2021-2025年中考数学试题分类汇编（河南专用）相似三角形的性质与判定（学生版）

专题15相似三角形的性质与判定

考点一、相似三角形的性质与判定

士（考点二、相似三角形的实际应用问题

五年真题-/------------------------------------

------------------------1考点三、相似三角形与其它数学知识的综合应用

\考点四、相似三角形的综合问题

专题15相似三角形的性质与判定e专练-、相似三角形的安

（专练二、相似三角形的实际应用

一年模拟J专练三、图形的位证

，专练四、相似三角形与尺规作图的综合

I专练五、相似三角形的综合问题

@0©@

考点一、相似三角形的性质与判定

I.（2025.河南・中考真题）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为I,VABC的三个顶点均在网格线

的交点上，点。、E分别是边84、C4与网格线的交点，连接OE,则DE的长为（）

B.1C.V2D.后

2.（2024.河南•中考真题）如图，在”8co中,对角线AC,8D相交于点。，点后为OC的中点，EF//AB

交BC于点F.若A6=4,则E尸的长为（）

3D.2

3.（2021・河南・中考真题）如图，口0A3C的顶点。（0,0）,41,2）,点C在1轴的正半轴上，延长B4交V轴

于点。.将绕点。顺时针旋转得到△OOW,当点。的对应点“落在。4上时，O'A的延长线恰好经

过点C,则点。的坐标为（）

A.(273,0)B.(275,0)C.(273+1,0)D.(2V5+1,O)

考点二、相似三角形的实际应用问题

4.(2025・河南・中考真题)焦裕禄纪念园是全国重点革命烈士纪念建筑物保护单位，革命烈士纪念碑位于纪

念园南部的中心.某综合与实践小组开展测量纪念碑高度的活动，记录如下.

活动

测量纪念碑的高度

主题

实物

图和

测量

示意

图

如图，纪念碑AB位于有台阶的平台8C上，太阳光下，其顶端A的影子落在点。

测量处，同一时刻，竖直放置的标杆1顶端E的影子落在点尸处，位于点M处的观

说明测者眼睛所在位置为点N,点ME,A在一条直线上，纪念碑底部点A在观测者的

水平视线上.

测量

DE=2.1m,DF=2.1m,DM=Im,MN=1.2m

数据

备注点EM,DC在同一水平线上.

根据以上信息，解决下列问胭.

(1)由标杆的影子。尸的长和标杆OE的长相等，可得8=04,请说明理由.

(2)求纪念碑A8的高度.

（3）小红通过间接测量得到CD的长，进而求出纪念碑的高度约为18.5m.查阅资料得知，纪念碑的实际

高度为19.64m.请判断小红的结果和（2）中的结果哪个误差较大？并分析误差较大的可能原因（写出一条

即可）.

考点三、相似三角形与其它数学知识的综合应用

5.（2025・河南•中考真题）定义：有两个内角的差为90。的三角形叫做“反直角三角形如图，在VA8C中,

AB=AC=5,BC=8,点P为边BC上一点、,若△APC为“反直角三角形”，则//的长为.

6.（2023•河南•中考真题）矩形A3c。中，M为对角线3。的中点，点N在边A。上，且AN=4B=1.当以

点D,M,N为顶点的三角形是直角三角形时，的长为.

7.（2023•河南•中考真题）如图，氏与。0相切于点A,PO交0O于点出点。在以上，且C5=C4.若

8.（2021・河南・中考真题）在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固

定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机

构”.小明受此启发设计了一个“双连杆机构“，设计图如图1，两个固定长度的“连杆加的连接点〃在

。0上，当点尸在00上转动时，带动点A,8分别在射线OW,QN上滑动，OM1ON.当AP与。。相

切时，点8恰好落在0。上，如图2.

请仅就图2的情形解答下列问题.

(1)求证：4PAO=2NPBO；

20

(2)若00的半径为5,AP=y,求卸＞的长.

