【中考数学冲刺】2026届湖南省长沙市中考模拟数学试卷4 附解析

/【备考2026】湖南省长沙市中考模拟数学试卷4一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）﹣3的相反数是（）A．3 B．QUOTE C．QUOTE D．﹣32．（3分）如图，是由5个大小相同的小正方体摆成的立体图形，它的左视图是（）A． B． C． D．3．（3分）下列说法正确的是（）A．了解一批灯泡的使用寿命，应采用抽样调查的方式 B．为了直观地介绍某款牛奶各营养成分的百分比，最适合使用的统计图是条形统计图 C．一个抽奖活动中，中奖概率为QUOTE，表示抽奖20次必有1次中奖 D．“投掷一枚质地均匀的硬币一次，结果正面朝上”为必然事件4．（3分）下列运算正确的是（）A．3x+2x＝5 B．x2﹣y2＝（x﹣y）2 C．a2•a3＝a5 D．x6÷x2＝x35．（3分）已知点A（﹣2，b）与点B（a，3）关于原点对称，则a﹣b的值为（）A．6 B．5 C．4 D．36．（3分）某小组8名学生的中考体育分数单位（分）如下：39，40，40，42，42，42，43，44，则该组数据的众数、中位数分别为（）A．40，42 B．42，43 C．42，42 D．42，417．（3分）一个圆的半径为rcm，增加3cm后，这个圆的面积增加了（）cm2．A．6π2r+9π2 B．6πr+9π C．3π（2r+3）2 D．6π（2r2+3）8．（3分）如图，AB∥CD，∠G＝90°，∠BEG＝x，则∠CFG可以表示为（）A．180°﹣x B．90°+x C．90°﹣x D．180°﹣2x9．（3分）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，BC与⊙O交于点D，连接OD，若∠C＝50°，则∠AOD的度数为（）A．40° B．50° C．70° D．80°10．（3分）如图，AD是△ABC的高，以点B为圆心，适当长为半径画弧交AB于点M，交BC于点N；分别以M，N为圆心，以大于QUOTE的长为半径画弧交于点P；作射线BP交AD于点E．若∠ABC＝45°，AB⊥AC，QUOTE，则CD的长为（）A．4 B．QUOTE C．QUOTE D．QUOTE二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）已知QUOTE，则xy的值为．12．（3分）方程QUOTE的解为x＝．13．（3分）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅弦图，后人称其为赵爽弦图．如图，是小明同学根据弦图思路设计的图案，具体作法如下：在正方形ABCD中，（1）以点B为圆心，AB为半径画弧；（2）以CD为直径作半圆，与第1步中所画弧相交于点E；（3）连结DE并延长至点F，使得DF＝CE；（4）过B作BH⊥CE于点H，延长AF交BH于点G．根据以上信息，若AB＝10，则四边形EFGH的面积为．14．（3分）若存在正实数y，使得QUOTE，则实数x的最大值为．15．（3分）为了估计某地区梅花鹿的数量，先捕捉20只梅花鹿做上标记，然后放走，待有标记的梅花鹿完全混合于鹿群后，第二次捕捉100只梅花鹿，发现其中5只有标记，估计这个地区的梅花鹿的数量约有只．16．（3分）已知21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，观察上面规律，试猜想22023的末位数是．三．解答题（共9小题，满分72分）17．（6分）计算：QUOTE．18．（6分）解不等式组：QUOTE19．（6分）如图1是某越野车的侧面示意图，折线段ABC表示车后盖，已知AB＝1m，BC＝0.6m，∠ABC＝123°，该车的高度AO＝1.7m．如图2，打开后备厢，车后盖ABC落在AB'C'处，AB'与水平面的夹角∠B'AD＝27°．（1）求打开后备厢后，车后盖最高点B'到地面l的距离；（2）若小明爸爸的身高为1.83m，他从打开的车后盖C处经过，有没有碰头的危险请说明理由．（结果精确到0.01m，参考数据：sin27°≈0.454，cos27°≈0.891，tan27°≈0.510，QUOTE）20．（8分）某校举行了主题为“推进地下水超采综合治理，复苏河湖生态环境”的水资源保护知识竞赛．为了了解本次知识竞赛成绩的分布情况，从参赛学生中随机抽取了150名学生的初赛成绩进行统计，得到如下两幅不完整的统计图表．成绩x/分频数频率60≤x＜70150.170≤x＜80a0.280≤x＜9045b90≤x＜100600.4（1）表中a＝，b＝；（2）请补全频数分布直方图；（3）若某班恰有3名女生和1名男生的初赛成绩均为99分，从这4名学生中随机选取2名学生参加复赛，请用列表法或画树状图法求选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的概率．