专题02与平抛运动相关的物理模型

专题02与平抛运动相关的物理模型

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模型解读

模型1：平抛运动模型及规律....................................................

模型2：常见三类斜面相关的平抛运动..................................................3

类型1:物体在斜面水平抛出后有落到斜面上.......................................................3

类型2：平抛运动的物体垂直击中斜面..................................................4

类型3：撞斜面平抛运动中的最小位移问题.....................................................5

模型3：平抛运动与曲面的关联问题....................................................5

类型1：在半圆内的平抛运动......................................................5

类型2：平抛运动的物体沿切线进入圆弧形凹侧.........................................5

模型4：台阶平抛运动模型.............................................................5

模型5：体育生活中平抛运动的临界模型...........................................................5

模型6：对着竖直墙壁的平抛模型......................................................6

模型7：平抛的相遇模型...............................................................6

题型特训

题型01：平抛运动模型及规律.....................................................................7

题型02：物体在斜面水平抛出后又落在斜面上..........................................9

题型03：平抛运动的物体垂直击中斜面...........................................................12

题型04：斜面平抛运动离斜面的最大距离问题..........................................14

题型05：在半圆内的平抛运动.........................................................17

题型06：沿切线进入圆弧凹侧的平抛运动...............................................19

题型07：与台阶结合的平抛运动.......................................................21

题型08：平抛运动在体育方面的应用.............................................................23

题型09：平抛运动中的相遇问题.......................................................25

模型解读

1：平抛运动模型及规律

I、平抛运动的条件和性质

（1）条件：物体只受重力作用，具有水平方向的初速度匕）。

(2)性质：加速度恒定a=g,竖直向下，是匀变速曲线运动c

2、平抛运动的规律

规律：(按水平和竖直两个方向分解可得)

水平方向：不受外力，以w为速度的匀速直线运动，=vor,vt=v0

2

竖直方向：竖直方向只受重力且初速度为零，做自由落体运动，y=-gtfv=gt

2

平抛运动的轨迹：是一条抛物线y=

2%

合速度：大小：V=M+片即^=+(/)2,

方向：n与水平方向夹角为〃〃?〃=国，即〃=tan7(出)

vnvn

合位移：大小：S=FK即S=J(lV)2+(g/2)2,

方向：S与水平方向夹角为心〃8=曲，即6=1加7(a-)

2%2%

一个关系：tana=2tan夕，说明了经过一段时间后，物体位移的方向与该时刻合瞬时速度的方向不相同,

速度的方向要陡一些。如图所示：I)。，4

3、对平抛运动的研究>>x

由竖直方向上的自由落体运动了二，可以得到时间/=

可见，平抛运动在空中的飞行时间由抛出点到落地点的竖直距离和该地的重力加速度决定，抛出点越

高或者该地的重力加速度越小，抛体飞行的时间就越长，与抛出时的初速度大小无关。

(2)平抛运动的射程

由平抛运动的轨迹方程y=白/，可以写出其水平射程R=%、型

可见，在g一定的情况下，平抛运动的射程与初速度成正比，与抛出点高度的平方根成正比，即抛出

的速度越大、抛出点到落地点的高度越大时.，射程也越大。

(3)平抛运动轨迹的研究

平抛运动的抛出速度越大时，抛物线的开口就越大。

曲［模型2：常见三类斜面相关的平抛运动

类型1:物体在斜面水平抛出后有落到斜面上

1.斜面上平抛运动的时间的计算

斜面上的平抛（如图），分解位移（位移三角形）

x=vor，

1,

尸利

-r4/口2votan0

可求得，=---o

2.斜面上平抛运动的推论

根据推论可知，tana=2s〃。，同一个斜面同一个"所以，尢论平抛初速度大小如何，落到斜面速度方

向相同。

3.与斜面的最大距离问题

两种分解方法：

【构建模型】如图所示，从倾角为。的斜面上的A点以初速度总水平抛出一个物体，物体落在斜面上的8

点，不计空气阻力.

法一：（1）以抛出点为坐标原点，沿斜面方向为x轴，垂直于斜面方向为），轴，建立坐标系，如图（a）所示

vx=v（）cos8,vv=vosin0,

Qr=gsin0,ay=geos0.

物体沿斜面方向做初速度为M加速度为右的匀加速直线运动，垂直于斜面方向做初速度为方、加速

度为的的匀减速直线运动，类似于竖直上抛运动.

