第七章 平行线的证明 单元复习题-北师大版八年级数学上册

北师大版八年级数学上册第七章平行线的证明单元复习题

一、选择题

1.下列说法正确的是（）

A.过直线上一点有且只有一条直线与已知直线平行

B.不相交的两条直线叫做平行线

C.直线外一点到该直线的所有线段中垂线最短

D.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行

2.下列语句是命题的是（）

A.作直线AB的垂线B.在线段AB上取点C

C.垂线段最短吗？D.同旁内角互补

3.如图，直线a、b被直线c所截，下列条件不能判定直线a与b平行的是（）

A.Z1=Z3B.Z2+Z4=180°

C.Z1=Z4D.Zl+Z4=180°

4.如图，a^.Zl=58°,则N2的度数为（）

C.120°D.132°

5.在Rt~43c中，ZC=90°,AB=25°,则NA的度数是（）

A.75°B.65。C.55。D.45°

6.下列说法正确的个数有（）

①有两组边对应相等，一组角对应相等的两个三角形全等；②垂直于同一条直线的两直线平

行；③三角形的中线把三角形的面积平分；④等腰三角形高所在的直线是对称轴.

A.I个B.2个C.3个D.4个

7.下列命题中是假命题的是（）.

A.同旁内角互补，两包线平行

B.直线Q_L〃，则a与b相交所成的角为直角

C.如果两个角互补，那么这两个角是一个锐角，一个钝角

D.若。|〃，a_Lc,那么Z?_Lc

8.下列画出的直线a与b不一定平行的是（）

9.如图，aAO哙ADC,ZO=ZD=90°,记N04D=a,ZABO=^,当3C|OA时，a与|3

之间的数量关系为（）

A.a=PB.a=2p

C.a+p=90°D.a+2p=180°

10.如图，△ABCgZXDEF,若NA=100。，ZF=47°,则NE的度数为（）

二、填空题

11.在说明命题“若间>3,则a>3”是假命题的反例中，a的值可以是,

12.如图，AB〃CD,点P至l」AB,BC,CD的距离相等，贝!NP=

13.如图，已知AB//CF,E为DF的中点，若AB=13cm,CF=7cm,则BD二cm.

14,已知等腰三角形的顶角是底角的4倍，则顶角的度数为.

三、解答题

15.以卜是两位同学在复习不等式过程中的对话：

小明说：“不等式2a永远都不会成立，因为如果在这个不等式两边同时除以a,就.会出现

1>2这样的错误结论!”

小丽说：“如果a>b,c>d,那么一定会得出a-c>b-d."

你认为小明的说法（填“正确”或“不正确》小丽的说法（填“正确”或“不正

确”），并选择其中一个人判断阐述你的理由（若认为正确，则进行证明；若认为不正确，则给出反

例）.

16.如图，C为/AOB平分线上一点，点D在射线0A上，且OD=CD.

求证：CD/7OB.

17.己知，如图，AB=AE,DE,ZACB=/D,求证：^ABC^EAD.

18.如图，在二ABC中，ZA=36°,AB=AC,8W平分/ABC交AC于点M,求证:

19.探究问题：已知NA8C,画一个角NDE凡使EF//BC,且。E交8C于点P.ZABC

与NDEF有怎样的数量大系？

（1）我们发现/48C与NQE/有两种位置关系：如图1与图2所示.

①图1中/ABC与ZDE尸数量关系为:图2中/ABC与ZDE产数量关

系为;

请选择其中一种情况说明理由.

②由①得出一个真命题（用文字叙

述）：.

（2）应用②中的真命题，解决以下问题：

若两个角的两边互相平行，旦一个角比另一个角的2倍少30。，请直接写出这两个角的度数.

20.如图，AE平分NBAC,ZCAE=ZCEA.

（1）AB与CD有怎样的位置关系？为什么？

（2）若NC=50。，求NCEA的度数.

21.如图，在四边形A8C。中，P为CO边上的一点，BC\AD.AP.BP分别是/BAD、

N48C的角平分线.

（I）若ABAD=70°,则NABP的度数为,ZAPB的度数为；

（2）求证：AB=BC+ADx

（3）设8P=3a,AP=4a,过点P作一条直线，分别与4D,3C所在直线交于点E、F,若

AB=EF,直接写出AE的长（用含a的代数式表示）

22.如图，在，乂中，49=AC，AB的垂直平分线DE分别交AC,AB于点D,E.

(1)若44=50。，求/C的度数：

(2)若A8=7且.C8O周长为12,求BC的长.