21．（8分）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E为AC上一点，连结BE交AD于点F，且BF＝AC，DF＝DC．（1）求证：AD＝BD．（2）若AD＝12，BF＝13，求AF的长．22．（9分）电影《刘三姐》中有一个场景，罗秀才摇头晃脑地吟唱道：“三百条狗交给你，一少三多四下分，不要双数要单数，看你怎样分得匀？”刘三姐和她的姐妹们随即以对歌的形式给出了答案：“九十九条打猎去，九十九条看羊来，九十九条守门口，剩下三条给财主．”（注：罗秀才的歌词表达的是一道数学题，大意是：把300条狗分成4群，每个群中狗的数量都是奇数，一个群狗的数量少，其他三个群狗的数量多且数量相同，应该如何分？）（1）经分析可知，刘三姐和她的姐妹们给出的答案不是唯一正确的答案，那么请你直接给出另外一个正确答案；（2）如果罗秀才再增加一个条件：“数量多且数量相同的三个群中，每个群中狗的数量比数量较少的那个群中狗的数量多32条”，求每个群中狗的数量．23．（9分）如图，点E在平行四边形ABCD外，连接BE，DE，延长AC交DE于F，F为DE的中点．（1）对角线BD交AC于O点，求证：OF∥BE．（2）若AD＝2，∠ADC＝60°，∠ACD＝90°，AC＝2CF，求BE的长．24．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，连接AD．（1）尺规作图：作出劣弧QUOTE的中点E（不写作法，保留作图痕迹）；（2）连接BE交AD于F点，连接AE，求证：△BFD∽△AFE；（3）若⊙O的半径等于6，且⊙O与AC相切于交于A点，求阴影部分的面积（结果保留π）．25．（10分）定义：两个二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与y轴交点也相同的二次函数互为友好同轴二次函数．例如：y＝2x2+4x﹣5的友好同轴二次函数为y＝﹣x2﹣2x﹣5．（1）函数QUOTE的友好同轴二次函数为．（2）当﹣1≤x≤4时，函数y＝（1﹣a）x2﹣2（1﹣a）x+3（a≠0且a≠1）的友好同轴二次函数有最大值为5，求a的值．（3）已知点（m，p），（m，q）分别在二次函数QUOTE及其友好同轴二次函数y2的图象上，比较p，q的大小，并说明理由．

答案一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．【考点】相反数【分析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．解：﹣3的相反数是3．故选：A．【点评】本题考查相反数，关键是掌握相反数的定义．2．【考点】简单组合体的三视图【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．解：从左边看第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形，故选：A．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．3．【考点】概率的意义；概率公式；全面调查与抽样调查；条形统计图；随机事件【分析】根据调查方式，统计图的使用，概率的意义，事件的分类逐项分析判断即可求解．解：A．了解一批灯泡的使用寿命，应采用抽样调查的方式，故该选项正确，符合题意；B．为了直观地介绍某款牛奶各营养成分的百分比，最适合使用的统计图是扇形统计图，故该选项不正确，不符合题意；C．一个抽奖活动中，中奖概率为QUOTE，表示抽奖20次可能有1次中奖，故该选项不正确，不符合题意；D．“投掷一枚质地均匀的硬币一次，结果正面朝上”为随机事件，故该选项不正确，不符合题意；故选：A．【点评】本题考查了调查方式，统计图的使用，概率的意义，事件的分类，掌握以上知识是解题的关键．4．【考点】完全平方公式；合并同类项；同底数幂的乘法；同底数幂的除法【分析】根据合并同类项，平方差公式，同底数幂的乘法、除法，逐一进行计算，判断即可．解：A．3x+2x＝5x，选项错误，不符合题意；B．（x﹣y）（x+y）＝x2﹣y2，选项错误，不符合题意；C．a2•a3＝a5，选项正确，符合题意；D．x6÷x2＝x4，选项错误，不符合题意；故选：C．【点评】本题考查整式的运算，熟练掌握整式运算法则是关键．5．【考点】关于原点对称的点的坐标【分析】根据关于原点对称的点的坐标，可得答案．解：∵点A（﹣2，b）与点B（a，3）关于原点对称，∴a＝2，b＝﹣3，∴a﹣b＝2+3＝5，故选：B．