令%，=vosin0—geos%=0,即t—

（2）当，=电詈4对，物体离斜面最远，由对称性可知总飞行时间7=2/=如警

oO

A、B间距离s=vr)cos。•7+5sin6/=今鳖邛.

法二：(1)如图(b)所示，当速度方向与斜面平行时，离斜面最远，V的切线反向延长与W交点为此时横坐标

的中点P,

m,iAV2gLVotan8

则tan6>=i-=-j-,t=-~一.

(2)京=y=笈户=吗售，而左：司=1：3,所以而=43，=纸詈笛，A、B间距嗡s=W

乙zggbinc.

21疝an0

geos0'

法三：(1)设物体运动到C点离斜面最远，所用时间为3将y分解成也和叫，如图(c)所示，则由⑶1夕=中=

国组,I'otan()

心倚一g.

(2)设由人到8所用时间为乙水平位移为x,竖直位移为)，，如图(d)所示，由图可得：

①

②

③

由①②③式得：r=也乎

2Man〃

而x=vot'=

g

因此A、4间的距离>总=黑华

类型2：平抛运动的物体垂直击中斜面

方法：分解速度.

Vx=Vo,

可求得尸温仁

底端正上方平抛撞斜面中的几何三角形

HL

类型3：撞斜面平抛运动中的最小位移问题

如图所示,

当小球落在斜面上的3点时，位移最小，设运动的时间为/,则

水平方向：x=hcos〃-sin0=\ot

1曲

竖直方向：y=Acos"cos。=灰凡解得见=yi2sin0,t=0.

3：平抛运动与曲面的关联问题

类型1：在半圆内的平抛运动

(D在半圆内的平抛运动(如图)，由半径和几何关系制约时间/：〃=会汽昕联立两方程可

求to

(2)或借助角度仇分解位移可得：x;R(l+cosO)=vot,y:Rs。/=%g-，联立两方程可求t或vo>

类型2：平抛运动的物体沿切线进入圆弧形凹侧

模型5：体育生活中平抛运动的临界模型

1.平抛运动中的临界速度问题

gVI

5

从网上擦过的临界速度匕=12(%-4)

出界的临界速度为=（山+$2）i

2.既擦网又压线的双临界问题

/\22

1S4_.

根据6=5”

,可得比值：=+%)2

6：对着竖直墙壁的平抛模型

L如图所示，水平初速度W不同时，虽然落点不同，但水平位移，相同，『焉

2.撞墙平抛运动的时间的计算

若已知工和加，根据水平方向匀速运动，可求得时间则竖直速度为广/、高度为/尸为gR

3.撞墙平抛运动的推论

撞墙末速度的反向延长线，交于水平位移的中点，好.像是从同一点沿直线发出来的一样，如图。

x:/=v/;X：S=V\t；球1比球2先抛球3、4同时抛A：Z=(Vlf2)/；

y:空中相遇口y:/gF+V2f%gP=H,h>t2>V1<V2：VJ>V4：[2H

=t=H/V2

联立得，〈产

联立得H/V2=s/t

❸题型01:平抛运动模型及规律

I.（2024上•山东淄博・高一统考期末）如图，某同学在水平桌面上用硬皮练习本做了一个斜面，将小球从斜

面上某位置无初速释放，小球沿桌面飞出后做平抛运动。用刻度尺测得桌面离地面的高度为力，小球落地点

与桌面边缘的连线与水平地面的夹角为0，已知重力加速度大小为队则（）

小球从离开桌面到落地的时间为24口

D.小球离开桌面时速度的大小为

【答案】C

【详解】AB.小球从离开桌面做平抛运动，竖直方向有城

小球从离开桌面到落地的时间为r=g，故AB错误；

CD.水平方向有工二卬

根据几何关系的”=高

解得小球离开桌面时速度的大小为%故C正确，D错误。

故选C。

2.（2024上.安徽马鞍山•富一统考期末）如图所示，小球A、B分别从2/和/的高度水平抛出后落地，上述

过程中A、B的水平位移分别为/和2/。忽略空气阻力，重力加速度为g,则（）

A.A、B从抛出到落地的过程，位移是相同的

B.A的运动时间是B的2倍

C.A的初速度大小是聘

D.B落地时刻的速度大小是2曲

【答案】D

【详解】A.根据图中几何关系可知，A、B从抛出到落地的过程，位移大小相等，但方向不同，故A错误;

B.根据2/=ggr；,i=；娘,

可知A的运动时间是B的血倍，故B错误；

C.根据/=I，A/A，可得A的初速度大小为以。=乎，故C错误;