23.问题情境

在综合与实践课上，同学们以“一个含30。的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动如图

1,己知两直线a,b且和直角三角形ABC,ZBC4=90°,ZBAC=30°,ZABC=6O°.

图1

(1)在图1中，Zl=46°,求N2的度数；

(2)如图2,创新小组的同学把直线a向上平移，并把N2的位置改变，发现N2-NI是一个定

值，请写出这个定值，并说明理由；

(3)缜密小组在创新小组发现结论的基础上，将图2中的图形继续变化得到图3,AC平分

/BAM，此时发现N1与N2又存在新的数量关系，请直接写出N1与N2的数量关系.

A

图3

答案解析部分

1.【答案】D

【蚱析】【解答】解：A、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故该选项错误；

B、在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，故该选项错误；

C、直线外一点到该直线的所有线段中垂线段最短，故该选项错误；

D、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故该选项正确.

故答案为：D.

【分析】根据平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线；平行公理：经过直线外

一点，有且只有一条直线与这条直线平行；垂线段的性质可得答案.

2.【答案】D

【蟀析】【解答】解：A.作直线AB的垂线为描述性语言，它不是命题，所以A选项不符合题意;

B.在线段AB上取点C为描述性语言，它不是命题，所以B选项不符合题意；

C.垂线段最短吗为疑问句，它不是命题，所以C选项不符合题意；

D.同旁内角互补为命题，所以D选项符合题意.

故答案为：D.

【分析】判断•件事情的语句叫做命题，据此判断即可.

3.【答案】D

【解析】【解答】解：A.由N1=N3,可得直线a与b平行，故A能判定；

B.如下图，由N2+N4=180。，Z54-Z4=180°,可得N2=N5,故直线a与b平行，故B能判

定：

C.由N1=N4,N4=N3,可得N1=N3,故直线a与b平行，故C能判定;

D.由N1+/4=180。，不能判定直线a与b平行，

故答案为：D.

【分析】根据平行线的判定方法逐项判断即可。

4.【答案】A

【释析】【解答】解：如图，

,/«Ib,Z1=58°，

AZ3=Z1=58°，

/.Z2=Z3=58°，故A正确.

故答案为：A.

【分析】根据二直线平行，同位角相等可得N3的度数，进而根据对顶角相等可得N2的度数.

5.【答案】B

【解析】【解答】解：:Ri乙A5C中，ZC=90°,ZB=25°,

AZA=65°.

故答案为：B.

【分析】根据内角和定理进行计算即可.

6.【答案】A

【解析】【解答】解：①有两组边对应相等，且夹角对应相等的两个三角形全等，故原命题错误，不

符合题意；

②同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行，故原命题错误，不符合题意；

③三角形的中线把三角形的面枳平分，正确，是真命题，符合题意；

④等腰三角形底边上的高所在的直线是对称轴，故原命题错误，不符合题意.

正确的有1个.

故答案为：A.

【分析】根据全等三角形的判定定理可判断①：同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行，据

此判断②；根据中线的概念结合三角形的面积公式可判断③；根据等腰三角形的性质可判断④.

7.【答案】C

【解析】【解答】解:根据平行线的判定,可知“同旁内角互补,两直线平行”,是真命题；

根据垂直的定义，可知“直线a_L〃，则〃与〃相交所成的角为直角“，是真命题；

根据互补的性质，可知“两个角互补，这两个角可以是两个直角“，是假命题；

根据垂直的性质和平行线的性质，可知“若。b,〃_Lc,那么〃_LC”,是真命题.

故答案为：C.

【分析】根据平行线的判定定理可判断A；根据垂直的定义可判断B；根据互补的性质可判断C；根

据垂直的性质以及平行线的性质可判断D.

8.【答案】A

【解析】【解答】解：A.直线a与b不一定平行，故本选项符合题意；

B.根据同旁内角互补，两直线平行可得&〃＞故本选项不符合题意；

C.根据同位角相等，两直线平行可得@〃l故本选项不符合题意；

D.网据同位角相等，两直线平行可得2〃t故本选项不符合题意；

故答案为：A.

【分析】直接根据平行线的判定定理进行判断即可.

9.【答案】B

【解析】【解答】解：V^AOB^^ADC,

/.AB=AC,ZBAO=ZCAD.

NBAC=Z.OAD—a，

在MBC中，ZABC=^(180°-a),

•・•BC\OA,

・•・/OBC=180。-NO=180°-90°=90°,

.,.p+^(180°-a)=90°,

整理得，a=20,

故答案为：B.

