2025版新高考版高考总复习数学 抛物线（十年高考）

2025版新高考版高考总复习数学9.4抛物线

考点1抛物线的定义及标准方程

1.(2023北京,6,4分,易)已知抛物线Cy=8x的焦点为F,点、M在C上若M到直线户-3

的距离为5,则IMF]:()

A.7B.6C.5D.4

答案D由抛物线工知/(2,0),准线方程为.『-2,

由用到直线4-3的距离为5,知M到直线m-2的距离为4.由抛物线定义可知=4.

2.(2022全国乙，理5,文6,5分)设尸为抛物线C:/=4x的焦点，点2在C上，点2(3,0),若依口=|3尸|,则4的=

()

A.2B.2V2C.3D.3V2

答案B由题意可知,”(1,0),准线方程为ul,设A俘,坊),由抛物线定义可知河=生1,又所=3-1=2,

所以由|AF|=|8F|,可得邛+1=2,解得和=±2,所以A(1,2)或人(1,-2),不妨取八(1,2),则

|A8|=J(1-31+(2—0)2=6=2企,故选B.

一题多解：由题意可知”(1,0),所以|BF|=2,又|AF|=|8乩所以|A「1=2,所以A的横坐标为1,此时4的纵坐标为

2或-2,所以八尺Lx轴，所以△4。为等腰直角三角形,所以|AA|=2VZ故选B.

3.(2015浙江理,5,5分)如图,设抛物线y'=4x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,其中

点A,B在抛物线上，点C在y轴上，则ABCF与AACF的面积之比是()

|西一1|B*1

，'\AF\-1'|/1F|2-1

cIW+1口田肝+1

,\AF\+1'\AF\2+1

答案A过A,B点分别作y轴的垂线，垂足分别为

则AM|=|AF|-1,|BN|=|BF|-1.

=*&BCFjlCBPICFIsinzgCfjCg|\BN\\BF\-1

可知】q-----------------=7777=77777"MV故选A-

SA/ICFl|CA|-|CF|-sinzeCF|C川|”C|I-1

4.（2014课标I理，10,5分）已知抛物线C:y'=8x的焦点为F,准线为1,P是1上一点,Q是直线PF与C的一

个交点.若前=4而，则QF=（）

75

A.-B.3C.-D.2

22

答案B•.而=4而,.••点Q在线段PF上,且在两端点之间，过Q作QM_L1,垂足为V,由抛物线定义知

|QF|=|QM|,设抛物线的准线I与x轴的交点为N,则IFN|=4,又易知△PQMS^PF、,则黑=黑,即写今，

|FN|\PF\44

|QM|=3,即QF|=3.fi^B.

5.（2014课标1文10,5分）已知抛物线（：:、餐的焦点为尸"风,川是《上一点加,|=a,则*产（）

A.1B.2C.4D.8

2

答案A由y=x得2p=1,即P=1,因此焦点FQ,0）,准线方程为I:x=4设A点到准线的距离为d,由抛物

2\4/4

线的定义可知d=|AFI,从而x,>=4x°,解得x«=l,故选A.

44

评析本题考直抛物线的定义及标准方程,将IAF转化为点A到准线的距离是解题的关键.

6.（2013课标H理,ll,5分）设抛物线C:y2=2px（p>0）的焦点为F,点M在C上,MF|=5,若以MF为直径的圆过

点（0,2）,则C的方程为（）

A.y2=4x或y2=8xB.y2=2x或y2=8x

C.y2=4x或y2=16xD.y2=2x或y2=16x

答案C••以MF为直径的图过点（0,2）,.•点M在第一象限由MF=x《=5得-gj2P（5/）从

而以MF为直径的圆的圆心N的坐标为（I；J2P（5—3）,

••点、的横坐标恰好等于圆的当空,.••圆与y轴切于点（0,2）,从而2="J2P（5-即产助对6=0,解得p=2

或P=8,.,・抛物线方程为y2=4x或y2=16x.故选C.