9.(2021•河南・中考真题)下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作一角的平分线的讨论片段.请仔细阅读,

并完成相应的任务.

小明：如图1,(1)分别在射线OA,OB上截取0。=00，OE=OF(点C,

K不重合)；(2)分别作线段8,的垂直平分线4,和交点为尸，垂足

分别为点G,(3)作射线OP,射线OP即为N4O3的平分线.简述理由

如下：

由作图，NPGO=NPHO=90。,OG=OH,OP=OP,所以

R4PGO名R4PHO,则NPOG=NP。"，即射线。尸是—AQ4的平分线.

小军：我认为小明的作图方法很有创意，但是太麻烦了，可以改进如下，如图

2.(1)分别在射线OA,上截取0c=OQ,OE=OF(点C,E不重合)：

(2)连接力石，CF,交点、为P；(3)作射线。尸，射线OP即为NAO8的平

分线.

仟务：

（1）小明得出RtZXPGO乌RtZ\P，O的依据是_.（填序号）

①SS5；②SAS；③A4S；④ASA；⑤机.

（2）小军作图得到的射线。尸是的平分线吗？请判断并说明理由；

（3）如图3,已知N/UM=60。，点E,产分别在射线03上,且OE=O/=J5+1.点C,。分别为

射线OA,OB上的动点，且0C=0〃，连接。石，CF,交点为P,当NC庄=30。时，直接写出线段OC的

图3

考点四、相似三角形的综合问题

10.（2025・河南・中考真题）在—A04中，点。是—474的平分线上一点，过点。作CD_L08,或足为点。,

过点。作垂足为点E,直线DEOC交于点尸，过点。作。6_1_/）石，垂足为点G.

如图1,当/AIM为锐角时，用等式表示线段CGOE,8的数量关系：.

(2)类比探究

如图2,当N7U9A为钝角时，请依据题意补全图形(无需尺规作图)，并判断(1)中的结论是否仍然成立？

若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明.

(3)拓展应用

当0。<24。3<180。，且24。4工90°时，若空=3,请直接写出空的值.

EFCD

11.(2024・河南・中考真题)综合与实践

在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“邻等对补四边形''进行研究

定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形.

(1)操作判断

用分别含有30。和45。角的直角三带形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有

(填序号).

(2)性质探究

根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质.下面研究与对角线相关的性质.

如图2,四边形ABC。是邻等对补四边形，AB=AI）,AC是它的一条对角线.

①写出图中相等的角，并说明理由；

②若DC=n,/BCD=26,求AC的长（用含机，小。的式子表示）.

（3）拓展应用

如图3,在中，?B90）,A8=3,BC=4,分别在边AC,AC上取点M,N,使匹边形ABMV

是邻等对补四边形.当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，请直接写出8N的长.

0000

专练一、相似三角形的性质

12.（2025•河南南阳♦模拟预测）如图，VA3C沿8C边向右平移得到/）£户，若EC=2BE=6、CG=4,则

OF的长为（）

13.（2025・河南•模拟预测）如图，已知乙4OE=N3,AD=4,4£）=6,AC=16,则EC的长为（）

A.9.6B.6.4C.4.8D.3.2

14.（2025•河南新乡•三模）如图，在VABC中，CE〃BC、EF〃AC,BE=2AE,^^=8,则的长为

A.2B.4C.5D.6

15.（2025•河南驻马店•三模）如图.在oABCQ中，石为对角线8。上一点，过点E的直线MN分别交边A8,

BC于点F,G,交射线。A,DC于点M,N.若MF=3,EF=2,则的值为（）

C.9D.10

16.（2025•河南信阳•模拟预测）如图,在矩形ABCO中，AB=1Q8C=12,点E,尸分别为A氏南。的中点,

连接CE,BF,两线交于点H,则EH的长为（）

c14

A.—B.—D

55-i

17.（2025・河南漂河•二模）如图，在口ABC£＞中，对角线AC,BD交于点、0,E为08的中点，连接AE并

延长交0c的延长线于点若AB=2,则C”的长度为（）

C.6D.8

18.（2025・河南信阳•模拟预测）如图是用12个相似的直角三角彩组成的图案.若邑山=1,则右。配，的面

积为（）

19.（2025•河南平顶山•模拟预测）如图，在VA3C中，44=36。，点七是线段A8的黄金分割点（AE＞的）,

若A8=AC=4cm,则8C的长为cm（结果保留根号）.

