2024新高考数学基础知识梳理与课本题目巩固-模块07-导数及其应用

2024新高考数学基础知识梳理与课本优秀题目巩固•模块07-

导数及其应用模块七：导数及其应用

1、函数的平均变化率

一般地，若函数y=/(x)的定义域为D，且

XVX2eD,X1%2，%=/(%1)，丫2=/(%2)，

则称

Ax=x2—x1

为自变量的改变量;称

—%(或4=f(%2)-/(一))

为相应的因变量的改变量;称

二二-2-yj或"=/(x2)-/(%i)\

JxX2-%1\Axx2-xx)

为函数y=/(x)在以刈,不为端点的闭区间上的平均变化率，其中“以与,％2为端点

的闭区间”，在<%2时指的是由,％2］，而X1>x2时指的是2

平均变化率的实际意义是，在以修,必为端点的闭区间上,自变量每增加1个单位，因

变量平均将增加?个单位.因此，如果自变量增加h个单位,那么因变量将增加个单

位.个单位.

说明:在<x2时4%>0；在.>%2时V0；

平均变化率作用：刻画函数值在以与/2为端点的比区间上变化的快慢

依照定义可知，函数在一个区间内的平均

图6-1-1

变化率,等于这个区间端点对应的函数图象上两点连线的斜率.例如，图6-1-1中函

数y=/(%)在［%1,%2］上的平均变化率，等于直线AB的斜率，其中

4(尤1，/01))，8(52，/3))・

因此，平均变化率近似地刻画了函数对应的曲线(即函数图象)在某一区间上的变化

趋势,是曲线倾斜程度的“数量化”,曲线的倾斜程度是平均变化率的“直观化”.

2、瞬时变化率与导数

(1)函数在某点处的导数：

如果当AxT0时，平均变化率%无限趋近于一个确定的值，即祟有极限，则称y=

/(X)在X=X0处可导，并把这个确定的值叫做y=/(%)在X=x0处的导数

(derivative)(也称为瞬时变化率)，记作尸(无())血y'ly,即

f,(、］.功］./Go+4%)-/'Go)

fUo)=hm—=lim-------------------------

(2)导数的几何意义

1)

2)曲线y=f(x)在点(x0J(x0))(也称在x=和处)的切线方程是:3、导函数(简

称导数)

一般地，如果函数y=f(x)在其定义域内的每一点A-都可导，则称“乃可导.此时，对

定义域内的每一个值%，都对应一个确定的导数/(无).于是，在f(x)的定义域内，

ff(x)是一个函数，这个函数通常称为函数y=f(x)的导函数，记作:(%)(或

即

/(X+3/⑺

fM=yf=yi=Jim

,

4、导数公式表

⑴C'=⑵(/)，=⑶G)'=⑷(⑨’=⑸(为’=

(6)(axy=(8)(log9=(9)(In%)，=

(10)(sin%)'=-3;(11)(cosx)z=

5、导数的四则运算

(1)[fM±gMY=

(3)[需]'=；(4)[c=

4、复合函数的求导法则

一般地，如果函数y=/(u)与a=gM的复合函数为

y=九(无)=/(。⑼，

则可以证明，复合函数的导数〃(%)与尸(〃)，9'(%)之间的关系为

"(%)=(。(%))丫=/'Q)g'(x)=广(g(%))g'(x).

这一结论也可以表示为

y'x=同心

5、导数与函数的单调性

(1)在某个区间(a,b)内,如果/(%)=0，那么函数y=/(%)在区间(a,b)内单调递

增;如果PW=0,那么函数y=f(x)在区间3b)内单调递减;特别说明:在某个

区间(a,b)内恒有/'(%)=0,函数y=/(%)在区间(a,b)内是一个常函数.

结合函数/(%)=%3研究:如果函数人%)在区间(a,b)内单调递增,那么在区间

(a,b)内必有/'(%)>0吗？

(2)函数y=/(%)的导函数是尸(%).若函数单调递增，则:若函数单调递减，则

(3)|/(%)|的大小表示函数值的变化快慢,图象的陡缓：

6、导数与函数的极值

⑴函数的极值

一般地，设函数y=/(%)的定义域为。，设&E0，如果对于%0附近的任意不同于

见的x(1),都有

(1)求函数y=/(x)在区间(a,b)内的极值；

(2)将函数y=/(x)的各极值与端点处的函数值/(a),/(b)比较，其中最大的一个

是最大值,最小的一个是最小值.

