人教A版高二数学选择性必修第三册《全概率公式》教案

7.1.2全概率公式教学设计

一、课时教学内容

1.结合古典概型，会利用全概率公式计算概率.

2.了解贝叶斯公式（不作考试要求）.

二、课时教学目标

1.结合古典概型，了解利用概率的加法公式和乘法公式推导出全概率公式的过程；

2.理解全概率公式并会利用全概率公式计算概率；

3.了解贝叶斯公式以及其简单应用.

三、教学重点、难点

1.教学重点：利用全概率公式计算概率，全概率公式及其应用.

2.教学难点：正确理解全概率公式，在具体问题情境中识别出全概率模型，运用全概率公式

求概率.

四、教学过程设计

环节一创设情境，引入课题

在上节计算按对银行储蓄卡密码的概率时，我们首先把一个复杂事件表示为一些简单事件运算

的结果，然后利用概率的加法公式和乘法公式求其概率.下面，再看一个求复杂事件概率的问

题.

思考：从有〃个红球和力个蓝球的袋子中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回.显然，第1

次摸到红球的概率为二）.那么第2次摸到红球的概率是多大？如何计算这个概率呢？

因为抽签具有公平性，所以第2次摸到红球的概率也应该是三.但是这个结果并不显然，

因为第2次摸球的结果受第1次摸球结果的影响.下面我们给出严格的推导.

用4表示事件“第，次摸到红球“，瓦表示事件“第，•次摸到蓝球，，，i=l,2.如图7.1-2所示,

RiP（阻叫一R?-----RyR2

尸（或吐一

依4/曷）B]-----/?iBi

P（R2、BI）&------B[R?

P（8D、＜匚二

Bi2/可）Bz----------B1&

图7.1-2

事件R?可按第1次可能的摸球结果（红球或蓝球）表示为两个互斥事件的并，即

R2=R}R2^B]R2.利用概率的加法公式和乘法公式，得

P（R2）=P（R\R?J4&）二P（4&）+尸（与鸟）

=P（RJP（RJRI）+P（BI）P（RJBJ

aa-\baa

=-------x------------+--------x------------=--------.

a+ba-\-b-\a+ba+b-\a+b

上述过程采用的方法是：按照某种标准，将一个复杂事件表示为两个互斥事件的并，再由概率

的加法公式和乘法公式求得这个复杂事件的概率.

【设计意图】让学生亲身经历了从特殊到一般，结合集合，获得全概率概念与公式的过程，同

时发展学生逻辑推理、直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。

环节二观察分析，感知概念

一般地,设4,4,…，4是一组两两互斥的事件,AU4U…IM“=Q,且尸（A）＞o,

，=1,2,…,明则对任意的事件有

P（B）=£P（A,）P（B[A）.

i=l

我们称上面的公式为全概率公式（totalprobabilityformula）.全概率公式是概率论中最基本的

公式之一.

【设计意图】通过概念辨析，让学生深化对全概率公式的理解，并归纳总结出来全概率是用来

解决“由因求果”类问题的。

例4某学校有A,B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第1天去A

餐厅，那么第2天去4餐厅的概率为0.6；如果第1天去8餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8.计

算王同学第2天去A餐厅用餐的概率.

分析：第2天去哪家餐厅用餐的概率受第1天在哪家餐厅用餐的影响，可根据第1天可能去的餐厅,

将样本空间表示为“第1天去A餐厅”和“第1天去8餐厅”两个互斥事件的并，利用全概率公式求解.

解：设A="第1天去4餐厅用餐”，片=”第1天去8餐厅用餐”，&="第2天去A餐厅用餐”,

则C=AU4,且A与片互斥.根据题意得

P(4)=P(B,)=0.5,P(A2|A1)=0.6,尸(4]即=0.8

由全概率公式，得

P(4)=P(A,)P(A2IAI)+P(B,)P(A2I4)=0.5x0.6+0.5x0.8=0.7.

因比，王同学第2天去A餐厅用餐的概率为0.7.

下设讦意图全概窣公式求概窣的岁骤;

1.设事件：把事件B(结果事件)看作某一过程的结果，把A],A2,…,An看作导致结果的若干个原

因；

2,写概率：由已知，写出每一原因发生的概率(即P(Ai)),且每一原因对结果的影响程度

(即P(B|Ai))；

3.代公式：用全概率公式计算结果发生的概率(即P(B)).

环节三抽象概括，形成概念

例5有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%,第2,3台加工的次品率均为

5%,加工出来的零件混放在一起.已知第I,2,3台车床加工的零件数分别占总数的25%,30%,

45%.

(1)任取一个零件，计算它是次品的概率；

(2)如果取到的零件是次品，计算它是第2,3)台车床加工的概率.

分析：取到的零件可能来自第1台车床，也可能来自第2台或第3台车床，石3种可能.设区=“任

取一零件为次品“，4="零件为第，台车床加工”《=1,2,3),如图7.1-3所示，可将事件8表示为3

个两两互斥事件的并，利用全概率公式可以计算出事件8的概率.