【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，利用关于原点对称的点的坐标规律得出a，b的值是解题关键．6．【考点】众数；中位数【分析】先将数据按照从小到大重新排列，再根据众数和中位数的定义求解可得．解：将这组数据排列为39，40，40，42，42，42，43，44，所以这组数据的众数为42，中位数为QUOTE42，故选：C．【点评】本题主要考查众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．7．【考点】列代数式【分析】依据题意，根据圆的面积公式计算，然后作差即可得解．解：∵半径是rcm的圆的面积是π×r2＝πr2，半径是（r+3）cm的圆的面积是π×（r+3）2＝π（r+3）2，∴圆的面积增加了：π（r+3）2﹣πr2＝3（2r+3）π＝6πr+9π．故选：B．【点评】本题主要考查了列代数式，解题的关键是读懂题意，找到等量关系．8．【考点】平行线的性质【分析】过点G作GH∥AB，先证AB∥GH∥CD，则∠EGH＝∠BEG，∠FGH＝∠DFG，进而得∠EGF＝∠BEG+∠DFG，再根据∠EGF＝90°，∠BEG＝x得∠DFG＝90°﹣x，然后根据∠CFG+∠DFG＝180°即可得出∠CFG的度数．解：过点G作GH∥AB，如图所示：∵AB∥CD，∴AB∥GH∥CD，∴∠EGH＝∠BEG，∠FGH＝∠DFG，∴∠EGH+∠FGH＝∠BEG+∠DFG，即∠EGF＝∠BEG+∠DFG，∵∠EGF＝90°，∠BEG＝x，∴90°＝x+∠DFG，∴∠DFG＝90°﹣x，∵∠CFG+∠DFG＝180°，∴∠CFG＝180°﹣∠DFG＝180°﹣（90°﹣x）＝90°+x．故选：B．【点评】此题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键．9．【考点】切线的性质【分析】由切线的性质得出∠BAC＝90°，求出∠ABC＝40°，由等腰三角形的性质得出∠ODB＝∠ABC＝40°，再由三角形的外角性质即可得出结果．解：∵AC是⊙O的切线，∴AB⊥AC，∴∠BAC＝90°，∵∠C＝50°，∴∠ABC＝40°，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠ABC＝40°，∴∠AOD＝∠ODB+∠ABC＝80°．故选：D．【点评】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质、直角三角形两锐角互余、三角形的外角性质，熟练运用切线的性质是本题的关键．10．【考点】等腰直角三角形；作图—基本作图；角平分线的性质【分析】先证△ABC是等腰直角三角形，推出AD＝BD＝CD，QUOTE，作EF⊥AB于点F，由角平分线的性质定理得EF＝ED，推出QUOTE，进而得出QUOTE，依次求出AD，CD即可．解：由条件可知△ABC是等腰直角三角形，∵AD是△ABC的高，∴AD＝BD＝CD，QUOTE，如图，作EF⊥AB于点F，由作图知，BE平分∠ABC，由条件可知EF＝ED，∴QUOTE，又∵QUOTE，∴QUOTE，∴QUOTE，∴QUOTE，∴QUOTE，故选：C．【点评】本题考查等腰直角三角形的性质，角平分线的作法及性质，证明QUOTE是解题的关键．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．【考点】二次根式有意义的条件【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出x的值，进而得出y的值进而得出答案．解：∵QUOTE，∴x﹣2≥0，2﹣x≥0，∴x﹣2＝0，∴x＝2，∴QUOTE，∴QUOTE，故QUOTE．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确得出x，y的值是解题关键．12．【考点】解分式方程【分析】方程两边同乘（x+3）（x﹣3）将分式方程化为整式方程，求解即可．解：QUOTE，方程两边同乘2x（5x+2），得2x＝3（5x+2），解得xQUOTE，检验：当xQUOTE时，2x（5x+2）≠0，所以原分式方程的解是xQUOTE．故QUOTE．【点评】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．13．【考点】垂径定理；全等三角形的判定与性质；勾股定理的证明【分析】根据正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质得出四边形EFGH是正方形，且DE＝EF＝EH＝FC＝FG＝GH，再根据勾股定理列方程求解即可．