20.（2025•河南驻马店•模拟预测）如图，在Rt~48c中，N4BC=90。,A8=3,AC=5,P为斜力AC上不与

端点重合的一动点，过点P作PQ_L8C,垂足为Q,将△PQC沿直线PQ翻折得对应△PQD,功交AB于

点E,若DB=2BQ,则线段跖的长是.

专练二、相似三角形的实际应用

21.（2025•河南驻马店•三模）如图是一个棕色细口瓶的截面示意图，为测最棕色细LJ瓶的内径A8,亮亮找

来一个交叉卡钳（AC=8O）,放进未使用过的棕色细口瓶内，缓缓张到最大的角度.若要=旦=:，且

OAOB5

测量得8=6cm,则细口瓶的内径为/W（）

D.7cm

22.（2025・河南信阳•模拟预测）如图是利用凹透镜做实验时的光路示意图，已知平行于主光轴/的光线八M

经凹透镜折射后，其折射光线的反向延长线过焦点A,经过凹透镜光心。的光线传播方向不改变，与40

的交点C即为点A的像点.若4M=4cm,OF.=3cm,点A到主光轴/的距离AB=2cm,则点C到主光轴

23.（2025•河南商丘•模拟预测）知州中牟贾鲁河大桥斜拉索都互相平行且距离相等.如图，A8〃CO,小丽

测得超＞=50米，OE=15米，C£=18米，则AE的长度为（）

24.（2025・山西长治•三模）在初中物理课程中，我们学过凸透镜的成像规律.如图，MN为凸透镜，其厚度

忽略不计，。为凸透镜的光心，E为凸透镜的焦点，在凸透镜MN左侧的主光轴上垂直放置一支蜡烛A4,

透过凸透镜后成的像为C7X平行于主光轴的光线版,通过凸透镜折射后经过焦点，并与光线AO会聚于

点C.若物距OB=6cm,像距OO=12cm,则凸透镜MN的焦距OE的长为cm.

25.（2025•河南驻马店•三模）如图①是古代测量工具“水平真尺''的示意图，在尺子的表面有一条凹槽用来

盛水，尺子两端各有一个小孔，通过这两个小孔去观察远处的目标，如果两个小孔和水面在同一水平线上，

那么通过小孔看到的远处目标也在同一水平线上.如图②，小明利用自制水平真尺测量池塘对面楼房CE的

高度.小明在B处安置一根与地面垂直的标杆8G,利用水平真尺在点A处测得点A,B,楼房底端点。在

同一水平线上，此时点A,标杆上的点D,楼房顶端点E恰在同一直线上.小明往后退5米到点尸处，利

用水平真尺测得点RB,。在同一水平线上，此时点F,标杆顶点G,楼房顶端点E在同一直线上.测量

得到A3=3米，80=1.5米，7X7=1.7米.请据此计算出楼房CE的高度.

图①图②

26.（2025•河南驻马店•三模）开封铁塔，又称“开宝寺塔”，是北宋时期（公元960—1127年）建造的一座木

塔，被誉为“天下第一塔某小组用自制的菱形测高仪ABC。测量塔高，其边长为（）.5m,。为对角线的交

点，05=0.4m.当测角仪的顶点。，A与塔顶端点E在同一条直线上时，系在顶点A处的铅垂线恰好过点

。和顶点C.经测量点8到所的距离为72m,点A到地面的距离为L2m.求开封铁塔稗的高度.