7.（2013课标n文,10,5分）设抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线1过F且与C交于A,B两点.若IAF|=31BF|,

则1的方程为（）

A.y=x-1或y=-x+l

B.yq(xT)或丫=?&-1)

C.丫=。5(入-1)或丫=-45(乂-1)

D.yq(xT)或y=¥(xT)

答案C设直线AB与抛物哪准线x=-l交于点C.分别过A,B作AA.,BB,垂直于准线于A、,B„由抛物线的

定义可设1BF|=|BBj=t,|AF|=AA,|=3t,由三角形的相似喘

.'.|BC|=2t,.-.ZB1CB^,.•直线1的倾斜角a1或刍L

b5o

又F(L0),••・直线AB的方程为y=V3(xT)或丫=-百(x-1).故选C.

8.(2012四川理,8,5分)已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点0,并且经过点M(2,y0).若点M到该

抛物线焦点的距离为3,则|OM=()

A.2V2B.2V3C.4D.2V5

答案B由题意可设抛物线万程为y2=2px(p>0).

由IMF1.2=3得p=2,.•・抛物线方程为由4x.

二点M的坐标为⑵±2V2),/.10M|=山+8=2百,故选B.

9.(2011课标文9.5分)已知直线】过抛物线C的焦点,且与C的对称轴垂直,1与C交于A,B两点|AB|=12,P

为C的准线_L一点,则aABP的面枳为()

A.18B.24C.36D.48

答案C设抛物线方程为y/=2px(p>0).

•••当x=制|y|二p,

・•・P丹吟=6.

22

又P到AB的距离始终为p.

则抛物线方程为x'=-2py.

•・点，\（2,-2）在抛物线上,，p=l,即抛物线方程为x2=-2y.当y=-3时,x=土瓜

.•.水位下降1米后,水面宽为2瓜米.

评析本题考直了解析法在场问题中的运用.坐标运算是解题的关键.

12.（2016浙江9,4分）若抛物践yfx上的点M到焦点的距离为10,则M到y轴的距离是.

答案9

解析设M（x»,y<.）,由抛物线方程知焦点F（l,0）.根据抛物线的定义得IMF|"+1=10,.“尸9,即点M到y轴的

距离为9.

考点二抛物线的几何性质

1.（多选）（2023新课标II,10,5分，中）设。为坐标原点，直线）=V5（x-l）过抛物线

C:y=2pA（p>0）的焦点,且与C交于M,N两点,7为C的准线,则（）

A.p=2

B.|MN二|

C.以MN为直径的圆与/相切

DAOMN为等腰三角形

答案AC由于）r=2px的焦点为&0）,直线y=-y/3（x-1）过焦点,所以-V5-1）=0,解

得p=2,A正确;联立P,2消去得_]Qx+3=0,

设MCvi,yi）,N&,y?）,贝!汨+%2号,所以IMNF+M+P号，B不正确；

以MN为直径的圆的圆心的横坐标为呼二|,圆心到准线/的距离仁|+1=衿MN,故以

MN为直径的圆与/相切,C正确；

不妨令点”在第一象限，由3f-10x+3=0得*=3,所以），产等j2=-2V3,

所以I。2=、32+（-2百）2二值,|OM=JG）2+（甯2二祟又号，

所以△OMN不是等腰三角形,D不正确.故选AC.

2.（2016课标II文,5,5分）设卜为抛物线C:y2=4x的焦点,曲线yAk>0）与C交于点P,PF±x轴，则k=（）

A.1B.1C.1D.2

答案D由题意得点P的坐标为（1,2）.把点P的坐标代入y=4（k>0）得k=lx2=2,故选D.

X

评析利用垂直得到点P的坐标是求解的关键.

3.（2015课标I文,5,5分）已知椭圆E的中心在坐标原点,离心率为g,E的右焦点与抛物线C:yJ8x的焦点重

合,A,B是C的准线与E的两个交点,则IAB|=（）

A.3B.6C.9D.12

答案B抛物线C:yJ8x的焦点坐标为（2,0）,准线方程为x=-2.从而椭圆E的半焦距c=2.可设椭圆E的方

程为东。1（a〉b>0）,因为离心率e=衿所以a=4,所以b2=a2-c2=12.由题意知AB|™2x^=6.故选B.

评析本题考查了椭圆、抛物践的方程和性质，运算失误容易造成失分.

4.（2015陕西文,3,5分）已知抛物线y2=2px（必0）的准线经过点（1,I）,则该抛物线焦点坐标为（）

A.（-1,0）B.（1,0）C.（0,-1）D.（0,1）

答案B抛物线<=2px（p>0）的准线方程为x崂由题设知方=7,即畀,所以焦点坐标为（1,0）.故选B.

