人教版七年级数学下学期期末几何压轴题模拟检测试卷含答案

一、解答题

1.如图所示，A(1,0)、点B在y轴上，将三角形OAB沿x轴负方向平移，平移后的图

形为三角形DEC,且点C的坐标为(-3,2).

(1)直接写出点E的坐标；D的坐标

(3)点P是线段CE上一动点，设NCBP=x。，ZPAD=y°,ZBPA=z°,确定x,y,z之间的

2.如图，直线PQ//MN,一副直角三角板A48C,AD所中，

NACB=ZEDF=90,NA6C=ABAC=45°,NOFE=30；NDEF=60.

(1)若AD四如图1摆放，当ED平分NPEF时,证明：九。平分NEEW.

图1

(2)若如图2摆放时，则/尸£出=

图2

(3)若图2中AA8C固定，将ADE/沿着AC方向平移，边。尸与直线PQ相交于点G,

作NFG。和NGE4的角平分线G”、“相交于点〃(如图3),求NG”产的度数.

图3

(4)若图2中的周长35a几A"=5cw,现将AA8C固定，将ADE尸沿着CA方向平

移至点厂与A重合，平移后的得到点/)、E的对应点分别是。'、请直接写

出四边形处弘沙的周长.

(5)若图2中ADE/固定，(如图4)将AA4C绕点A顺时针旋转，1分钟转半圈，旋转

至4C与直线4N首次重合的过程中，当线段8C.与ADM的一条边平行时，请直接写出旋

3.己知：ABWCD,截线MN分别交48、CD于点M、N.

(1)如图①，点8在线段MN上，设NUBM=a。，ZDNM=^°,且满足J”30+(B

60)2=0,求/BEM的度数；

(2)如图②，在(1)的条件下，射线OF平分/CDE,且交线段8E的延长线于点F；请

写出NOEF与NCDF之间的数量关系，并说明理由；

(3)如图③，当点P在射线N7■上运动时，NOCP与N8M7的平分线交于点Q,则NQ与

ZCPM的比值为(宜接写出答案).

(1)若CM平分N8CO,求/MQV的度数；

(2)若CM在/6C。的内部，且C】WJ_CN于C,求证：CM平分4BC。：

(3)在(2)的条件下，过点8作BP_L8Q,分别交CM、CN于点P、Q,NPBQ绕着

3点旋转，但与CM、CW始终有交点，问：N4PC+NBQC的值是否发生变化？若不变,

求其值；若变化，求其变化范围.

(1)如图1,求证：ZA+NC=9。。：

(2)如图2,过点8作4D_LMA的延长线于点Q,求证：ZABD=NC；

(3)如图3,在(2)问的条件下，点E、尸在上，连接跖、BF、CF,且8万平分

4DBC,BE平分ZABD,若以FC=NBCF,NBFC=3/DBE,求/仍C的度数.

6.综合与探究

(问题情境)

王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动

(1)如图1."7/MN.点A、区分别为直线防、A/N上的一点，点尸为平行线间一点，

请直接写出NPAb、NP6N和NAP4之间的数量关系；

备用图备用图

(问题迁移)

(2)如图2,射线OW与射线QV交于点。，直线〃?//〃，直线机分别交QM、QV于点A、

D,直线〃分别交。何、ON于点、B、C,点P在射线O"上运动，

①当点尸在A、B(不与A、口重合)两点之间运动时，设NAOP=Na,

4BCP="则NCQO,Na,9之间有何数量关系？请说明理由.

②若点产不在线段上运动时(点尸与点A、B、。三点都不重合)，请你画出满足条

件的所有图形并直接写出NCP。，Na,4之间的数量关系.

7.观察下面的变形规律：

11111111

T3T2=1-2：25?3=2-3：35C4-3-4：…，

解答下面的问题：

1

(1)仿照上面的格式请写出万丁=；

4x5-----

1

(2)若n为正整数，请你猜想，；

n(n+1)-----

1111

(3)基础应用：计算：f3r2+Tx3+35c4+",+2016X2017,

XXXX

(4)拓展应用1：解方程：E++币+•••+而ET7=2016

(5)拓展取用2：计算：Y5?3+TX5+5V7+，，，+2015X2017,

8.若一个四位数t的前两位数字相同且各位数字均不为0,则称这个数为“前介数”；若把

这个数的个位数字放到前三位数字组成的数的前面组成一个新的四位数，则称这个新的四

位数为“中介数〃;记一个“前介数”与它的“中介数”的差为P(t).例如，5536前两位数字

相同,所以5536为"前介数"；则6553就为它的“中介数〃，P(5536)=5536-6553=-

1017.

(1)P(2215)—____,P(6655)—.

(2)求证：任意一个"前介数"t,P(f)一定能被9整除.

