2026年安徽中考数学二轮复习 专题13 中考易错点专项突破(题型专练)

Page专题13中考易错点专项突破内●容●导●航第一部分题型破译微观解剖，精细教学典例引领方法透视变式演练题型01代数运算类易错题型题型02方程与不等式类易错题型题型03几何概念与性质类易错题型题型04函数类易错题型题型05统计与概率类易错题型第二部分题型训练整合应用，模拟实战题●型●破●译题型01代数运算类易错题型典例引领【典例01】先化简，再求值：，其中．【答案】，1【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把两个分式的分母分解因式，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可得到答案．【详解】解：，当时，原式．【典例02】求代数式的值，其中．【答案】【分析】此题考查了分式的化简求值，完全平方公式，平方差公式，二次根式的运算，先把分式化成最简，然后把代入，通过二次根式的运算法则即可求解，熟练掌握运算法则是解题的关键．【详解】解：，当时，原式．方法透视考向解读核心考查有理数混合运算、整式运算、分式运算、二次根式化简。考向特点是“运算量不大，易错点集中”，难度偏低，但失分率极高，重点考查运算规范和公式记忆，高频易错点集中在符号判断、公式误用、运算顺序混乱，是学生“基础不牢”的核心体现方法技能核心解题思路：先明确运算类型，牢记对应运算公式和法则，按“先定符号，再算数值”的原则分步运算，避免跳步，运算完成后及时验算。高频易错点拆解与避错技巧：①有理数混合运算：易错点为符号错误、运算顺序错误；避错技巧：先标注每一步的符号，严格遵循运算顺序，复杂运算分步书写，避免口算。②因式分解：易错点为因式分解不彻底、平方差与完全平方公式混淆、符号错误；避错技巧：因式分解遵循“先提公因式，再套公式”的顺序，分解完成后反向验证。③分式运算：易错点为分母不为0的条件忽略、通分错误、去分母时漏乘；避错技巧：先标注分母不为0的取值范围，通分前先因式分解，去分母时每一项都要乘最简公分母。④二次根式化简：易错点为被开方数含能开得尽方的因数未化简、同类二次根式判断错误、加减运算混淆乘除；避错技巧：化简时先将被开方数分解因数，同类二次根式才能加减，运算时区分“乘除化简、加减合并”。核心提醒：代数运算的核心是“规范”，避免跳步、口算，每一步都有依据，运算完成后验算，可快速规避80%的易错失分变式演练【变式01】先化简，再求值：化简，其中x满足方程．【答案】，【分析】本题主要考查了分式的化简求值，解一元二次方程，先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，接着解一元二次方程求出x的值，并根据分式有意义的条件确定x的值，最后代值计算即可得到答案．【详解】解：，∵，∴，解得或，∵分式要有意义，∴，∴且，∴，∴原式．【变式02】计算：．【答案】【分析】本题主要考查了含特殊角三角函数的混合运算、零次幂、二次根式的性质等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键．先运用含特殊角三角函数的混合运算、零次幂、二次根式的性质、有理数的乘方化简，然后再计算即可．【详解】解：．【变式03】先化简，再求值：，从的整数解中选取一个合适的代入求值．【答案】；，原式【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．先根据平方差公式和完全平方公式运算和进行括号内的加法运算，然后把除法改成乘法后约分即可化简，最后从的整数解中选取有意义的值代入即可求解．【详解】解：原式，整数解为，0，1，又，且时，分式有意义，当时，原式．题型02方程与不等式类易错题型典例引领【典例01】解不等式组【答案】【分析】本题考查了解一元一次不等组，先求出每一个不等式的解集，再得出不等式组的解集即可，掌握解不等式组的方法是解题的关键．【详解】解：解不等式①得：，解不等式②得要：，∴该不等式组的解集为：．【典例02】解不等式组：，并写出它的所有负整数解．【答案】，【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组和求不等式组的负整数解，先求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，进而求出其负整数解即可．【详解】解；解不等式①得：，解不等式②得：，∴不等式组的解集为，∴不等式组的负整数解为方法透视考向解读核心考查一元一次方程、一元二次方程、分式方程、一元一次不等式（组）的求解与应用。考向特点是“题型固定，易错点集中在求解步骤和应用条件”，难度中等，高频易错点为分式方程验根、一元二次方程判别式忽略、不等式变号错误、应用题意理解偏差，是学生“步骤不规范”的主要失分点方法技能核心解题思路：先明确方程/不等式类型，牢记求解步骤，结合题干条件，规范求解，应用类题目先找等量/不等量关系，再列方程/不等式，最后验证答案是否符合实际意义。高频易错点拆解与避错技巧：①分式方程：易错点为去分母漏乘、忘记验根；避错技巧：去分母时，方程两边每一项都乘最简公分母，求解后必须代入最简公分母验证，确保分母不为0。②一元二次方程：易错点为忽略二次项系数不为0的条件、忘记计算判别式、求根公式记忆错误；避错技巧：先标注二次项系数a≠0，涉及根的情况先算判别式Δ=b²-4ac，求根公式牢记符号。③一元一次不等式（组）：易错点为两边同乘/除以负数时不改变不等号方向、解集表示错误、数轴表示解集时方向错误；避错技巧：牢记“同乘/除以负数，不等号反向”，解集遵循“大大取大、小小取小、大小小大中间找、大大小小无处找”，数轴表示时“实心点表示包含，空心点表示不包含”。④应用类问题：易错点为题意理解偏差、等量关系找错、忽略实际意义；避错技巧：审题时圈画关键条件，找准等量/不等量关系，列方程/不等式后，验证答案是否符合实际场景。