D.B落地时刻的竖直分速度大小为陶产g%=廊

B的初速度大小为

则B落地时刻的速度大小为%=J嘘+哝=247,故D正确。

故选D。

3.（多选）（2024上.广西柳州.高一柳州高级中学校考期末）如图所示，某运动员练习射箭时，站在同一位

置先后水平射出两只相同的箭，射中箭靶上同一竖直线上两点，A箭与竖直方向的夹角为a,B箭与竖直方

向的夹角为小已知箭匕行时，箭头的指向与箭的运动方向相同，忽略空气阻力，下列说法止确的是（）

A.A、B两箭的初速度大小之比为益B.A、B两箭运动的时间之比为J蚂2

Vtana

CA、B两箭下落的高度之比为黑D.&B两箭速度增量之比为焉

【答案】BC

【详解】C.设水平位移大小为右做出两靶子的速度方向的反向延长线，交于同一点，根据

平抛运动规律可知，该点位于水平分位移的中点，则

xx

tana=tanB=——，联立解得务=黑，故C正确;

2饱’/to1<111LX

B.由仁泰〃得A、B两箭运动的时间之比为尸母,故B正确;

A.由E,得A、B两箭的初速度大小之比为故A错误;

D.由小=①，两箭的速度的增量之比为箸=上=够运，故D错误;

V

ABrBVtana

故选BCo

4.（2024上“Il东德州•高一统考期末）如图所示，在/片500m的高空，以速度大小为u尸150m/s水平飞行的

轰炸机，正在追击一辆速度为-2=30m/s同向行驶的汽车，欲使飞机投下的炸弹击中汽车。不计空气阻力，

重力加速度g=lUm/s2。求：

（1）飞机应在距离汽车的水平距离多远处投弹；

（2）击中汽车时炸弹的速度y为多大（结果可保留根号）。

【答案】（1）1200m：（2）50x/l3m/s

【详解】（1）炸弹在竖直方向做自由落体运动力=gg产

炸弹在水平方向上飞行的距离内=印

在此段时间内汽车向前行驶的距离4=叼

飞机投弹时到汽车距离Ar=x,-x2

解得AM=1200m

（2）炸押落到水平面时，竖直方向的速度为%

落到水平面时的速度大小为v=Jv；十*

解得u=5（）ViIm/s

恁题型02：物体在斜面水平抛出后又落在斜面上

5.（多选）（2024上•陕西西安・高一交大附中校考期末）2022年冬奥会在北京举行，跳台滑雪牯冬奥会的比

赛项目之一。如图所示，某运动员从雪坡顶端先后两次分别以初速度用、匕沿水平方向飞出，均落在雪坡

上。若匕：眩=5:6,不计空气阻力，运动员可视为质点，则运动员从飞出到落到雪坡上的整个过程中，下

列说法正确的是（）

A.运动员两次在空中飞行的时间之比为6：5

B.运动员两次在空中飞行的时间之比为5：6

C.运动员两次落在雪坡上的速度方向相同

D.运动员两次下落的高度之比为5：6

【答案】BC

【详解】AB.根据平抛运动规律可得，h=X二卬

根据几何关系有土=tan。

x

整理可得，21't，n〃r%

g

可知运动员两次在空中飞行的时间之比为6"2一"22—5:6,故A错误，B正确;

C.落在雪坡上的速度方向与水平方向夹角正切值满足tana=8=2tan0

V

可知该夹角为定值，故两次落在雪坡上的速度方向相同，故CE确；

D.竖直方向根据

可知运动员两次下落的高度之比为九：4=彳：片=25：36,故D错误。

故选BC。

6.（2022下•河南•高一校联考阶段练习）第24届冬季奥林匹克运动会2022年2月4日2022年2月20日在

北京举办，如图所示，中国选手跳台滑雪运动员谷爱凌在一次比赛时，经过一段时间的加速滑行后从。点

水平飞出，经过3s落到斜坡上的A点。已知。点是斜坡的起点，斜坡与水平面的夹角6=37。，不计空气阻

力（sin37°=0.6,cos37°=0.8,g取1Om/s?）。求：

（1）A点与O点的距离入：

（2）谷爱凌离开O点时的速度大小:

