人教版七年级数学上册压轴题 附答案解析

七年级数学上册压轴题精选

数轴上的动点问题

数轴上的动点问题离不开数轴上两点之间的距离。为了便于对这类问题的分析•，不妨先明确以下几个

问题：

1.数轴，两点间的距离，即为这两点所对应的坐标差的绝对值，也即用右边的数减去左边的数的差。

即数轴上两点间的距离=右边点表示的数一左边点表示的数。

2.点在数轴上运动时♦，由于数轴向右的方向为正方向，因此向右运动的速度看作正速度，而向作运动

的速度看作负速度。这样在起点的基础上加上点的运动路程就可以直接得到运动后点的坐标。即一个点表

示的数为a,向左运动b个单位后表示的数为a-b；向右运动b个单位后所表示的数为a+b。

3.数轴是数形结合的产物，分析数轴上点的运动要结合图形进行分析，点在数轴上运动形成的路径可

看作数轴上线段的和差关系。

一、相关知识准备

1.数轴上表示4和1的两点之间的距离是o

2.若数轴上点A表示的数为X,点B表示的数为-1,则A与B两点之间的距离用式子可以表示为

,若在数轴上点A在点B的右边，则式子可以化简为o

3.A点在数轴上以2个单位长度/秒的速度向右运动，若运动时间为3则A点运动的路程可以用式子表示为

4.若数轴上点A表示的数为-1,A点在数轴上以2个单位长度/秒的速度向右运动，若运动时间为人则A

点运动/秒后到达的位置所表示的数可•以用式子表示为。

答案：1、3；2、|x+l|,x+1；3、2t；4、-1+2/

二、例题精讲；

1、如图所示，在数轴上原点0表示数0,A点在原点的左侧，所表示的数是a,B点在原点的右侧，所表示

的数是b,并且a、b满足|a+16|+（b—8-=0

（1）点A表示的数为,点B表示的数为o

（2）若点P从点A出发沿数轴向右运动，速度为每秒3个单位长度，点Q从点B出发沿数轴向左运动，速

度为每秒1个单位长度，P、Q两点同时运动，并且在点C处相遇，试求点C所表示的数。

（3）在（2）的条件下，若点P运动到达B点后按原路原速立即返回，点Q继续按原速原方向运动，从P、

Q在点C处相遇开始，再经过多少秒，P、Q两点的距离为4个单位长度？

-AB>

-AB>

~A3B>

解：(1)点A表示的数为_-16.，点B表示的数为—8

(2)设P、Q同时运动t秒在点C处相遇

3t+t=24解得t=6

此时点C所表示的数是-16+3x6=2

答：点C所表示的数是2.

(2)再经过a秒，P、Q两点的离为4个单位长度

分类讨论：①从点C处相遇后反向而行，点P到达B点前相距4个单位长度

3a+a=4解得a=l

②点P到达B点后返回，此时相当于点Q在P点前4个单位长度

a+6-(3a-6)=4解得a=4

③点P到达B点后返回，从后追上Q点后又相距4个单位长度.此时相当于点P在点Q前4个单位长度

3a-6-(a+6)=4解得a=8

答：再经过1秒或4秒或8秒，P、Q两点的距离为4个单位长度。

2、数轴上有A、B两点表示一10,30,有两只蚂蚁P、Q同时分别从A、B两点相向出发，速度分别是2

单位单位长度/秒、3个单位长度/秒，当它们相距10个单位长度时，则蚂蚁P在数轴上表示的数是()