(3)若一个千位数字为2的“前介数能被6整除，它的“中介数”能被2整除，请求出满

足条件的P(t)的最大值.

9.规定两数。，b之间的一种运算，记作(a,b)：如果那么(a,b)=c.

例如：因为23=8,所以(2,8)=3.

(1)根据上述规定，填空：

(3,27)=,(5,1)=,(2,-)=

4

(2)小明在研究这种运算时发现一个现象：(3。4。)=(3,4)小明给出了如下的证

明：

设(3。,4。)=x,则(3")*=4%即(3X)0=40

所以炉=4,即(3,4)=x,

所以(3°,4°)=(3,4).

请你尝试运用上述这种方法说明下面这个等式成立的理由：(4,5)+(4,6)=(4,30)

10.观察下列各式，并用所得出的规律解决问题：

(1)6=1.414,V2OO«14.I4,420000=141.4,……

x/O03=0.1732,6*1.732,V300«17.32.........

由此可见，被开方数的小数点每向右移动位，其算术平方根的小数点向移动

______位，

(2)已知后起3.873,>/L5«1.225,则7^5。_____:767)5«______.

(3)班=1，V1000=10»Vi000000=100.........

小数点的变化规律是.

(4)已知师*2.154,6=-0.2154,则)'=.

11.如果有一列数，从这列数的第2个数开始，每一个数与它的前一个数的比等于同一个

非零的常数，这样的一列数就叫做等比数列(GeometricSequences).这个常数叫做等比

数列的公比，通常用字母q表示30).

⑴观察一个等比列数1,"匕二，…，它的公比4=_____;如果/5为正整数)

24816

表示这个等比数列的第〃项，那么68=，『；

(2)如果欲求1+2+4+8+16+...+23。的值，可以按照如下步骤进行：

令5=1+2+4+8+16+...+23。…①

等式两边同时乘以2,得2s=2+4+8+16++32+...+23i...②

由②・①式，得2s・S=23i・1

即(2-1)5=231-1

请根据以上的解答过程，求3+32+33+...+323的值；

(3)用由特殊到一般的方法探索：若数列Qi,6,Q3,…，an,从第二项开始每一项与前

一项之比的常数为q,请用含6,q,〃的代数式表示如；如果这个常数/1,请用含ai,

q，〃的代数式表示。1+。2+6+...+g.

12.在已有运算的基础上定义一种新运算⑭：x®y=|x-y|+y,住的运算级别高于加减乘

除运算，即③的运算顺序要优先于+、-、x、+运算，试根据条件回答下列问题.

(1)计算：50(-3)=；

(2)若皿3=5,则户；

(3)在数轴上，数X、的位置如下图所示，试化简：

yox1

(4)如图所示，在数轴上，点A、8分别以1个单位每秒的速度从表示数-1和3的点开始运

动，点4向正方向运动，点8向负方向运动，，秒后点48分别运动到表示数〃和Z?的点所

在的位置，当。合8=2时.求，的值.

13.如图1,在平面直角坐标系中，A(a,0)是x轴正半轴上一点，C是第四象限内一

点，CB_Ly轴交y轴负半轴于B(0,b),且|a-3|+(b+4)2=0，Spi|iiif5AOBC=16.

(2)如图2,设D为线段OB上一动点，当AD_LAC时，NODA的角平分线与NCAE的角

平分线的反向延长线交于点P，求/APD的度数；(点E在x轴的正半轴).

(3)如图3,当点D在线段OB上运动时，作DM_LAD交BC于M点，ZBMD.NDAO的

平分线交于N点，则点D在运动过程中，NN的大小是否会发生变化？若不变化，求出其

值；若变化，请说明理由.

14.综合与实践课上，同学们以“一个直角三角形和两条平行线”为背景开展数学活动，如

图，已知两直线。力，且是直角三角形，ZBCA=90°,操作发现：

图1图2图3

(1)如图L若Nl=48。，求Z2的度数：

(2)如图2,若乙4=3(巴/1的度数不确定，同学们把直浅。向上平移，并把N2的位置改

变，发现N2-Nl=120。，请说明理由.

(3)如图3,若NA=30。，AC平分N84M,此时发现N1与N2乂存在新的数量关系，请

写出N1与N2的数量关系并说明理由.

15.如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC,点A的坐标是(4,0),点B的坐标是(2,3),

点C在x轴的负半轴上，且AC=6.

⑴直接写出点C的坐标.

(2)在y轴上是否存在点P,使得S^POBM^SAABC若存在，求出点P的坐标;若不存在，请说明

理由.

⑶把点C往上平移3个单位得到点H,作射线CH,连接BH,点M在射线CH上运动(不与点

C、H重合).试探究NHBM,ZBMA,/MAC之间的数量关系，并证明你的结论.