（3）谷爱凌从。点飞出开始到离斜坡距离最远所用的时间。

【答案】（1）75m；（2）20m/s；（3）L5s

【详解】（1）谷爱凌在竖直方向做自由落体运动，有Lsin37o=；g/

解得L—=75m

2sin37°

（2）设谷爱凌离开。点时的速度为%,谷爱凌在水平方向的分运动为匀速直线运动，有Lcos37o=%/

/cos37°

解得%=：=20m/s

（3）谷爱凌的平抛运动可分解为沿斜面方向的匀加速运动（初速度为％cos37。、加速度为gsin37。）和垂

直斜面方向的类竖直上抛运动（初速度为%sin37。、加速度为g8s37。）。当垂直斜面方向的速度减为零时，

谷爱凌离斜坡最远，有%sin37o=gcos37。•/

解得f=L5s

7.（多选）（2024上•山东德州•高一统考期末）跳台滑雪是一项勇敢者的运动，运动员在滑雪道上获得一定

速度后从跳台飞出，在空中飞行一段距离后着陆。如图所示，某运动员从跳台A处沿水平方向飞出，在斜

坡B处着陆，A、B间可以认为是一条倾斜的直滑道，测得4、8间的距离为90m,斜坡与水平方向的夹角

为30。，不计空气阻力，重力加速度g=10m/s2。关于运动员下列说法正确的是（）

A.在空中飞行的时间为3sB.在A点飞出的速度大小为15Gm/s

C.落在8点的速度大小为457im/sD.在空中距斜坡最大距离为当6m

O

【答案】ABD

【详解】A.运动员在空中做平抛运动，竖直方向有Lsin30

解得在空中飞行的时间为/=3s,故A正确；

B.水平方向有Lcos30=vot

在4点飞出的速度大小为%=156m/s,故B正确；

C.落在B点的速度大小为『二#：+(gf)2=15币mis,故C错误；

D.将%与g沿斜面方向和垂直斜面方向分解，如图

当运动员垂直斜面方向的速度为零时，在空中距斜坡的距离最大，则有K=%sin3(),8=gcos3()

在空中距斜坡最大距离为5=3=等6。1,故D正确。

故选ABDo

8.(2024上•陕西西安•高一西安市铁一中学校考期末)如图所示，从倾角为夕的足够长的斜面上P点以速度

口水平抛出一个小球，落在斜面上某处Q点，小球落在斜面上的速度与斜面的夹角为服若把水平抛出的初

速度变为2W，则下列说法正确的是()

A.夹角a将变大

B.夹角a将变小

C.小球在空中的运动时间变为原来的2倍

D.小球在空中运动的水平距离一定变为原来的2倍

【答案】C

【详解】AB.小球从P点抛出后做平抛运动，则%=/,y=：g/,x=vot

所以tan。=,tan(a+<7)=—=—

2%%%

即tan°=；tan(a+0)