~A3B>

解：经过t秒，P、Q相距10个单位长度，则P点运动路程为2t,运动后P点表示数为-10+2t,Q点运动路

程为3t

分类讨论：①还未相遇前相距10个单位长度

2t+3t=40-10解得t=6

此时P点表示数为-10+2x6=2

②相遇后乂相距10个单位长度

2t+3t=40+10解得t=10

此时P点表示数为一10+2x10=10

综上所述，蚂蚁P在数轴上表示的数是2或10

挑战题：

1.已知数轴.已有A、B、C三点，分别代表一24,-10,10,两只电子蚂蚁甲、乙分别从A、C两点同

时相向而行，甲的速度为4个单位/秒。

⑴问多少秒后，甲到八、B、C的距离和为40个单位？

⑵若乙的速度为6个单位/秒，两只电子蚂蚁甲、乙分别从A、C两点同时相向而行，问甲、乙在数轴

上的哪个点相遇？

(3)在(1)(2)的条件下，当甲到A、B、C的距离和为40个单位时，甲调头返回。问甲、乙还能在数轴上相

遇吗？若能，求出相遇点；若不能，请说明理由。

分析：如图L易求得AB=1如BC=20,AC=34

甲乙

42.Q、

-24-10010

⑴设X秒后，甲到A、B、C的距离和为40个单位。此时甲表示的数为一24+4X。

①甲在AB之间时，甲到A、B的距离和为AB=14

甲到C的距离为10—(―24+4x)=34—4x

依题意，14+(34—4x)=40,解得x=2

②甲化BC•之间时，甲到13、C的距离和为BC=2。，甲到A的距离为4x

依题意，20+4x)=40,解得x=5

即2秒或5秒，甲到A、B、C的距离和为40个单位。

⑵是一个相向而行的相遇问题。设运动t秒相遇。

依题意有,4t+6t=34,解得t=3.4

相遇点表示的数为一24+4X3.4=-10.4(或：10—6X3.4=—10.4)

(3)甲到A、B、C的距离和为10个单位时，甲调头返回。而甲到A、B、C的距离和为40个单位时，即

的位置有两种情况，需分类讨论。

①甲从A向右运动2秒时返回。设y秒后与乙相遇。此时甲、乙表示在数轴上为同一点,所表示的数

相同。甲表示的数为：—24+4X2—4y；乙表示的数为：10—6X2—6y

依题意有，一24+4X2—4y=10—6X2—6y,解得y=7

相遇点表示的数为：—24+4X2—4y=-44(或：10—6X2—6y=-44)

②甲从A向右运动5秒时返回。设y秒后与乙相遇。甲表示的数为：—24+4X5—4y；乙表示的数为:

10-6X5-6y

依题意有，一24+4X5—4y=10—6X5—6y,解得y=-8(不合题意，舍去)

即甲从A点向右运动2秒后调头返回，能在数轴上与乙相遇，相遇点表示的数为一44。

点评：分析数轴上点的运动，要结合数轴上的线段关系进行分析。点运动后所表示的数，以起点所表

示的数为基准，向右运动加上运动的距离，即终点所表示的数；向左运动减去运动的距离，即终点所表示

的数。

2.如图，已知A、B分别为数轴上两点，A点对应的数为一20,B点对应的数为100。

AB

-20100

⑴求AB中点M对应的数；

⑵现有一只电子蚂蚁P从B点出发，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A

点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，求C点对应的数；

⑶若当电子蚂蚁P从B点出发时，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点

出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的D点相遇，求D点对应的数。

分析：⑴设AB中点M对应的数为x,由BM=MA

所以x—(—20)=100—x,解得x=40即AB中点M对应的数为40

24

即运动23或15分钟时，P到A、B的距离相等。

4.已知：如图，数轴上点A表示的数为6,点B表示的数为2,点C表示的数为-8,动点P从点A出发,

沿数轴向左运动，速度为每秒1个单位长度.点M为线段BC中点，点N为线段BP中点.设运动时间为t

秒.

(1)线段AC的长为14个单位长度：点M表示的数为-3；

(2)当t=5时，求线段MN的长度；

(3)在整个运动过程中，求线段MN的长度.(用含I的式子表示).

CV0BPA

【分析】(1)根据两点间的距离公式可得AC=6-(-8),根据中点坐标公式可得M点表示的数为-8+工[2

2

-(-8)]；

(2)当1=5时，可得P表示的数，再根据中点坐标公式可得N点表示的数，再根据两点间的距离公式可得

线段MN的长度；

(3)分①当点P在点A、B两点之间运动时，②当点P运动到点B的左侧时，利用中点的定义和线段的和

差求出MN的长即可.