16.如图，数轴上两点48对应的数分别是-1,1,点P是线段A8上一动点，给出如下

定义：如果在数轴上存在动点Q,满足|PQ|=2,那么我们把这样的点。表示的数称为连

动数，特别地，当点Q表示的数是整数时我们称为连动整数.

APB

-6-5-4-3-2-10*123456>

（1）-3,0,2.5是连动数的是；

（2）关于x的方程2x-m=x+l的解满足是连动数，求m的取值范围：

x+l,

（3）当不等式组，2的解集中恰好有4个解是连动整数时，求a的取值范围.

17.如图，A点的坐标为（0,3）,B点的坐标为（-3,0）,D为x轴上的一个动点且不

与B,0重合，将线段AD绕点A逆时针旋转90。得线段AE,使得AE_LAD,且AE=AD,连

接BE交y轴于点M.

（1）如图，当点D在线段OB的延长线上时，

①若D点的坐标为（-5,0）,求点E的坐标.

②求证：M为BE的中点.

③探究：若在点D运动的过程中，缥的值是否是定值？如果是，请求出这个定值：如

BD

果不是，请说明理由.

（2）请直接写出三条线段AO,DO,AM之间的数量关系（不需要说明理由）.

18.如图1,在直角坐标系中直线4?与X、5轴的交点分别为A（«0）,B（0力）,且满足

\la+b+\a-b+^=0.

（2）若点M的坐标为（1J〃）且山圳=2S/w，求〃?的值；

（3）如图2,点尸坐标是（-1,-2）,若AAAO以2个单位/秒的速度向下平移，同时点P以

1个单位/秒的速度向左平移，平移时间是/秒，若点尸落在△入30内部（不包含三角形的

边），求/的取值范围.

19.学校将20xx年入学的学生按入学年份、年级、班级、班内序号的顺序给每一位学生编

号，如2015年入学的8年级3班的46号学生的编号为15080346.张山同学模仿二维码的

方式给学生编号设计了一套身份识别系统，在5x5的正方形风格中，黑色正方形表示数字

1，白色正方形表示数字0.我们把从上往下数第，行、从左往右数第，列表示的数记为

Oijf（其中，/\j=l,2,3,4,5）,规定4，=16。口+8。，2+4。3+2。14+。得.

（1）若4表示入学年份，4表示所在年级，小表示所在班级，4表示编号的十位数字，

4表示编号的个位数字.

①图1是张山同学的身份识别图案，请直接写出张山同学的编号；

②请在图2中画出2018年入学的9年级5班的39号同学的身份识别图案；

（2）张山同学又设计了一套信息加密系统，其中4表示入学年份加8,4表示所在年级

的数减6再加上所在班级的数，心表示所在年级的数乘2后减3再减所在班级的数，洛编

号（班内序号）的末两位单列出来，作为一个两位数，个位与十位数字对换后再加2,所

得结果的十位数字用4表示、个位数字用4表示.例如：2018年9年级5班的39号同

学，其加密后的身份识别图案中，4=18+8=26,4=9-6+5=8,43=9x27-5=

10,93+2=95,所以4=9,4=5,所以其加密后的身份识别（26081095）图案如图3

所示.图4是李思同学加密后的身份识别图案，请求出李思同学的编号.

20.阅读下列材料,解答下面的问题:

我们知道方程2.r+3y=I2有无数个解，但在实际生活中我们往往只需求出其

正整数解.

例：由2x+3），=12,得：广^^=4-与，（x、y为正整数）

JJ

\->07r2r

则有又尸4不为正整数，则可为正整数.由2与3互质,

可知：x为3的倍数，从而x=3,代入y=4-与=2「.2x+3y=12的正整数解为•x=3

y=2

问题：

（1）请你写出方程2x+）：=5的一组正整数解：.

（2）若二为自然数，则满足条件的x值为

x-2-----------------

（3）七年级某班为了奖励学习进步的学生，购买了单价为3元的笔记本与单价为5元的钢

笔两种奖品，共花费35元，问有几种购买方案？

21.如图，己知Na和/夕的度数满足方程组,且CD//EF,AC_LAE.

Z/?-Za=80

⑴分别求Na和“的度数；

⑵请判断与CD的位置关系，并说明理由；

⑶求NC的度数.

22.如图①，在平面直隹坐标系中，点A在x轴上，直线0C上所有的点坐标（M.y）,都是

二元一次方程x-4y=0的解，直线AC上所有的点坐标（x,y）,都是二元一次方程x+2y=6

的解，过C作x轴的平行线，交y轴与点B.

