平面

ABCD,

2

8c=J5,在dA。7中，AF=CF7BC+BF?=6,显然有/OLAC.

yjBO2+BF2_V2

sinZ.FAC=-----

AF-AF飞

CF33

由正弦定理得Mb外接圆直径2人由E:正'R=G

.97r

三棱锥A-CO石的外接球被平面AC尸所截得的截面是一Ab的外接圆，其面积为不氏-=丁，④正确，

O

所以所给命题中正确命题的序号是①③④.

故选：D

【题目点拨】结论点睛：两个平面互相垂直，则一个平面内任意一点在另一个平面上的射影都在这两个平面的交线上.

5、B

【解题分析】根据导函数/'(丫)的图象.得到函数的单调区间与极值点，即可判断:

【题目详解】解：由导函数/'(X)的图象可知，当工>一1时/'(力>0,当-3vx<-l时/'(x)>o,当x<—3时

/。)<0,当x=-3或x=-l时/'(x)=0,则“X)在(—3,小)。)上单调递增，在(f,—3)上单调递减，所以函数

在x=—3处取得极小值即最小值，所以-3是函数的极小值点与最小值点，因为/'(())>(),所以曲线)=/(力在x=0

处切线的斜率大于零，

故选：B

6、A

【解题分析】根据直线方程，求得直线斜率，再根据倾斜角和斜率的关系，即可判断和选择.

【题目详解】若直线的倾斜角为。，则2=1@11。，当k<0时，。为钝角，当攵=0,1=0,当火>0,。为锐角;

当攵不存在时，倾斜角为】，

对A：攵=-!，显然倾斜角为钝角；对B：kJ,倾斜角为锐角；

22

对Ck=2,倾斜角为锐角；对“火不存在，此时倾斜角为直角.

故选：A.

7、C

【解题分析】分别求出〃=A时左端的表达式，和〃=A+1时左端的表达式，比较可得“〃从A到A+1”左端需增乘的代

数式

【题目详解】当〃=A时，左端=(A+1)(k+2)(A+3)…(2k),

当〃=A+1时，左端=(&+2)(A+3)...(伍)(2JI+1)(2A+2),

二左边需增乘的代数式是2(22+1)

故选：C

【题目点拨】本题考查用数学归纳法证明等式，分别求出〃=士时左端的表达式和〃=A+1时左端的表达式，是解题的

关键

8、D

【解题分析】原不等式等价于(X-1)/'(工)<。，根据)，=/(.r)(xeR)的图象判断函数的单调性，可得/'(x)>0和

.、[x-1>0fx-1<0

r(x)<o的解集，再分情况J/，(力<0或5，(力>()解不等式即可求解,

【题目详解】由函数)，=/(X)(X£R)的图象可知:

y=/⑴在（-吗）和（2收）上单调递增，在（；，2）上单调递减，

所以当xwU（2,+co）时，/（x）>0；当xe-,2时，

由£1^<0可得(x-l)/'(x)<0,

x-1

fx-l>()x-l<()

所以r(x)<o^[r(x)>o,

1<x<2或工<一，

2

1,2),

故选：D.

9、B

【解题分析】根据棱柱、棱台、球、正棱锥结构特征依次判断选项即可.

【题目详解】棱柱的侧面都是平行四边形，A不正确；

棱台是由对应的棱锥截得的，B正确；

不是所有几何体的表面都能展开成平面图形，例如球不能展开成平面图形，C不正确;

正棱锥的各条棱长并不是都相等，应该为正棱锥的侧棱长都相等，所以D不正确.

故选：B.

10、B

【解题分析】根据题意得定点（2,0）为抛物线V=8x的焦点，x+2=O为准线，进而根据抛物线的定义判断即可.

【题目详解】解：由题知，定点（2,0）为抛物线,，2=8x的焦点，“+2=0为准线，

因为动圆的圆心在抛物线丁=8K上，且恒过定点（2,0）,

所以根据抛物线的定义得动圆的圆心到直线x+2=0的距离等于圆心到定点（2.0）,即圆心到直线.r+2=0的距离等于

动圆的半径，

所以动圆与直线x+2=O相切.