5.（2014安徽文,3,5分）抛物线y=；x的准线方程是（）

4

A.y=-lB.y=-2

C.x=-lD.x=-2

答案A由丫3（得x2=4y,焦点在y轴正半轴上,且2P=4,即p=2,因此准线方程为y=£=T.故选A.

6.（2013四川文,5,5分）抛物线y2=8x的焦点到直线x-百y=0的距离是（）

A.2/B.2C.V3D.1

答案D由抛物线方程知2P=8=p=4,故焦点F（2,0）,由点到直线的距离公式知,F到直线x-“y=0的距离

」|2-V3xO|,砧、匕、

.故选D.

评析考直抛物线的方程及其性质、点到直线的距离公式，考查运算求解能力.

7.（2012课标理,8,5分）等轴双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,C与抛物线y2=16x的准线交于A,B两

点，|AB|=Wi则C的实轴长为（）

A.V2B.2V2C.4D.8

答案c如图,AB为抛物线y2=16x的准线,

由题意可得A（-4,20）.

设双曲线C的方程为x2-y;=a2（a>0）,则有16-12=a2,故a=2,.♦.双曲线的实轴长2a=4.故选C.

评析本题考查了双曲线和抛物线的基础知识,考查了方程的数学思想，要注意双曲线的实轴长为2a.

8.（2016课标1.10,5分）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,3两点，交C的准线于D,E两点.已知

IAB|=472,IDE|=2逐，则C的焦点到准线的距离为（）

A.2B.4C.6D.8

2

答案B不妨设0:y=2px（p>0）,A（X1,272）,则x尸笔匕;,由题意可知|OA|=|OD|,得（；）2+8=（号\5,解

得p=4.故选B.

思路分析设出抛物线C的方程,根据已知条件得出点A的坐标,利用10A|=10D建立关于p的方程，解方程

得出结论.

9.（2017课标I理,10,5分）dQF为抛物线C:y?=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线11,U直线L与C

交于A,B两点,直线L与C交于D,E两点,则AB|+|DE|的最小值为（）

A.16&14C.12D.10

答案A如图所示,设直线AB的倾斜角为&过A,B分别作准线的垂线，垂足为％,R,

则网=川，喇=网用F向岫引垂线FG,彳瑞岑片8a

则"二』，同理"B昨击，

则1AB|=|AF|+|BF|二悬，即AB;嘉，

因L与L垂直故直线DE的倾斜角为e+1或eg

4444416

则优।二两则।AB田DE卜薪"］旃黄"~藐两’

(jsin26)

则易知|AB|+|DE的最小值为6故选A.

方法总结利用几何方法求抛物线的焦半径.

如图,在抛物线/=2px(p>0)中,AB为焦点弦，若A!'与抛物线对称轴的夹角为0,

则在△FEA中,cos8=cosNE,k=j拶1

IM\AF\

则可得至峨半径AF|=—|BF|=—^―,

1-COS01+COS0

112

熟港这种求抛物线焦半径的方法,对于求抛物线的焦点弦长,焦点弦中的定值,如："闭gm等的帮助很

\AF\\BF\p

大.

10.(2015四川理,10,5分)设直线1与抛物线*4x相交于A,B两点,与圆6-5)2+产=/(「>0)相切于点M,且M

为线段AB的中点若这样的直线1恰有4条,则r的取值范围是()

A.(1,3)B.(1,4)C.(2,3)D.(2,4)

答案D当直线AB的斜率不存在，且0<r<5时，有两条满足题意的直线1.

当直线AB的斜率存在时,由抛物线与圆的对称性知,kQO和k«<0时各有一条满足题意的直线I.

设圆的圆心为C⑸0),A(xi,yJ,B(xz,必)，M(x0,y0),则y广力；匕,

一、2一力、2一。1_2

•・K明——Q•

“2-%1yjyfy0

4一4

.儿产且k.u(kcM=-l,/.Xo=3.

XQ-S

.•.r2=(3-5)-+y^>4(-/yo^O),即r>2.