【分析】根据全等三角形的性质可得AB=AC,ZBAO=ZCAD,由等腰三角形的性质可得

ZBAC=ZOAD=a,由内角和定理可得NABC=;(I8(T-a),根据平行线的性质可得NOB0180。-

ZO=90°,即NABO+/ABC=90。，据此求解.

10.【答案】D

【解析】【解答】解：•・•△ABC^ADEF,

AZA=ZD=100°,

・•・ZE=1800-ZD-ZF=180°-100c-47°=33°.

故答案为：D

【分析】利用全等三角形的对应角相等，可求出ND的度数，再利用三角形的内角和为180。，可求

出NE的度数.

1L【答案】-4（答案不唯一）

【解析】【解答】解：当a=-4时，|a|=4>3,而-4V-3,

则a>3”是假命题，

故答案为：-4（答案不唯一）.

【分析】原命题为假命题时，应满足间>3,但仁3,据此解答.

12.【答案】90°

【解析】【解答】解：根据点P到AB、BC、CD的距离相等可得：BP平分/ABC,CP平分

ZBCD,根据平行线的性质可得：ZABC+ZBCD=180°,则/PBC+NPCB=90。，则NP=90。.

【分析】根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上可得BP、CP分别是和46的平分

线，再根据两直线平行，同旁内角互补和角平分线的定义解答即可。

13.【答案】6

【解析】【解答】解：・・・ABCF,

AZADE=ZCFE,

•・・E为DF的中点，

ADE=EF,

在4ADE和仆CFE中，

/ADE=NCFE

•：\DE=EF,

ZAED=Z.CEF

ADE^ACFE（ASA）,

AD=CF=7cm,

VAB=13cm,

BD=l3-7=6cm.

故答案为：6.

【分析】根据平行线的性质可得NADE=NCFE,由中点的概念可得DE=EF,利用ASA证明

△ADE^ACFE,得至I」AD=CF=7cm,然后根据BD=AB-AD进行计算.

14.【答案】120°

【解析】【解答】解：设底角的度数为x,则顶角的度数为4x,根据题意得：

x+x+4x=180

解得:x=30.

当x=30时，顶角=4x=4x30°=120°.

故答案为120°.

【分析】设底角的度数为x,则顶角的度数为4x,根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得

x+x+4x=180,求出x的度数，进而可得顶角的度数.

15.【答案】不正确；不正确

【解析】【解答】这种说法不对.理由如下：

①小明的说法：

当aVO时，由1V2得a>2a.

故小明的说法不止确；

②小丽的说法：

设a=2,b=l,c=3,d=-3,

则符合题设条件，

止匕对a-c<b-d,

故小丽的说法不正确

【分析】根据不等式的性质进行解答

16.【答案】证明：・・・OD=CD,

AZDOC=ZDCO,

•IOC平分NAOB,

AZDOC=ZBOC,

AZBOC=ZDCO,

・・・DC〃OB.

【解析】【分析】根据等腰三角形的性质可得NDOC=NDCO,由角平分线的概念可得NDOC=

ZBOC,则ZBOC=ZDCO,然后根据平行线的判定定理进行证明.

17.【答案】证明：・・・

J/CAB=/E,

ZACB=N。

在二43c和...EAD中，•ZCAB=ZE,

AB=AE

•・・“33aE4Q(AAS).

【辞析】【分析】根据平行线的性质可得/CAB=/E,由已知条件可知/ACB=/D,AB=AE,然后

根据全等三角形的判定定理进行证明.

18.【答案】证明：VZA=36°,AB=AC,

：.ZABC=NC=g(l80。—NA)=72。，

•・・RW平分/ABC,

・•・Z.ABM=ZCBM=-/ABC=36°,

2

ZA=ZABM=36°f

・•・AM=BM.

【辞析】【分析】先求出NABC的度数，再利用角平分线的定义可得

NA8M=NC8M=，NA8C=36。，可得NA=NA3M=36。，再利用等角对等边的性质可得

2

AM=BM.

19.【答案】(1)ZABC+ZDEF=180°；ZABC=ZDEF；如果两个角的两边互相平行，那么这两个

角相等或互补

(2)解：这两个角的度数为30。，30。或70。和110。.

【解析】【解答】解：(1)①//WC+NOEF=180°.NABC=/DEF,

理由：如图1中，,:BC"EF,:"DPB=/DEF,,:AB"DE,

：.ZABC+ZDPB=\^0°,・•・ZABC+ZDEF=\S00.