故选：B

11、A

【解题分析】首先求出圆(、—1)2+(y+2『=2的圆心坐标与半径，再设圆心(1,一2)关于直线/:X+)，-2=0对称的

点的坐标为(。力)，即可得到方程组，求出。、b,即可得到圆心坐标，从而求出对称圆的方程；

【题目详解】解：圆(》一1『+(/2『=2的圆心为(1,一2),半径厂=血，设圆心(1,—2)关于直线/:x+)」2=。对

称的点的坐标为(。力)，

—x(-l)=-l

则卜，一।4=4

二，即圆(1一1)2+()，+2)2=2关于直线/“+.丫-2=0对称的圆的圆心为(4』),

1+«b-2rC?—1

22

半径r=»

所以对称圆的方程为(x—4y+()，—l)2=2：

故选：A

12、A

【解题分析】构造F(x)=/(x)-er,应用导数及己知条件判断F(x)的单调性，而题设不等式等价于F(x)>/(3)即

可得解.

【题目详解】设“(x)=/(x)•炉，贝IJ/⑴=/'(。eA+/(x)•e,=e[f(x)+f(x)]>0,

・・・/(工)在K上单调递增.

又〃3)=3,则*3)=/(3>/=%3.

•:/(x)>女J等价于/(x)-e'>3c3,即/(x)>F(3),

・・・x>3,即所求不等式的解集为(3,*Q).

故选：A

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2,n=1

13、〈ccc

2/?-3,/?>2

%〃二1

【解题分析】利用计算可得出数列｛〃“｝的通项公式.

S”—S“T，〃N2

【题目详解】当〃22时，见=5.一工7=1：〃2-2〃+3)-[(〃-1)2-2(〃-1)+3]=2〃一3；

而q=,，=2不适合上式,

27?-3,//>2

2,〃=1

故答案

2〃-3,n>2

14、①.(1,3)②.2夜

【解题分析】由题总可得-〃2）<0,由此可解得m的范围，进一步将方程化为标准方程即可求得焦距

【题目详解】由。〃-1优+（〃?-3））『=（〃?-1）（加-3）所表示的曲线是双曲线，

可知5L1）（〃L3）<0,解得〃蚱（1,3）,

当机一1>0,/〃一3<0时，方程（加-+（皿-3））?=（/〃-1）（/〃-3）可变为：

22

—--------=1,此时双曲线焦距为2c-2y/m-\+3-m-25/2»

tn-\3-m

当，〃-IvO,机-3>0时，，〃不存在，不合题意；

故双曲线的焦距：2夜

故答案为：（1,3）:20

15>-

3

【解题分析】根据几何概型计算公式进行求解即可.

【题目详解】设。="区间［1,4］上随机取1个数%对应集合为区间长度为3,

A="取到的数小于2”，对应集合为{目1《工<2},区间长度为1,

所以叫）二怒4

故答案为：I

16>-2

【解题分析】由4JI/z可得3。+2（1-〃）=0,从而可求出实数。的值

【题目详解】因为直线4：ax+2y—3=。与4：3x+（I-。）），+4=0,且《JL/?，

所以3。+2（1-。）=0,解得。二一2,

故答案：一2

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2

17、(1)见解析(2)§

【解题分析】(1)根据8Q//AE,BC//AD,从而证明平面8b//平面ADE,从而C尸〃平面ADE。(2)以A

为坐标原点，建立空间直角坐标系A-4，z,写出点的空间坐标，根据向量法求解即可。

【题目详解】(1)•・•四边形ABEF为矩形

:.BF//AE

又“a平面ADE,AEu平面ADE

.•.BF//平面ADE

又BC//AD,

同理可得：8C//平面ADE

又BFcBC=B,BF,BC平面BCF

/.平面BCF//平面ADE

又CF平面BCF

.•.CF//平面ADE

(2)如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系A则

C(2,2,0),0(0,4,0),尸(2,0,4)

/.AD=(0,4,0),CD=(-2,2,0),CF=(0,-2,4)

设〃=(x,);z)是平面CDF的一个法向量，则

n-CD=0[x-y=0

___即.

n-CF=0y-2z=0

(x=2

令y=2,解得一二1

.,.”=(2,2,1)

又AD是平面AEFB的一个法向量，

/人,、\n-AD2

cos(n,AD)-------------—

\/\n[\AD\3

・•・平面CDF与平面AEFB所成锐二面角的余弦值为|.