8、重要母函数的图象和性质

解析式

图像

定义域(一8,0)

U(0+8)

解析式,、Inx

fM=—

人

图像r，、Inx

JfM=—

定义域(0,4-00)

9、常用于求或恒成立、或有解、或无解命题中的参数取值范围：

设函数/(%)的值域为(a,b)或[a,b\或(a,b]或\a,b)中之一种，则

⑴若A>/(%)恒成立(即A<f(x)无解)，则A>[/(%)]max;

⑵若44f(%)恒成立(BPA>f(x)无解)，则A<[/(x)]min;

(3)若JNf(x)有解(即存在x使得A>f(x)成立)则A>lf(x)]min;

(4)若A<f(x)有解(即存在r使得A<f(x)成立)，则A<[/(x)]max;

⑸若A=/(%)有解(即A0f(x)无解)，则AG{y|y=/(%));

(6)若A=f(x)无解(即A0f(x)有解)，则A6y{y|y=/(%)].

【导数中的重要方法总结】

★1、切线问题：

(1)已知切点(%oJ(xo))，求切线方程的解题步骤：

(1)求导数值f(x);(2)切线方程为:y-/(%o)=-Xo).

(2)过点(Q,b)的切线方程求解步骤：

(1)设切点(%0J(x0));(2)切线斜率为:偿?=尸(%。)=x0

(3)方程为:y-/(%0)=/(久)(%-％o)；

(3)求y=f(x)与y=g(x)的公切线的步骤:

(1)设切点(对,/(与)),(乃，。(次))；(2)求导列关系式k=等等=/(修)=

兀1“2

g'(%2)

(3)根据上面的关系式解出X］或x2;(4)回代入(2)中求出k，如k=，(M);

(5)利用点斜式求出切线，如y-/(与)=-Xi).

o2、参数取值范围：

(1)函数定义域:解决函数问题,定义域优先.

(2)分离参量:利用分离参量的思路将题目给的参数移到一边.a<hM

(3)恒成立和成立问题：

(1)恒成立:/(%)<a恒成立<=>f(x)max<a;/(x)>a恒成立<=>fMmin>a;

(2)成立:/(%)<a成立=/(x)min<a/(x)>a成立<=>/(%)max>Q

(4)导函数零点可求:导函数零点可求时,运用常规方法可求得函数最值,进而可得参

数取值范围.步骤：/(%)定义域->ffM-求f'M零点一列表->判断增减性t得

最值.※3、导函数零点不可求的处理方法:需要单独设分子为新函数,求导推出原函

数单调性.(1)分类讨论法(证明不等式成立上通过对原函数或者导函数进行因式分

解,对局部函数进行研究，找出参数分界值,在分段区间上证明题意成立,从而印证该

区间参数可以取到单调性讨论:分离出参量后,构造新函数,求新函数最值,若新函数

的导函数零点不可求往往需要对分式分子进行求导(整式直接进行二阶求导工若得

到的式子不能比较直观的判断正负则继续求导,直到得到的式子能比较直观判断正

负,进而推出前面几阶导数的增减和正负,直到可以确定原函数增减性.(2)分离参量

法：

(1)隐零点:通过虚设零点进行等量代换求解函数的最值.

“虚设代换”法:导函数r(x)的零点无法求出显性的表达时，可以利用设而不求的思

想.

(1)在证明零点存在后，假设零点为右，则可得到一个关于X。的方程尸(%。)=0

(2)根据:(%)的单调性，得出“。两侧的正负，进面得出原函数的单调性和极值/(%);

(3)将(1)式中关于X。的方程整体或局部代入/(%)，从而求得/(%)，然后解决相关

问题.注意：使用尸(丫。)=0进行”指幕代换“(或“对幕代换)及最转化为幕函数进

行讨论.(2)洛必达法则:在驻点不可求时,往往需要讨论函数的增减性,这时,函数的

最值往往在间断点处取得，所以需要通过极限计算的方法求出函数的最值.求极限

时,函数的极限如果满足未定式，史.则需通过分子分母分别求导再求极限来确定

0co

未定式的值.

即:=笔

g(x)g\x)

。4、证明单变量不等式

(1)核心考点:主要思路是把问题转化为函数最值问题，譬如证明/(%)>gM：

策略一:移项，构造函数，证明(/(X)-g(x))mE>0；

策略二:放缩，证明/(x)>/(%)>gM，一般/(X)为切线；

策略三:变形，证明>g(x)max，该法并非通法，但有时对证明有意想不到的效

果.

(2)函数放缩化曲为直:在处理函数不等式或者求解函数近似解中，由于原函数比较

复杂,常用化曲为直的方法进行放缩,以曲线上某点处的切线进行放缩,前提条件是

放缩对象具有凹凸性(二阶导恒大于或小于0).