【解答】解：(1)线段AC的长为AC=6-(-8)=14个单位长度；点M表示的数为-8+工[2-(-8)]=

(2)当t=5时，点P表示的数为6-5X1=1,

点N表示的数为2-1[2-1]=1.5,

2

线段MN的长度为1.5-(-3)=4.5；

(3)①当点P在点A、B两点之间运动时，点P表示的数为6-3点N表示的数为2+工[(6-t)-2]=4

2

线段MN的长度为4--It-(-3)=7--It；

22

②当点P运动到点B的左侧时，点P表示的数为6・t,点N表示的数为2■工[2・(6-t)]=4--t,

22

线段MN的长度为|4・Lt・(-3)|=|7-lt|.

22

故答案为：14,-3.

二.方案选择问题

6.某蔬菜公司的一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元，团经粗加工后销售，每吨利润

可达4500元，经精加工后销售，每吨利润涨至7500元，当地一家公司收购这种蔬菜140吨，该公司的

加工生产能力是：如果对蔬菜进行精加工，每天可加工16吨，如果进行精加工，每天可加工6吨，葩

两种加工方式不能同时进行，受季度等条件限制，公司必须在15天将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为

此公司研制了三种可行方案：

方案一：将蔬菜全部进行粗加工.

方案二：尽可能多地对蔬菜进行粗加工，没来得及进行加工的蔬菜，团在市场上直接销售.

方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好15天完成.

你认为哪种方案获利最多？为什么？

解：方案一：获利140X4500=630000（元）

方案二：获利15X6X7500+（140-15X6）X1000=725000（元）

方案三：设精加工x吨，则粗加工（140-x）吨.

依邈意得二x+-1-4-0--—x-=15解得x=60

616

获利60X7500+（140-60）X4500=810000（元）

因为第三种获利最多，所以应选择方案三.

7.某市移动通讯公司开设了两种通讯业务：“全球通”使用者先缴50团元月基础费，然后每通话1分钟，

再付电话费0.2元；“神州行”不缴月基础费，每通话1团分钟需付话费0.4元（这里均指市内电话）.若

一个月内通话x分钟，两种通话方式的费用分别为yi元和yz元.

（1）写出y】，yz与x之间的数量关系式（即等式）.

（2）一个月内通话多少分钟，两种通话方式的费用相同？

（3）若某人预计一个月内使用话费120元，则应选择哪一种通话方式较合算？

解：（1）yi=0.2x+50,yz=0.4x.

（2）由y产y?得。.2x+50=0.4x,解得x=250.

即当一个月内通话250分钟时，两种通话方式的费用相同.

（3）由0.2x+50=120,解得x=350由0.4x+50=120,得x=300

因为350>300故第一种通话方式比较合算.

8.某地区居民生活用电基本价格为每千瓦时0.40元，若每月用电量超过a千瓦时，则超过部分按基本电

价的70%收费。（1）某户八月份用电84千瓦时，共交电费30.72元，求a.

（2）若该用户九月份的平均电费为0.36元，则九月份共用电多少千瓦时？13应交电费是多少元？

解：（1）由题意，得0.4a+（84-a）X0.40X70%=30.72解得a=60

(2)设九月份共用电x千瓦时，则0.40X60+(x-60)X0.40X70%=0.36x解得x=90

所以0.36X90=32.40(元)

答：九月份共用电90千瓦时，应交电费32.40元.

9.某家电商场计划用9万元从生产厂家购进50台电视机.已知该厂家生产3团种不同型号的也视机，出厂

价分别为A种每台1500元，B种每台2100元，C种每台2500元.

(1)若家电商场同时购进两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方

案.