（1）求点A、B、C的坐标：

（2）如图②，点M、N分别为线段BC,0A上的两个动点，点M从点C以每秒1个单位

长度的速度向左运动，同时点N从点0以每秒1.5个单位长度的速度向右运动，设运动

时间为t秒，且0<t<4,试比较四边形MNAC的面积与四边形MNOB的面积的大小.

23.某治污公司决定购买10台污水处理设备.现有甲、乙两种型号的设备可供选择，其中

每台的价格与月处理污水量,如下表：

甲型乙型

价格（万元/台）Xy

处理污水量（吨/月）300260

经调杳：购买一台甲型设备比购买一台乙型设备多2万元，购买3台甲型设备比购买4台

乙型设备少2万元.

（1）求X,y的值;

（2）如果治污公司购买污水处理设备的资金不超过91万元，求该治污公司有哪几种购买

方案；

（3）在（2）的条件下，如果月处理污水量不低于2750吨，为了节约资金，请为该公司设

计一种最省钱的购买方案.

24.若任意一个代数式，在给定的范围内求得的最大值和最小值恰好也在该范围内，则称

这个代数式是这个范围的"湘一代数式例如：关于x的代数式当—kxwl时，代数式

x2在x=±l时有最大值，最大值为1；在x=0时有最小值，最小值为0,此时最值1,0均

在-IWXWI这个范围内，则称代数式/是-14X41的“湘一代数式”.

（1）若关于'的代数式N，当1WXW3时，取得的最大值为一，最小值为一，所以代数

式凶—（填"是"或"不是"）1WXW3的“湘一代数式”.

（2）若关于x的代数式危T是-24XW2的“湘一代数式〃，求a的最大值与最小值.

（3）若关于1的代数式,-2|是的〃湘一代数式〃，求m的取值范围.

25.对小），定义了一种新运算T,规定T（'，y）-竽包（其中“，〃均为非零常数），这

2x+J

里等式右边是通常的四则运算，例如：里,

已知二一2,7（4,2）=1.

（1）求〃的值；

（2）求7（-2,2）.

7'（2/zh5-4/n）<4

（3）若关于，"的不等式组T二/恰好有4个整数解，求〃的取值范围.

/（切,3—o>p

26.在平面直角坐标系中，点A（«l）,8（6,6）,C（c,3）,且“，b,c满足

2力+。=3。+13

4

a+c=2b+\

（1）请用含。的式子分别表示3,C两点的坐标；

（2）当实数〃变化时，判断的面积是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求其

变化范围；

（3）如图，已知线段AB与）'轴相交于点E,直线AC与直线08交于点若

2PA<PC,求实数。的取值范围.

nv;+ny\（x>y）

27.对x,）'定义一种新的运算尸，规定：P（x,y）=\/;（其中〃〃-0）.已

IVC+股,（X<>'）

知P（2,l）=7,P（-1J）=-1.

（1）求刑、〃的值；

P（2a,a-\）<A

（2）若a>0,解不等式组/I.1b<-

I23

28.在平面直角坐标系中，点A,B的坐标分别为（-1,0）,（3,0）,现同时将点A,

B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A,B的对应点C,D,连接

AC,BD.

（1）求点C,D的坐标及四边形ABDC的面积SPWMBDC;

（2）在y轴上是否存在一点P,连接PA,PB,使SOABMSP^形ABDC?若存在这样一点，求出

点P的坐标；若不存在，试说明理由；

（3）点P是直线BD上一个动点，连接PC、P0,当点P在直线BD上运动时，请直接写

出N0PC与NPCD、ZP0B的数量关系

29.阅读以下内容:

3m+2n=7k-4

已知有理数m,n满足m-n=3,且，2〃—求人的值.

三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路:

3in+2/1=7攵-4

甲同学：先解关于m,n的方程组2〃-,再求卜的值;

乙同学：将原方程组中的两个方程相加，再求k的值;

m+n=3

丙同学：先解方程组c,再求k的值.

2m4-3n=-2

（1）试选择其中一名同学的思路，解答此题；

f（4Z4-l）X-/2V=18®

（2）在解关于x,y的方程组也+2[+:=1②时，可以用①，7-②x3消去未知数x,

也可以用①x2+②x5消去未知数y.求a和b的值.

30.规定:二元一次方程奴+勿=。有无数组解，每组解记为P（x»）,称尸（乂丁）为亮点，将

这些亮点连接得到一条直线，称这条直线是亮点的隐线，答卜列问题：

⑴已知A（T,2）,B（4,-3）,C（-3,1）,则是隐线3x+2y=6的亮点的是_；

⑵设P（0「2）,Q1|，T）是隐线广工+处=6的两个亮点，求方程

[尸+4卜一（产+/?+4卜=26中乂y的最小的正整数解；

⑶已知〃?，〃是实数，且赤+2同=7,若P（而,闻是隐线2x-3y=s的一个亮点，求隐线,

中的最大值和最小值的和.