27.（2025.河南平顶山.一模）樱花红陌上，杨柳标池边.每年初春时节，郑州大学校区的樱花竞相开放,

为美丽的郑大校园增添了别样的景致，钟灵毓秀的郑大人把樱花赋予美丽、热情、纯洁、高尚的精神品质.高

新区某中学的数学兴趣小组利用周末时间对大路旁的一棵樱花树进行测量，他们采用以下方法：如图，把

支架（EF）放在离树（A4）适当距禽的水平地面上的点尸处，再把镜子水平放在支架（EF）上的点E

处，然后沿着直线防后退至点。处，这时恰好在镜子里看到树的顶端A,再用皮尺分别测量8F,DF,EF,

观测者目高（C。）的长，利用测得的数据可以求出这棵树的高度.已知CD_L⑺于点Q,EFtBD于点、F,

AB上BD于点、B,8尸=6米，。"一2米，£尸=0.5米，米，那么这棵樱花树的高度（的长〉

是多少米？

A

28.（2025•河南平顶山•一模）图1是一棵拦腰折断的大树，己知未折断的树干OE与地面保持垂直的关系,

折断部分D尸与地面形成的夹角庄的正切值为树干。E旁有•根与地面垂直的电线杆AA,高度为

9米.如图2,在某一时刻的太阳照射下，测得电线杆的影长3C为14米，树干OE的影长CE为7米，且

点儿RC在同一条直线上.请求出这棵大树未折断前的高度.

图1图2

29.（2025・河南周口,模拟预测）图①是一款儿童玩具-----声光跑胞小蜗牛，图②是其侧面示意图，。。是

蜗牛壳，A3是蜗牛尾巴，BC-CE是蜗牛身体，Ab与。。相切于点C,。是CE与。。的交点，连接B。，

8。是00的直径，且A,B,。三点共线.

图①图②

⑴求证：ZBCA=ZADC

（2）厂家测得O。的直径为10cm,AB=8cm,点上的离地高度.E尸=12cm,求配套该玩具的包装盒长度

的最小值.（备注：包装盒长度不小于A尸的长度）

30.（2025・河南商丘•二模）2025年是红旅渠通水60周年，这条，人工天河”是39万河南林县农民用双手砸

出的“世界第八大奇迹”，更是一座镌刻着“自力更生、艰苦创业、团结协作、无私奉献”的精神丰碑.红旗渠

是完全依靠重力作用实现的自流灌溉水利工程，全长1500公里，总干渠必须确保8公里渠道只能有1米落

差才能顺利通过分水闸，因此精准测量尤为重要.智慧的河南林县人，创造了盆面测量法，又称“水鸭子”

测量法.简单地说，就是在一个洗脸盆中盛上半盆水，再在盆里倒放上一只板髡，在木髡两端连接细线，

与对面持木棍的人相互配合，通过木棍两端的点和要测定的点共三个点连成一条线，来找到水平面.

如图，小聪同学在A处放一“水鸭子”，测得点A、标杆上的点8、大树底部点C都在同一水平线上.而小聪

视线从点A处向上看时，发现点A、标杆上的点。、大树顶端点E恰在同一直线上.接着，小聪往后退3

米到点尸处，利用“水鸭子''使点尸、B、C共线，此时发现点F、标杆上的点G、大树顶端点E也恰在同

一直线上.测量得到AB=2米，BD=1.5米,ZX?=1米.你能据此算出大树CE的高度吗？（大树C£和标

杆BG均与水平面垂直）

31.（2025・河南周口•三模）图（1）是小明同学自制的测显工具，其中QV_LMN,ON,MN上都有相同

单位的刻度，G可以在MN上滑动，ON=18.小明想用自制的测量工具测量建筑物的高度PQ.如图（2）,

小明站在自动扶梯的底部A处，让测量工具的ON平行于地面AQ,OV的延长线交P。于点〃，滑动。。使

0,G,/＞在同一条直线上，此时NG=6.他乘坐扶梯到达顶部3处，让测量工具的O7V'平行于地面，ON

的延长线交PQ于点E,滑动OG\使O,G,P在同一条直线上，此时N'G'=3.小明的身高

AC=BD=\.7m,自动扶梯的高3M为4.5m,水平宽AM为19.5m.试根据以上数据计算出建筑物的高

32.（2025•河南南阳•一模）【学科融合】如图3,在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平