斜面足够长，所以落在斜面上小球的位移与水平方向夹角为。不变，夹角a也不变，故AB错误；

C.根据，加夕=畀，得，=组巴坦

2%g

所以水平抛出的初速度变为2%时小球在空中的运动时间变为原来的2倍，故C正确；

D.由1二%，，可知小球在空中运动的水平距离一定变为原来的4倍，故D错误。

故选C。

❸题型03：平抛运动的物体垂直击中斜面

9.（2024上.河北邢台・高一校联考期末）如图所示，某次军事演习中，轰炸机（图中未画出）水平射出的炸

弹经时间产4s后垂直落到倾角〃二37。的斜坡上。取重力加速度大小g=l0m/s2,sin37o=0.6,cos37o=0.8,不

计空气阻力。

（1）求炸弹射出时的初速度大小%以及炸弹落到斜坡上时的速度大小V：

（2）若炸弹射出时恰好在坡底的正上方，求炸弹射出时距坡底的高度儿

【答案】（1）v0=30m/s,v=50nVs；（2）170m

【详解】（1）炸弹垂直落到斜坡上时竖直方向的速度为%=/

乂外

解得%=匕」an0=30m/s

22

炸弹落到斜坡上时的速度大小V=7V0+VV=50nVs

（2）若炸弹射出时恰好在坡底的正上方，落到斜坡上时有，y=l^2=80m

乂工=卬=120m

则由几何关系可知炸弹射出时距坡底的高度。=y+A-tan37。=80m+120x=m=170m

4

10.（多选）（2024上.湖北宜昌•高一统考期末）如图所示，水平地面上固定有倾角为45，高为力的斜面。

。点位于4点正上方且与B点等高。细绳一端固定于。点，另一端与质量为，〃的小球相连。纽绳能够承受

的最大拉力为3,伤（8为重力加速度）。小球在竖直平面内做圆周运动，到最低点时细绳恰好拉断，之后做

平抛运动并垂直撞到斜面上，下列说法正确的是（）

A.细绳的长度为2

B.小球做平抛运动的水平位移和竖直位移大小相等

c.小球做平抛运动的时间为

D.小球做平抛运动的落点为斜面的中点

【答案】CD

【详解】小球做平抛运动并垂直撞到斜面上轨迹如图所示。

设小球做平抛运动的水平位移为人竖直位移为），，绳长为3根据圆周运动的知识有，丁-色=吟

I2

小球做平抛运动y=-sr

根据平抛运动的推论，将速度方向反向延长经过水平位移中点，有x=2y

RL+y+x=h

解得Lr="hx=h)'="h"依1h

故选CDo

11.（多选）（2023下•广东深圳•高一深圳市龙华中学校考期中）如图所示，某人在斜面底端的正上方某高度

处水平抛出两个物体甲、乙，分利落在A、8两处，不计空气阻力，则以下判断正确的是（）

A.甲物体空中运动时间更长

B.乙物体空中运动时间更长

C.甲物体的初速度更大

D.两个物体空中运动过程中的加速度不同

【答案】BC

【详解】AB.根据£=因乙物体下落的高度较大，则乙物体空中运动时间更长，故A错误，B正确;

Y

C.根据,=7，甲的水平位移较天，时间较短，则甲的初速度更大，故C正确：

D.两个物体空中运动过程中只受重力作用，则加速度相同，故D错误。

故选BC。

12.（2023下•黑龙江牡丹江•高一牡丹江一中校考期中）如图所示，倾角为30。的斜面体固定在水平地面上,

从斜面底端正上方某百度处的人点，第一个小球以水平速度抛出，经过时间〃恰好垂直打在船■面上：第二

个小球由静止释放，经过时间，2落到斜面底端，不计空气阻力，则时间〃和时间，2的比值?为（）

»2

A.亚B.正

53

「而nVl5

【答案】D

【详解】第•个小球恰好垂直打在斜面上，有lan30=4

设第一个小球打在斜面上时水平位移为x,竖直方向的位移为「有x=i精

A点与斜面底端局度差为h=y+xtan30=—^―x

根据动力学公式），=方/；，h=-gti

时间力和时间12的比值为人=理

故选D。

❸题型04：斜面平抛运动离斜面的最大距离问题

13.（2023匕辽宁大连•高一大连八中校考阶段练习）跳台滑雪是一种勇敢者的滑雪运动，运动员在滑雪道

上获得一定速度后从跳台飞出，在空中飞一段距离后着落。如图所示，在某次训练中，运动员从跳台A处

沿水平方向以%=10m/s的初速度飞出，落在斜坡上的8处，斜坡与水平方向的夹角为37。，不计空气阻力

（结果可用根号表示，sin37°=0.6,cos370=0.8,^=10m/s2）,求：

（1）运动员在空中飞行的时间f；

（2）运动员到8处着坡时的速度大小V；

（3）运动员在空中离坡面的最大距离力m。

【答案】（1）1.5s；（2）5jl^m/s；（3）2.25m

【详解】（1）运动员做平抛运动，设着陆时间为3则有X=%,，y=^gt2

由图可知，运动员着陆时，ian6=2,可解得，=d・tan〃=1.5s

（2）运动员着陆时，vr=v0,%=gf,所以卜="；+片=5gm/s

（3）取沿斜坡向下方向（x方向）与垂直于斜坡向上方向（），方句）分析运动员的运动，则在垂直于斜坡方

2

向上v,=%sin^=6m/s,ay=-gcos^-8m/s

当仁。时，运动员在空中离坡面的距离最大，则有“方j=2.25m

14.（2023上•江苏扬州・高一扬州市新华中学校考阶段练习）跳台滑雪是勇敢者的运动，它是利用依山势特

别建造的跳台进行的。运动员穿着专用滑雪板，不带雪杖在助滑路上获得高速后水平飞出，在空中飞行一

段距离后着陆。已知运动员由山坂顶的A点沿水平方向飞出，速度为%=20m/s,到山坡上的B点着陆，如

图所示，山坡倾角为6=37。,山坡可以看成一个斜面。（=10m/s2,sin370=0.6,8s37。=0.8）求:

（1）运动员在空中飞行的时间打；

（2）AB间的距离s。

（3）运动员从A点抛出到8点的过程中，当运动员离斜面最远时，运动员运动的时间,2。

【答案】（1）4=3s；（2）5=75m：（3）t2=1.5s

【详解】（1）运动员在空中做平抛运动，水平位移为1=%%

竖直位移为y则由37。=2

解得X—60m,y=45m,a=3s

（2）A8间的距离为s=Qx2+y?=75m

（3）运动员离斜面最远时，速度与水平方向夹角为37。，有匕＞=tan37。，vv=gt2,解得与=1.5s

vo

15.（多选）（2023下•福建龙岩・高一福建省龙岩第一中学校联考期中）2022年冬奥会在北京举行，滑雪是

冬奥会的比赛项目之一。如图所示，某运动员（可视为质点）从雪坡上先后以初速度之比匕F,=1：2沿水

平方向飞出，均落在雪坡上，不计空气阻力，则运动员从飞出到落到雪坡上的整个过程中（）

A.运动员先后落在雪坡上的速度方向一定相同

B.运动员先后在空中飞行的时间之比为2:1

C.在空中离雪坡面的最大距离之比为1:4

D.运动员先后下落的高度之比为1:4

【答案】ACD

【详解】A.设雪坡与水平方向的夹角为。，运动员先后落在雪坡上的速度方向与水平方向的夹角为0,根

据平抛运动推论可知

可知运动员先后落在雪坡上的速度方向一定相同，故A正确；

BD.根据平抛运动规律可知工=卬，ytana=上

2x

联立可得运动员在空中飞行的时间为，=2-a，m

8

可知运动员先后在空中飞行的时间之比为乙（=吃：1%=1：2

可知运动员先后下落的高度之比为线：%=4%=1：4,故B错误，D正确；

C.将运动员的运动分解到沿雪坡面和垂直雪坡面两个分运动，则在垂直雪坡面方向的初速度大小为

垂直雪坡面方向的加速度大小为为=gcosa

则运动员在空中离雪坡面的最大距离为4叩二*=穿红

2ay2gcosa

则运动员在空中离雪坡面的最大距离之比为4：4=V=1:4,故C正确。

故选ACDo

16.（2（）23下・安徽安庆・高一校联考期中）现代技术条件下的无人机被广泛使用。一小型无人机携带炸弹，

保持海拔高度力不变以某一速度匀速水平飞行（图所示），无人机在3点时无动力投弹，炸弹正好垂直击中

前方海拔高度为人的阵地A（图所小）。已知阵地所在山坡倾角为夕，重力加速度为g。不计空气阻力，卜

列计算错误的是（）

A.无人机的飞行速度为J2g（/./tan。

B.炸弹的飞行时间为呼m

C.炸弹击中阵地时的速度为J2g（/・"）

sin。

D.投弹点B距A点的直线距离为a=J（力叫2+4（力-炉ta"0

【答案】C

【详解】B.根据题意可知，炸弹做平抛运动，竖直方向上有8=gg”

解得£=呼尹,故B正确：

AC.竖直方向上，由公式％=/可得，炸弹击中阵地时的竖直分速度为丁=J2g（/?-"

由几何关系可得％=vytan0=12g（h-b）tan0

炸弹击中阵地时的速度为i，=」_=也乳匕心1，故A正确，C错误；

cosecos0

D.炸弹水平位移大小为x=%/=2（〃-〃）tan。

竖直位移为y=

222

由勾股定理可得投弹点8距阵地A的直线距离为a=^h-b）+4（h-b）tan6?