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一、解答题

1.（1）（-2,0）；（-3,0）；（2）z=x+y.证明见解析.

【分析】

（1）依据平移的性质可知BCIIx轴，BC=AE=3,然后依据点A和点C的坐标可得到点E和

点、D的坐标；

（2过点P作PFIIBC交AB于点F,则PFIIAD,然后依据平行线的性质可得到

ZBPF=ZCBP=x0,ZAPF=ZDAP=y°,最后，再依据角的和差关系进行解答即可.

【详解】

解：（1）•.•将三角形OAB沿x轴负方向平移，

BCIIx轴，BC=AE=3.

,/C（-3,2）,A（1,0）,

E（-2,0）,D（-3,0）.

故答案为：（-2,0）；（-3,0）.

（2）z=x+y.证明如下：如图，过点P作PFIIBC交AB于点F,则PFIIAD,

/.ZBPF=ZCBP=x0,ZAPF=ZDAP=y0,

/.ZBPA=ZBPF+ZAPF=x9+y0=z\

z=x+y.

此题是儿何变换综合题，主要考查了点的坐标的特点，平移得性质，平面坐标系中点的坐

标和距离的关系，解本题的关键是由线段和部分点的坐标，得出其它点的坐标.

2.(1)见详解：(2)15°；(3)67.5°；(4)45cm；(5)10s或30s或40s

【分析】

(1)运用角平分线定义及平行线性质即可证得结论；

(2)如图2,过点E作£11MN,利用平行线性质即可求得答案；

(3)如图3,分别过点F、H作FLIIMN,HRIIPQ,运用平行线性质和角平分线定义即可

得出答案；

(4)根据平移性质可得。2=DF,DD,=EE,=AF=5cm,再结合D£+EF+DF=35cm,可得

出答案；

(5)设旋转时间为t秒，由题意旋转速度为1分钟转半圈，即每秒转3。，分三种情况：

①当8CIIDE时，②当8GIEF时，③当8cliOF时，分别求出旋转角度后，列方程求解

即可.

【详解】

(1)如图1,在^DEF中，ZEDF=90°,ZDF£=30°,ZDEF=60°,

图1

；ED平分NPEF,

ZP£F=2NPED=2ADEF=2x60°=120°,

PQIIMN,

：.ZMF£=180°-ZPEF=180°-120°=60°,

/.ZMFD—MFE-ZDFE=60°-30°=30°,

/.ZMFD=NDFE,

：.FD平分/EFM；

(2)如图2,过点E作£11MN,

D

图2

,/Z%C=45°,

/.ZKEA=484C=45°,

,/PQIIMN,EKWMN,

：.PQIIEK,

ZPDE=Z.DEK=Z.DEFYKEA,

又•「ZDEF=60°.

：.ZPDE=60°-45°=15°,

故答案为：15。；

(3)如图3,分别过点F、H作FillMN,HRIIPQ,

D

图3

ZLFA=Z.BAC=45°,，RHG=NQGH,

FL\lMN,HRIIPQ,PQIMN,

FLIIPQIIHR,

：.ZQGF+NGFL=130°,ZRHF=NHFL=AHFA-ZLFA,

ZFGQ和NGFA的角平分线GH、FH相交于点H,

，QGH=；NFGQ,ZHfi4=yZGFA,

■：ZDFE=30°,

/.ZGE4=180°-ZDFE=150°,

...ZHFA=；4GFA=75°,

ZRHF=NHFL=Z.HFA-乙LFA=75°-45o=30°,

ZGFL=AGEA-N/.£4=150o-45o=105o,

NRHG=NQGH=NFGQ=；(180°-105°)=37.5°,

ZGHF=NRHG+NRHF=37.5°+30°=67.5°；

图4

/.O'A=OF,DD'=EE'=4F=5cm,

1/OE+EF+OF=35cm,

OE+EF+。力+AF+DD'=35+10=45(cm),

即四边形。以。7的周长为45cm；

(5)设旋转时间为t秒，由题意旋转速度为1分钟转半圈，即每秒转3。,

分三种情况：

/.3t=30,

解得：t=10；

8CIIEF时,如图6,

ZBAE=Z8=45°,

ZBAM=Z8AE+NEW=450+45°=90°,

/.3t=90,

解得:t=30；

图7

ZDRM=NMM4-ZDFE=450+30°=75°,

ZBKA=NDRM=75°f

■：Z4C/C=180°-ZACB=90°,

/.ZCAK=90°-Z.8KA=15°,

ZC4E=1800-ZEAM-/CAK=180o-45°-15°=120°,

/.3t=120.