核心提醒：方程与不等式的核心是“条件约束”，解题前先明确限制条件，解题后验证答案，避免因步骤遗漏导致失分变式演练【变式01】解方程：．【答案】，【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据题意化简得到，再利用直接开方法进行计算即可．【详解】解：，，解得，．【变式02】解方程：．【答案】．【分析】本题考查解分式方程,掌握解分式方程的步骤和方法，将分式方程化为整式方程求解，即可解题．【详解】解：，方程两边都乘，得．去括号得：，解得．经检验，是原方程的根．【变式03】解分式方程．【答案】【分析】本题考查了解分式方程，先去分母，将分式方程化为整式方程，再解这个整式方程，最后检验即可，掌握分式方程的解法是解题的关键．【详解】解：，∴．∴．解得：，经检验是原方程的解，∴原分式方程的解为：．题型03几何概念与性质类易错题型典例引领【典例01】如图，的两条弦，互相平行，点在的延长线上，连接，且．(1)求证：四边形是平行四边形．(2)若平分，平分，，，求的长．【答案】(1)见解析(2)9【分析】（1）利用圆周角定理，平行线性质，等腰三角形性质证明，再结合平行四边形判定定理，即可证明四边形是平行四边形；（2）连接，，利用角平分线性质和等腰三角形性质得到，证明，结合相似三角形性质推出，再利用题干所给数据求解，即可解题．【详解】（1）解：证明：∵，∴，∴，∴．∵，∴，∴，∴．∵，∴四边形是平行四边形．（2）解：如图，连接，．∵，平分，∴，∴，即平分．∵平分，∴平分（三角形三条角平分线相交于同一点）．∵，，，∴，∴．∵，∴，∴，∴，∴．∵，，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了圆周角定理，平行线性质和判定，等腰三角形性质，平行四边形判定定理，角平分线性质，相似三角形性质和判定，解题的关键在于熟练掌握相关性质．【典例02】如图，是的直径，与相切于点B，D，过点C作分别交，于E，F两点，连接．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)若的半径为，，求的长．【答案】(1)详见解析(2)2【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质、圆的切线的性质、角平分线的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握性质定理是解题的关键．（1）如图：连接，根据切线的性质，再根据角平分线的判定定理可得平分，进而得到，然后角的和差以及三角形外角的性质可得，则，最后结合即可证明结论；（2）由平行线的性质可得，再结合，进而得到，再根据切线的性质可得；设，则，然后根据勾股定理得到方程求解即可解答．【详解】（1）证明：如图：连接，∵是的切线，∴，∴，∵是的半径，∴，∴平分，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴∵，∴四边形是平行四边形．（2）解：∵，∴，∵，∴，∴，∵是的切线，∴，∵四边形是平行四边形，∴，设，则，∴在中，，∴，∴，即．方法透视考向解读核心考查三角形、四边形、圆的概念、性质与判定，几何变换的性质。考向特点是“概念性强，易错点为性质混淆、判定条件遗漏”，难度中等，高频易错点为三角形全等/相似判定条件混淆、特殊四边形判定条件不完整、圆的性质误用、几何变换对应关系找错，是学生“概念不清”的主要体现方法技能核心解题思路：先牢记几何图形的核心概念、性质与判定条件，解题时先明确图形类型，结合性质分析边、角关系，判定类题目严格对照判定条件，避免遗漏关键条件。高频易错点拆解与避错技巧：①三角形全等/相似：易错点为全等判定条件混淆、相似判定条件遗漏、对应边/对应角找错；避错技巧：牢记全等“SSS、SAS、ASA、AAS、HL”和相似“两角相等、两边成比例且夹角相等、三边成比例”的判定条件，标注对应边、对应角，避免混淆。②特殊四边形：易错点为矩形/菱形/正方形的判定条件不完整、性质混淆；避错技巧：梳理特殊四边形的“判定条件树”，牢记每种图形的核心性质，避免张冠李戴。③圆的性质：易错点为圆周角与圆心角关系混淆、切线判定条件遗漏、垂径定理应用条件不足（未说明垂直于弦且过圆心）；避错技巧：牢记“同弧所对的圆周角是圆心角的一半”，切线判定必须满足“过半径外端且垂直于半径”，垂径定理需同时满足“垂直于弦、过圆心”两个条件。④几何变换：易错点为折叠/旋转后对应边/对应角找错、旋转角计算错误；避错技巧：折叠问题优先找折痕，旋转问题标注旋转中心、旋转方向和旋转角，通过图形直观判断对应关系。核心提醒：几何概念与性质的核心是“精准记忆、灵活应用”，解题时先对照概念和条件，再推导结论，避免因概念混淆、条件遗漏导致失分变式演练【变式01】如图，在等腰中，，分别在边，上，连接，交于点，且，连接．(1)求证：；(2)若点为中点，，求的长；(3)若，求的值．【答案】(1)证明见解析(2)(3)2【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质得到，根据，结合三角形外角的性质即可证明结论；（2）取的中点，连接，易证，，设，则，求出，，证明，推出，再证明，推出，建立方程求解即可；（3）在上取一点，使得，连接，证明，推出，即可求解．【详解】（1）证明：在等腰直角三角形中，，，，，；（2）解：如图，取的中点，连接，为中点，为中点，，，设，则，，，由（1）得，，又，，，，，，，，，解得（负值已舍去），；（3）解：如图，在上取一点，使得，连接，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形中位线等知识；应牢固掌握相似三角形的判定，等腰直角三角形的性质等知识点，并灵活运用．【变式02】已知正方形中，E为边上一点，E点关于直线的对称点为F点，射线交的延长线于点G，连接交延长交于点H，连接交于点M．