常见的化曲为直有：

基础指数切线放缩:铲>对数切线放缩:Inx<

%4-1X—1

引深(1)e'T>x>ex>ex(1)Inx(用:替换

(切横x=1)(2)X，切点横坐标是X=

铲+。2％+Q+1(用

x+a替换工，切点低坐e)(2)(用

:替换心切点横龌标

标是x=-a),(3)

xex>%+Inx+1.(用%=1)，或者记为

%4-Inx替换x,切点横xlnx>x—1.(3)

基础指数切线放缩:眇>对数切线放缩：Inx<

X+1x-1

坐标满足%4-Inx=0).Inx<x2—

(4)ex>y%2>x.

x2(x>0)(用|替换x,ln(x+1)Wx,由Inx<

切点横坐标是久=2);%-1向左平移一个单

位,或者将ex>x+l

有丽工e•：(%>0)的

构造脑型.两边取对数而来.

。5、证明双变量不等式

(1)利用变量之间的关系转化(消元或捆绑换元)为单变量的不等式证明；

⑴当%i<g时，令t=x—XtE(0,4-oo);(2)当0</VM，令£=』€(0,1).

2lft2

(2)分拆变量，证明极值点偏移

(1J极值也偏移:对/(%)有/(%1)=/(%2)(%1<%2)*0是函数/W的极值点，且

々€(修/2)

若号<%。，称为极值点右偏;若铝>沏称为极值点左偏.

(2)分拆变量利用单调性证明极值点偏移的思路(以与+x2<2%0为例)：

i、将所证不等式中的变量分到不等式的两边(/<2%0-%2)；

ii、构造对称函数g(%)=/(%)-f(2%-％2)；

iii>利用导数研究函数gM的单调性(单调递增)；

iv>由函数g(x)的单调性判断g(x)与g(&)的大小(g(x2)>g(x0)=0)；

V、利用f(x)单调性反推变量大小，从而(/(%!)=/(%2)>f(2x0-久2)=%1+%2<

2x0)(3)对数平均不等式:两个正数Q和b的对数平均定义:L(Q,b)=

廊而(°丰8),对数平均与算术平均、几何平均的大小关系:痛＜L(a,b)

la(a=b).2

此式记为对数平均不等式.取等条件:当且仅当Q=b时，等号成立.

(3)双变量恒成立、能成立问题的最值等价条件：

⑴eAVX2GB，使得:/(%I)>g(》2)，则:/a)min之g(%)max；

(2)V%1GA,3%26B，使得：/Oi)>g(%2)，则之iCOmin；

(3)3Xje4,V%2€B，使得:/(“1)>1(必)，则:f(x)max之9(x)max；

(4)3%IGA,3X2GB，使得:f(%I)>g(%2)，则：/(%)max之9(%)min；

a

(5)V%i，%2EA，使得：If01)-f(X2)l<a，则：/COgx—/Wmin工；

(6)BxltX2E4,使得：|f(%i)-/(%2)12Q，则：/(%)max-/(%)min之。；。6、抽象函

数的导函数构造

(lJx/Xx)+/(%)>0<=>[xfMY>0;%/'(%)-/(x)>0<=>>0

当x>0时,xf'(x)+n/(x)>00[%"(%)]'>0;xf'(x)—n/(x)>0<=>>

0

(2)f'M+/(%)>0=©/(%)『>O;f'M~/(x)>0o[等]>0

f'M+f(x)>Qo[ex(JM-a)],>0;/z(x)-/(%)>a<=>J"?；")>0

sinxf'(x)+cosx/(x)>0

(RR、/",/、，，/、八=[sinxfMY>0

xE(——tan%/(%)+f(x)>0

r

s\nxf(x)—cosx/(x)>0mi

>0

xGtan”/(x)—/■(*)>0[sinxj

乙乙

ff

cosxfM-sinxfM>0)r乙.cosxfM+sinxfM>°

/X%)-tanx/(x)>0J=叱4%%((x)+tan%/(%)>0

回>0

cosx

【课本优质习题汇总】

新人教A版选择性必修二P70

r

o\I23*

(第2题)

2.函数/(%)的图象如医所示，下列数值排序正确的是().

(A)尸⑴>/⑵〉/z(3)>0(B)/⑴</⑵V广(3)<0

(c)o<r(i)<r(2)</⑶⑼r(i)>/⑵>o>/⑶新人教A版选择性必

修二P81

6.已知函数/(%)满足/(x)=fQ)sinx-cosx,求f(x)在x=?处的导数.