解得：t=40,

综上所述，AABC绕点4顺时针旋转的时间为10s或30s或40s时，线段8c与的一

条边平行.

【点睛】

本题主要考查了平行线性质及判定，角平分线定义，平移的性质等，添加辅助线，利用平

行线性质是解题关键.

3.(1)30°；(2)ZDEF+2ACDF=150°,理由见解析；(3)g

【分析】

(1)由非负性可求CGB的值，由平行线的性质和外角性质可求解；

(2)过点E作直线EHWAB,由角平分线的性质和平行线的性质可求/DEF=18Q°-30°-

2x°=150°-2x°,由角的数量可求解；

(3)由平行线的性质和外角性质可求NPM8=2NQ+NPC。，ZCPM=2Z.Q,即可求解.

【详解】

解：(1).「J”3()+(P-60)2=0,

a=30,B=60,

A8IICD,

/.ZAMN=4MND=60°,

丁ZAMN=J8+NBEM=6Q°,

：.ZBEM=6Q°-30°=30°：

(2)ZDEF+2Z.CDF=150°.

理由如下：过点E作直线EHII48,

DF平分/CDE,

：.设NCDF=ZEDF=x°；

1/EHIIAB,

：.ZDEH=Z.EDC=2x0,

：.ZDEF=180°-30°-2x°=150°-2x°；

ZDEF=1500-2ZCDF,

即/DEF+2Z.CDF=150°；

(3)如图3,设MQ与CD交于点£,

MQ平分QBMTtQC平分NDCP,

：.ZBMT=2Z.PMQtZDCP=2Z.DCQ,

,/ABWCD,

：.ZBME=NMFC,ZBMP=/PND,

,/ZMEC=NQ+ZDCQ,

2ZMEC=2NQ+2ZDCQ,

ZPMB=2ZQ+ZPCD,

,/ZPND=ZPCD+NCPM=NPMB,

ZCPM=2NQ,

NQ与NCPM的比值为

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质、角平分线的性质，准确计算是解题的关键.

4.(1)90°；(2)见解析；(3)不变，180°

【分析】

(1)根据邻补角的定义及角平分线的定义即可得解：

(2)根据垂直的定义及到补角的定义、角平分线的定义即可得解；

(3)/BPC+N8QC=18。。，过。，。分别作QG//AB,PH/IAB、根据平行线的性质及

平角的定义即可得解.

【详解】

解(1)TCN,CM分别平分N8CE和N3C。，

:.BCN=-ZBCE,NBCM=L/BCD,

22

•••NRCE+/BCD=T期,

:"MCN=NBCN+/BCM='/BCE+-ZBCD=-(Z5CE+/BCD)=90°:

222

(2)<CM±CN,

NMOV=90。,即4BCN+NBCM=90°,

/.2ZBGV+24BCM=180°,

•.♦CN是N8CE的平分线，

/./BCE=2NBCN,

：./BCE+2/BCM=18(F,

又•/NBCE+/BCD=18(r,

:.ABCD=2ZBCM,

又•.•CM在NBC。的内部，

二.CM平分NACO；

(3)如图，不发生变化，ZBPC+ZBQC=1SO°,过Q.尸分别作QG//A4,PHMAB,

则有QG//AB//PH//CD,

ZBQG=ZABQ,ZCQG=ZECQ,/BPH=NFBP,NCPH=/DCP,

BPJ.BQ,CPICQ,

:"PBQ=/PCQ=90。,

ZABQ+/PBQ+FBP=\8(尸,ZECQ+/PCQ+ZDCP=180°,

/."BQ+4FBP+4ECQ+NDCP=180°,

，乙BPC+NBQC=/BPH+ZCPH+/BQG+Z.CQG

=ZABQ+/FBP+ZECQ+ZDCP=180°,

ZBPC+NBQC=180°不变.

【点睛】

此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质及作出合理的辅助线是解题的关键.

5.(1)见解析：(2)见解析；(3)ZEBC=\05°.

【分析】

(1)先根据平行线的性质得到NC=NBDA，然后结合AB1BC即可证明；

(2)过3作"/〃〃>”,先说明NA“r>_NC"〃，然后再说明O〃〃NC得到NCH1—NC,

最后运用等量代换解答即可；

(3)设NOB£=。，则NBFC=3a,根据角平分线的定义可得N48D=NC=2a,

ZFBC=g/DBC=a+45\根据三角形内角和可得NBFC+NFBC+NBCF=180°,可得

ZAFC=NBCF的度数表达式，再根据平行的性质可得NAFC+NNCF=180。，代入即可算出a

的度数，进而完成解答.