解：如图，连接BE，∵BE＝BC，BH⊥CE，∴EH＝CHQUOTECE，∵BC＝CD，∠BHC＝∠CED＝90°，∠CBH＝∠DCE，∴△BCH≌△CDE（AAS），∴DE＝CH，∴DE＝EF＝EH，同理可得AF＝BG＝VH＝DE，∴四边形EFGH是正方形，设EF＝x，则DE＝x，CE＝2x，在Rt△CDE中，由勾股定理得，DE2+CE2＝CD2，即x2+（2x）2＝102，∴x2＝20，即这正方形EFGH的面积为20，故20．【点评】本题考查垂径定理，正方形的性质，等腰三角形的性质，掌握垂径定理，正方形的性质以及全等三角形的判定和性质是正确解答的关键．14．【考点】根的判别式【分析】把原方程化为关于y的方程4xy2+（5x2﹣1）y+x＝0，根据△≥0，求出x的最大值即可．解：∵QUOTE，∴4xy2+（5x2﹣1）y+x＝0，∴y1y2QUOTE0，∴y1+y2QUOTE0，∴QUOTE或QUOTE，∴0＜xQUOTE或xQUOTE①，∵Δ＝（5x2﹣1）2﹣16x2≥0，∴5x2﹣1≥4x或5x2﹣1≤﹣4x，解得﹣1≤xQUOTE②，∴0＜xQUOTE，∴实数x的最大值为QUOTE，故QUOTE．【点评】本题考查了一元二次方程有正实数根与判别式的关系、一元二次不等式的解法，考查了转化思想，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．15．【考点】用样本估计总体【分析】100只梅花鹿，发现其中5只有标记，说明在样本中有标记的占到QUOTE，而在整体中有标记的共有20只，根据所占比例即可解答．解：20QUOTE400（只）．即估计这个地区的梅花鹿的数量约有400只．故400．【点评】本题考查的是通过样本去估计总体，解题的关键是算出100只梅花鹿有标记的占的百分比．16．【考点】有理数的乘方；尾数特征【分析】根据乘方运算继续写下去，利用得出数字末位数的变化规律，每一个循环4个数，进而得出答案．解：由题意可得21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256，……，则末位数每4个一循环，2023÷4＝505……3，则22023的末位数是8，故8．【点评】本题主要考查了尾数特征，根据题意得出数字变化规律是解题关键．三．解答题（共9小题，满分72分）17．【考点】负整数指数幂；绝对值；实数的运算；零指数幂【分析】根据负整数指数幂、零指数幂的运算法则计算即可．解：原式＝﹣2﹣2+9+1＝6．【点评】本题考查负整数指数幂、绝对值、实数的运算、零指数幂，掌握负整数指数幂、零指数幂的运算法则是解题的关键．18．【考点】解一元一次不等式组【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．解：QUOTE，解不等式①，得xQUOTE，解不等式②，得xQUOTE，所以不等式组的解集是xQUOTE．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；小小找不到”的原则是解答此题的关键．19．【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题【分析】（1）过点B′E⊥AD于E，根据正弦的定义求出B′E，进而求出车后盖最高点B'到地面l的距离；（2）过点C′作C′F⊥B′E于点F，根据题意求出∠C′B′F＝60°，根据余弦的定义求出B′F，再求出点C'到地面l的距离，比较大小证明结论．解：（1）如图2，过点B′E⊥AD于E，在Rt△AB′E中，AB′＝AB＝1m，∠B′AD＝27°，∵sin∠B′AEQUOTE，∴B′E＝AB′•sin∠B′AE＝1×sin27°≈0.454（m），∴点B'到地面l的距离为：0.454+1.7＝2.154≈2.15（m），答：车后盖最高点B'到地面l的距离约为2.15m；（2）没有碰头的危险，理由如下：如图2，过点C′作C′F⊥B′E于点F，在Rt△AB′E中，∠B′AD＝27°，则∠AB′E＝90°﹣27°＝63°，∵∠AB′C＝∠ABC＝123°，∴∠C′B′F＝60°，∵B′C′＝BC＝0.6m，∴B′F＝B′C′•cos∠C′B′F＝0.6QUOTE0.3（m），∴点C'到地面l的距离为：2.15﹣0.3＝1.85（m），∵1.85＞1.83，∴没有碰头的危险．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，正确作出辅助线、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．20．