7.设函数/(X)=l-c^的图象与x轴相交于点P,求该曲线在点P处的切线方程.

8.已知函数/(x)=y+2%-31nx，求f(x)的导数，并求出f\x)>0的解集.

新人教A版选择性必修二P82

11.设曲线y=e2ax在点(0,1)处的切线与直线2x-y+l=0垂直，求a的值.

新人教A版选择性必修二P94

2.证明不等式:x-1>\nx,xG(0,+8).新人教A版选择性必修二P98

7.将一条长为I的铁丝截成两段，分别弯成两个正方形.要使两个正方形的面积和最

小,两段铁丝的长度分别是多少？

8.将一个边长为a的正方形铁片的四角截去四个边长均为%的小正方形，做成一个

无盖方盒.

(1)试把方盒的容积V表示为x的函数；

(2)x多大时，方盒的容积V最大？

新人教A版选择性必修二P98

9.用测量工具测量某物体的长度，由于工具的精度以及测量技术的原因，测得几个数

据

Ql，Q2，Q3，一.，Qn

证明：用71个数据的平均值

"5%

i=l

表示这个物体的长度，能使这n个数据的方差

n

f(%)—%)2

i=l

最小.

新人教A版选择性必修二P99

11.已知某商品进价为Q元/件，根据以往经验，当售价是b[b>|a)元/件时,可卖出

c件.市场调查表明，当售价下降10%时，销量可增加40%,现决定一次性降价，售价

为多少时，可获得最大利泡？

12.利用函数的单调性，证明下列不等式,并通过函数图象直观验证：

(1)ex>1+%,工00;(2)Inx<x<ex,x>0.新人教A版选择性必修二P103

3.已知函数y=/(%)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=ff(x)的图象如

图所示，则该函数的图象是().

(A)

（D）

⑻（C）

6.一杯80℃的热红茶置于20℃的房间里,它的温度会逐渐下降，温度7（单位:'C'）与

时间”单位:min）之间的关系由函数T=/（£）给出.

（1）判断,（£）的正负，并说明理由.

（2）f（3）=-4的实际意义是什么？如果/（3）=65P,你能画出函数/«）在£=3

时图象的大致形状吗？

新人教A版选择性必修二P104

11.如图，直线2和圆P,当/从Zo开始在平面上按逆时针方向绕点。匀速转动（转动

角度不超过90。）时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数.这个函数的

图象大致是（）.

I。

（第11题）

s

o

(D)

新人教A版选择性必修二P104

17.作函数y=胃声的大致图象.

18.已知函数/(x)=ex-ln(x+m).当mW2时，求证f(x)>0.

19.已知函数/(%)=ae2x+(Q-2)ex-x.

(1)讨论/(X)的单调性;(2)若f(x)有两个零点，求Q的取值范围.

新人教B版选择性必修三P67

(第5题)

6已知甲、乙两人百米赛跑路程与时间的关系如图所示.

(1)甲、乙两人的平均速度各是多少？

(2)在接近终点时,甲乙两人谁的速度更快？

新人教B版选择性必修三P90

(3)已知曲线y=9-31nx+1的一条切线的斜率为1求切点的横坐标.

(4)求/⑶=(%2-3%-i-1)铲的导数，并求出曲线y=/(%)的平行于％轴的切线的

切点坐标.

新人教B版选择性必修三P91

(5)设］是曲线y=：的一条切线，证明I与坐标轴所围成的三角形的面积与切点无

关.“

(6)求满足下列条件的直线I的方程.

(1)过原点且与曲线y=Inx相切；

(2)斜率为e且与曲线y=ex相切.

(7)设曲线y=2x3在(Q,2a3)处的切线与直线x=a,y=O所围成的三角形面积

为1求Q的值.

(3)已知函数/(%)=4%2,且曲线y=/(x)在点(Lf(l))处的切线方程为，，直线m

平行于直线2且过点(0,-6).

(1)求出直线/与TH的方程；

(2)指出曲线、=/(%)上哪个点到直线m的距离最短，并求出最短距离.

(9)已知/(%)=4,求/(9.05)的近似值.

新人教B版选择性必修三P91

2

(3)已知抛物线C1：y=丫2+2%和C2:y=-%+a，如果直线I同时是G和C2的切

线，称，是C1和C2的公切线，则a取什么值时,C1和C2有且仅有一条公切线？写出此

公切线的方程,新人教B版选择性必修三P102

(1)已知函数/(x)=x3-x2-x-l的图象与直线y=c有3个不同的交点，求实

数c的取值范围.