图7.1-3

解：设8="任取一个零件为次品"，4="零件为第i台车床加工”(1二123),则。=AU4U4,

且A，4两两互斥.根据题意得

P(A)=0.25,P(4)=°.3,尸(A)=0-45,

P(8|A)=0.06,P(8|4)=P(B|4)=0.05.

(1)由全概率公式，得P(8)=P(A)P(8|4)+P(4)P(B|/)+P(A3)P(5|A3)

=0.25x0.06+0.3x0.05+0.45x0.05=0.0525.

(2)“如果取到的零件是次品，计算它是第=1,2,3)台车床加工的概率”，就是计算在8发生的

条件下，事件4发生的概率.

_P(A8)_P(A)P(例4)0.25X0.062

1—P(B)—P(B)0.0525-7,

类似地，可得

23

P(A2\B)=-fP(A3|B)=p

【设计意图】会利用全概率公式求概率，培养学生分析问题、利用已学知识解决问题的能力。

环节四辨析理解深化概念

思考：例5中P(A),RAIN)的实际意义是什么？

P(4)是试验之前就已知的概率，它是第，台车床加二的零件所占的比例，称为先验概率.当

已知抽到的零件是次品(8发生)，P(A10是这件次品来自第i台车床加工的可能性大小，通常

称为后验概率.如果对加工的次品，要求操作员承担相应的责任，那么:，J就分别是第1,

777

2,3台车床操作员应承担的份额.

将例5中的问题(2)一般化，可以得到贝叶斯公式.

*贝叶斯公式(Bayesformula)：设A，4,…，儿是一组两两互斥的事件,AU4U-U公=。,

且P(4)>o,i=l,2,,・・,〃，则对任意的事件P(B)>0,有

…)=3型^二/

P®£P(AJP(BIAJ

hl

贝叶斯公式是由英国数学家贝叶斯(T.Bayes,1702-1761)发现的，它用来描述两个条件概率之间

的关系.

标有*号的内容为选学内容，不作考试要求.

【设计意图】让学生理解贝叶斯公式是解决“执果寻因”类的问题，并理解其推导过程，培养

学生分析问题的能力。

环节五概念应用，巩固内化

例6在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有

可能被错误地接收为1或().已知发送信号()时，接收为。和1的概率分别为().9和().1；发送信号1时,

接收为1和()的概率分别为0.95和().()5.假设发送信号0和1是等可能的.

(1)分别求接收的信号为()和1的概率；

*(2)已知接收的信号为0,求发送的信号是1的概率.

分析：设4="发送的信号为0"，8=”接收到的信号为0”.为便于求解，我们可将题目中所包含

的各种信息用图7.1-4直观表示.

P(B|A)=0.95

图7.1~4

解：设A-“发送的信号为0”,“接收到的信号为0"，则印="发送的信号为1”,豆=”接收到

的信号为1”.由题意得

P(A)=P(A)=0.5,P(B|A)=0.9,P(B|A)=0.1,P(B|A)=0.05,P(B|A)=0.95.

(1)P(B)=P(A)P(B\A)+P(A)P(B|A)=0.5x0.9+0.5x0.05=0.475,

P(5)=1-P(B)=1-0.475=0.525.

P(A)P(B|A)0.5x0.051

(2)P(A\B)=

P(B)0.475

【设计意图】通过练习，巩固本节所学知识，培养学生学以致用、解决问题的能力，提高学生

的数学运算、逻辑推理等能力，发展学生直观想象、数学建模的核心素养。

环节六归纳总结，反思提升

1.教师可以设置以下问题让学生思考：

⑴全概率公式中将样本空间分拆成若干个两两互斥的事件的并集的作用是什么?

⑵应用全概率公式计算概率的步骤是什么？

⑶条件概率与贝叶斯公式有什么联系？

2.本节课学习的概念有哪些？

(1)全概率公式.

(2)贝叶斯公式.

3.在解决问题时，用到了哪些数学思想?

(1)方法归纳：化整为零、转化化归.

(2)常见误区：事件拆分不合理或不全面.

件概率P(印!)=勺等一一乘法公式P(AB)=P(A)P(B\A)

I

//全概率公式由因求果

P(B)=P(BAd+P(BA2)+…+P(BAn)加法公式

=P(Ay)P(,BM+P(A2)P(B\A2)+…___

1设.事件]乘法公式

2写.概率

，贝叶斯公式执果寻因

3代.公式

3)=诞=辿叫』,2…〃

“P(B)P(B)

【设计意图】通过问题设计,让学生归纳总结本节课学习的内容.

环节七目标检测，作业布置

完成教材：教材第53页习题7.1第5,7,8题.

【设计意图】让学生进一步巩固本节所学内容，提高学以致用、解决问题的能力。

练习(第52页)

1.现有12道四选一的单选题，学生张君对其中9道题有思路，3道题完全没有思路.有思路的题

做对的概率为().9,没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为().25.张君从这12道

题中随机选择1题，求他做对该题的概率.

