2024年全国高考Ⅱ卷数学试题及答案

2024年普通高等学校招生全国统一考试（新课标n卷）

数学

本试卷共10页，19小题，满分150分.

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证

号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑写在试

卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草

稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

4考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，

只有•个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

1.已知z1i,则闾（）

A.0B.1C.72D.2

pIx

1|IK1;命题q：x0,x3x,则()

乱记的研施砧真命题B.P和q都是真命题

c.p和q都是真命题D.?和“

都是真命题

3.已知向量a,b满足卜|l|a2b|2,且b2ab,则M()

A.i-B.正C.在D.1

222

4某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产最（单位：kg）并

部分整理下表

亩产

[900,950)[950,1000)[1000,1050)[1100,1150)[1150,1200)

量

频数612182410

据表中数据，结论中正确的是（）

A.100块稻田亩产量的中位数小于1050kg

第1页/共29页

B.：00块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80%

C.100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间

D.100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间

5.已知曲线C：x2y216(y0),从C上任意一点P向X轴作垂线段PP,P为垂足，则线段PP

的中点M的轨迹方程为()

22

B.-211(y0)

164168

6.设函数fga(xD2c±gWC0SX当x(LI)时，曲线丫”/与〉2抬有一个

2ax

交点，则a()

A.1B.5C.1D.2

7.已知正三棱台ABC-&B£的体积为多，八口U，AB2AA

«),则与平面ABC所成角的正切值为

()

A.'B.1C.2D.3

8,设函数f(x)(xa)ln(xb),若,凶则a2b2的最小值为()

11i

A.-B.—C./D.1

842

二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的四个选项中,

有多项符合题目要求全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.

9.对于函数f(x)sin2xg(x)sin(2x-5,下列正确的有()

和4

A.f(x)与g(x)有相同零点B.f(x)与晨x)有相同最大值

C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期D.f(x)与g(x)的图像有相同的对称轴

m抛物线Cr：y'2dAM'J亚洸川1L1「川L上TJRJR'坦厂汴AA:X2(y4八)221的一条切线，八Q为巨切⑺点一,

过P作1的垂线，垂足为B,则()

A.1与A相切

B.当P,A,B三点共线时，|PQ|屏

C.当|PB|2时，PAAB

第2页/共29页

D.满足|PA||PB|的点P有且仅有2个

1L设函数f(x)2x33ax2I则()

A.当a1时，f(x)有三个零点

B.当a0时，x0

是f(X)的极大值点

C.存在a,b,使得xb为曲线yfW

的对称轴

D.存在a,使得点Lf1为曲线yf(x)

的对称中心

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分

a

12记S。为等差数列｛aj的前n顶和，若4i7,3a?您5S_______f

,则

10

131已知为第一象限角，为第三象限角，tantan4,tantanJ21,则

sin(),

14在如图的4X4方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有________种选法,

在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是.

11213140

12223342

13223343

15243444

四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

15.记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,己知sinA邓'cosA2.

(1)求A.

(2)若a2,^jBbsinCcsin2B,求ABC

的周长.

1G已知函数f(x)exaxm.

(1)当a1时，求曲线yf(x)在点I1\"

处的切线方程；

(2)若f(x)有极小值，且极小值小于0,求a的取值范围.

17.如图，平面四边形ABCI)中，AB8,CD3,AD5&,ADC90,BAD30,点E,

F满足AE-AD,AFLAB,将八AEF沿EF对折至'«

52，使得PC43.

第3页/共29页

D

(1)证明：EFPD；

(2)求面PCD与面PBF所成的二面角的正弦值.

1&某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名

队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成员为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶

段，由该队的另一名队员投篮3次，每次投中得5分，未投中得()分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总

和.某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p,乙每次投中的概率为q,各次投中与否相

互独立.

⑴若口q八

,甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率.

(2)假设0pq,

(i)为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？

(ii)为使得甲、乙，所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？

19.已知双曲线C:x2y2mli0p54kOki.按照如二方式依次构

，点为常数，

造点pnn2，..，过P作斜率为k的直级与c解左支交于点电一，令P为Q

n1nnI关于轴的对称点，

记P的坐标为xn,y.

nn

(1)若kJ_,求x,y

2；

22

1k

(2)证明：数列x1.y的等比数列；

是公比为1k

(3)设Sn为RRR；的面积，证明：对任意的正整数nSS.

