江苏南京市七校联合体2025-2026学年第二学期期中调研高二数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页江苏南京市七校联合体2025-2026学年第二学期期中调研高二数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.在空间直角坐标系O−xyz中，点1,−2,3关于平面xOy对称的点为(

)A.1,−2,−3 B.−1,2,−3 C.1,2,−3 D.−1,−2,−32.若曲线y=x3+ax+b在点0,1处的切线方程是x+y−1=0，则A.a=−1,b=−1 B.a=−1,b=1 C.a=1,b=−1 D.a=1,b=13.已知a1+a2b1+bA.5 B.6 C.10 D.124.在四面体ABCD中，AB=a,AC=b,AD=c,点E在ABA.12a+12b−125.已知随机变量X的分布列如下表所示，设Y=3X+2，则Y的数学期望EY的值是(

)X−201P111A.−56 B.76 C.−56.若函数fx=mex+lnxA.e,+∞ B.e,+∞ C.−∞,e D.−∞,e7.在三棱锥A−BCD中，AB⊥BC，BD=CD，E为BC的中点，且AB=4，ED=3，若二面角A−BC−D的大小为π6，则ABA.6 B.23 C.−6 8.已知函数fx=x2+6x+3x≤0elnxxA.0,16 B.0,13e C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列求导运算正确的有(

)A.x′=1x B.x10.3名男生，3名女生，这6个人站成一排，下列选项正确的是(

)A.男生必须排在一起，共有120种排法

B.男生必须排在一起，并且女生也必须排在一起，共有36种排法

C.男生互不相邻，共有144种排法

D.男生和女生均按照身高递增的顺序从左到右依次排列，共有20种排法11.已知正方体ABCD−A1B1C1D1棱长为1，动点PA.若点P在平面BDC1内，则x+y−z=2

B.当x=1，y=3，z=2时，点P到直线BD的距离为342

C.当z=0，x+y=1时，该正方体被平面PAD1所截得的截面的最大面积是2

D.当三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知C12x+2=C122x−5，则x13.从5名女生和3名男生中选取3人参加学校活动，在女生甲被选中的情况下，有两名男生被选中的概率为

．14.把黄、绿、棕、蓝、粉、黑6颗不同的小球放入A，B，C三个不同的盒子里，每个盒子至少放一个小球，其中黑色小球必须放入A盒子中，则有

种不同的安排方法．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知2x−1(1)求展开式中的带有x2(2)求展开式中各项的系数和；(3)求展开式中二项式系数最大的项．16.(本小题15分)多项选择题是标准化考试中常见题型，从A，B，C，D四个选项中选出所有正确的答案(四个选项中有两个或者三个选项是正确的)如果答案有且仅有两个选项是正确的，那么其评分标准为全部选对得6分，部分选对得3分，有选错的得0分；如果答案有且仅有三个选项是正确的，那么评分标准是全部选对得6分，只选一个且没有选错得2分，只选两个且没有选错得4分，有选错的得0分．(1)在一次数学考试中，某道多项选择题的正确答案是三个选项，甲同学不会做，于是他随机选择了两个选项，求他本题得4分的概率；(2)现有2道正确答案是两个选项的多项选择题，根据以往经验，第一题得6分的概率为12，得3分的概率为14；第二题得6分的概率为16，得3分的概率为12.两道题答题互不影响，且两题答对与否也互不影响，求这17.(本小题15分)如图，在四棱锥E−ABCD中，EA⊥平面ABCD，AD//BC，∠ABC=90∘，AD=2，(1)若点H为EB的中点，求证：AH⊥EC．(2)求直线BC与平面CDE所成的角的正弦值．(3)若点F在侧棱EC上，EF=2FC，求平面FAB与平面FAD夹角的余弦值．18.(本小题17分)已知函数fx=x+ln(1)当m=12时，求(2)讨论fx(3)若fx≤0对任意x>0恒成立，求整数m19.(本小题17分)有一些不透明的盒子，每个盒子里都装有形状和大小完全相同的1个红球和1个白球．(1)取出五个盒子，分别编号为1,2,3,4,5，第一步，把3号盒子里的两个球放入1号盒子，把4号盒子里的两个球放入2号盒子，把5号盒子中的红球放入1号盒子，白球放入2号盒子；第二步，从1号盒子里随机摸出2个球，若摸出的两个球颜色相同，则将这两个球放入2号盒子中，若摸出的两个球颜色不同，则放回1号盒子中；第三步，从2号盒子中随机摸出一个球，查看颜色．①求第三步摸到的球是红球的概率；②若第三步摸到的是白球，请问第二步中从1号盒子里摸出的两个球是放入2号盒子中，还是放回1号盒子中，哪种可能性更大呢？(2)取出n(n≥2,n∈N)个盒子，重新编号，依次为1,2,3,⋅⋅⋅,n，从1号盒子里随机摸出一个球放入2号盒子，再从2号盒子中随机摸出一个球放入3号盒子，重复上述操作，直至从n−1号盒子中随机摸出一个球放入n号盒子，最后从n号盒子中随机摸出一个球丢掉．记此时n号盒子中红球个数的期望为μ，试比较μ与k=1nkC参考答案1.A