【详解】

(1)证明：.「AM//C7V,

NC'=N8/M,

•「A8_L8C于8,

NB=90。,

ZA+ZBDA=90°,

/.ZA+ZC=90°；

(2)证明：过B作BH//DM,

,/BD1MA,

：.ZABD+ZABH,

又二ABLBC,

：.Z48〃+NCB〃=90°,

ZABD=/CBH，

BH//DM,AM//CN

：.BH//NC,

/.ZCBH=ZC,

ZABD=/C；

(3)设ND8E=a,MzBFC=3a,

•••8£平分NABD,

/.ZABD=Z.C=2a,

乂;AB±BC,BF平分NDBC,

/.ZDBC=Z28D+NA8C=2o+90,即：ZFBC=；NDBC=a+45°

又•「N8FC+NF8C+N8CF=180°,即：3a+a+45°+ZBCF=180°

Z8CF=135°-4cr,

/.ZAFC=NBCF=135°-4a,

文:AM//CN,

/.ZAFC+NA/CF=180°,即：ZAFC+A8CN+N8CF=180°,

135o-4a+135°-4a+2a=180,解得a=15°,

ZABE=15°,

ZEBC=N48E+N48c=15°+90°=105°.

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质、角平分线的性质及角的计算，熟练应用平•行线的性质、角

平分线的性质是解答本题为关键.

6.(1)ZPAF+ZPB7V+ZAPB=360°；(2)①NCPD=Na+N/,理由见解析；②图

见解析，乙CPD=一4a或tCPD=4a—乙R

【分析】

(1)作PQIIEF,由平行线的性质，即可得到答案；

(2)①过户作PE//AO交CO于E,由平行线的性质，得到Na=NOPE,“=/CPE,

即可得到答案；

②根据题意，可对点P进行分类讨论：当点尸在84延长线时；当月在BO之间时；与①

同理，利用平行线的性质，即可求出答案.

【详解】

解：(1)作PQIIEF,如图：

图1

EFHMN,

：.EFI/MNIIPQ,

4PAF+NAPQ=180°,NPBN+NBPQ=180°,

•/ZAPB=NAPQ+NBPQ

ZPAF+ZPBN+ZAPB=360°；

(?)①N"O=Na+N%

理由如下：如图，

过尸作PE//AD交.CD于E,

.ADHBC,

AD//PE//BC,

Ztz=/DPE,N尸=/CPE,

：.NCPD=NDPE+4CPE=Na+皿

②当点尸在丛延长线时，如备用图1：

M

备用图1

,/PEWADW8C,

NEPC=0,ZEPD=a,

NCTO="-Na；

当尸在8。之间时，如备用图2：

备用图2

•/PEWADWBC,

ZEPD=a,zCPE=0,

/.4CPD=4a-Z。.

【点睛】

本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握两直线平行同旁内角互补，两直线平行

内错角相等，从而得到角的关系.

111120161008

7.（1）4-5;（3）2017;（4）x=2017;（5）2017

【分析】

（1）类比题目中方法解答即可；（2）根据题目中所给的算式总结出规律，解答即可；

（3）利用总结的规律把每个式子拆分后合并即可解答；（4）方程左边提取x后利用（3）

的方法计算后，再解方程即可；（5）类比（3）的方法，拆项计算即可.

【详解】

111

（1）----=———

4X545

11

故答案为：彳一甲

11

(2)--------=—―-----

n(n+1)nn+1

11

故答案为：————；

nn+1

1111

⑶计算：+2X^+T74++2016X2017

1111111

=1——+———+———+...4-----------

2233420162017

1

=1------

2017

2016

=2017;

XXXX

(4)----+-----+-----+...+------------=2016

1X22x33X42016X2017

1111111

x(l一一+———+———+...+----------)=2016

i2233420162017,

2016%

=2016,

2017

x=2017；

1111

(5)Fxl+TxT+5x7++2015X2017,

1111111111

~3^+2(可一耳)+2(5-7)+…+<2015-2()17)'

11

=2(1-2017)*

1008

=2017,

【点睛】

本题是数字规律探究题，解决问题基本思路是正确找出规律，根据所得的规律解决问题.

8.(1)-3006,990；(2)见解析；(3)P(3的最大值是P(2262)=36.

【分析】

(1)根据“前介数与它的“中介数〃的差为P(t)的定义求解即可；

(2)设"前介数"为f=病且。、b、c均不为0的整数，即IKa、b、c<9,根据定义得到

P(t)=aabc-caab=9(1lOf/+/?-111c),则P(t)一定能被9整除；

(3)设"前介数"为/=拓石=2200+10。+〃，根据题意得到。+。+4能被3整除，且b只能

取2,4,6,8中的其中一个数；/对应的“中介数”是西;=1000〃+220+〃，得到。只能

取2,4,6,8中的其中一个数，计算P(t)=1980+96-999/7,推出要求P(t)的最大

值，即〃要尽量的大，A要尽量的小，再分类讨论即可求解.