第4页/共29页

2024年普通高等学校招生全国统一考试（新课标n卷）

数学

本试卷共10页，19小题，满分150分.

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证

号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑写在试

卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

3.填空题和解答题的作答：我黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草

稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

4考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.

一、单项选择题：木大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，

只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

1.已知z1i,则闾（）

A.0B.1C.&I).2

【答案】C

【解析】

【分析】由复数模的计算公式直接计算即可.

【详解】若z1i,则忖J―\\

故选：C

R]।*；命题（1：x0,x3x,则（）

山记树।命槌同真命题P和q都是真命题

cp和q都是真命题D.叫口

都是真命题

【答案】B

【解析】

【分析】对于两个命题而言，可分别取x=1、L再结合命题及其否定的真假性相反即可得解.

【详解】对于p而言，取圻1,则有L।1,pp

是假命题,是直命题.

第5页/共29页

q,则有？fixqq

对于而言，取^，故是真命题，是假命题，

综上，Pq

和都是真命题

故选：B.

3.已知向量a,b满足卜|1卜2b|2,且b2ab,则什（）

A.B.走C.®D.1

222

【答案】B

【解析】

【分析】由b2ab得个2ab,结合卜|1卜2b|2,％4ab4b?16）2/，HIULKP

4

得解.

【详解】因为b2ab,所以b2ab0,BPb2,

2ab

又因为aLa2b2,

4ab4b21（b24'

从而卜）叵

2

故选：B.

4.某农业研究部门在面积相等的10（）块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位:kg）并

部分整理下表

亩产

[900,950)[950,1000)[1000,1050)[1100,1150)[1150,1200)

最

频数612182410

据表中数据，结论中正确的是（）

A.100块稻田亩产量的中位数小于1050kg

B.：00块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80%

C.：00块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间

D.100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间

【答案】C

【解析】

第6页/共29页

【分析】计算出前三段频数即可判断A；计算出低于1100kg的频数,再计算比例即可判断B；根据极差计

算方法即可判断C；根据平均值计算公式即可判断D.

【详解】对于A,根据频数分布表可知，612183650,

所以亩产量的中位数不小于1050kg,故A错误;

的频数为241034,

Ti,oekg产量不低于

的稻田占比为10°3466%,故B错误;

100

对于C,稻田亩产量的极差最大为1200900300,最小为1150950200,故C正确;

对于D,由频数分布表可得，亩产量在suuu,LlUU/的频数为］00(612182410)

30

所以平均值为「一(6925

12975181025301075241125101175)1067，故0错误

100

故选；C.

5.已知曲线C：x216(y0),从C上任意一点P向x轴作垂线段PP,P为垂足,则线段PP

的中点M的轨迹方程为()

A.EX2

1(y°)B.—r1(y0)

1616?

1(yQ)

c.Z1(y0I),Z£

167)16

【答案】A

【解析】

【分析】设点May),由题意，根据中点的坐标表示可得P(x,2y),代入圆的方程即可求解.

【详解】设点MGy),则Pa%),P&0),

因为M为PP的中点，所以丫2y,即P(x,2y),

0

又P在圆x2y216(y0)±,

所以x?4y216(y0),即E£

i(y0),

164

即点M的轨迹方程为1T即

故选：A

6.设函数f3a(xD2cx，gWCOSX,当X(11)时,曲线y式立yg■有一个

2ax

交点，则4()

第7页/共29页

A.1B-rC.1D.2

【答案】D

【解析】

【分析】解法一：令Fxax2aIGxcosx,分析可知曲线丫「凶与丫uw

恰有一个交点,

结合偶函数的时称性可知该交点只能在y轴上,即可得a2,并代入检验即可；解法二：令

f(x)gX,X1,1,可知

hxhh

即可得a2,并代入检验即可.为偶函数，根据偶函数的对称性可知的零点只能为0,

【详解】解法一：令f(x)gx,即a(xI)?1cosx2ax,可得ax?a1cosx,

令Fxax2a1Gxcosx，

原题意等价于当x(11)时，曲线丫uw

恰有一个交点，

注意到Fx,Gx均为偶函数.可知谈交点只能在y轴上.