如图2中，*：BC//EF,：.ZDPC=ZDEF,

\-AB//DE,：.ZABC=ZDPC.AZABC=ZDEF.

②结论：如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补.

故答案为：如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补.

(2)设两个角分别为x和2x-30。,

由题意得：x=2x-30。或x+2x-300=180。，

解得：x=30。或70。，

，这两个角的度数为3()。和30。或70。和110°.

【分析】(1)①利用平行线的性质和邻补角的性质逐一进行推导即可得出答案；

②根据①中的结论总结即可；

(2)设两个角分别为x和2x-30。,根据②的结论列出方程x=2x-30。或x+2x-300=180。,分别求解,即

可解答.

20.【答案】(1)解：AB|CD,理由如下：

••,AE平分NBAC,

J.NBAE二NCAE,

VZCAE=ZCEA,

AZBAE=ZCEA,

AABCD

(2)解：VZC=50°,

ZCAE+/CEA=180°-7C=130°.

VZCAE=ZCEA,

ZCEA=ZCAE=-x130°=65°.

2

【解析】【分析】(1)根据角平分线的定义并结合已知得NBAE=NCEA;NCAE,进而根据内错角相

等，两直线平行可得AB〃CD；

(2)根据三角形的内角和定理可得NCAE+NCEA=180O-NC=130。，进而结合NCAE二NCEA即可得

出答案.

21.【答案】(1)55°；90°

(2)证明：如图1,延长成交的延长线于点G,

在,A5P和cAGP中,

NRAP=NGAP,AP=AP,ZAPB=/APG,

；.ABP^AG?(ASA),

：.BA=GA,BP=GP,

BC\AD,

・•・/CBP=/DGP,

在LBC尸和-GOP中，

NCBP=/DGP,BP=GP,/CPB=/DPG,

:…BCP^BGDP,

・•・BC=GD,

：.BA=GA=AD-^-GD=AD+BC

539

(3)解.：=—〃或AE二一。

210

【解析】【解答】(1)解：・・・BC||AD,

ZA8C+NBA。=180。，

VAP,8P分别是N8A。、/48c的角平分线，

・••NABpJ/ABC,ZBAP=-ZBAD,

22

JZABP+NBAP=g(/ABC+NBA。)=90°,

・•・ZAPB=180°-(ZABP+ZMP)=90°,

•・,/BAD=70。,

ZBAP=-ZBAD=35°,

2

：.ZABP=90°-35°=55°,

故答案为:55。，90°

539

(3)解.：4E=-Q或AE=一。，

210

分两种情况讨论，

①将A8沿AO向右平移到所，且经过点P,交AO于点E,交3C的延长线与点F,则

BF=AE^

BF

由（2）的证明过程，同理可证43P尸丝一GPE,

:・BF=EG,

・•・AE=BF=EG=-AG,

2

•:BP=3a,AP=4a,BPLAP,

・••在中，AB2=BP2+AP2，

解得，AB=5a,

由（2）可知.AG=AB=5ci,

・AU5

・.AE—=­a；

2

②如图3,若点F在BC上，EF=AB,过点P作/WJLAD与点N,PM与点M.

由侑平分线性质定理可得PM=PN,

在RLA8P中，-ABxPM=-APxBP,

22

PM=—a,

5

则PN=PE=L,

5

在Rt_4PN和Rt二EPN

VAP=4a,PE=-EF=-AB=-a,PN=­a,

2225

由勾股定理可得出AN=£Q,EN=《a,

39

••・AE=AN+EN=­a.

10

【分析】11）由平行线的性质可得NABC+NBAD=18U“，根据角平分线的概念可得NABP二

2

ZABC,ZBAP=-ZBAD=35C,则NABP+/BAP=1（NABC+NBAD）=90。，由内角和定理可得

22

ZAPB=90°,然后根据NABP=90O-NBAP进行计算；

（2）延长BP交AD的延长线于点G,由（1）得NAPB=90»,利用ASA证明△ABP0ZXAGP,得

至IJBA二GA,BP=GP,由平行线的性质可得/CBP:/DGP,证明△BCP且aCDP,得至ljBC=GD,据

此解答；

（3）①将AB沿AD向右平移到EF,且经过点P,交AD于点E,交BC的延长线与点F,则

BF=AE,由（2）可得AE=BF=EG,由勾股定理可得AB=5a,由（2）可知AG=AB=5a,据此求解；

②若点F在BC上，EF=AB,过点P作PN_LAD与点N,PM_LAB与点M,由角平分线性质定理

可得PM=PN