2027届新高考数学热点精准复习平面向量的基本定理及坐标表示

2027届新高考数学热点精准复习平面向量的基本定理及坐标表示不共线λ1e1＋λ2e2x轴，y轴正方向相同(x，y)(1,0)(0,0)知识梳理知识点一平面向量的基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个__________向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a＝______________.知识点二平面向量的坐标表示在直角坐标系内，分别取与____________________的两个单位向量i，j作为基底，对任一向量a，有唯一一对实数x，y，使得：a＝xi＋yj，__________叫做向量a的直角坐标，记作a＝(x，y)，显然i＝_________，j＝(0,1)，0＝_________.(x1＋x2，y1＋y2)(x1－x2，y1－y2)(λx1，λy1)(x2－x1，y2－y1)知识点三平面向量的坐标运算1．向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝__________________，a－b＝________________，λa＝____________，|a|＝_____________.2．向量坐标的求法(1)若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．知识点四向量共线的坐标表示若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔__________________.x1y2－x2y1＝0归纳拓展1．若a与b不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.(3)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变．(

)(4)向量的坐标就是向量终点的坐标．(

)[答案]

(1)√

(2)×

(3)√

(4)×双基自测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.(

)题组二走进教材2．(必修2P30例5改编)已知平行四边形ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，则顶点D的坐标为(

)A．(1,5) B．(1，－5)C．(－1,5) D．(－1，－5)[答案]

A[答案]

B[解析]

A选项中，零向量与任意向量都共线，故其不可以作为基底；B选项中，不存在实数λ，使得e1＝λe2.故两向量不共线，故其可以作为基底；C选项中，e2＝2e1，两向量共线，故其不可以作为基底；D选项中，e1＝4e2，两向量共线，故其不可以作为基底．故选B.3．(必修2P60T2(6)改编)下列各组向量中，可以作为基底的是(

)A．e1＝(0,0)，e2＝(1,3) B．e1＝(－1,2)，e2＝(5,7)4．(必修2P60T6改编)已知A(2,3)，B(4，－3)，点P在线段BA的延长线上，且2BP＝3AP，则点P的坐标是________.[答案]

(－2,15)题组三走向考场5．(2026·贵阳模拟)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，则λ＝________.平面向量基本定理的应用——师生共研名师点拨：应用平面向量基本定理表示向量的方法应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加法、减法或数乘运算，基本方法有两种：1．运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行化简，直至用基底表示为止．2．将向量用含参数的基底表示，然后列方程或方程组，利用基底表示向量的唯一性求解．[答案]

A【变式训练】平面向量坐标的基本运算——自主练透A．(－7，－4) B．(7,4)C．(－1,4) D．(1,4)[答案]

A[答案]

4名师点拨：1．利用向量的坐标运算解题时，首先利用加、减、数乘运算法则进行运算，然后根据“两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相等”这一原则，转化为方程(组)进行求解．2．向量的坐标表示把点与数联系起来，引入平面向量的坐标可以使向量运算代数化，成为数与形结合的载体，使很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运算．向量共线的坐标表示及其应用——师生共研1．(2026·济宁模拟)已知平面向量a＝(－1,2)，b＝(m，－3)，若a＋2b与a共线，则m＝________.2．在Rt△ABC中，AB＝2，AC＝4，AB⊥AC，E，F分别为AB，BC中点，则AF与CE的交点坐标为________.名师点拨：平面向量共线的坐标表示问题的解题策略1．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1.2．在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)．[答案]

A【变式训练】1．(2026·景德镇模拟)已知向量a＝(2,3)，b＝(2，sinα－3)，c＝(2，cosα)，若(a＋b)∥c，则tanα的值为(

)2．(2026·天津模拟)已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，O为坐标原点，则AC与OB的交点P的坐标为________.[答案]

(3,3)名师讲坛·素养提升三点共线的充要条件[答案]

C[答案]

A[答案]

B【变式训练】[答案]

BA组基础巩固一、单选题1．若e1，e2是平面α内的一组基底，则下列四组向量能作为平面α的一组基底的是(

)A．e1－e2，e2－e1 B．e1＋e2，e1－e22．(2025·陕西汉中月考)已知向a，b满足a－b＝(1，－5)，a＋2b＝(－2,1)，则b＝(

)A．(1,2) B．(1，－2)C．(－1,2) D．(－1，－2)[答案]

C[解析]∵a－b＝(1，－5)①，a＋2b＝(－2,1)②，∴②－①得3b＝(－3,6)．∴b＝(－1,2)．故选C.A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件[答案]

CA．2m－n B．2n－mC．m－2n D．n－2m[答案]

AA．0 B．1C．2 D．3[答案]

DA．(－4,2) B．(－4，－2)C．(4，－2) D．(4,2)[答案]

C[答案]

C[答案]

D二、多选题9．已知向量a＝(2,0)，b＝(1,1)，则(

)A．|a|＝|b|B．4a－3b＝(5，－3)C．{a，b}可以作为平面向量的一个基底D．(a－b)∥b[答案]

BC[答案]

ABD[答案]

ABD三、填空题[答案]

BB组能力提升[答案]

C2．(2025·北京开学考试)已知向量