可得，即a11,解得a2,

F0G0

若a2,令FxGx，可得2x2icosx0

因为x1,1，则2x?Q।cosx0x0

,当且仅当时，等号成立，

可得2x21cosx0,当且仅当x0时，等号成立，

则方程2x21cosx0有且仅有一个实根0,即曲线丫F(x：与yG(x)

恰有一个交点，

所以a2符合题意；

综上所述：a2.

解法二：令f(x)gxax2a1cosx,x1,1,

hx

原题意等价于h有且仅有一个零点，

因为hxax2a1cosxax2a1cosxhx,

则hx为偶函数,

根据偶函数的对称性可知白人技只能为0,

即h0a20,解得a2,

第8页/共29页

若a2,则2x21cosx,xLI

hx

又因为2x?Q1cosx0x0时，等号成立，

当且仅当

可得八x0

hxu,当且仅当时，等号成立，

即hx有且仅有一个零点0,所以a2符合题意；

故选:D.

7.己知正三棱台ABC的体积为好，八口U,,A,B2AA

3,则与平面ABC所成角的正切值为

()1

A.，B.1C.2D.3

【答案】B

【解析】

【分析】解法一：根据台体的体积公式可得三棱台的高h士叵，做辅助线，结合正二校台的结构特征求

3

得AM2回，进而根据线面夹角的定义分析求解：解法二：将正三棱台ABC-补成正三棱锥

3

PABC,A)与平面ABC所成角即为PA与平面ABC所成角，根据比例关系可得V18

P谢，进而可

求正三棱锥PABC的高，即可得结果.

【详解】解法一：分别取BC,B1。的中点I),D.,则AD=3MA1%二占，

可知SABC：66孚9&Sy三2小串,

设正三棱台ABC-%BC

［的为h,

MVABCABC小小血丁耳h*解得h年.

•ioJ3

如图，分别过％,D作底面垂线，垂足为M,NAMx

i得

第9页/共29页

贝k'A]-^AM2+A1M,DN=AD-AM-MN=2痣-x,

可得DD1一~DLN7J2邓x29,

结合等腰梯形BCC1B可得BB/—DD：,

112

16-216A小

p即nx2—2oV/3x丁44x—，

33，解得3

1k1V1

所以AA与平面ABC所成角的正切值为tanDAlAD二一厂二1；

iAM

解法二：将正三棱台ABC-A国储补成正三棱锥PABC

则AA与平面ABC所成角即为PA与平面ABC所成角,

1

因嚅曙r则—5

可知ABCJ\BC—VPABC—,则V18,

II273PABC

LdL66迈18,解得d

设正三棱锥PABC的高为，则二w

322

取底面ABC的中心为—则P0底面ABC,且AO2不

P0'

所以PA与平面ABC所成角的正切值tanPAO—1.

AO

故选：B.

&设函数f(x)(xa)ln(xb),若,W°,则a2b2的最小值为()

111

A.-B.-C'I).

842

【答案】C

【解析】

第10页/共29页

【分析】解法一：由题意可知：f(x)的定义域为b,您讨论a与b,1b

的大小关系，结合符号

分析判断，即可得U&，1■代入可得最值；解法二：根据对数函数的性质分析ln(xb)

的符号，进而可

得：《a的符号，即可得uaJ代入可得最值

【详解】解法一：由题意可知：f(x)的定义域为b

令Ka0解得xa；令ln(xb)0x1b

解得

若ab,当Xh1b时,可知xaQInxbC1

此时f(x)0,不合题意;

若ba1b,当xa1b时，可知xaQinxb0

此时f(x)0,不合题意;

若a1b,当xhlb时，可知xaQinxb0,此时f(x)0

当K1h时，可知XaQInxb0iWu

,此时

可知若a1b,符合题意:

若a1b,当x1haxaQInxb0

时,可知

此时f(x)0,不合题意；

b

综上所述:a1b,即口a1

£11，当且仅当aL时，等号成立,

则a?b22af2ab

222r2

所以M/的最小值为另

解法二：由题意可知：f(x)的定义域为b

令ma0解得xa；令ln(xb)0x1b

解得

1uau

贝Ij当Xhlb时，0xa0,所以

Inxb,故

X1b,时,Inxb0,故所以1ba0

xa0

121

u2£

",则a?ba-aI22a—

222

第11页/共29页

当且仅当al,bL时，等号成立,

22

所以a?b2的最小值为卜

故选：c.