(1)若，①求证：；②求的值；(2)求证：M为的中点．【答案】(1)①见解析；②(2)见解析【分析】（1）①利用正方形的性质进一步证明，由全等三角形的性质得出，最后利用轴对称的性质即可得出．②证明，由相似三角形的性质得出，即，设即，解得，再根据正切的定义求解即可．（2）延长、交于点P．由平行线的性质得出，根据等腰三角形的判定和性质即可得出，再根据相似三角形的性质可得出进而可得出M为的中点．【详解】（1）①证明：∵是正方形，∴，，，又，，在和中，，．又E点与F点关于对称，；②，，，又∵，，，即，设，则，解得，；（2）证明：如图，延长、交于点P．，，，∵，，，又，D为的中点，即，∵，∴，∴，，即M为的中点．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，求角的正切值，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线截线段成比例，等腰三角形的判定和性质，轴对称的性质等知识，掌握这些判定定理和性质是解题的关键．【变式03】如图，在矩形中，为的中点，的外接圆交于点．(1)求证：与相切(2)若，，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）连接，延长交于点，根据矩形的性质得到，推出，得到，推出，根据切线的判定定理即可得到结论；（2）连接，过点作于点，证明四边形为矩形，得到，求出．【详解】（1）证明，：如图，连接，延长交于点.矩形，，为的中点，，，，，，.，，是的半径，与相切；（2）解：如图，连接，过点作于点.，为的直径.，四边形为矩形，，，，，，，在中，，．【点睛】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．题型04函数类易错题型典例引领【典例01】如图，直线与直线分别与轴交于点，，两直线交于点．(1)求点P的坐标及的面积；(2)利用图象直接写出当时，x取值范围．【答案】(1)，(2)【分析】本题主要考查了一次函数图象与性质以及一次函数和一元一次不等式和二元一次方程组的关系，准确求出各点坐标是解题关键．（1）先分别求出点坐标，即可求解，然后联立两直线的表达式求出点，再由三角形面积公式求解的面积；（2）时，不等式的解集即为直线在直线下方时对应的取值范围．【详解】（1）解：把代入中得：，解得：，所以把代入中得：，解得：，所以，所以，联立与得，，解得，所以，所以；（2）解：因为，所以由图象可得当时，；【典例02】为迎接六安市第九中学建校周年庆典暨第二十届校园文化艺术节，学校庐剧社团需要为节目《今日高唱凯歌归》采购道具包．现有两种道具包：（乐器+舞具）和（戏服+头饰）．已知每个道具包的单价比道具包的单价高元，且用元购买道具包的数量是用元购买道具包数量的倍．(1)求、两种道具包的单价；(2)在实际采购中，学校预算不超过元，计划购买、两种道具包共个，且道具包数量不高于道具包数量的倍；应如何安排采购方案，才能使总采购成本最低？最低成本是多少？（请用函数知识解答）【答案】(1)道具包的单价为元，道具包的单价为元；(2)购买道具包个，道具包个，总采购成本最低，最低成本是元．【分析】（1）设道具包的单价为元，则道具包的单价为元，用元购买道具包的数量是用元购买道具包数量的倍为相等关系列出方程求解即可（2）设购买总成本为元，购买道具包个，道具包个，道具包的总采购价格道具包的总采购价格，进而根据学校预算不超过元，道具包数量不高于道具包数量的倍可得自变量的取值范围，那么根据函数的增减性和自变量的取值范围可得最低采购成本．【详解】（1）解：设道具包的单价为元，则道具包的单价为元，，解得：，经检验：是原方程的解．∴．答：道具包的单价为元，道具包的单价为元；（2）解：设购买总成本为元，购买道具包个，道具包个，得：，∵，∴随的增大而减小，由题意得：，解得：，∴当时，最小，，∴．答：购买道具包个，道具包个，总采购成本最低，最低成本是元．方法透视考向解读核心考查一次函数、二次函数、反比例函数的图像与性质，函数与几何的综合应用。考向特点是“数形结合，易错点集中在参数判断、定义域忽略、最值求解错误”，难度中等偏上，高频易错点为二次函数a、b、c的符号判断错误、反比例函数k的几何意义误用、函数定义域忽略、最值求解未结合自变量范围，是拉开分差的关键失分点方法技能核心解题思路：“以形助数、以数判形”，先明确函数类型，牢记函数核心性质，结合图像分析参数、交点、增减性，求解最值时必须结合自变量的取值范围，避免脱离实际场景。高频易错点拆解与避错技巧：①二次函数：易错点为a、b、c的符号判断错误、顶点式h的符号错误、最值求解忽略自变量范围；避错技巧：a的符号由开口方向决定，b的符号由对称轴与a的符号共同决定，顶点式y=a(x-h)²+k中，h的符号与顶点横坐标相反，求最值时先看自变量范围，再结合开口方向判断最值在顶点还是端点。②反比例函数：易错点为k的符号判断错误、k的几何意义误用、忽略x≠0的限制；避错技巧：k的符号由双曲线所在象限决定，k的几何意义仅适用于“双曲线上一点到两坐标轴的垂线与坐标轴围成的矩形/三角形”，解题时先标注x≠0。③一次函数：易错点为斜率k的意义混淆、与几何结合时交点坐标计算错误；避错技巧：牢记k的符号决定直线的倾斜方向，k的绝对值决定倾斜程度，求交点坐标时联立解析式，精准计算，避免符号错误。④函数综合：易错点为忽略自变量的几何限制、动点坐标参数设定错误；避错技巧：结合几何图形，明确自变量的取值范围，动点坐标用参数表示时，标注参数的限制条件，避免参数取值超出实际图形范围。核心提醒：函数类问题的核心是“数形结合+定义域优先”，解题时先画函数图像，标注关键条件，再结合性质求解，避免脱离图像和定义域导致错误变式演练【变式01】已知抛物线经过点．(1)求该抛物线的对称轴；(2)点和分别在抛物线和上（A，B与原点都不重合）．（ⅰ）若，且，比较与的大小；（ⅱ）当时，若是一个与无关的定值，求a与b的值．