【详解】

(1)解：2215是“前介数〃，其对应的“中介数”是5221,

P(2215)=2215-5221=-3006；

6655是“前介数〃，其对应的“中介数”是5665,

P(6655)=6655-5665=990；

故答案为：-3006,990：

(2)证明：设“前介数〃为公石匠且。、b、c均为不为0的整数，即14。、b、c<9,

/.t=\000a+\00a+\0b+c=]}0(ki+\0l?+c,

又/对应的“中介数”是嬴=1000(:+100。+l0a+Z?=100Cc+110。+力，

/.P(t)=aabc-caab=1100«+10/7+c—(1000c,+1106/+Z?)

=110067+10/7+c-1000c-110«-/?

=990。+9b-999c

=9(lI0a4-b-UIc),

,「a、b、c均不为。的整数，

J.110a+8-111c为整数,

P(3一定能被9整除；

(3)证明：设“前介数〃为"期且即1的、b<9,。、b均为不为。的整数，

/./-2000+200+10«+/?-2200+10^4-/>,

,・T能被6整除，

/能被2整除，也能被3整除，

「•〃为偶数，且2+2+。+〃=。+8+4能被3整除，

又l<b<9,

・•.b只能取2,4,6,8中的其中一个数，

又t对应的“中介数”是应五=1000〃+200+20+a=10()()方+220+a，

且该“中介数〃能被2整除，

。为偶数，

又1<«<9,

・•.Q只能取2,4,6,8中的其中一个数，

/.P(f)=22^-^22^=22004-10«+/?-(1000/7+220+6/)

=2200+104+6一1000〃-220-。

=1980+9。―999〃，

要求P(t)的最大值，即〃要尽量的大，〃要尽量的小，

①。的最大值为8,〃的最小值为2,但此时a+〃+4=14,

且14不能被3整除，不符合题意，舍去；

②。的最大值为6,〃的最小值仍为2,但此时4+8+4=12,能被3整除，

且P(t)=2262-2226=36：

③〃的最大值仍为8,〃的最小值为4,但此时a+〃+4=16,

且16不能被3整除，不符合题意，舍去；

其他情况，。减少，b增大,则P(t)减少，

..•满足条件的P(t)的最大值是P(2262)=36.

【点睹】

本题考查用新定义解题，根据新定义，表示出“前介数〃，与其对应的“中介数”是求解本题

的关键.本题中运用到的分类讨论思想是重要一种数学解题思想方法.

9.(1)3,0,-2(2)(4,30)

【解析】

分析：(1)根据阅读材料，应用规定的运算方式计算即可；

(2)应用规定和同底数事相乘的性质逆用变形计算即可.

详解：(1):33=27

(3,27)=3

5°=1

(5,1)=1

A(2,-)=-2

4

(2)设(4,5)=x,(4.6)=y

则4'=5,4y=6

4x+y=4'-4y=30

(4,30)=x+y

A(4,5)+(4,6)=(4,30)

点睛：此题是一个规定计算的应用型的题目，关键是灵活应用规定的关系式计算，熟练记

忆基的相关性质.

10.(1)两；右；一；-2)12.25；0.3873；(3)被开方数的小数点向右(左)移三

位，其立方根的小数点向右(左)移动一位；(4)-0.01

【分析】

(1)观察已知等式，得到一般性规律，写出即可；

(2)利用得出的规律计算即可得到结果；

(3)归纳总结得到规律，写出即可；

(4)利用得出的规律计算即可得到结果.

【详解】

解：(1)x/2«1.414,V200»!4.14,解0000>41.4,……

7003^0.1732,73®1.732,5/300«17.32,…

由此可见，被开方数的小数点每向右移动两位，其算术平方根的小数点向右移动一位.

故答案为：两：右：一;

(2)已知而a3.873,>/L5«1.225,贝U。12.25；40A5«0.3873；

故答案为：12.25；0.3873：

(3)班=1，%000=10,V1000000=100.……

小数点的变化规律是：被开方数的小数点向右(左)移三位，其立方根的小数点向右

(左)移动一位；

(4),/V10«2.154,6B-0.2154,

迎31ao.2154,

•••&0.01D.2154,

/.y=-0.01.

【点睛】

此题考查了立方根，以及算术平方根，弄清题中的规律是解本题的关键.

111,1力324—3«)(<-!)

11.⑴⑵M；(3)――^

【分析】

(1)即可求出q，根据已知数的特点求出a18和an即可；

(2)根据已知先求出3S,再相减，即可得出答案；

(3)根据(1)(2)的结果得出规律即可.

【详解】

解：⑴；子1=；