另一方面，由AB的中点为M知B(6-xh2y0-y.),

.・点B,A在抛物线上,「.(2y「yJ』(6-x.),①

yj=4xi,②

由①,②^建片-2y“力+2/-12=0,

•.△=4yJ-4(2y2-i2)>0,••苏<12.

.•.1=(3-5尸+脚=4+小16,「.r<4.

综上,re(2,4),故选D.

H.（2014课标H文,10,5分）设F为抛物线C:广3x的焦点,过F且倾斜角为30。的直线交C于A,B两点,则

|AB|=()

A.哼B.6C.12D.7百

0

即y3X4产3x，层xg喧=0,

设A(Xi.y.).B(x°,y->),

则x,+x2=y,

+

所以IAB|=X1+X2+^=Y1=12,故选C.

12.（2023全国乙理，13,5分，易）已知点A（1,6）在抛物线C:/=2/?x±,则A到C的准线

的距离为.

答案I

解析•・•点A（1,V5）在抛物线C：V=2/»上，

（V5）2=2/?X1,•,*/?=1，

.♦.4到C的准线的距离为川+§=1+；=；.

244

13.（2021新高考/,14,5分）已知O为坐标原点,抛物线C：V=2pK（p>0）的焦点为F,P为。上一点,PF与x

轴垂直,Q为x轴上一点,且PQ_LOP.若|FQ|=6,则C的准线方程为.

答案H

解析•.•点P在抛物线上且P/Lr轴，不妨设点P位于X轴上方，•••OP•LP。，

・•・由平面几何知识可得俨俨|。丹|「。|,

又•；|FQ=6,••/=1x6，，片3或p=0（舍）,

.•.C的准线方程为广推

名师点睛解析几何小题,侧直于几何关系，要充分利用平面几何知识,建立等式，从而快速解决问题.

14.(2018课标m理,16,5分)已知点和抛物线C:y2=4x,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B

两点.若/AMB=90°,则k=.

答案2

解析本题考查抛物线的几何性质及应用.

解法一:由题意可知C的焦点义标为(1,0).所以过焦点(1,0),斜率为k的直线方程为x1+1、设A(卷+

_y

I'%)'B(今+力2)，将直线方程与抛物线方程联立得X；,；1'整理得/-iy-4=0,从而得

4

My,w•yz=-/i.

2

1）,ZAMB=90°,rMA・施=0,即（今+2）•（卷+2)+(y-l)(y2-l)=0,即k-4k+4=0,解得k=2.

q-y；=4勺,①

解法二:设yz),则

A=钛2,②

②-①得及-尤=4(X2-X,),从而k=，2%=：

设AB的中点为连接MM'.

..直线AB过抛物线yfx的焦点，

「•以线段AB为直径的OW与准线I:x=7相切.

1）,Z.AMB-900,

.•点M在准线l:x=-l上，同时在。M'上,

..准线1是。M'的切线，切点为M,且V'b山,

力+丫2

即MM'与x轴平行..•.点M'的纵坐标为I,即•=l=>yi+y2=2,

2

故卜=4告与42.

为+为2

疑难突破运用转化思想，采月"设而不求”的方法来解决直线与抛物线的相交问题.

15.(2013浙江理,15,4分)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,过点P(-l,0)的直线1交抛物线C于A,B两点,点

Q为线段AB的中点.若FQ|=2,则直线1的斜率等于.

答案±1

解析设直线AB方程为x=my-l,A(x„y,),B(x2,yJ,联立直线和抛物线方程，整理得,y、4iny+4=0,由根与系数

1222

关系得w+y2=4m,山•y2=4.故Q(2m'-1,2m).由FQ|=2知:yj(2m)+(2m-1-1)=2,解得m=l或m*=0(舍

去).故直线1的斜率等于士1(此时直线AB与抛物线相切,为满足题意的极限情况).

16.(2018北京文,10,5分)已知直线1过点(1,0)且垂直于x轴.若]被抛物线y2=4ax截得的线段长为4,则

抛物线的焦点坐标为.

答案(1.0)

解析本题主要考查抛物线的性质，弦长的计算.

由题意得a〉0,设直线I与抛物线的两交点分别为A,B,

不妨令A在B的上方,贝(JA(1,2GB(],-2近)，

故他|=4«=4,得@=1,

故抛物线方程为yMx,其焦点坐标为(1,0).