【答案】(1)对称轴是直线(2)；，【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，求抛物线的对称轴，判断函数值的大小，利用函数值的数量关系求系数，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．（1）将已知点的坐标代入解析式中，得出系数之间的关系，利用对称轴公式即可求解；（2）（ⅰ）根据题意得出函数的解析式，将代入解析式中，利用作差法即可得出函数值的大小；（ⅱ）将函数值用各自自变量表示，整理得出两自变量的数量关系，即，再根据是一个与无关的定值，即可求出系数的值．【详解】（1）解：由题意得，将点代入得，，即，∴，故所求抛物线的对称轴是直线．（2）解：（ⅰ）由（1）可知，当时，，抛物线的解析式为．∵，∴，∵抛物线过原点，且点A与原点不重合，∴，，故．（ⅱ）由题意知，，．∵，∴．因为两条抛物线均过原点，且A，B与原点都不重合，所以，．故，即．∴．依题意知，是与无关的定值．则，解得．经检验，当时，是一个与无关的定值，符合题意．∴，．【变式02】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与y轴交于点C．(1)求一次函数的解析式．(2)若P是x轴上一点，且的面积等于面积的2倍，求点P的坐标．【答案】(1)(2)点的坐标为或【分析】此题考查反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，根据函数的解析式求点的坐标，根据三角形的面积求点的坐标，注意数形结合思想的应用．（1）先求解点，，再利用待定系数法求解即可；（2）首先求出，设，然后根据题意得到，求解即可．【详解】（1）解：将，代入，得，，解得：，点，．把，代入，得，解得：，一次函数的解析式为；（2）解：如图，连接，∵一次函数的解析式为，当时，，∴．∵点，点，．设点，由题意，得，解得，点的坐标为或．【变式03】如图为函数和的图象，则图中阴影部分的面积为________．【答案】4【分析】本题考查二次函数图象的平移、平行四边形的面积等知识，掌握相关知识是解题关键．连接，根据平移的性质得出阴影部分的面积即可．【详解】解：各点如图所示，连接，根据抛物线的对称性和平移可得，函数的图象是由的图象向上平移一个单位长度得到，∴,∴四边形为平行四边形，由图可知，平行四边形的高为2，∴阴影部分的面积为，故答案为：4．题型05统计与概率类易错题型典例引领【典例01】《CCTV电视节目主持人大赛》是由中央广播电视总台精心打造的一项重大赛事，节目通过搭建优秀电视节目主持人才的国家级竞争平台，力求选拔出一批具有文化素质好、专业能力强、实践经验丰富、人物个性鲜明的优秀电视节目主持人．某市为了选拔主持人参加省级比赛，开展了全市的主持人大赛，赛事分为初赛和决赛两个阶段．(1)初赛由5名专业评委和40名观众评委给每位选手打分（百分制）．对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．专业评委打分：88，90，90，92，95；b．评委打分的平均数、中位数、众数如下：平均数中位数众数专业评委91mn观众评委899091根据以上信息，回答下列问题：①写出表中m，n的值；②比赛规定初赛按专业评委均分占，观众评委均分占计算选手总分，若选手成绩超过90分，则可直接进入决赛，请通过计算说明该选手能否进入决赛；(2)决赛由5位专业评委打分（百分制）．如果某选手得分的5个数据的方差越小，则认为评委对该选手的评价越一致．5名评委给甲选手打分为92，91，93，92，91．前4名评委给乙选手打分为92，91，92，92，乙选手的平均得分高于甲选手的平均得分，且5名评委对乙选手的评价更一致，试求第五名评委给乙选手的打分成绩（打分为整数）．【答案】(1)①90，90，②可以进入决赛(2)第五位评委给乙的打分为93分【详解】（1）解：①将专业评委打分按照从小到大的顺序排列为88，90，90，92，95，∴这组数据的中位数．∵90在这组数据中出现次数最多，∴这组数据的众数；②∵，且，∴该选手可以进入决赛；（2）解：甲的平均分是：，甲的方差是：，设第5位评委给乙的打分为x分，则，解得．当x取93时，乙的平均分为92，乙的方差是：．∵，，∴93分符合题意．当x取94时，乙的平均分为92.2，乙的方差是：，∵，，∴94分不符合题意．若x取比94大的整数，方差会更大，∴均不符合题意．∴第五位评委给乙的打分为93分．【典例02】学校为调查学生对环保知识的了解情况，从全校学生中随机抽取名学生进行测试，测试成绩进行整理后分成五组，并绘制成如图的频数直方图和扇形统计图．请根据图中信息解答下列问题：(1)补全频数直方图；(2)在扇形统计图中，“”这组的百分比_____；(3)抽取的名学生测试成绩的中位数是_____分，其中“”这组的数据如下：81，83，84，85，85，85，86，86：86，97，88，88，89．(4)若从测试成绩最好的甲、乙、丙、丁四位同学中挑选两位去参加环保知识竞赛，求甲被选中的概率．【答案】(1)见解析(2)(3)84.5分(4)【分析】本题考查了扇形统计图与直方图的联系，画树状图或列表求概率，解题的关键是：（1）先求出样本容量，再用用本容量减去已知各部分的频数，即可求出“”这组的频数，从而补全频数直方图；（2）用“”这组的频数除以样本容量即可；（3）根据中位数的定义求解即可；（4）通过画树状图或列表罗列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，最后利用概率公式求解．【详解】（1）解：人，人，补全频数直方图如下：；（2）解：，故答案为：；（3）解：∵分的人数已有人，“”组有12人，∴中位数在“”这组，又“”这组的数据如下：81，83，84，85，85，85，86，86：86，97，88，88，89，∴第25和26名的成绩分别是84分，85分，∴中位数是分；（4）解：画树状图如下：共有12种可能结果，其中甲被选中的有6种，∴甲被选中的概率．