【题目点拨】此题考查立体几何线面平行证明和二面角求法，线面平行可先证面面平行得到，属于简单题目。

18、（1）sinB=i

8

（2）4.

【解题分析】（1）由正弦定理即可得答案.

（2）根据题意得到cosA=1,再由关于角A的余弦定理和a=%整理化茴得C=2Z?,

4

再由的面积，即可求出c的值.

【小问1详解】

由1=2及正弦定理可得sinB=驯辿=巫.

a8

小问2详解】

由锐角中sin/l=巫得cosA='，

44

根据余弦定理可得cosA=1,

2bc4

b，+3一4/?21

代入a二沙得一少二乙，整理得2/—儿―6从=0,即（2c+33（c—劝）=0,

2bc4

解得c=2b,

,SeLsin8」cZ妪=>/\5，解得。=4.

AB<-228

19、[-2,3]

【解题分析】分别在a>1、a=l和。<1的情况下得命题〃对应的集合A：选条件后可求得命题，/对应的集合8：根

据充分不必要条件的定义可知4u4,分别在“>1、〃=1和的情况下得到结果.

【题目详解】由？一(〃+1)丫+〃vO得：(丫一〃)(丫-l)vO,

当时，不等式解集(1,。)；当〃=1时，不等式解集为0；当。<1时，不等式解集为

〃是9的充分不必要条件，

命题P对应集合A是命题9对应集合B的真子集，即Au8；

若选条件①：由—+x+6=—(x-3)(x+2)>0得：—2<x<3,B=|-2,3)：

若选条件②：由二!<0得；。-3)(1+2)<0,解得：一2</<3,.•.8=(-2,3)；

人I/

若选条件③：由(x+31(x+2)a—3)<0得：乂:3K解得：—2vx<3,••.8=(-2,3)；

当a=I时，A=0,符合题意；

当时，由知:(1M月(-2,3),

当avl时，由4/B知:(^,1)G(-2,3),,\-2<a<l；

综上所述：-2<。<3,即实数。的取值范围为卜2,3].

20>(1)2x-y-2=0

⑵x=2或x+2y-6=0

【解题分析】(1)以直线方程的点斜式去求圆C在点A处的切线方程；

(2)以A为8。的中点为突破口，设点法去求直线/的方程简单快捷.

【小问1详解】

圆产+y2-6)，+4=0可化为./+()〜3y=5,圆心C(0,3)

3-21

因为直线C4的斜率为一=-二，所以圆C在A点处切线斜率为2,

0-22

所以切线方程为丁-2=2。-2)即21-丁-2=().

【小问2详解】

由题意设。(人0)

因为4(2,2)是8。中点，所以8(4—1,4)

将8代入圆C方程得(4-r)2+(4-3)2=5

解得/=2拗=6

当，=2时.。（2,0）,此时/方程为x=2

当，=6时，£>（6,0）,此时/方程为x+2y-6=0

所以/方程为x=2或x+2），-6=0

21、（1）5：（2）1792）和1792—

【解题分析】（1）先求出〃=8,再写出二项式展开式的通项7；+|=*"2"『噂，令8-与eZ即可求解;

X2A>Ck~'x21-1

（2）设第k+i项系数最大，则」…一二L号+i，即可解得攵的值，进而可得展开式中系数最大的项.

X2A>C«+,x2i+,

【题目详解】（1）由题意可得：］+1=5,得〃=8,

2Y

X3=C；x2X*（0/8）,

x+忑j的展开式通项为=C*8dX2*

要求展开式中有理项，只需令8-当eZ,

2

所以2=0,2,4,6,8

所以有理项