17.(2017天津文,12,5分)设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为L已知点C在1上，以C为圆心的圆与y轴的

正半轴相切于点A.若/FAC=120°,则圆的方程为.

答案(x+l)2+(y-V3)2=l

解析本题主要考直抛物线的几何性质，圆的方程.

由抛物线的方程可知F(l,0),准线方程为x=T,设点C(T,t),t>0,则圆C的方程为(x+l)2+(y-t)Jl,

因为/FAC=120°,CAU,轴，

所以/OAF=30°,在AAOF中,0F=l,

所以0A=V5,即

故圆C的方程为(x+1)?+(y-依)J1.

方法总结求圆的方程常用的方法为待定系数法,根据延怠列出关于三个独立参数a,b,r(或D,E,F)的方程

组,从而得到参数的值,写出圆的方程.若题中涉及直线与圆的位置关系或弦长,常把圆的方程设为标准形式,

同时应考虑数形结合思想的运用.

18.(2014陕西文,11,5分)抛物线yJ4x的准线方程为.

答案x=-l

解析由抛物线方程知P=2,故该抛物线的准线方程为故填x=-1.

19.(2018课标I文,20,12分)设抛物线C:y2=2x,点A(2,0),B(-2,9),过点A的直线1与C交于M,、两点.

⑴当1与x轴垂直时,求直线BM的方程；

⑵证明：NABM/ABN.

解析(D当1与x轴垂直时J的方程为x=2,可得M的坐标为(2.2)或(2,-2).

所以直线BM的方程为y=1x+l或y=-jx-l.

(2)当1与x轴垂直时,AB为啾的垂直平分线,所以NABM二NABN.

当1与x轴不垂直时,设1的方程为y=k(x-2)(k^0),M(Xi,yj,N(x2,y?),则xDO,x->0.

由沅厂

2

得ky--2y-4k=0,可知力+力=y>yz=-4.

ru

直线BM,BN的斜率之和为

k-34二呼骡"a①

X1+2冷+2(》1+2)(%2+2)

将X丹+2,X-A2及W+%力义的表达式代入①式分子.可得

'2yly2+41<(71+，2)-8+8八

x/yi+x»2+2(y.+y)=---------------=.=0.

2KK

所以新+k旃=0,可知BM,BN的倾斜角互补,所以/ABM=/ABN.

综上，ZABNhZABN.

方法总结直线与圆锥曲线的位置关系的常见题型及解题策略;

(D求直线方程.先寻找确定粉的两个条件.若缺少一个可设出此量,利用题设条件寻找关于该量的方程，

解方程即可.

(2)求线段长度或线E殳之积(和)的最值.可依据直线与圆锥曲线相交,利用弦长公式求出弦长或弦长关于某

个量的函数,然后利用基本不等式或函数的有关知识求其最值;也可利用圆锥曲线的定义转化为两点间的距

离或点到直线的距离.

(3)证明题.圆锥曲线中的证明问题多涉及定点、定值、角相等、线段相等、点在定直线上等，有时也涉及一

些否定性命题,常采用直接法或反证法给予证明.借助于已知条件，将直线与圆推曲线联立，寻找待证明式子

的表达式,结合根与系数的关系及整体代换思想化简即可得证.

失分警示(1)由于忽略点U,'位置的转换性,使直线BM方程缺失,从而导致失分；

⑵由于不能将ZABMNABM'正确转化为"L+kcO"进行证明，从而思路受阻,无法完成后续内容.

20.(2017课标I文,20,12分)设A,B为曲线C:y=^上两点,A与B的横坐标之和为4.

⑴求直线AB的斜率；

⑵设M为曲线C上一点,C在M处的切线与直线AB平行,且AM1BM,求直线AB的方程.

解析本题考直直线与抛物哪位置关系.

⑴设AG,y.),B(x.力)，则-2,y；4厅争XI

于是直线AB的斜率1<=纥△=空=1.

Xj-X24

⑵由y孝,得y'=*

42

设Wx”丫3),由题设呜=1,

解得斫2,于是M(2,1).

设直线AB的方程为丫=乂+巾，

故线段AB的中点为N(2,2+m),|MN|=|m+l|.

将y=x+m代入x-lx-4m=0.

当A=16(m+l)>0,即m>-l时,Xii=2±2yjm+1.