1.【解析】设事件A=”对所选的题有思路”，Z="对所选的题完全没有思路”，事件8=”做对

所选题目”，则。=AUX，且A与囚互斥，

93-31-

由题意得P(A)=Z=2,P(A)=-=-tP(例A)=0.9,P(例A)=0.25.

124124

由全概率公式，得P(B)=P(A)P(BlA)+P(A)P(BlA)=-xO.9+-x0.25=0.7375.

44

即他做对该题的概率为0.7375.

2.两批同种规格的产品，第一批占40%,次品率为5%；第二批占60%,次品率为4%.将两批

产品混合，从混合产品中任取1件.

(1)求这件产品是合格品的概率；

*(2)已知取到的是合格品，求它取自第一批产品的概率.

2.【解析】设事件”任取1件产品是合格品“，事件a=”产品取自第一批”，事件42=”产品

取自第二批"，则C=4UA2,且4与4互斥，

由题意得P(A)=0・4,P(A2)=0.6,P(例A)=0.95,P(B|A,)=0.96.

(1)由全概率公式，得尸(3)=尸(A)P(B14)+24)2814)=0.4x0.95+0.6x0.96=0.956.

(2)由贝叶斯公式，得P(AI为二P(A)P⑻A)="4x"9)—0.397.

P(B)0.956

习题7.1(第52页)

1.为了研究不同性别学生患色盲的比例，调查了某学校2000名学生，数据如下表所示.单位:

人

男女合计

色盲60262

非色盲11407981938

合计12008002000

从这2000人中随机选择1人.

(1)已知选到的是男生，求他患色盲的概率；

(2)已知选到的学生患色盲，求他是男生的概率.

解：(1)由题意，男生共有1200人，其中患色盲的有60人，.•.选到的男生患色盲的概率

n601

P=-------=—.

1[120020

(2)由题意，患色盲的学生共有62人，其中男生有60人，

选到的患色盲的学生是男生的概率鸟=号=|^

2.从人群中随机选出1人，设8=“选出的人患有心脏病”，C="选出的人是年龄大于50岁的心脏

病患者“，请你判断P(8)和P(O的大小，并说明理由.

解：由题意，C=B,:.P©WP(B).

3.甲、乙两人向同一目标各射击1次，已知甲命中目标的概率为0.6,乙命中目标的概率为0.5.已

知

目标至少被命中1次，求甲命中目标的概率.

解：设事件A为“目标至少被命中1次“，事件B为“中命中目标”,

则p(A)=0.6x().5+0.6x(l-0.5)+(l-0.6)x().5=().8,

P(AB)=0.6x0.5+0.6x(1-0.5)=0.6,则P(B\A)=鼠)=^=0.75.

4.甲和乙两个箱子中各装有10个球，其中甲箱中有5个红球、5个白球，乙箱中有8个红球、2个

白球.掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2,从甲箱子随机摸出1个球；如果点数为3,4,

5,6,从乙箱子中随机摸出1个球.求摸到红球的概率.

解：设事件A为“掷一枚质地均匀的骰子，点数为1或2”，则事件A为“掷一枚质地均匀的骰子,

点数为3,4,5,6”；设事件6为“摸到红球”.

--11427

P(B)=P(B\A)P(A)+P(B\A)P(A)=-x-+-x-=—.

J*1

5.在A,B,。三个地区暴发了流感，这三个地区分别有6%,5%,4%的人患了流感,假设这三

个地区的人口数的比为5：7：8,现从这三个地区中任意选取一个人.

(1)求这个人患流感的概率；

*(2)如果此人患流感，求此人选自A地区的概率.

解：(1)设事件A,B,C分别表示：任意选取一个人，分别来自A,B,C地区.事件。表示：

这个人患流感.则

P(D)=P(AD)+P(BD)+P(CD)=P(D\A)•P(4)+P(。|B)•P(B)+P(D\C)P(C)

57X

=0.06x—4-().05x—+0.04x—=0.0485=4.85%.

202020

P(D\A)P(A)_0.06x0.25_30

(2)P(A\D)=

P(D)0.0485-97

6.已知P(A)>0,P(B)>0,P(B\A)=P(B),证明：P(A|3)=P(A).

证明：P(A)>0,P⑻>0,P(B\A)=^^-=P(B),

尸⑷

P(AB)=P(A)P(8),P(A|B)=上些="A"⑻=P(A).

P(B)P(B)

7.一批产品共有100件，其中5件为不合格品.收货方从中不放回地随机抽取产品进行检验，并

按以下规则判断是否接受这批产品：如果抽检的第1件产品不合格，则拒绝整批产品；如果抽检

的第1件产品合格，则再抽1件，如果抽检的第2件产品合格，则接受整批产品，否则拒绝整批产

品.求这批产品被拒绝的概率.

解：设事件4为“抽检的第1件产品合格”，事件8为“抽检的第2件产品合格”.

____