【问题解决】如图4,小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面

镜.激光笔在点G处，激光笔的光从平面镜上点4处反射后，恰好经过木板的上边缘点入落在墙上的点

E处.已知点G到地面的高度AG=0.8m,木板的高度b=LOm,点G到木板的水平距离AC=2.7m,木

板到墙的水平距离C£>=1.8m,求点E到地面的高度OE（图中点A,B,C,。在同一水平线上）.

专练三、图形的位似

33.（2025•河南安阳•一模）如图，已知线段/W的两个端点坐标分别为4（1,1）,82,1）,以原点。为位似中

心在第象限内画线段CD,右8=2,则点Q的坐标为（〉

加

CD

/L

A.（4,2）B.停3）C.（2,4）D,9,

34.（2025•河南驻马店•一模）如图，在直角坐标系中，点A在第一象限内，点8在x轴正半粕上，以点。

为位似中心，在第三象限内与△38的位似比为;的位似图形△OCO.若点A的坐标为（6,4）,则点。的坐

35.（2。25・河南周口三模）如图，在平面直角坐标系外中，直线尸-9+2与反比例函数），=：的图

象交于点A,B,与〉，轴交于点C点A的纵坐标为3.

⑴求k的值：

（2）连接06,点。为y轴上一点，连接AD,若AMOC与A5OC位似且位似中心为点C,求点。的坐标.

36.（2025•河南焦作•模拟预测）妇图，反比例函数y=§（x>0）的图象经过正方形048C的顶点从以原点

O为位似中心，将正方形0A3C扩大得到正方形。£>石尸，使其面积比为1:2.OE交反比例函数的图象于点

G,已知04=1.

⑵求GE的长.

37.（2025•河南焦作・二模）如图，在平面直角坐标系中，点A,8的坐标分别为（3,1）,（2-1）.

（1）在丁轴左侧以0为位似中心作&OAB的位似图形&OCD，且QCD与AOAB的相似比为2:1；

⑵如果△048内部一点M的坐标为（以〃），写出点M在AOCD内的对应点N的坐标；

⑶计算△06的面积.

专练四、相似三角形与尺规作图的综合

38.（2025•河南驻马店•三模）如图,在VABC中，M为边的中点.

（1）请用无刻度的直尺和圆规作NCMN,使=月.射线交AC于点。；（保留作图痕迹，不写

作法）

（2）若在（1）中的射线ON上有一点八且OP=OM,连接AP,求证：四边形MBAP是平行四边形.

39.（2025•河南驻马店•三模）如图，是VA8c1的中线.

（1）请用无刻度的直尺和圆规在A8上取点£,使得NBOE=NC；（保留作图痕迹，不写作法）

（2）连接CE,若点人到直线CE的距离是1,求点B到直线CE的距离.

A

40.（2025•河南商丘•二模）如图，在等腰三角形48C中，AB=AC,AO是V4BC底边上的中线.

⑴请用无刻度的直尺和圆规作AO的垂直平分线，交A8边于点£,交AO于点。，交AC边于点尸，连接OE,

。?；（保留作图痕迹，不写作法）

（2）i正明（1）中得到的四边形4月公厂是菱形.

41.（2025•广东阳江•一模）如图，在V48C中，Z）是边AB的中点.

（1）用尺规作图法作线段AC的中点E;（保留作图痕迹，不要求写作法）

⑵在（1）所作的图中，连接。E,若V48C的面积为12,求VAOE的面积.

42.（2025•河南商丘•模拟预测）如图，在0。中，点C为半径QA上一点，延长AO交0。于点3.