(5)己知e*N2q+1恒成立，求k的取值范围.

(3)已知函数y=k(x-1)与y=In%的图象有且只有一个公共点，求k的取值范围.

新人教B版选择性必修三P102

(1)利用导数求一元二次函数y=Q/+b%+c(a芋0)的单调区间与最值.

(2)若函数/(x)=-%3+a/+bx+l在％=1时有极值，试求函数/(%)的极值,并

求函数/⑺在区间卜3,|］上的最值.

新人教B版选择性必修三P108

⑴已知正方形ABCD的边长为1,而E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA上的点，且四

边形EFGH也是正方形，求四边形EFGH面积的最小值.

(2)在等腰梯形ABCD中，已知上底CD=40，腰AD=40，则AB为多少时等腰梯形

的面积最大？

(3)已知等腰三角形的周长为2p,将该三角形围绕底边旋转一周形成几何体，则三角

形的各边长分别是多少时所得几何体的体积最大？

(4)要做一个容积为216mL的圆柱形封闭容器，高与底面直径分别为何值时,所用材

料最省？

(5)若xllx2,*'*,xn是一组已知数据，令

2

s(%)=(X-/)2+(X-%2)+…+0-Xny,

用导数求X取何值时S(X)取得最小值.

新人教B版选择性必修三P113

5.已知a>0且/(%)=ax4-静+2-2a,若/(x)>21nx在［1,4-oo)上恒成立，求

实数Q的取值范围.'

2

6.若函数/(%)=x-1lnx+1在其定义域内的一个子集(a-1,Q+1)内存在极

值,求实数Q的取值范围.

7.已知/(x)=ex-ax,

(1)求/(x)与y轴的交点A的坐标；

(2)若/(X)的图象在点4处的切线斜率为-1,求/(%)的极值.

8.已知x轴为函数f(x)=X3++；的图象的一条切线,求实数Q的值.新人教B

版选择性必修三P113

9.求曲线y=In罟在x=0处的切线方程.

10.函数/(%)=xsinx,xG[--ri,n]的图象大致是().

y

-nOHx

(A)

y

-nOnx

(B)

⑹

o

-itOnx

(D)

a,

11.设函数f(x)=晨

(1)若a=0,求/(%)的最大值；

(2)若/(%)无最大值,求实数a的取值范围.

12.要在半径为0.5m的圆桌中心正上方安装一个吊灯,已知桌面上灯光的强度可以

用y=女警表示，其中r是灯与桌面上被照点的距离,(p是光线与桌面的夹角.为使

桌边最亮;吊灯应离桌面多高？

13.设函数/(%)=V%24-1-QX,其中Q>0，若函数/(%)在［0,+8)上是减函数，试

求实数a的取值范围.

新人教B版选择性必修三P114

14.证明：当％>0时,ln(l+x)<%.

15.已知函数/'(%)=x3+bx2+ex+d在(-oo,0］上是增函数，在［0,2］上是减函数,

且方程/(久)=0有3个实数根，它们分别是atp,2.

(1)求实数c的值；

⑵求证:/⑴>2;

⑶求|a—0］的取值范乱

新人教B版选择性必修三P114

1.设函数f(x)=x3+ax2+bx+c,

(1)求曲线y=/(%)在点(0,/(0))处的切线方程；

(2)设Q=b=4，若函数/(x)有3个不同零点,求实数c的取值范围；

(3)求证:Q2一3b>0是/(%)有3个不同零点的必要不充分条件.

2.若函数/(无)在R上互导，且满足/(%)-xffM>0，判断3f⑴与/(3)的大小.新

人教B版选择性必修三P114

3.设函数/(%)=xear+bx，曲线y=/(x)在(2,/(2))处的切线方程为y=(e-1)

x+4.

(1)求实数Q,b的值；

(2)求f(%)的单调区间.

32

4.已知函数/(%)=ax-3x+1,若f(x)存在唯一的零点%0，且工。>0，求Q的取

值范围.

5.已知函数f(x)=ex(2x—1)-ax+a,其中a<1，若存在唯一的整数出使得

/(%o)<0，条实数a的取值范围.

6.令/(x)=/+%-1,对抛物线y=/(%)，持续实施下面牛顿切线法的步骤：

在点(1,1)处作抛物线的切线交x轴于6,0);

在点(%1，/(Xi))处作抛物线的切线，交汇轴于(%2,0)；

在点(%2,/(%2))处作抛物线的切线，交X轴于(叼，0)；

由此能得到一个数列｛%」,回答下列问题.