故D正确。

本题选错误的，故选C。

恁题型05：在半圆内的平抛运动

17.（2024・全国•高一专题练习）如图所示，在竖直平面内有一曲面，曲面方程为），=/,在），轴上有一点尸，

坐标为（0,6m）。从。点将一小球水平抛出，初速度为lm/s。则小球第一次打在曲面上的位置为（不计空

气阻力）（）

A.（3m,3m）B.（2m,4m）C.（Im,Im）D.（Im,2m）

【答案】C

【详解】小球做平抛运动，水平方向有，R=w

竖直方向有y=;g/

球第一次打在曲面上的坐标为（公为-戈），有%-y=X；

解得f=ls,M=lm,y=5m,故球第一次打在曲面上的坐标为（Im,Im）。

故C正确。

18.（2024下.全国•高一课堂例题）如图，PQ为半圆形容器的水平直径，圆弧半径为R,圆心为O,从P点

沿P。方向水平抛出一个小球，小球恰好落在圆弧面上的B点，尸、8两点的高度差为0.8R,重力加速度为g,

不计空气阻力，则小球从尸点抛巴时的速度大小为（）

A.丑皿B.C.D.阿^

55

【答案】B

【详解】设小球从P点抛出到落到B点运动的时间为3根据几何关系有，08连线与水平方向的夹角为53。，

因此小球从。点到5点的水平位移为L6凡设初速度大小为%,则0.8R=；g"，i.6R=%f

解得%=?如淳，故B正确，ACD错误。

故选Bo

以（2。23下•湖南湘西•高一统考期末）如图所示为竖直放置的;圆弧轨道。AB,。点为圆心，一个可以视

为质点的小球从圆心。以初速度%水平向右抛出，落在轨道上的C点，已知X与0B的夹角为。。则%大

C.JgRianaD.QgRsina

【详解】由题可知，小球平抛时下落的高度为Rsina,水平距离为Rcosa,所以可得，Rcosa=v0t,

/?sina=l^2,联立解得％=性更乌，A正确。

2V2sina

故选Ao

20.（多选）（2024卜.•湖北武汉•高一校联考期末）如图所示，半径为R的半圆形槽竖直放置，其圆心为O,

且直径4c水平。一可视为质点的小球从A点正上方的夕处以速度％（大小未知）水平向右抛出，恰好垂直

打在槽上，此时小球速度与竖直方向的夹角为53。。己知重力加速度大小为g,sin53o=0.8,8$53。=0.6,不

计空气阻力，则（）

A.小球的初速度％=国

4

B.网之间的高度力=石/?

C.若将小球以不同速率从A点水平抛出，也有可能垂直打到槽上

D.若将小球以不同速率从。点水平抛出，小球落到槽上时的速度最小值为必嬴

【答案】AD

【详解】A.小球竖直方向的速度为r=

'tan534

小球做平抛运动,水平方向有R+Rsin53=

竖直方向有%=如

解得小球的初速度为％=肾

故A正确;

v3

B.必之间的高度Zr=」^—Rcos53=3R,故B错误;

2g40

C.若小球垂直打在槽上，则速度方向延长线过圆心，根据平抛运动的推论平抛运动速度的反向延长线过水

平位移的中点，小球打在槽上，水平位移小于半圆形槽直径，速度方向延长线不可能过圆心，故若将小球

以不同速率从A点水平抛出，不可能垂直打到槽上，故C错误；

D.将小球以不同速率从O点水平抛出，设小球、圆心连线与水平方向的夹角为。，则1=欠85。=卬，

y=RsinO=^gt2

小球落到槽上时的速度为】，=府V=]3篇+|sin可

根据数学关系可得，当

2sin。2

时，小球落到槽上时的速度最小，为匕而=Jj5gR，故D正确。

故选AD0

⑥题型06：沿切线进入圆弧凹侧的平抛运动

21.（2024・全国•高一专题练习）如图所示，一小球（可视为质点）从一半圆粒道的左端A点正上方某处开

始做平抛运动，飞行过程中恰好与半圆轨道相切于8点。O点为半圆轨道圆心，半圆轨道的半径为R,OB

与水平方向的夹角为37。，重力加速度大小为g,sin37o=0.6,cos37o=0.8,不计空气阻力，则小球被抛出时

的初速度大小为（）

A•潸B.潸C.潸唱厚

【答案】A

【详解】小球恰好与半圆轨道相切于8点，则tan37o=F%/,/?+/?cos37°=vor,解得%=|楞豆

故选A。

22.（多选）（2023下•安徽滁州•高一校考阶段练习）如图所示，一个半径为R=0.75m的半圆柱体放在水平

地面上，一小球从圆柱体左端A点正上方的8点水平抛出（小球可视为质点），恰好从半圆柱体的右上方C

点掠过。己知。为半圆柱体侧而半圆的圆心，OC与水平方向夹角为53,sin53=0.8,cos53=0.6,不计

空气阻力，重力加速度8取lOm/s，，则（）

A.小球从6点运动到C点所用时间为0.3s

B.小球从〃点运动到C点所用时间为0.5s

C.小球做平抛运动的初速度为4m/s

D.小球做平抛运动的初速度为6nVs

【答案】AC

【详解】AB.小球做平抛运动，飞行过程中恰好与半圆轨道相切于C点，可知速度与水平方向的夹角为37。,

设位移与水平方向的夹角为。,则有tad噂.

