2026年初中数学中考复习：利用“阿氏圆”解决线段最值问题（含解析）

利用“阿氏圆”解决线段最值问题

一阶方法突破练

1.如图，点P是半径为2的。0上一动点，点A,B为。0外的定点连接PA.PB.点B与圆心0的距离为4.要

使P4的值最小，如何确定点P,并说明理由.

2.如图,在平面直角坐标系中.A(40),B(O,3),点E是以原点O为圆,2为半径的圆上一点,求4E+的最小

«5

3.如图，已知抛物线y=犬+轨_5与x轴交于A,B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C.点D的坐标为

((-3,0),,将线段0D绕点0逆时针旋转得到(0D',旋转角为(a(0°<a<90。),连接AD""求力D'+的最小

值.

第3题图

设问进阶练

例如图，已知抛物线y=-产+2%+3与x轴交于点A,B(点A在点B的右侧).与y轴交于点C.

⑴如图①,若点D为抛物线的顶点,以点B为圆心，3为半径作。B,点E为。B上的动点连妾AE,DE,求DE

的最小值；

4

(2)如图②，若点H是直线AC与抛物线对称轴的交点，以点H为圆心，1为半径作。H,点Q是。H上一动

点，连接0Q,AQ,求。Q+质加的最小值；

例题图②

(3)如图③，点D是抛物线上横坐标为2的点，过点D作DE1x轴于点E,点P是以0为圆心，1为半径的

OO上的动点，连接CD,DP,PE,求PD-“E的最大值

例题图③

综占强化练

1.如图①抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,直线y=kx+1\经过点A,与y轴

交于点D,与抛物线交于点E(2.3),点F是抛物线的顶点.连接DF,EF.

⑴求直线AE和抛物线的函数解析式；

⑵求的值；

(3)如图②以点D为圆心QD长为半径作圆，点G是OD上一点，连接BG和FG,则10DG十是否存在最

小值?若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.

作图区答题区

备用图

2.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a*0)经过点A(-l,0),B(3,0),C(0,4).

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图①，连接BC,点P为BC上方抛物线上的一点，PR||y轴交BC于点R,PQ18。于点Q,求△PQR周长

的最大值及此时点P的坐标；

⑶如图②，若点N(0,3),D(2,0),矩形ODFN的顶点F在第一象限内.以点N为圆心,1为半径作。N,点M是。N上

一动点.连接DM,MF,求DM一：M尸的最大值.

作图区答题区

图①

图②

备用图

一阶方法突破练

1.解:如解图，连接OBQP,找带有系数的线段PB.在0B上截取OC=1,连接AC交于点P',点P'即为所求

理由:•.OP=2QB=4,

器=器"，"。。=4。尸，

...△POJBOP.

.•・=碧吟PB=PC（利用相似将|PB转化为PC）.

确定线段和最小时动点的位置.

PA+^PB=PA+PC>AC,当A,P,C三点共线时,PA+PC的值最小，最小值为AC的长，

当点P与点P'重合时,PA+/B的值最小.

2.解：找带系数的线段BE.如解图，在y轴上取一点M（0,，连接OE,EM,AM.则0E=2,0B=3,0M=:

tOE_OM_2

».一.

OBOE3

义./EOM=/BOE,

.)EOMiOE.

.EM_0M_2

"BE-OE_3,

即EM=^BE.

2

:.AE+^BE=AE+EM>AM,

当A,E,M三点共线时，AE+EM的值最小,最小值为AM的长.

在Rt^AOM中,AM=>/OM2+OA2=小针2=噜

+4

二当E为线段AM与。0的交点时，AE+的值最小，最小值为等.

3解：•・抛物线的解析式为y=4x-5,

.•.A(-5,0),C(0,-5),

.•点D的坐标为(-3,0),.QD=OD=3,

二.点6的运动轨迹为以原点0为圆心，3为半径的圆在第三象限内的一段圆弧,

如解图,在y轴上取一点.M(o「，连接D'M,AM,

则。。'=3,0C=5,0M=，

ODOM3

又.ROM=NCOD',

・••QOMiCOD，

DM3Rn_36八’

二一:即DM=-CD,

CD'55

：.AD+^CD'=AD+D'M>AM,

当A,D二M三点共线时,AD+lCD的值最小，最小值为AM的长.

在Rt&AOM中,AM=>JAO2+OM2=J52+(丁=等，

.•.当D为AM与圆弧的交点时，4。'+的值最小，最小值为等.

OD

二阶设问进阶练

例解:⑴..抛物线y=例2+2%+3与x轴交于点AB..A(3,0),B(-L0);AB=4.

•・•点D为抛物线的顶点,

・•.DQ,4),抛物线对称轴为直线x=l,

如薛图①，连接BE,在x轴上截取BF=酒器=*

设抛物线对称轴与x轴交于点M,连接EF,DF,

噜/NEBF=NABE,

.“FBESAEBA,

例题解图①

.HE_EF_3

・，BA~AE~7

：,EF=-AE,

4

3

：.DE+-AE=DE+EF>

4

DF,当D,E,F三点共线时,DE+"E取得最小值,最小值为DF的长,

4

BFMF=•.在Rt△DMF中,DF=y/DM2+MF2

44=炉可目

••.OE+2的最小值为等;

(2)由(1)得抛物线对称轴为直线x=l.