方法透视考向解读核心考查普查与抽样调查的辨析、统计量（平均数、中位数、众数、方差）的计算、统计图的解读、概率的计算。考向特点是“知识点基础，易错点集中在概念辨析和计算失误”，难度偏低，但失分率较高，高频易错点为普查与抽样调查适用场景混淆、中位数计算未排序、方差公式误用、概率计算重复/遗漏，是学生“粗心大意”的主要失分点方法技能核心解题思路：先明确统计与概率的核心概念，解读统计图时先找关键数据，计算统计量时遵循公式，概率计算时先列举所有可能结果，再确定符合条件的结果，避免重复或遗漏。高频易错点拆解与避错技巧：①普查与抽样调查：易错点为适用场景混淆；避错技巧：牢记“范围大、数据多、有破坏性的场景用抽样调查，范围小、要求精准、无破坏性的场景用普查”。②统计量计算：易错点为中位数计算未先排序、加权平均数权重找错、方差公式漏除数据个数n；避错技巧：求中位数前先将数据从小到大排序，加权平均数找准权重，方差公式牢记“先求平均数，再求差的平方和，最后除以数据个数”。③统计图解读：易错点为扇形统计图圆心角计算错误、补全统计图时忽略单位；避错技巧：扇形统计图圆心角=360°×对应百分比，补全统计图前先确认横轴、纵轴的单位和刻度，确保数据准确。④概率计算：易错点为列举结果重复/遗漏、游戏公平性判断仅比较结果数；避错技巧：用列表法或树状图列举所有可能结果，确保不重复、不遗漏，判断游戏公平时必须计算双方获胜的概率，而非仅比较结果数。核心提醒：统计与概率的核心是“精准计算、概念辨析”，解题时耐心细致，计算完成后验证数据是否符合实际意义，避免粗心导致失分变式演练【变式01】某中学在七、八年级准备开展社团活动，分别设置A：体育类、B：艺术类、C：文学类、D：其他类四类社团，要求人人参与，且每人只能选择一项，为了解学生的喜好，学校做了一次抽样调查，根据收集到的数据，绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据以上信息，解决下列问题：(1)本次调查的样本容量为________；(2)将条形统计图补充完整，并计算在扇形统计图中B对应的圆心角为________度；(3)这所中学七、八年级一共有2000名学生，估计这所中学选择体育类社团的学生有多少人？【答案】(1)100(2)见解析，(3)640【分析】（1）用D项目的人数除以所占的百分比求出样本容量；（2）首先求出B项目的人数，然后补全统计图，然后用乘以B项目的人数所占的百分比求出B对应的圆心角；（3）用2000乘以A项目的人数所占的百分比求解．【详解】（1）解：本次调查的样本容量为；（2）解：B项目的人数为（人），补全统计图如下：在扇形统计图中B对应的圆心角为（度）；（3）解：估计这所中学选择体育类社团的学生有（人）．【变式02】某购物商场为促进顾客消费，特设一个可自由转动的转盘．顾客凡购物满500元，即可获得优惠，两种优惠方式任意选择其中一种．方式一：直接获得25元购物券；方式二：有机会转动转盘一次，转盘分为多个区域，每个区域对应不同的购物券．下表是活动进行中的一组统计数据：转动转盘的次数n落在20元购物券区域的次数落在20元购物券区域的频率（结果保留小数点后两位）请根据上面的图表完成以下问题：(1)________；(2)当转动次数增加到足够大时，落在元购物券区域的频率会逐渐稳定在某个常数附近，由此估计落在元购物券区域的概率是________（结果保留小数点后一位）；(3)小明和他的爸爸这次在此商场购物超过了元，他爸爸对于选择方式一还是方式二，犹豫不决．小明发现：元购物券、元购物券、元购物券、元购物券所对应的扇形区域的圆心角之比是，通过计算求得转动一次转盘获得购物券数额的平均数，帮助他爸爸做出了更合算的选择．请问小明选择的是哪种方式，说明理由．【答案】(1)(2)(3)方式二，见解析【分析】本题主要考查了利用频率估计概率、加权平均数的计算、概率的应用，熟练掌握频率与概率的关系及加权平均数的计算公式是解题的关键．（1）根据频率的计算公式频率落在‘元购物券’区域的次数转动转盘的次数，变形为落在‘元购物券’区域的次数转动转盘的次数频率，代入数据计算即可求出的值．（2）利用频率估计概率，观察表格中频率的变化趋势，当试验次数足够大时，频率稳定在某个数值附近，该数值即为所求概率．（3）先根据圆心角之比求出各购物券对应的概率，再利用加权平均数公式计算出转动转盘获得购物券数额的平均数，最后将平均数与方式一的元比较，判断哪种方式更合算．【详解】（1）解：，故答案为：．（2）解：∵转动次数分别为25、50、75、100、125、150时，落在20元购物券区域的频率依次为0.36、0.42、0.43、0.40、0.38、0.39，∴当转动次数足够大时，频率稳定在0.4附近，∴估计落在20元购物券区域的概率是0.4．故答案为：．（3）解：选择方式二，理由如下：方式一：25元购物券；方式二：，转动一次转盘获得购物券数额的平均数为：．，选择方式二更合算．【变式03】燃烧等离子体实验超导托卡马克（BEST）预计将于2027年完工，可能成为人类历史上首个能从核聚变中发电的装置．某校为了调查学生对该装置的了解程度，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，调查结果共分为四个等级：A．非常了解；B．比较了解；C．基本了解；D．不了解．将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的统计图．请你根据图中提供的信息回答下列问题：(1)本次调查共抽取了多少名学生？(2)通过计算补全条形统计图；(3)求扇形统计图中，B部分扇形所对应的圆心角的度数；(4)若该校共有900名学生，请你估计该校比较了解托卡马克装置的学生人数．【答案】(1)200名(2)见解析(3)(4)135名【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图的意义，理解两个统计图中数量之间的关系是正确解答的前提．