niVA"的根，以根和函数定义域为临界，比较大小分类讨

00、

论点醋介彼飕性母析判毓别求xa

二、多项选择题：本大题共3小题,每小题6分，共18分在每小题给出的四个选项中,

有多项符合题目要求全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分

f(x)sin2xg(x)sin(2x-5,下列正确的有()

9.对于函数

和4

A.f(x)与g(x)有相同零点B.f(x)与g(x)有相同最大值

C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期D.f(x)与g(x)的图像有相同的对称轴

【答案】BC

【解析】

【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式,对称轴方程逐一分析每个选项即可.

IzJT

【详解】A选项，令f(x)sin2x。，解得x—,kZ,即为f(x)零点，

2

令g(x)sin(2x0,解得x——,kZg(x)

428,即为零点,

显然f(x),g(x)零点不同,A选项错误;

B选项，显然f(x)maxg(x)max1,B选项正确

C选项，根据周期公式，f(x),g(x)的周期均为勺n

2,C选项正确;

D选项，根据正弦函数的性质f(x)的对称轴满足2xku(xy二kZ

224

x州丝kZ

g(x)的对称轴满足2x-kn-

4228

显然f(x),g(x)图像的对称轴不同,0选项错误

故选：BC

2dATJ加我川I•K/JI7工比JWJM，XJ.K1T,

抛物线c：yA:x(y4尸1的一条切线，Q为切点,

过P作1的垂线，垂足为B,则()

A.1与A相切

B.当P,A,B三点共线时，|PQ|屏

第12页/共29页

C.当缸PAAB

D.满足|PA||PB|的点P有且仅有2个

【答案】ABD

【解析】

【分析】A选项，抛物线准线为X=1BP,A,B

,根据圆心到准线的距离来判断；选项，三点共线时，先

求出P的坐标，进而得出切线长；C选项，根据|PB|2先算出P的坐标，然后验证kk'是否成立;

PAAB

D选项，根据抛物线的定义，|4|PE广是问题转化成|PA||PF|的p点的存在性问题，此时考察AF

的中垂线和抛物线的交点个数即可，亦可直.接设P点坐标进行求解

【详解】A选项，抛物线y24x的准线为x=1,

A的圆心(0,4)到直线x=1

的距离显然是1,等于圆的半径,

故湮线1和A相切,A选项正确；

B选项，P,AB三点共线时，即PA1y4

,则P的纵坐标

由J4xpx=，故P(4,4)

，得到________，

此时切线长㈣Mr7犷7m，B选项正确;

C选项，当|PB|2时，x1,此时y24xP4,故，

「「P(l,2)或

A942

当P(L2)时，A(0,4),B(1,2),kI,AS2,kAB厂西2

不满足kki；

PAAB

当P(L2)时，A(0,4),B(L2),kPA，0,6,kAB:1j6

不满足kk

PAAB

于是PAAB不成立，C选项错误;

D选项，方法一：利用抛物线定义转化

根据抛物线的定义，|PB||PF|,这里F(L0)

于是|PA||PB|时P点的存在性问题转化成|PA||PF|

时P点的存在性问题,

第13页/共29页

0广点"中点p2，AF中垂线的斜率为由.

9

2x15

于是AF的中垂线方程为：y--—，与抛物线y?4x联立可得;

oyioyouu

1624301360，即AF的中垂线和抛物线有两个交点，

即存在两个P点，使得|PA||PF|,D选项正确.

方法二：(设点直接求解)

t2

,又A(Q4)|PA||PB|

设P_t,由PB1可得

4＞又

根据两点间的距离公式,1’整理得：16t300,

1624301360t

,则关于的方程有两个解,

即存在两个这样的P点,D选项正确.