•.A(3,0),C(0,3),

「•直线AC的解析式为y=-x+3.

•・・点H为直线AC与抛物线对称轴的交点，

'点H的坐标为Q,2).

如解图②，连接0H交OH于点D,在0H上截取HN=唱过点N作NE±x轴于点E,设抛物线对称轴与x轴

交于点M,连接AN,NQ,HQ.

•.•H(1,2),/.OM=1,HM=2.

OH=、0M7HM2=V5.

又「HQ=1,

.UN_HQ_>/5

""HQ~HO-5'

又「/NHQ=/QHO,

.•.△QHNSAOHQ.例题解图②

.QN_HN_遥

**OQ~HQ~5'

即QN=—0Q.

5

:，OQ+V5AQ=V5(yOQ+AQ)=凤QN+AQ)>祈AN.当A,Q,N三点共线时,(OQ+而.4Q值最小，最小

值为岳AN.

•.NE_LX轴,

「•ONE〜。"M,嘲=器=器

ciumiWf4衣ONNEOE_A

vON=OH-NH=——,—=—

5OHHMOM―5’

J.NE=g,OE=g,AE=OA-OE=y.

述AN=V5•\]AE24-NE2=瓯

OQ+代4Q的最小值为V37;

⑶二•点D是抛物线上的点，且横义标为2,/.D(2,3).

•••C(O,3)「CDJ_y轴.

e."DE_LX轴，

••・西边形OCDE为矩形.「QE=CD=2.

如解图③，在OA上截取OH=g,连接DH并延长交O。于点P,连接EP.

易得直线DH的解析式为：y=2x-l./.P(0,-l).

,OH_1OP_1

.•0P-2，0£-2，

且/POH二NEOP,

WOHSAEOP.

PHOP1

----=------=—PH=^PE.

EPOE2

PD-\PE=PD-PH<DH,当点P在DH的延长线上时，PD一：PE的值最大，最大值为DH的长.

•.H(i,0),D(2,3),

:.DE=3,EH=5

DH=y/DE2+EH2=—.

...p。—：PE的最大值为苧.

三阶综合强化练

1.解:Q).•点E在直线y=kx+1上

.•把E(2,3)代入y=kx+L得2k+l=3廨得k=l,

直线AE的解析式为y=x+l,

把y=0代入y=x+L得x=-L「.A(-L0),

把A(-LO)与E(2,3)代入抛物线y=--+hx+c,

(­1—b+c=0解得C-3'

停l-4+2/?+c=3

••・抛物线的解析式为y=-X2+2X+3;

(2)•.点F是抛物线的顶点,••.FQA),

ffix=O代入y=x+L得y=l,/.D(O,l)

把x=0代入y=-x2+2x+3彳导y=3,，C(0,3),，CD=2,

如解图①，连接CE,

•.口2,3),则CE_Ly轴,CE=CD=2,

.-.zCED=45o,DE=2V2,

第1题解图①

过点F作FM±CE于点M厕FM=EM=1,

NFEC=45°,FE=42,/FED=90°,

在RbFDE中,tanzEDF=^=1

(3)【思路点拨】将108G+同”提公因式转化为10(BG+噜FG),再构造相似三角形将噜FG转化到对应

边，根据"一阶方法突破练"中的【方法解读】求解即可.

存在.

如解图②，在DF上取DH=喝连接DG,HG,BH,则需=喝

1UUUIU

・・•D(0,l),F(L4),7.DF=V10,

DG1V10DHDG

•>,——.......-.........:..........-........

DFV1010'DG。尸'

•.NHDG=NGDF,."HDGSGDF,

然鲁,HGfFG,

二10BG+VTU尸G=10(8G+^FG)=10(8G+

HG)>10BH,/.10BG+V10FG的最小值为10BH,

过点H作HP_Ly轴于点P,过点F作FQj_y轴于点Q,则HPilFQ,

nDHPsADFQ,

•_DP—_H_P—_D_H—_1

"DQ-FQ~DF~10，

，竺=竺=!，

3110'

.-.DP=-,HP=-,

1010

•.•D(0,l),..H(等3),

根据勾股定理，得=J(3—)飞I=嗜

:.10BH=V1010,

:，1QBG+同FG的最小值是V1010.

2.解:Q)■.抛物线y=ax2+bx+c(a丰0)过C(0,4),

.・抛物线的解析式为y=bx+4,

•・将点A,B的坐标代入抛物线的解析式，得La-［二4］、解得1=下，

(9Q+36+4=0I匕=2

I3

••・抛物线的解析式为y=-；x2+；x+4；

(2)【思路点拨】由PRlly轴履至I」zOCB=zPRQ,设出点P的坐标，表示出PR的长，结合三角函数表示

PQ,QR的长，再利用二次函数的性质求解即可.

0)((0,4),

二直线BC的解析式为y=-枭+4,8C=yJOC24-OB2=5,

,.PRllyiEh,/.zOCB=zPRQ,

•••sin/PRQ=sinzOCB=.=黑=,

rKcC0

cos/PRQ=COSZ0CB=77=77=1

YPRBC5

：.PQ=-PR,QR=-PR.

55

•.*PQR的周长为PR+PQ+QR=PR5PR+-5PR=-