从而MBIxi-x2l=4了2(m+1).

由题设知|AB|=2|\IN|,

即+1)=2(m+1),解得n=7.

所以直线AB的方程为yx+7.

方法总结（1）直线与抛物线的位置关系

点差法:在已知"xi+x」或的值,求直线1的斜率时，利用点差法计算,在很大程度上减少运算过程

中的计算量.

⑵直线与圆锥曲线的位置关系

已知直线与圆锥曲线相交,求参数时,一般联立直线与圆锥曲线的方程,消元后利用韦达定理,结合已知列方

程求解参数.求弦长时，可通过弦长公式AB|=Vl+k2x「x」=Vl+2J（巧+小）2一4修得或

|AB|=Ji+[,ly「y/=Jl+表•收+>2）2…跖"。）求解.

21.（2016课标I文,20,12分）在直角坐标系xOy中，直线I:y=t（廿0）交y轴于点M,交抛物线C:y2=2px（p>0）

于点P,M关于点P的对称点为N,连接ON并延长交C于点H.

⑴求幽

⑴叫ON「

⑵除H以外,直线MH与C昂否有其他公共点?说明理由.

解析⑴由已知得W0,t）,P修■,）（1分）

12P）

又N为M关于点P的对称点,故噂,t）,ON的方程为y=3,代入yJ2Px整理得pxHxR,解得xE,x：=y.

因此（4分）

所以X为011的中点,即耨=2.（6分）

⑵直线Mil与C除II以外没有其他公共点.（7分）

理由如下：

直线MH的方程为y-t=^x,即W（yr）.（9分）

22

代入y,=2px得y-4ly+4t=0,解得y.=y2=2t,即直线MH与C只有一个公共点,所以除H以外直线MH与C没有

其他公共点.（12分）

方法总结将直线与抛物线的交点坐标问题归结为直线方程与抛物线方程组成的方程组的解的问题.

评析本题考直了直线与抛物线的位置关系,考查了运算求解能力得到交点的坐标是求解的关键.

22.（2012课标理,20,12分）设抛物线C:x2=2py（p>0）的焦点为F,准线为LA为C上一点,已知以F为圆l\FA

为半径的圆F交1于B,D两点

⑴若/BFD=90°,AABD的面积为4近,求p的值及圆F的方程;

(2)若A,B,F三点在同一直线n上，直线n与m平行,且n与C只有一个公共点,求坐标原点到m,n距离的比

值.

解析(1)由已知可得ABPD为等腰直角三角形，IBD|=2p,圆F的半径FA=飙

由抛物线定义可知A到1的笈踽d=|FA=V2p.

因为△ARD的面积为Ay/i,所以gBD|•(1=472,即g•2p•同=4及,解得p=2(舍去)或p=2.

所以F(0,D,圆F的方程为x2-(y-L)2=8.

(2)因为A,B,F三点在同一直线m上，

所以AB为圆F的直径,/ADB=90。.

由抛物线定义知AD|=|FA4AB,

所以NABD=30。,m的斜率为当或点.

当m的斜率为日时,由已知可设n:y=苧x+b,代入x2=2py得x?-苧px-2Pb=0.

4

由于n与C只有一个公共点，故A2E+SpbR,

解得b=1.

O

因为m的截距b忐粤3,所以坐标原点到m,n距离的比值为3.

2|加

当m的斜率为噂时,由图形的对称性可知,坐标原点到m,n距离的比值也为3.

评析本题考查了直线、圆、抛物线的位置关系，考查了分类讨论的方法和教形结合的思想.

考点三直线与抛物线的位置关系

1.(多选)(2022新高考/,11,5分)已知O为坐标原点，点A(l,1)在抛物线C:/=2〃y(/»0)上,过点Z?(0,-l)

的直线交C于P,。两点，则()

A.C的准线为产/

B.直线八6相切

C.|OP||OQ>|O*2

D.\BP\\BQ\>\BA\2

答案BCD由点A(I.1)在抛物线。匕知l=2p,所以抛物线C:.产=)，,其准线方程为尸一,故选项A错误.

易知43》(-1)=斗手Cr-O),即.y=2r-l,联立1消去.V得R型+1=0,4=4-4=0,即直线A8与C相切，

故选项B正确.