⑴作线段AC的垂直平分线（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法），交。。于点。、E（点。在点E左边）.连

接AO、CD,在。。上截取。歹二D4,连接砥、BF,求证：BF=BC.

（2）若0。的直径为2,当DF〃EB时,求AC的长度.

43.（2025・河南周口•一模）如图，在菱形人AC。中，NBAC=2NB.

（1）实践操作：利用尺规作N8AC的平分线AE,交BC于点E；（要求，不写作法，保留作图痕迹）

（2）在（1）的条件下，求证：△ACEs^BCA.

44.（2025•河南南阳二模〉如图，已知VA3C.

C

（1）尺规作图：作A。平分交8C于。点，再作AO的垂直平分线交A8于E点，交4c于尸点（保留

作图痕迹，不写作法）；

（2）连接/g、DF,判断四边形4£7年的形状，并说明理由;

（3）若8E=8,AF=4,CD=3,求8。的长.

45.（2025•河南安阳•模拟预测）已知线段AC,尺规作图：

AC

①作线段AC的垂直平分线MN交AC于点O,

②以点O为圆心，COK为半径面圆，交直线A/N丁•点&D,

③顺次连接ABBC,CD,DA.

（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

（2）判断四边形/1AC。的形状，并说明理由；

⑶点七在边A。上（不与点A,。重合），射线3E与射线CD交于点F.求证：AECF=AB~.

专练五、相似三角形的综合问题

46.（2025•河南信阳♦三模）如图I,在RtAABC中，ZC=90°,Z4=30°,BC=1,点D,E分别为AC,

8c的中点.如图2,将△CDE绕点。顺时针旋转，设旋转角为。（0。工二工180。），记直线AO与直线座的交

点为点P,BP交AC于点O,则在运动过程中，点P到直线8c距离的最大值为；点。运动的长度

为______

图1图2

47.（2025•河南洛阳•三模）如图，矩形AACZ）中，A8=6,8C=8,点M,N分别为AO/C上一个动点，旦

AM=CN,以MN为对称轴将矩形折叠，点A8的对应点分别为£尸，点尸为上一点，且8P=2,PF

的最小值为，PP的最大值为

48.（2025•河南郑州•三模）【综合与实践】如图，在RtV/mC中，点。是斜边A8上的动点（点。与点A不

重合），连接C。，以C。为直角边在C。的右侧构造RtaC£>E,ZDCE=90°,连接跖，笑=g=〃?.

CDCA

【特例感知】

（1）如图1，当〃7=1时，BE与人。之间的位置关系是,数量关系是:

【类比迁移】

（2）如图2,当初工1时，猜想史:与A。之间的位置关系和数量关系，并证明猜想；

【拓展应用】

（3）在（1）的条件下，点尸与点C关于OE对称，连接OF,EF,8F.如图3.已知AC=4,设A。=x,

四边形CO庄的面积为儿

①求），与A■的函数表达式，并求出了的最小值；

图1图2图3

49.（2025•河南安阳•三模）某校数学探究小组的同学在学习了图形的相似这一单元后，对直角三角形的相

似做出了深入探究.

【特例探究】

如图I,在RtZ\A8C中，ZACB=90°,CO是斜边AB上的高.

（1）求证：AC2=ADABx

【类比研究】

⑵如图2,尸为线段CD的延长线上一点，连接心并延长至点E,连接CE,跖，使得N4CE=NAAC.请

判断aAEB的形状，并说明埋由；

【拓展应用】

⑶如图3,VABC是直角三角形，ZACB=90°,AC=2fBC=2后,平面内有一点。满足犯=AC,连

接C。并延长至点E,使得=请直接写出线段破的最小值.

cc

图1

50.(2025•河南驻马店•三模)综合与实践

【问题背景】数学活动课上，刘老师让学生以正方形为主题背景进行旋转变换探究活动.点E为正方形A8CO

边C8延长线上•点，且连接4E,将边AE绕点E顺时针旋转得到ER旋转角为。(。<。<180),

连接AC.

