2026届高考数学第一轮专题复习：2年高考1年模拟：二项分布、超几何分布与正态分布 含答案

/“2年高考1年模拟”课时精练二项分布、超几何分布与正态分布1.设随机变量ξ～B(2，p)，η～B(3，p)，若P(ξ≥1)=59，则P(η≥2)的值为()A.2027 B.8C.727 D.2.(2025·无锡模拟)甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6，0.7，若两人各投2次，则两人投中次数不相等的概率是()A.0.6076 B.0.7516C.0.3924 D.0.24843.在n重伯努利试验中，设每次成功的概率为p(0<p<1)，则失败的概率为1-p，将试验进行到恰好出现r次成功时结束试验，用随机变量X表示试验次数，则称X服从以r，p为参数的帕斯卡分布，记为X～NB(r，p).已知X～NB(3，p)，若P(X=6)≥P(X=5)，则p的最大值为()A.12 B.2C.25 D.4.(2025·佛山模拟)某人上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，X～N(μ1，62)，Y～N(μ2，22).X和Y的正态密度曲线如图所示，则下列结果正确的是()A.D(X)=6B.μ1>μ2C.P(X≤38)<P(Y≤38)D.P(X≤34)<P(Y≤34)5.(2025·广州模拟)若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，则P(Z<μ+σ)≈0.8413.为了解使用新技术后的某果园的亩收入(单位：万元)情况，从该果园抽取样本，得到使用新技术后亩收入的样本均值x=3.2，样本方差s2=1.44.已知该果园使用新技术前的亩收入X(单位：万元)服从正态分布N(2.8，1.44)，假设使用新技术后的亩收入Y服从正态分布N(x，s2)，则()A.P(X<4)>P(Y>2)B.P(X<4)+P(Y>2)<1.68C.P(X<4)<P(Y>2)D.P(X<4)+P(Y>2)>1.686.设随机变量X～B(3，p)，D(X)=23，且E(X)>1.若8名党员中有15p2名男党员，从这8人中选4名代表，记选出的代表中男党员人数为Y，则P(YA.37 B.4C.57 D.7.某学校有一个体育运动社团，该社团中会打篮球且不会踢足球的有3人，篮球、足球都会的有2人，从该社团中任取2人，设X为选出的人中篮球、足球都会的人数，若P(X>0)=1121，则该社团的人数为()A.5 B.6 C.7 D.108.32名业余棋手组队与甲、乙2名专业棋手进行车轮挑战赛，每名业余棋手随机选择一名专业棋手进行一盘比赛，每盘比赛结果相互独立，若获胜的业余棋手人数不少于10名，则业余棋手队获胜.已知每名业余棋手与甲比赛获胜的概率均为13，每名业余棋手与乙比赛获胜的概率均为14，若业余棋手队获胜，则选择与甲进行比赛的业余棋手人数至少为A.24 B.25C.26 D.279.已知随机变量X服从二项分布B(4，p)，且P(X=2)=38，那么一次试验成功的概率p的值为10.(2024·天津二模)盒子里有大小和形状完全相同的4个黑球和6个红球，每次从中随机取一个球，取后不放回.在第一次取到黑球的条件下，第二次取到黑球的概率是；若连续取2次球，设随机变量X表示取到的黑球个数，则E(X)=.

11.(2025·重庆模拟)中学某班利用班会课时间组织了垃圾分类知识竞赛活动，竞赛分为初赛、复赛和决赛，只有通过初赛和复赛，才能进入决赛.首先出战的是第一组、第二组、第三组，已知第一组、第二组通过初赛和复赛获胜的概率均为23，第三组通过初赛和复赛的概率分别为p和43-p，其中0<p≤3(1)求p取何值时，第三组进入决赛的概率最大；(2)在(1)的条件下，求进入决赛的队伍数X的分布列和数学期望.12.(2025·济南模拟)某体质监测中心抽取了该校10名学生进行体质测试，得到如下表格.序号i12345678910成绩xi(分)38414451545658647480记这10名学生体质测试成绩的平均分与方差分别为x，s2，经计算(xi-x)2=1690，xi2=33050.(1)求x；(2)规定体质测试成绩低于50分为不合格，从这10名学生中任取3名，记体质测试成绩不合格的人数为X，求X的分布列；(3)经统计，高中生体质测试成绩近似服从正态分布N(μ，σ2)，用x，s2的值分别作为μ，σ2的近似值，若监测中心计划从全市抽查100名高中生进行体质测试，记这100名高中生的体质测试成绩恰好落在区间[30，82]的人数为Y，求Y的数学期望E(Y).