设PQ:尸匕-1,Pgyi),Q(x2,y2),联立1消去y得小虫+1=0,则｛：：；:“'且公台内即旧.

由于而-0Q=xlx2+yly2=xlx2+x?xf=2=|OA|2,\0P\­\0Q1>OP•而且向量OF,OQ不共线，所以

\OP\-\OQ\>OPOQ,即|OPHOQ|>|Q4F,故选项C正确.

2

因为前•BQ=xiX2+(>'i+1)(>^+1)=y\+y2+3=kUi+.r2)+1=k+1,因为公>4,并注意到|前|•|的|=丽•

的,|耐『=1+4=5,所以|前|•|而|>|8川2,故选项D正确.故选BCD.

2.(多选)(2022新高考〃,10,5分)已知。为坐标原点,过抛物线。:户2〃入(〃>0)焦点F的直线与。交于A,B

两点，其中A在第一象限，点M(p,0).若HQ=14M|,则()

A.直线的斜率为2后

B.\OB\=\OF]

C.|A6|>4|OQ

D.NO4M+NO8M<180°

答案ACD

由题意得雁,0),如图,设FM的中点为N,连接AN,则AN与x轴垂直,且可(斗,0),将户当代入户2px,解

得产多(舍负)，故A管*p),故直线AB的斜率为加=2瓜选项A正确.对于B,直线AB的方程为

尸26•(XJ),与抛物线方程联立并整理得12vM3“+3*0,设Bgyi),则r呼=甘,解得川斗则

暗，一手P)，所以I。昨部IS,故B错误.对于C,因为H昨詈+p=翔|Ofl=*所以|A8|>4|0F1成立，故C

正确.对于D,因为编=(^p.yP),OF=(p-yP),M^4=(-:彳P)，砒=(一,P'-李P).

所以耐OB=^--p2=_/<0,

MA-MB=^-p2=-豺<0,所以/A煦与/四媛为赳陶现以以±/&1但簸所以在四边形(MM?

中，NO4M+NO8W<180。,故D止确，故选ACD.

3.（2020新高考/,13,5分）斜率为次的直线过抛物线C.y2=4x的隹点,且与。交于A,A两点，则

1人用=.

答案/

解析解法一:在抛物线,r=4.v中,2p=4,斜率为小的直线倾斜角心

过焦点的弦长饮8|=晶=-^=1=学（难点:这里是二级结论的直接应用，要熟记一些常用的二级结

论）.

解法二:设AUi,yi）,BGz户），由已知可得抛物线）。=4刀的焦点为F（I,O）,过点尸H斜率上逐的直线方程为

>=V3（x-1）,联立£_］）消去y得3X2-10x+3=0,

.（X1+*2=3

••1。

=1，

。心眼后石产石不=V1T3xJ詈-4=攀难点:最后一步用到了弦长公式,也可以利

用两点间的距离公式求八用）.

4.（2021全国乙文,20,12分）已知抛物线。:产=2/八（/»0）的焦点F到准线的距离为2.

（I）求C的方程；

（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点。满足所=9QF,求直线OQ斜率的最大值.

解析（1）二•抛物线产2Pmp>0）的焦点尸到准线的距离为2,.l/kZ

二抛物线。的方程为炉一低.

(2)由已知不妨设点P(4XQ,4X9),Q(xi,yi),

则而=Cvi-4%0,yi-4jo),

VFd.O),：.QF=(\.Xi,.yi)t

'：PQ=9QF,

.依—4诏=9(1t)蛤理得卜=V(9+4也,

,*ly.-4x0=9(-yi),"k=^r0.

垢片段=赢,

当女"最大时,X(>>0,.'.hQU

当且仅当4必=2时取“="，此时xo=/点P的坐标为（9,6）,因此公。的最大值为今

解后反思针对抛物线/=2PA(p>0)上的点人常设A(2pd2px)来简化计算.

5.(2022全国甲，理20,文21,12分)设抛物线。:产=2/求(/»0)的焦点为F,点D(p,0),过尸的直线交。于M,N

两点.当直线MO垂直于x轴时,|M/=1=3.

(1)求C的方程；

⑵设直线MD,ND与C的另一个交点分别为A,他记直线MN,AR的倾斜角分别为a,/?.当a/取得最大值

时,求直线A8的方程.

解析⑴山题意知?信