（1）从两个统计图中可得A等级的有20人，占调查人数的，可求出调查人数；（2）求出D等级、B等级人数即可补全条形统计图；（3）B等级占调查人数的，因此相应的圆心角占的即可；（4）求900人的即可．【详解】（1）解：（名），答：本次调查共抽取了200名；（2）解：D等级人数：（名），B等级人数：（名），补全条形统计图如图所示：（3）解：，答：扇形统计图中，B部分扇形所对应的圆心角的度数为；（4）解：（名），答：该校比较了解托卡马克装置的学生的人数约为135名．题●型●训●练1．先化简，再求值：，其中，．【答案】化简为，值为【分析】首先利用完全平方公式和平方差公式展开括号内的整式，然后去括号、合并同类项，再根据多项式除以单项式的法则进行化简，得到最简整式后，代入给定的、的值计算最终结果．【详解】解：，当，时，原式．2．已知(1)求的值．(2)求的值．【答案】(1)(2)2【分析】（1）利用同底数幂的乘法和除法的逆运算，进行求解；（2）利用幂的乘方和同底数幂的除法的逆运算进行求解．【详解】（1）解：；（2）解：．【点睛】重点掌握幂的运算法则．3．先化简，再求值：，其中，且是整数．【答案】,当时，原式=,当时，原式=1【分析】先将括号外的分式的分子分母进行因式分解，再把括号内的分式通分，然后按照分式的除法法则，将除法转化为乘法进行计算．【详解】解：，已知，且是整数，当时，原式，当时，原式．【点睛】本题考查了分式的化简求值、估算无理数的大小，注意所估算的值应当使分式有意义．4．已知关于的一元二次方程．(1)若方程有实数根，求的取值范围；(2)若方程的两实数根分别为，，且满足．求的值．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记“当时，方程有实数根”；（2）利用根与系数的关系结合，找出关于的一元二次方程．（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出实数的取值范围；（2）利用根与系数的关系可得出，，结合，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出实数的值，即可求出，，代入即可得答案．【详解】（1）解：关于的一元二次方程有实数根，，解得：，实数的取值范围为．（2），是关于的一元二次方程的两实数根，，．，，，，即，解得：或，当时，方程变为，，不符合题意，舍去，当时，方程变为，，，，．5．化简：．【答案】．【分析】本题考查了分式的混合运算，先把除法运算化为乘法运算，再约分得到原式，接着通分，然后进行同分母的减法运算．【详解】解：．6．先化简，再求值：，其中．【答案】，【分析】本题考查分式的化简求值，分母有理化，先通分，计算括号内，除法变乘法，约分化简后，代值计算即可．【详解】解：原式．当时，原式．7．阅读材料：如果有一列数，从这列数的第2个数开始，每一个数与它的前一个数的比等于同一个非零的常数，这样的一列数就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示（）．(1)观察一个等比数列1，，，，…，它的公比q=______；若（n为正整数）表示这个等比数列的第n项，则=_______；(2)欲求的值，可以按照如下步骤进行：令①，等式两边都乘2，得②，由，得，，即的值为．请根据以上解答过程，计算：．【答案】(1)，(2)【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用，探索与表达规律，主要考查学生的理解能力和阅读能力．（1）通过观察可知后一个数除以前一个数等于，根据已知数的特点求出即可；（2）令，则，两式相减即可得出答案．【详解】（1）解：，∵，，，，，，（2）解：令，则，两式相减，得，，即．8．先化简，再求值：，其中．【答案】，【分析】本题主要考查分式的化简求值，原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．【详解】解：当时，原式．9．解方程：．【答案】【分析】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，先移项提取公因式，得到两个一元一次方程，再分别求解即可，熟练掌握因式分解法解一元二次方程的方法步骤是解决此题的关键．【详解】解：，，，或，．10．解不等式组，并把解集在数轴上表示．【答案】，数轴见解析：【分析】此题考查了解一元一次不等式组．求出每个不等式的解集，表示在数轴上，找到解集的公共部分即可．【详解】解：由①得；由②得．在数轴上表示这个解集如解图所示：所以原不等式组的解集为．11．解不等式：．【答案】【分析】本题考查解不等式，去分母，去括号，移项，合并，系数化1进行求解即可．【详解】解：∴，∴，∴，∴，∴．12．解分式方程：．【答案】【分析】本题考查解分式方程，掌握解分式方程的方法和步骤即可解题．【详解】解：方程两边同乘，得．去括号，得．移项、合并同类项，得．系数化为1，得．检验：当时，，原分式方程的根为．13．解不等式：．【答案】．【分析】本题考查了解一元一次不等式，根据解一元一次不等式的方法求解即可，掌握解一元一次不等式的方法是解题的关键．【详解】解：，∴，