（解析）精练二项分布、超几何分布与正态分布1.设随机变量ξ～B(2，p)，η～B(3，p)，若P(ξ≥1)=59，则P(η≥2)的值为()A.2027 B.8C.727 D.解析：选C由题知随机变量服从二项分布，且它们的概率相同，P(ξ=0)=C20(1-p)2=1-59，解得p=13p=53舍去，则P(η≥2)=C33p3+C2.(2025·无锡模拟)甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6，0.7，若两人各投2次，则两人投中次数不相等的概率是()A.0.6076 B.0.7516C.0.3924 D.0.2484解析：选A两人投中次数相等的概率P=0.42×0.32+C21×0.6×0.4×C21×0.7×0.3+0.62×0.72=0.3924，故两人投中次数不相等的概率为1-0.3924=0.3.在n重伯努利试验中，设每次成功的概率为p(0<p<1)，则失败的概率为1-p，将试验进行到恰好出现r次成功时结束试验，用随机变量X表示试验次数，则称X服从以r，p为参数的帕斯卡分布，记为X～NB(r，p).已知X～NB(3，p)，若P(X=6)≥P(X=5)，则p的最大值为()A.12 B.2C.25 D.解析：选C因为P(X=6)≥P(X=5)，所以C52p2(1-p)3·p≥C42p2(1-p)2·p，解得p≤254.(2025·佛山模拟)某人上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，X～N(μ1，62)，Y～N(μ2，22).X和Y的正态密度曲线如图所示，则下列结果正确的是()A.D(X)=6B.μ1>μ2C.P(X≤38)<P(Y≤38)D.P(X≤34)<P(Y≤34)解析：选C随机变量X服从正态分布，且X～N(μ1，62)，可得随机变量X的方差为σ2=62，即D(X)=36，所以A错误；根据给定的正态曲线图象，可得μ1=30，μ2=34，所以μ1<μ2，所以B错误；根据给定的正态曲线图象，可得X≤38时，随机变量X对应的曲线与x轴围成的面积小于Y≤38时随机变量Y对应的曲线与x轴围成的面积，所以P(X≤38)<P(Y≤38)，所以C正确；根据给定的正态曲线图象，可得P(X≤34)>12，P(Y≤34)=12，即P(X≤34)>P(Y≤34)，所以D错误.5.(2025·广州模拟)若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，则P(Z<μ+σ)≈0.8413.为了解使用新技术后的某果园的亩收入(单位：万元)情况，从该果园抽取样本，得到使用新技术后亩收入的样本均值x=3.2，样本方差s2=1.44.已知该果园使用新技术前的亩收入X(单位：万元)服从正态分布N(2.8，1.44)，假设使用新技术后的亩收入Y服从正态分布N(x，s2)，则()A.P(X<4)>P(Y>2)B.P(X<4)+P(Y>2)<1.68C.P(X<4)<P(Y>2)D.P(X<4)+P(Y>2)>1.68解析：选D依题可知x=3.2，s2=1.44，所以Y～N(3.2，1.22)，故P(Y>2)=P(Y>3.2-1.2)=P(Y<3.2+1.2)≈0.8413.因为X～N(2.8，1.22)，所以P(X<4)=P(X<2.8+1.2)≈0.8413，所以P(X<4)=P(Y>2)，P(X<4)+P(Y>2)≈1.6826>1.68.6.设随机变量X～B(3，p)，D(X)=23，且E(X)>1.若8名党员中有15p2名男党员，从这8人中选4名代表，记选出的代表中男党员人数为Y，则P(YA.37 B.4C.57 D.解析：选A因为X～B(3，p)，D(X)=23，则3p(1-p)=23，解得p=13或p=23，又因为E(X)=3p>1，则p>13，可得p=23，则15p2=5.所以P(7.