(2)若商场销售一台A种电视机可获利150元，销售一台B种电视机可获利200元，团销售一台C种

电视机可获利250元，在同时购进两种不同型号的电视机方案中，为了使销售时获利最多，你选择哪种

方案？

解：按购A,B两种，B,C两种，A,C两种电视机这三种方案分别计算，

设购A种电视机x台，则B种电视机v台.

(1)①当选购A,B两种电视机时，B种电视机购(50-x)台，可得方程

1500x+2100(50-x)=90000即5x+7(50-x)=3002x=50x=2550-x=25

②当选购A,C两种电视机时，C种电视机购(50-x)台，

可得方程1500x+2500(50-x)=900003x+5(50-x)=1800x=3550-x=15

③当购B,C两种电视机时，C种电视机为(50-y)台.

可得方程2100y+2500(50-yj=9000021y+25(50-y)=900,4y=350,不合题意

由此可选择两种方案：一是购A,B两种包视机25台；二是购A种电•视机35台，C种电视机15台.

(2)若选择(1)中的方案①，可获利150X25+250X15=8750(元)

若选择(1)中的方案②，可获利150X35+250X15=9000(元)

9000>8750故为了获利最多，选择第二种方案.

三.动角问题

1.如图，点0为直线ABJ_一点，过点0作射线OC,使/BOC-135。，将一个含45°角的直角三角尺的一个

顶点放在点0处，斜边0M与直线AB重合，另外两条直角边都在直线AB的下方.

M

(1)将图1中的三角尺绕着点0逆时针旋转90°,如图2所示，此时NB0M=；在图2中，0M是

否平分NC0N?请说明理由；

(2)紧接着将图2中的三角板绕点0逆时针继续旋转到图3的位置所示，使得ON在NA0C的内部，请探究：

NA0M与NC0、之间的数量关系，并说明理由；

(3)将图1中的三角板绕点。按每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直

线0N恰好平分锐角NA0C,则t的值为(直接写出结果).

解：(1)如图2,血乂=90°,

OM平分NCON.理由如下：

­.zBOC=135°,

.-.zMOC=135°-90°=45°,

而NMON=45。，

.-.zMOC=zMON;

故答案为90。；

(2)zAOM=zCON.

理由如下：如图3,

"MON=45。，

.•.ZAOM=45°-ZAON,

•/zAOC=45°,.-.zNOC=45°-zAON,

.-.zAOM=zCON;

(3)T=X45°4-5°=4.5(^)

t=(1800+22.5°)。5°=40.5(秒).

2.已知点0是直线AB上的一点，ZC0E=120°,射线OF是NAOE的一条三等分线，且NA0F=l/3NAOE.(本

题所涉及的角指小于平角的角)

A0B

(1)如图,当射线0C、0E、0F在直线AB的同侧,ZB0E=15°：求NC0F的度数;

(2)如图，当射线0C、0E、0F在直线AB的同侧，NF0E比NB0E的余角大40°,求NC0F的度数;

(3)当射线0E、0F在直线AB上方，射线0C在直线AB下方，ZA0F<30°,其余条件不变，请同学们自

己画出符合题意的图形，探究NF0C与NBOE确定的数量关系式.请直接给出你的结论.

【答案】(1)解：•..NAOE+NBOE=180°,ZBOE=15°,

ZAOE=180o-15o=165oZAOF=-ZA0E=-X165°=55°

33

,.*ZAOC=ZAOE-ZCOE=165°-1200=450.，.ZCOF=ZAOF-ZAOC=550-450=100

(2)解：设NBOE=X,则/BOE的余角为90。”.

VZFOE比/BOE的余角大40%.,.ZFOE=130°-X

•「NCOE=120°,贝叱COF=X<LO°,ZAOC=60°-X,

.1.ZAOF=ZAOC+ZCOF=50"

'.*ZAOF=-ZAOE.*.ZAOE=150e

3

.1.ZBOE=x=180°-150°=30°ZCOF=x-10o=30°-10o=20°

(3)解：NFOC=|/BOE如图，

设NAOF=X

7ZAOF=iZAOE.\ZAOE=3x

3