∴，∴，解得：．14．如图1，点在的平分线上．(1)若，求证：．(2)如图2，若．①已知，求的度数．②点在上，若，求证：．【答案】(1)见解析(2)①；②见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的意义，解题关键是掌握全等三角形的判定方法．（1）先利用证明，再根据全等三角形的性质得出结论成立；（2）①先利用证明，再根据全等三角形的性质得出，从而可证得，再根据等边对等角证得，进而求得；②先利用证明，再根据全等三角形的性质得出，根据，得出，从而可得结论成立．【详解】解：（1）证明：，．平分，．又，，．（2）①如图，在上截取，连接．平分，，∵，，．，∴，，，．．②证明：如图，连接，在和中，，．，，，．15．在四边形中，点为的中点，分别连接．(1)如图1，若．①求证：；②若平分，求证：；(2)如图2，若，求的长．【答案】(1)①见解析；②见解析(2)【分析】（1）①根据对应角相等证明，所以对应边成比例，再根据是中点，代入比例式即可求证；②根据三角形内角和定理以及平角的定义求证即可；（2）过点作，交的延长线于点，连接，根据全等三角形的判定与性质，构造，在根据等腰三角形的判定得出为等腰三角形，最后根据勾股定理即可求出的长．【详解】（1）证明：①，∴，∴，∵为的中点，∴，∴，即；②∵，∴，∵，∴，∵平分，∴，∵，∴；（2）解：如图，过点作，连接，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，在中，，∵，∴，∴．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识的综合，掌握以上知识，合理作出辅助线是解题的关键．16．如图1，是的内接三角形，是的直径，平分，交于点，连接，交于点．(1)求证：；(2)如图2，过点作于点，若，，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题主要考查了圆周角定理，平行线的性质，勾股定理，角平分线定义，对于（1），根据角平分线的定义和圆周角定理得，即可得，再根据平行线的性质得，然后根据直径所对的圆周角是直角得出答案；对于（2），连接，设，可得，进而得出，再根据勾股定理得，，然后根据得出关于r的方程，求出解，最后根据可得答案．【详解】（1）证明：平分，．∵，，∴，．为的直径，，，；（2）解：如图，连接，设，．，，在中，．，，在中，，在中，，，或（舍去），，，，，．17．已知等边，点在上，点在延长线上，满足，为上一点，连接，．(1)若点为中点，求证：；(2)若，，求的度数．【答案】(1)见解析(2)【分析】（）延长至使，连接，，，证明，则有，，所以，再证明，由性质得，，从而证明为等边三角形，通过等边三角形的性质即可求证；（）延长至使，交于，由等边三角形的性质得，证明，则，所以，则有，，证明，通过全等三角形的性质得，最后通过三角形外角性质即可求解．【详解】（1）证明：延长至使，连接，，，∵是中点，∴，∵，∴，∴，，∴，∵是等边三角形，∴，，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，，∴，∴为等边三角形，∴；（2）解：延长至使，交于，∵是等边三角形，∴，，∵，，∴，∴，，，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，三角形的外角性质，等边对等角等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．18．如图，在中，点A是弧的中点，以、为邻边作平行四边形，延长交于点E，连接．(1)求证：是的切线；(2)若，，求的半径．【答案】(1)证明见详解(2)【分析】本题主要考查了圆的有关知识、平行四边形的判定与性质、切线的判定、勾股定理等知识点，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．（1）如图：连接交于点，根据题意可得，进而得到，再根据平行四边形的性质可得即可证明结论；（2）如图：连接，由平行四边形的性质可得、，进而得到，根据等腰三角形的性质可得，再根据勾股定理可得，设的半径为，则，然后根据勾股定理列方程求解即可．【详解】（1）证明：如图：连接交于点，∵A是的中点，∴，∴，∴，∵四边形是平行四边形，∴，∴，∵是的半径，∴是的切线．（2）解：如图：连接，∵四边形是平行四边形，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，在中，，设的半径为，则，在中，，∴，解得：，∴的半径为．19．如图，在中，，以为直径作半圆，交于点，连接，过点作，垂足为点．

(1)求证：是的切线；(2)求证：．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）连接，由直径得到，然后得到，推出，得到即可证明；（2）证明出，得到，然后结合即可证明．【详解】（1）证明：连接，如图，

为的直径，，，，平分，即，，为的中位线，，，，是的切线；（2）证明：，，，，，，．【点睛】此题考查了直径所对的圆周角是直角，切线的判定，相似三角形的性质和判定，三角形中位线的性质，三线合一等知识，解题的关键是掌握以上知识点．20．如图，是的直径，C为上一点，P为外一点，，且，连接．(1)求证：与相切；(2)若，，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）连接，利用平行线的性质及等边对等角，通过等量代换可得，进而证明，推出，即可证明与相切；（2）由可推出垂直平分，利用等面积法求出，进而求出，由圆周角定理得，最后用勾股定理解即可．【详解】（1）证明：如图，连接，，，，，，，在和中，，，，与相切；（2）解：如图，连接交于点D，，，，垂直平分，，，，，，，，是的直径，，，．【点睛】本题考查切线的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，勾股定理等，正确作出辅助线是解题的关键．21．如图，中，边上的中线与的平分线交于点，．(1)求证：；(2)求证：；(3)若，求．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)．【分析】（）根据角平分线的定义得到，根据等腰三角形的性质得到，再利用三角形外角性质可证明，然后根据相似三角形的判定方法得到结论；（）过点作交于点，如图，利用平行线分线段成比例定理，由得到，由得到，则，所以；（）先证明，得到，则利用，，，得到，则，由于，所以，然后把与相加得到，然后解方程即可．