图1图2图3

(1)“奋进”小组提出的问题是：如图1,若点尸落在边上，则a=_____。；三的值为______；

EP

(2)“智慧”小组提出的问题是：如图2,若点P落在正方形A4C。的内部，且AP_L8P,4PC=135。，写出二

的值，并就图2的情形说明理由；

(3广创新”小组突发奇想，将提出的问题迁移到平面直角坐标系中，使得边8c在x轴上，点8与原点。重

合，如图3.若AE=2a，当点P在第一、三象限的角平分线二时，直接写出点。的坐标.

51.(2025・河南信阳•三模)综合探究

在矩形A8CO中，8。为其对角线，tanNO4C=〃z,点尸为4c边上不与端点重合的一动点，连接。P,将

△QCP沿着OP翻折得对应△£>£>2.

(1)若m=1,如图当点E落在对角线8。上时，NCDP的度数是「CD、CP、8。的数量关系是一

⑵若t

①如图2,当点£落在对角线4。上时，写出C。、CP、4。之间的数量关系，并说明理由；

②过点上作MN//AB,MV分别交A。、BC于M,N两点，若80=5,当点E为线段的三等分点

时，请直接写出线段C?的长.

52.（2025•河南•模拟预测）综合与实践

【回归教材】

通过对教材的学习，小明学习到这样一个知识：如图①，正方形A4CQ的对角线相交于点。，点。是正方

形ABC0的一个顶点，且这两个正方形的边长相等，正方形A4G。绕点。旋转的过程中，边A。，G。分

别交正方形488的边A3,BC于点E,F,在旋转过程中，两个正方形重叠的面积（阴影部分）是一个

图②

【提出问题】

（1）①请证明上述结论:

②通过观察，小明发现线段跖,BF,AB之间存在一定的数量关系，请写出该关系并说明理由:

【拓展迁移】

（2）如图②，在等边VABC中,G为4c的中点，NMGN绕点、G旋转,且NA/GN+Z4=180。，G例交线

段AC于点〃，GN交线段于点/,请判断此时线段A4,旬，8C的数量关系，并说明理由;

【拓展应用】

（3）如图③，在等腰VABC中，AB=AC=25,8c=30,G为BC上一点,NMGN的边MG交AC于点、H,

边NG交A3于点/,且NA/GN+ZA=180。，连接4G,若AG=10石，8/=5,求G”的长.

解图①

解图②解图③

53.（2025・河南周口•三模）综合与实践

学习了平行四边形的相关知识之后，李老师带领同学们.上了•节”平行四边形纸片的折叠”实践探究课程，同

学们分三个小组进行探究活动.

勤学小组的探究：我们将如图（1）所示的平行四边形纸片A8CO沿过点8的直线折叠，折痕交AO「点E,

点A的对应点为尸，延长E尸交BC于点G.

（1）任务1：初步探究.

求证：GB=GE.

创新小组的探究：我们将如图（2）所示的平行四边形纸片A8CO沿过点8的直线折叠，折痕交AO于点E,

点A的对应点恰好落在BO的中点。处.

（2）任务2：猜想与验证.

猜想AE,OE之间的数量关系，并加以证明.

开拓小组的探究：我们将如图（3）所示的平行四边形纸片人BCD（"=6,44=60。）沿过点3的直线折

叠，折痕交A。于点E，点A的对应点为尸，直线B厂与直线AO交于点M,直线E尸与宜.线交于点N.

（3）任务3：求两线段的比值.过点8作于点P,若律=2,请直接写出F事M的值.

BN

54.（2025・河南周口•二模）综合与实践

综合实践课I'.,同学们探究“特殊四边形背景下的旋转问题

问题情境：E为四边形ABC。的边A。上一点（不与端点重合），作射线/坦，并将射线绕点8在平面内

旋转，记旋转角为a.AB=m,BC=n.

（1）当旋转后的射线交射线。。于点F时.