某学校有一个体育运动社团，该社团中会打篮球且不会踢足球的有3人，篮球、足球都会的有2人，从该社团中任取2人，设X为选出的人中篮球、足球都会的人数，若P(X>0)=1121，则该社团的人数为()A.5 B.6 C.7 D.10解析：选C设该社团共有n个人，∴P(X=0)=Cn−22Cn2=(n−2)(n−3)n(n−1)，∵P(X=0)=1-P(X>0)=1021，∴8.32名业余棋手组队与甲、乙2名专业棋手进行车轮挑战赛，每名业余棋手随机选择一名专业棋手进行一盘比赛，每盘比赛结果相互独立，若获胜的业余棋手人数不少于10名，则业余棋手队获胜.已知每名业余棋手与甲比赛获胜的概率均为13，每名业余棋手与乙比赛获胜的概率均为14，若业余棋手队获胜，则选择与甲进行比赛的业余棋手人数至少为A.24 B.25C.26 D.27解析：选A设选择与甲进行比赛且获胜的业余棋手人数为X，选择与乙进行比赛且获胜的业余棋手人数为Y；设选择与甲进行比赛的业余棋手人数为n，则选择与乙进行比赛的业余棋手人数为32-n.X所有可能的取值为0，1，2，…，n，则X～Bn，13，E(X)=n3；Y所有可能的取值为0，1，2，…，32-n，则Y～B32−n，14，E(Y)=32−n4，所以获胜的业余棋手总人数的期望E(X+Y)=E(X)+E(Y9.已知随机变量X服从二项分布B(4，p)，且P(X=2)=38，那么一次试验成功的概率p的值为解析：∵随机变量X服从二项分布B(4，p)，P(X=2)=38，∴C42p2(1-p)2=38，解得答案：110.(2024·天津二模)盒子里有大小和形状完全相同的4个黑球和6个红球，每次从中随机取一个球，取后不放回.在第一次取到黑球的条件下，第二次取到黑球的概率是；若连续取2次球，设随机变量X表示取到的黑球个数，则E(X)=.

解析：设“第一次取到黑球”为事件A，“第二次取到黑球”为事件B，则P(A)=410=25，P(AB)=410×39=215，所以P(B|A)=P(AB)P(A)=21525=13.由题意可得X的取值为0，1，2，P(X=0)=C62C所以E(X)=0×13+1×815+2×215答案：1311.(2025·重庆模拟)中学某班利用班会课时间组织了垃圾分类知识竞赛活动，竞赛分为初赛、复赛和决赛，只有通过初赛和复赛，才能进入决赛.首先出战的是第一组、第二组、第三组，已知第一组、第二组通过初赛和复赛获胜的概率均为23，第三组通过初赛和复赛的概率分别为p和43-p，其中0<p≤3(1)求p取何值时，第三组进入决赛的概率最大；(2)在(1)的条件下，求进入决赛的队伍数X的分布列和数学期望.解：(1)由题知第三组通过初赛和复赛的概率p0=p43−p=-p2+43p=-又因为0<p≤34，0≤43−p≤1，所以1(2)由(1)知第一组、第二组、第三组进入决赛的概率均为23×23=因为进入决赛的队伍数X～B3，4所以P(X=0)=C30×1−4P(X=1)=C31×49×1−49P(X=2)=C32×492×1−49=240729=80243，P(所以随机变量X的分布列为X0123P1251008064E(X)=0×125729+1×100243+2×80243+3×6412.(2025·济南模拟)某体质监测中心抽取了该校10名学生进行体质测试，得到如下表格.序号i12345678910成绩xi(分)38414451545658647480记这10名学生体质测试成绩的平均分与方差分别为x，s2，经计算(xi-x)2=1690，xi2=33050.(1)求x；(2)规定体质测试成绩低于50分为不合格，从这10名学生中任取3名，记体质测试成绩不合格的人数为X，求X的分布列；(3)经统计，高中生体质测试成绩近似服从正态分布N(μ，σ2)，用x，s2的值分别作为μ，σ2的近似值，若监测中心计划从全市抽查100名高中生进行体质测试，记这100名高中生的体质测试成绩恰好落在区间[30，82]的人数为Y，求Y的数学期望E(Y).附：若ξ～N(μ，σ2)，则P(μ-σ≤ξ≤μ+σ)≈0.6827，P(μ-2σ≤ξ≤μ+2σ)≈0.9545，P(μ-3σ≤ξ≤μ+3σ)≈0.9973.解：(1)x=110×(38+41+44+51+5