2.B

3.A

4.B

5.D

6.A

7.C

8.A

9.BCD

10.CD

11.BC

12.7或5

13.1714.180

15.解：(1)由题意知，展开式的通项公式为Tk+1=C令6−2k=2，解得k=2所以，展开式中的带有x2的项为C(2)根据题意，令x=1，此时展开式的值即为各项系数和：2×1−1(3)因为n=6，所以展开式共有7项，由二项式系数的性质可知，第4项的二项式系数最大，所以T3+1

16.解：(1)设“甲同学得4分”为事件A，该同学所有可能的选择答案的样本空间Ω=AB,AC,AD,BC,BD,CD包含6个样本点，而事件A包含3个，所以P(A)=所以他本题得4分的概率为12(2)设“这2道多项选择题的总得分”为随机变量X，X可能取值为0，3，6，9，12，则P(X=0)=14×P(X=6)=14

P(X=9)=14×所以随机变量X的概率分布如下：X036912P15171

17.解：(1)分别以AB,AD,AE所在的直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系A−xyz，则D(0,2,0),E(0,0,1),A(0,0,0),C(1,1,0),B(1,0,0)，则H12,0,12AH⋅EC=(2)设平面CDE的法向量为n=(a,b,c)DC=则n⋅DC=a−b=0n⋅EC=a+b−c=0设BC与平面CDE的夹角为θ，则sinθ=所以直线BC与平面CDE所成角的正弦值为6(3)由EF=2FC得，F2在平面FAB中，AF=23,23,则有AF⋅n1=23x+故平面FAB的一个法向量为n1同理AF=23,23,则有AF⋅n2=23x设平面FAB与平面FAD的夹角为θ，则cosθ=综上，平面FAB与平面FAD的夹角的余弦值为4

18.解：(1)当

m=12

时，

f(x)=lnx−12x2+1

，定义域为

0,+∞

，

则

f′(x)=所以当

0<x<1

时，

f′(x)>0

，

f(x)

单调递增，

当

x>1

时，

f′(x)<0

，

f(x)

单调递减所以

f(x)

有极大值

f(1)=12

(2)

f′x=若

m≤0

时，

f′x>0

在

0,+∞

上恒成立，此时

fx

在

若

m>0

时，令

f′x=0

，即

−2mx−1x+1x=0

，解得

x=12m

当

0<x<12m

时，

f′x>0

，则

fx

当

x>12m

时，

f′x<0

，则

fx

在综上，当

m≤0

时，

fx

在

0,+∞

当

m>0

时，

fx

在

0,12m

上单调递增，

fx

在

(3)因为对任意

x>0

，

fx≤0

恒成立，所以

lnx+x+1≤mx2+2x即

m≥lnx+x+1x2+2x

在设

Fx=lnx+x+1设

gx=−x+2lnx

，

g′x=−1+2x因为

g1=−1<0

，

g所以

∃x0∈12,1

，使得

gx0=0

当

x∈0,x0

时，

gx>0

；当

x∈x所以

Fx

在

0,x0

上单调递增，在

所以函数

Fx

在

0,+∞

上的最大值

因为

x0∈12,1

，所以

12x0

19.解：(1)第一步结束后，1号盒子中有3个红球和2个白球，2号盒子中有3个白球和2个红球．①设“第三步从2号盒子中摸出红球”为事件B设“第二步从1号盒子中摸出2个红球”为事件A1，则P(此时2号盒子中有4红3白，P(BA设“第二步从1号盒子中摸出2个白球”为事件A2，则P(此时2号盒子中有2红5白，则P(BA设“第二步从1号盒子中摸出1个红