【详解】（1）证明：如图，∵平分，∴，∵，∴，∵，，∴，∴；（2）证明：过点作交于点，如图，∵为中线，∴，∵，∴，即，∵，∴，∵，∴，∴；（3）解：∵，∴，∴，∵，，，∴，即，∵，∴，即，得，解得．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等边对等角，角平分线定义，三角形的外角性质，平行线分线段成比例，解一元二次方程等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．22．某校化学教学组为了提高教学质量，加深学生对所学知识的理解，采取了理论和实验相结合的教学方式，一段时间后，为检验学生对此教学模式的反馈情况，教学组的老师们在九年级随机抽取了部分学生，就“你最喜欢的化学实验是什么”进行了问卷调查，选项为常考的五个实验：．高锰酸钾制取氧气；．电解水；．木炭还原氧化铜；．高温煅烧石灰石；．碳酸钠和稀盐酸反应，要求每个学生只能选择一项，并将调查结果绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图（调查中无人弃权）．请结合统计图，回答下列问题：(1)________，所对应的扇形圆心角是________；(2)请你根据调查结果，估计该校九年级名学生中有________人最喜欢的实验是“．高温煅烧石灰石”(3)某堂化学课上，小明学到了这样一个知识：将二氧化碳通入澄清石灰水，澄清石灰水会变浑浊，若小明从上面的五个实验中任意选取两个，请求出两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的概率________．【答案】(1)，(2)(3)【分析】本题考查了统计图表的综合运用（条形图、扇形图）、用样本估计总体以及概率的计算，准确提取图表信息、掌握概率公式是解题关键．（1）先通过“实验人数及对应百分比”求出抽取的总人数，再用总人数减去其他实验的人数得到；利用“实验人数总人数”计算对应的扇形圆心角；（2）先算出样本中“实验”的人数占比，再用该占比乘以九年级总人数，估计喜欢实验的人数；（3）先确定能产生二氧化碳的实验，再通过列表法列出所有取两个实验的可能结果，最后根据“符合条件的结果数总结果数”计算概率．【详解】（1）解：抽取的学生人数为（人），选择的学生人数为（人），所对应的扇形圆心角是；（2）解：（人），答：估计该校九年级名学生中有人最喜欢的实验是“．高温煅烧石灰石”．（3）解：本次调查的五个实验中，三个实验均能产生二氧化碳，列表如下，由列表可知，共有种等可能的结果，其中两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的情况有种，（两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊）．23．技术已渗透至社会各领域，某校综合实践小组开展了对两种软件“模型”和“模型”进行使用满意度调查，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（分数用x表示，单位：分，满分100分，分为四个等级：：，：，：，：），下面给出了部分信息：抽取的对“模型”的评分数据中等级的数据：89，89，88，87，86，86，84；抽取的对“模型”的评分数据：100，99，98，98，97，97，97，95，89，88，87，87，86，86，85，84，78，72，69，68．抽取的对“模型”、“模型”的评分统计表品牌平均数中位数众数等级所占百分比模型8898模型88抽取的对“模型”评分的扇形统计图根据以上信息，解答下列问题：(1)上述图表中________，________，________；(2)根据以上数据，你认为哪个软件更受用户的喜爱？请说明理由；（写出一条理由即可）(3)此次测验中，有300人对“模型”进行评分，260人对“模型”进行评分，估计此次测验中对“模型”、“模型”两种软件评分为等级的共有多少人？【答案】(1)15，89，97(2)“模型”软件更受用户的喜爱，理由见详解(3)239人【分析】本题考查统计综合，涉及求中位数、众数、扇形某项百分比、由样本情况估计总体等知识，熟记统计相关知识及求解方法是解决问题的关键．（1）先计算“模型”的评分数据中等级占比，然后用1减去、、等级所占百分比即可得到等级所占百分比，从而求出；再由中位数及众数的定义与求法即可得到；（2）根据“模型”评分数据中A等级所占百分比比“模型”高即可得到答案；（3）由样本中两种软件评分为等级的占比估计测验中的总人数即可得到答案．【详解】（1）解：“模型”的评分数据中等级数据有7份，占比为：，；“模型”的评分数据中等级数据份数为：，等级数据按从大到小顺序排列为：89，89，88，87，86，86，84，可知“模型”的评分数据中从大到小排序，第10，11位数据均为89，；“模型”的评分数据中97出现了3次，出现的次数最多，；故答案为：15，89，97；（2）解：“模型”软件更受用户的喜爱，理由如下：“模型”评分数据中A等级所占百分比比“模型”高；（答案不唯一）（3）解：（人）答：估计此次测验中对“模型”、“模型”两种AI软件评分为等级的共有239人．24．在科技飞速发展的当下，智能机器人成为了热门研究领域．某科研团队研发了三款智能机器人，分别命名为A，B，C．为测试这三款机器人在图像识别能力和运动能力方面的综合表现，团队对它们进行了全面测试．在图像识别能力测试中，A，B，C三款机器人的得分（满分为100分）分别为87分、85分、90分．运动能力测试由10位专业测试员根据一系列动作任务进行打分，每位测试员最高打10分，运动能力测试成绩为各位测试员打分之和．现需对三款机器人的运动能力测试数据进行详细分析，以评估哪款机器人的综合性能更优．【数据收集与整理】A，B，C三款机器人运动能力测试情况统计表机器人测试员