故选：ABD

A.当a1时，f(x)有三个零点

B.当a0时，x0

是f(X)的极大值点

C.存在a,b,使得xb为曲线yl(x)

的对称轴

D.存在a,使得点Lf1刈晚yf(x)

的对称中心

【答案】AD

【解析】

【分析】A选项，先分析出函数的极值点为x0,xa,根据零点存在定理和极值的符号判断出f(x)

在

(L0),(Qa),(82a)上各有一个零点：B选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C选项，假设存

第14页/共29页

在这样的&bf(x)f(2bx)

，使得xb为t(x)的对称轴，则为恒等式，据此计算判断；D选项，若存

a(1,33a)为f(x)的对称中心，则f(x)f(2x)66a

在这样的，使得，据此进行计算判断，亦可利

用拐点结论直接求解.

【详解】A选项，f(x)6x26ax6x(xa),由于a1,

故K,0a,时f(x)O'故f(x)任，3,弹调递增

x(Qa)时，f(x)0

,f(x)单调递减，

则f(x)在x0处取到极大值，在xa

处取到极小值，

由八丫_Lu,八*30f(0)f(a)0,

1a，则

根据零点存在定理f(x)在(Qa)上有一个零点，

V1

又%3"u.10,则f(])f(0)o,f(a)f(2a)0,

则f(x)在(10),(a,2a)上各有一个零点，于是a1

时，f(x)有三个零点，A选项正确；

B选项，f(x)6x(xa)0

x(a,0),f(x)0，f(x)单调递减，

x(Q)f(x)0Ja<时'

时，f(x)单调递增，

此时f(x)在x0处取到极小值，B选项错误；

C选项，假设存在这样的a,b,使得xb为f(x)的对称轴，

即存在这样的a,b使得f(x)f(2bx)

32

即2x33ax2i2(2bx)3a(2bx)1,

根据二项式定理，等式右边(2bx»展开式含有X3的项为2c：(2b)°(x)32x\

于是等式左右两边X，的系数都不相等，原等式不可能恒成立，

于是不存在这样的a,b,使得xb为f(x)的对称轴，C选项错误；

I)选项，

方法一：利用对称中心的表达式化简

f(l)33aa(1,33a)

,若存在这样的，使得为f(x)的对称中心，

则f(x)f(2x)66a,事实上，

f(x)f(2x)2x3Sax?12(2x)33a(2x)21(126a)x2(12a24)x1812a,

第15页/共29页

于是66a(126a)x2(12a24)x1812a

126a0

即12a240,解得口乙，即存在&乙使得5〃是的对称中心，D选项正确

1812a66a

方法二：直接利用拐点结论

任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点,

f(x)2x33ax2,,f(x)6女6axf912x6a

由x于是该三次函数的对称中心为-,f-

f(x)0222

由题意㈠,社〃也是对称中心，鼠1a,2

2

即存在a2使得L''〃是f⑴的对称中心，I)选项正确

故选：AD

【点睛】结论点睛：(1)f(xi的对称轴为xbf(x)f(2bx)；(2)f(x)关于(a,b)

对称

f(x)f(2ax)2b；(3)任何三次函数f(x)ax3b〉：2exd都有对称中心，对称中心是三次

b

函数的拐点，对称中心的横坐标是f(x)0的解，即是三次函数的对称中心

♦3a

三、填空题：木大题共3小题，每小题5分,共15分.

12记S”为等差数列｛aj的前n项和，若％a47,3a2&5S

则

10

【答案】95

【解析】

【分析】利用等差数列通项公式得到方程组，解出a,d,再利用等差数列"'求和公式节即可得到答案.

q2d3d7q4

【详解】因为数列''为等差数列，则由题意得3qd

q4d5,解得d3

109

则SlOal——-d10445395

io2

故答案为：95.

13.已知为第一象限角，为第三象限角，tantan4,untan1,则

sin()

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【答案】

【解析】

【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得tan才2,再缩小的范围，最后结合同角

的平方和关系即可得到答案;法二：利用弦化切的方法即可得到答案.

tantan

【详解】法一：由题意得宜1

1tantan

3冗

因为2kn,2kJi-2Mok,m2

22

则2nl2kJi%2rn2kn2n,k,mZ

又因为Un0,

3nU

则2m2kJi—2m2kn2nk,mz,则sin

2

sin

则——sin2cos21，解得sin

cosw晨联立

法二：因为cos0,cos0

为第一象限角,为第三象限角，则

cos1cos1

cos2

Jsidcos2Jtan2"in士COSTJtan2

则sin()sincoscossincoscosfta