⑴求U的值；

(2)设xn+1=g(%n)，求g(%n)的解析式；

(3)用二分法求方程的近似解,给出前4步结果,比较牛顿切线法和二分法的求解速

度.

7.求证:%>0时，有xe~x<ln(l+x).

模块八：三角函数及三角恒等变换

1、任意角：(1)角的概念：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形;

(2)角的分类：

名称图形

类比正数,a>正角一条射线绕其端/

00.点______旋转

形成的角04------------A

类比负数,a<负角一条射线绕其端/

0O点_____旋转形

成的角4

零角一条射线没有进4。)

行任何旋转形成

的角

零角的始边与终边重

合,a=0°.

注：设角a由射线。4绕端点。旋转而成，角P由射线O'A'绕端点O1旋较而成.如果

它们的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称a=0.

(3)角的加法、减法

1)角的加法

设区/?是任意两个角.我们规定，把角a的终边旋转角p，这

。角的加派法图示

时终边所对应的角是a+0.

2）相反角的概念

我们把射线。4绕端点。按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角.

角a的相反角记为-a.

3）角的减法

像实数减法的“减去一个数等于加上这个数的相反数”一样,我们有a-/?=a+

（-。）.这样，角的减法可以转化为角的力口法.类比“减去一个数等于加上这个数的相

反数”.

2、终边相同的角：

所有与角a终边相同的角，连同角a在内，可构成一个

。温馨提示

3.当角的始边相同时,相等的角的终边一定相同，而终边相同的角不一定相等.终边

相同的角有无数个,它们相差360°的整数倍.终边不同则表示的角一定不同.

集合1.a为任意角,“k6Z”这一条件不能漏.

2.八360。与1中间用“+”连

即任一与角。终边相同的角，都可以表示成角a与整数个周接,k•3600-a可理解

成k.角的和.360。+（-a）.

3、象限角与轴线角

(1)象限角的表示：

①第一象限角:.(弧度表示)(注:锐角是第一象限加反之不成立)

(ii)第二象限角：(弧度表示)(注:钝角是第二象限也反之不成立)

(iii)第三象限角：(弧度表示)

(iv)第四象限角：(弧度表示)(2)轴线角的表示：

角a终边角a的集集合中角角a终边角a的集特点集合

的位置合表示之间的差的位置合表示中角之间

都为360的差都为

的整数倍180%的整

数倍集合

中角之间

的差为90

的整数倍

在无轴的\a\a=k-在工轴上{a\a=

非负半轴360。,k6k-

上在％轴Z}180°,Z6

的非正半{a\a=Z)

k360°+

轴上180°,k在y轴上{a|a

■}=k•180°

+90。，

在轴的{a\a=

ykez}J

非负半k-3600+

90。，

轴上在ykEZ]在坐标轴{a\a=

轴的非正{a\a=上k-

半轴上k-360°+90°,/cGZ}

270。,k6

Z)

4、角度制与弧度制：

(1)角度制：

我们知道,角可以用度为单位进行度量,1度的角等于周角的这种用度作为单位

来度量角的单位制叫做角度制.360

（2）弧度制：

1）1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的

圆心角.

2）弧度制：以弧度作为单位来度量角的单位制.用符号rad表示，读作弧度.

我们把半径为1的圆叫做单位圆.如图，在单位圆。中,Q的

长等于11408就是1弧度的角.

3）在半径为丁的圆中，弧长为，的弧所对的圆心角为arad,则\a\=：

注:一般地，正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个负数,零角的弧度数是0.

5、角度与弧度的换算：

填写下列特殊角的度数与弧度数的对应表：

度0030°45°120°135°150°360°

弧三三7T32

度32T

角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间

建立起一一对应的关系:每一个角都有唯一的一个实数（等于这个角的弧度数）与它

对应;反过来,每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它

对应（图5.1-12）.

6、弧长公式、扇形的面积公式在应用弧长公式l=aR

。易错提醒

时,要注意a的单位是“弧是以“度”为单位的角,那么必

如图，设扇形的半径为R,弧长为，，圆心角为a(0<a<2TT).度”，而不是“度”，如果已

知角

(1)弧长公式:须先把它化成以“弧度”为单位的,再代入计算.

(2)扇形的面积公式

7、弧度制下角的终边的对称与垂直

角的终边是一条射线,在平面直角坐标系中,若两个角的终边关于某条直线(或点)

对称,则这两个角就有一定的关系.