因为tan〃=）=

xR+Rcos53

9

解得尸与m

2x1.n*，故A正确，B错误;

根据y=，可得小球从B点运动到c点所用时间为一

21=--------S=U.3S

10

CD.小球平抛运动的初速度％=R+R；°S53-13;；.75mzs=4WS,故C正确，D错误。

故选AC。

23.（2024下.全国.高一课堂例题：如图，可视为质点的小球，位于半径为石m半圆柱体左端点八的正上方

某处，以一定的初速度水平抛出小球，其运动轨迹恰好能与半圆柱体相切于B点。过B点半圆柱体半径与

水平方向的夹角为60。，则物体初速度为（小计空气阻力，重力加速度为g=10m/s2）（）

A.^^m/sB.45/3m/sC.3石m/sD.2>/5m/s

3

【答案】C

【详解】小球运动过程中，水平位移为x=R+Rcos6（T=%f

小球恰好与半圆柱体相切于3点，可知在B点的速度与水平方向的夹角为30。,则。=%tan300=^

联立解得%=3后m/s

故选C。

24.（2024・全国•高一专题练习）如图所示，半径为〃的四分之一圆弧面紧靠竖直墙壁固定在水平面上，其

圆心正上方3〃处有•小球以某速度水平抛出，其轨迹恰与圆弧面相切（图中未画出）。则在相切处，小球

速度与水平方向夹角的余弦值为（）

A.2-6R.3-20C.4-273D.1

【答案】B

【详解】根据题意有

如图可知，速度偏转角。的余弦健等于角a的正弦值，对小球水平与竖直位移分析可知，3a-asina=^r

acosa=v0t,tan^=-

联.，解得COA〃=3—2\/^",故ACD错误，B1E确。

故选Bo

⑥题型07：与台阶结合的平抛运动

25.（2022下•江苏南通・高二统考期末）如图所示，一阶梯每级台阶的高度和宽度都是0.4m,一小球从台阶

最高点边缘水平飞出，初速度大小为5m/s,不计阻力，重力加速度取10m/s2,则小球将打在台阶的（）

A.第11级B.第12级C.第13级D.第14级

【答案】C

【详解】设小球落在第〃个台阶上，由平抛运动规律可得，〃6=gg/，依=可

解得〃=12.5,则小球将打在台阶的第13级。故选C。

26.（多选）（2023下•重庆沙坪坝,高一重庆一中校考阶段练习）如图所示，阶梯状平台的所有台阶均相同，

其高度为1m,宽度为2m。现将小球从台阶边缘上的A点以一定的水平初速度%抛出，为使小球抛出后直

接落到第二级台阶上（g=10m/s2）,则%可能为（）

A.5m/sB.6m/sC.7m/sD.2jT5m/s

【答案】CD

【详解】当小球落在第二级阶梯的最右边时，运动时间，"借s=0

2x2

-一»，，c.,,v=m/s=2x/10m/s

初速度的最小值，mio/|

小球落在第三级台阶，运动怔间，f=A^s=gs

入、，》，，­.vm,,w=-^3-m/s=25/15m/s

初速度的最大值2/|

初速度的取值范围，^m/s<v0<2Vi5m/s

故选CDo

27.（2021下•重庆巴南•高一重庆市清华中学校校考阶段练习）如图所示，一可看作质点的小球从一台阶顶

端以4m/s的水平速度抛出，每级台阶的高度和宽度均为1m,如果台阶数足够多，重力加速度g取10m/s2,

不计空气阻力，则小球将首先落到标号为几的台阶上（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【详解】小球做平抛运动，因为每级台阶的高度和宽度均为1m,故小球落到台阶上时有上=；

x1

在竖直方向上）

在水平方向上X二卬

1

2

2-加

解得解得，，=0.8s

相应的水平距离，x=4x0.8m=3.2m

32

台阶数〃=羊=3.2知小球抛出后首先落到的台阶为第四级台阶

故选C。

28.（2023・全国•高一专题练习）如图，每一级台阶的高为〃，宽为为,某同学用发射器（忽略大小）从笫

1级台阶边缘向右水平弹射一个可以看作质点的小球，要使小球能落到第4级台阶上（小球没有与台阶顶点

接触），取重力加速度为g,则弹射速度-可能是（）

A.JlOagB.J6ag

C.yj3agD.yfag

【答案】A

【详解】将各个台阶的顶点用