【考点】列表法与树状图法；频数（率）分布表；频数（率）分布直方图【分析】（1）由抽取的人数减去其它三个组的频数得出a的值，再由频率的定义求出b即可；（2）由（1）中a的值，补全频数分布直方图即可；（3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的结果有6种，再由概率公式求解即可．解：（1）由题意得：a＝150﹣15﹣45﹣60＝30，b＝45÷150＝0.3，故30，0.3；（2）补全频数分布直方图如下：（3）画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的结果有6种，∴选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的概率为QUOTE．【点评】本题考查的是用树状图法求概率以及频数分布表和频数分布直方图等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．21．【考点】全等三角形的判定与性质【分析】（1）根据AD⊥BC，得出∠BDA＝∠ADC＝90°，再根据HL证明△BFD≌△ACD，即可推出结论；（2）由勾股定理求得DF＝7，进而得到AF＝AD﹣DF＝7．证明：（1）∵AD⊥BC，∴∠BDA＝∠ADC＝90°，∵BF＝AC，DF＝DC，∴Rt△BFD≌Rt△ACD（HL），∴AD＝BD；（2）∵AD＝12，BF＝13，∴BD＝12，由勾股定理得：DFQUOTE5，∴AF＝AD﹣DF＝12﹣5＝7．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理．22．【考点】二元一次方程的应用；一元一次不等式组的应用【分析】（1）设“三多“的每群狗有x条，则“一少“的狗群有（300﹣3x）条，根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组，即可解决问题；（2）设“三多“的每群狗有m条，“一少“的狗群有n条，根据共有三百条狗，“数量多且数量相同的三个群中，每个群中狗的数量比数量较少的那个群中狗的数量多32条”，列出二元一次方程组，解方程组即可．解：（1）设“三多“的每群狗有x条，则“一少“的狗群有（300﹣3x）条，根据题意得：QUOTE，解得：75＜x＜100，∵x为奇数，∴x可取77，79，8199，共12个，当x＝77时，300﹣3x＝300﹣3×77＝69，即“三多“的每群狗有77条，“一少“的狗群有69条（答案不唯一）；（2）设“三多“的每群狗有m条，“一少“的狗群有n条，根据题意得：QUOTE，解得：QUOTE答：“三多“的每群狗有83条，“一少“的狗群有51条．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找出数量关系，正确列出一元一次不等式组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程组．23．【考点】平行四边形的性质；勾股定理；三角形中位线定理【分析】（1）利用三角形中位线定理证明即可；（2）证明BE＝2AC可得结论．（1）证明：连接BD交AC于点O，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，∵DF＝EF，∴OF为△DBE的中位线，∴AF∥BE．即OF∥BE；（2）解：∵AD＝2，∠ACD＝90°，∠ADC＝60°，∴∠CAD﹣30°，∴CDQUOTEAD＝1，∴ACQUOTE，∵OF是△DBE的中位线，∴BE＝2OF．∴BE＝2OC+2CF＝AC+2CF．∵AC＝2CF，∴QUOTE．【点评】本题考查平行四边形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．24．【考点】圆的综合题【分析】（1）作∠ABC的角平分线交QUOTE于点E；（2）根据圆周角定理：同弧所对圆周角相等可得∠DBF＝∠EAF，再由对顶角相等即可证明△BFD∽△AFE；（3）连接OD，根据题意易得△ABC为等腰直角三角形，则∠ABD＝45°，根据圆周角定理：同弧所对圆周角等于圆心角的一半可得∠AOD＝2∠ABD＝90°，因此∠BOD＝90°，则S阴影＝S扇形BOD﹣S△BOD，代入计算即可求解．解：（1）如图，作∠ABC的角平分线交QUOTE于点E，∴点E为弧QUOTE的中点E；（2）如图，∵QUOTE，∴∠DBF＝∠EAF，∵∠BFD＝∠AFE，∴△BFD∽△AFE；（3）如图，连接OD，∵⊙O与AC相切于交于A点，∴BA⊥AC，即∠BAC＝90°，∵AB＝AC，∴△ABC为等腰直角三角形，∴∠ABD＝45°，∵QUOTE，∴∠AOD＝2∠ABD