角a与角B终边的位置关系角a与角£关系

角a与角p终边关于%轴对称

角a与角/?终边关于y轴对称

角a与角£终边关于原点对称

角a与角口终边关于y=x对称

角a与角/?终边关于>=-%对称

角a与角£终边在一条直线上

角a与角p终边相互垂直

8、三角函数的概念

(1)单位圆中的定义

设Q是一个任意角,aGR，它的终边0P与单位圆相交于点P(x,y).

(1)把点P的纵坐标y叫做a的正弦函数(sinefunction),记作sina,即

y—sina;

(2)把点P的横坐标x叫做a的余弦函数(cosinefunction),记作cosa，即

x=cosa;

(3)把点P的纵坐标与横坐标的比值?叫做a的正切，记作tana,即

y

-=tanafxH0).

x

我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数(trigonometricfunction),

通常将它们记为：

正弦函数y=sin%,%6R;

余弦函数y=cosx,xGR;

正切函数y=tanx.xW卜x工；+kn(kGZ)j.

(2)利用角a的终边上任意一点的坐标定义三角函数

如图，设角a是一个任意角,a的终边上任意一点P的坐标是(x,y)，它与原点的距离

r=7x2+y2(r>0).

则：(i)sina=

(ii)cosa=

(iii)tana=

(3)三角函数值在各象限中的符号:

表5.2-1

+

o

y

cosa

tana

三角函数定义域

sina

cosa

tana

(4)特殊角的三角函数值

角360°

030°45°60°90°120°135。150°180°270°

度

弧7T57r27r

0nTt60°2n37Tn37r

度

642TT~6T

sina

cosa

tana

还需实记的值：15。仔):sinE=学315。=竿tan150=2-V3

9、诱导公式:

sin(2k7r+a)=COS(2/CTT+a)=tan(2/ar+a)=

公式一

公式二sin(7r+a)=cos(7r+a)=tan(7i+a)=

公式一s\n(2kn+a)=COS(2/CTT+a)=tan(2k7r+a)=

公式三sin(—a)=cos(—a)=tan(—a)=

公式四sin(7r—a)=COS(TT—a)=tan(7r—a)=

公式五sin6一«)=cos(1_a)=

公式六sinG+a)=cosG+a)=

10、同角三角函数的基本关系

1）平方关系:sin2a+cos2a=1；同一个角a的正弦、余弦的平

2）商数关系:tana==1+卜冗（keZ））.方和等于1.

（说明:利用三角函数的定义，自行推导同角三角函数的基本关系式）

1、平方关系的推导：

2、商数关系的推导

11、三角函数的图象与性质

y=sinxy=cosx

图象

定义域

值域

最值既无最大也无最

小

周期性

奇偶性

单增区间

单减区间无

y=sinxy=cosxy=tanx

对称轴无

对称中心

12、五点作图法:

三角函数五个关键点

y—sinx,x6[O,2TT]y=

cosx,xE[O,2TT]

13、三角函数图象变换

⑴三角函数的平移变换⑴先伸缩后平移:y=sinx=-x=>y=Asinx

y=Asins:=y=4sin(o)x+cp)

⑵先平移后伸缩:y=sinxty=Asinx

y=/lsin(x+</))=>y=/lsin(a)x+(p)

定理:y=i4sin(tox+cp)ty=4sin(3%+</J2)则平移单位为即?丁/(注意平移方

向)(2)三角函数的翻折变换

(1)/(%)=|sinx|的图像由/(x)=sinx图像作x轴的对称翻折得到.

(2)/(%)=sin|x|的图像由/(x)=sinx图像作y轴的对称翻折得到.

14、正余弦型三角函数

★1、正弦型三角函数y=/lsin(3X+e)+8

/(%)=i4sin(aix+R)+B

⑴A(振幅):振动物体离开平衡位置的最大距离.3+0(相位):振动物体任意时刻

的状态.

(P(初相):振动物体初始时刻的状态.

T=詈(周期):振动物体往复一次的时间.

(2)待定系数法求正弦型函数解析式

2"二f(%)max—/(%)min

2B=/(x)max4-/(x)min>

3=〒(从图中读出周期，一般是彳7、-T.-T]

(P最值点(零点)法:a)x0+9=/(引

⑶正(余)弦型三角函数的性质(利用换元:£=3X+8转化为正(余)弦三角函数)

y=i4sin(a)x+9)+by=4cos(3%+9)+6

周期

最大值

最小值

单调增区间

y=i4sin(cox+9)+匕y=Acos(cox+w)+b

单调减区间

对称轴

对称中心

15、三角恒等变换

(1)两角和与差的三角公式

对于任意角氏/?有

(C(a-6))

此公式给出了任意角a,8的正弦、余弦与其差角的余弦之间的关系,称为差

角的余弦公式,简记作C(af).