①如图1,四边形/WCQ为正方形，a=90,则%=_;A3、AE.O”之间的数量关系是二

n

②如图2,四边形A8CO为矩形，m>n,a=90,设AE=a求。尸的长：（用含m、〃、a的式子表示）

（2）即图3,四边形A68为菱形，NA4C=60,〃?=2,BE=3,在旋转过程中，设点E的对应点为G,

当点G落在射线C4或射线A8上时，请直接写出线段CG的长.

55.（2025・河南•模拟预测）如图1,已知矩形ABCD,CD=6,BC=4,E,F分别为AB,A。中点，连接EF.

BE

(1)---质与。户的位置关系为

DF

⑵如图2,若把△A"绕点A逆时针旋转。（（）。<&<18（）。）,8£与。尸之间的数量关系和位置关系是否会发生

变化，请说明理由；

⑶在（2）的条件下，如图3,直线BE与DF交于点P,当旋转至时，请直接写出。P的长.

56.（2025・河南商丘•二模）小星根据学习轴对称的经验，对线段之间、角之间的关系进行了拓展.

如图，在矩形A8C。中，E是8c边上的一点，连接OE,将△（：£>£沿力E翻折，得到VFDE.

a

B'-----f----------CB'-----卞--------C

图①图②

（1）问题解决：当点。关TDE的对称点尸恰好落在A。边上时，四边形"X?£是形；

（2）问题探究：在（1）的条件下，户是AO边上一定点，连接EP,作EC关于"的对称线段EC',连接CN,

射线交射线收于点G,连接力G.当点C'落在A3边上时，如图①，求/CGE的度数；

⑶拓展延伸：如图②当点C不在48边上时，直接写出三的值.

DG

57.（2025.河南驻马店.三模）在学习三角形相似知识后，数学兴趣小组的同学们又进一步对图形中因动点

变化引起的线段之间以及角之间的关系进行了进一步探究.

【问题发现】（1）如图1,在V48C中，ZC=90°,AC=BC,尸为48的中点，ZMP7V=ZA+Z£?=90°,

图1

【尝试探究】（2）如图2,在RtZXABC中，ZC=90°,Z4=30°,。为A8上一点，BP=2AP=2,"为AC

PM

上一点，连接MQ,作NMPN=9J。，交BC于点N.请探究工的值，并说明理由.

PN

【拓展延伸】（3）在（2）的条件下，请继续思考，直接写出/\例附面积的最小值为,最大值为

58.（2025・河南•模拟预测）综合与实践

【问题情境】定义：四边形一边的中点与它所在边的对边的两个端点的连线所形成的折线，叫作四边形的

折中线.

如图1,在四边形A8CO中，E是4。边的中点，连接8E,EC,则由线段BE,EC组成的折线8石。叫作四

边形A8C。的折中线，折线BEC的长叫作折中线的长.

【特例感知】

（1）如图2,若四边形A4c。是矩形，当N8EC=/D时，折中线AEC的长〃?与边A8的长。的数量关系是

〃?=.（用含〃的代数式表示）

【深入探究】

（2）如图3,折线8EC是oABCD的折中线.

①若折中线8EC的长为明则加与2a的数量关系是2".（填f=''或"v"）

②当N8EC=90°时，写出图3中的一条角平分线及其平分的角，并说明理由.

（3）如图4,在oABCO中，NQ=60。，AB=2,当折中线8EC的其中一条线段与oABCO的一条对角线

相等时，直接写出折中线的长.

图1

59.（2025・河南周口•二模）综合与实践

如图I，在菱形4BC。中，Z4DC=60°,AB=6,点M以每秒2个单位长度的速度沿＞8运动，点N

以每秒〃（14。＜2）个单位长度的运度沿。-A运动，两点同时出发，当有一点停止运动时，另•点也随之

停止运动.设运动时间为"s）,连接用N,以M为旋转中心，将射线逆时针旋转角。（30。4a＜90。）交

菱形A8CD的边于点E.

（1）BD=