0a+0=a-(一夕)

对于任意向a,/?有

(C(a—/?))

此公式给出了任意角a.p的正弦、余弦与其差角a-夕的余弦之间的关系,称为差

角的余弦公式,简记作C(af).

通过推导，可以得到：

sin(a+S)=

(S(a+/?))

sin(a-/?)=

(S(a—/?))

tan(a+.)=

(%+/?))

tan(a-/?)=

(T(a-/?))

公式、计⑨工但+外月但+的给出了任意角a.p的三角函数值与其和角a+/?的三角

函数值之间的关系为方便起见,我们把这三个公式都叫做和角公式.

类似地,S(a_°),C(ai),T(a_°)都叫做差角公式.

(2)两角和与差的正切公式变形

1)%+/?)的变形:tana+tan/?=tan(a+0)(1—tanatan/?).

tana+tan/?+tanatan/?tan(tz+/?)=tan(a+/?).

tanatan/?=1-黑翳•公式是变形

。温馨提示

2)T(a.s)的变形:tana-tan^=tan(a-0)(1+tanatan/?).较多的两个公式，

tanatan/?,

tana—tan/?-tanatan/?tan(a一夕)=tan(a-0).tana+tan/?(或tana—tan/?),

tanatan/?=-1.tan(a+夕)(或tan(a-£))三者知二即可表示或求出第

三个.Un°

16、二倍角公式

(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式：

sin2a=

cos2a=

tan2a=

(S2a)

(C2a)

(T2«)

如果要求二倍角的余弦公式(C2a)中仅含a的正弦(余弦工那么乂可得到:

cos2a=

cos2a=

以上这些公式都叫做倍角公式.倍角公式给出了a的三

角函数与2a的三角函数之间的关系.

(2)公式的推导：

cos2a*0.

(3)升嘉公式：1+cosa=_;1—cosa=

降幕公式:sin2a=；cos2a=

(4)熟悉公式的逆用：sin3acos3a=-sin6a;2sin-cos-=sina;cos22a-sin22a=

222

cos4a;

1±sin2a=sin2a+cos2a±2sinacoscr=(sina±cosa)

(5)辅助角公式

(1)一次辅助角公式：

f(x)=asincox±bcosa)x=±3)tan(p=-

a

sinx+y/Scosx=

sinx+cosx=

(2)二次辅助角公式：

/(x)=asintoxcoswx±bcos2o)x(a,b>0)

22

QbVa+bb(b\

f[x)=-sin2cox±7(cos2cox+1)=-----------sin(2eox±(p)±-tariQ=-

2z22\a)

17、函数y=4sin(a%+@)的图象与性质(阅读人教A版课本P231-P238)一

般地，正弦型函数y=4sin(3%+9)(4。0,coH0)的定义域为R,值域为

[-⑷川]，周期是言，而且函数的图象可通过对正弦曲线进行平移、伸缩得到.

|3|

正弦型函数中的常数4口9都具有一定的实际意义.

事实上，在前述情境与何题的小球运动

-ll卜用--------

--------------

，册f#娘*------------

「anTnmmnnT.、——

——

图7-3-12

过程中，如果从£=0时刻开始，每隔一小段时间(比如0.01s)给弹簧和小球拍一

张照片,并将这些照片按时间顺序排成一列(顶端对齐),就可得到如图7-3-12所示

的图形.可以认为,图中小球的中心在正弦型函数％=Asin^t+伊)的图象上，而且

(1)Ml表示小球能偏离平衡位置的最大距离，称为振幅；

⑵(P在决定t=0时小球的位置(即Asincp)中起关键作用，称为初相；

(3)周期7=含表示小球完成一次运动所需要的时间小球的位置和速度首次都得

到重复时称完晟了一次运动.)

此时,r=1=察表示单位时间内能够完成的运动次数，称为频率.

【课本优质习题汇总】

人教A版必修一P176

10.每人准备一帆.扇形的扇子，然后与本小组其他同学的对比,从中选出一把展开后

看上去形状较为美观的扇子,并用计算工具算出它的面积a.

(1)假设这把扇子是从一个圆面中剪下的，而剩余部分的面积为S2，求S1与s2的比

值；

(2)要使a与S2的比值为0.618,则扇子的圆心角应为几度(精确到1。)？

11.(1)时间经过4h(时)，时针、分针各转了多少度？各等于多少弧度？

(2)有人说,钟的时针和分针一天内会重合24次你认为这种说法是否正确？请说明

理由.(提示:从午夜零时算起,假设分针走了tmin会与时针重