【中考数学冲刺】2026届内蒙古中考模拟数学试卷2 附解析

/【备考2026】内蒙古中考模拟数学试卷2一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）（）A．1 B．2 C．3 D．42．（3分）下列各数中，倒数是它本身的数是（）A．1 B．0 C．2 D．﹣23．（3分）将图中的直角三角形绕直角边AB所在直线旋转一周得到一个几何体，从正面看这个几何体的形状图为（）A． B． C． D．4．（3分）如图，a∥b，若∠1＝46°，则∠2的余角是（）A．46° B．34° C．44° D．134°5．（3分）将分别标有“最”、“美”、“龙”、“飞”四个汉字的小球装在一个不透明的口袋中，这些小球除汉字以外其它完全相同，每次摸球前先搅匀，随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字组成“龙飞”的概率是（）A． B． C． D．6．（3分）将抛物线y＝﹣x2先向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（）A．y＝﹣（x﹣3）2﹣2 B．y＝﹣（x+3）2﹣2 C．y＝（x+3）2﹣2 D．y＝﹣（x+2）2﹣37．（3分）实数m对应的点在数轴上的位置如图所示，则不等式组的解集为（）A．x＞﹣2 B．x≤m C．﹣2＜x≤m D．﹣2＜x＜m8．（3分）若扇形的半径为3，圆心角为60°，则此扇形的弧长是（）A．π B．2π C．3π D．4π9．（3分）已知点A（2，0），B（0，2），点P在x轴上，且三角形APB的面积为5，则点P的坐标是（）A．（﹣3，0） B．（7，0） C．（0，﹣3）或（0，7） D．（﹣3，0）或（7，0）10．（3分）如图，在矩形ABCD中，BC＝8，AB＝4，Rt△BEF的顶点E在边CD上，且∠BEF＝90°，，，则DE的长为（）A．2 B． C．1 D．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）按照如图所示的操作步骤，若输入x的值为3，则输出的值为．12．（3分）八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其制作样板为图2中的正八边形ABCDEFGH，则∠A的度数为．13．（3分）已知代数式“x2﹣2x﹣（□+1）”，把这个代数式化简后所得到式子记为y，若y是一次函数，且其图象过二、三、四象限，则“□”表示的单项式是．14．（3分）如图，PA，PB是⊙O的切线，∠P＝60°，点C（不与A，B重合）是⊙O上任意一点，则∠ACB的度数为．15．（3分）函数随x的增大而增大，写出一个符合条件的k的值是．16．（3分）如图，由8个全等的菱形组成的网格中，已知∠ABD＝120°，其中点A，B，C都在格点上，则tan∠BCD的值为．三．解答题（共7小题，满分72分）17．（8分）（1）先化简，再求值：（a﹣b）2﹣2a（a+3b）+（a+2b）（a﹣2b），其中a＝1，b＝﹣3．（2）解方程：．18．（8分）课外阅读能帮助中小学生拓展知识视野、培养思维能力、提升语言表达，是课堂教育的重要补充．学校为了解本校学生每周用于课外阅读的时间，随机调查了20名本校学生每周用于课外阅读的时间x（单位：min），按照A.0≤x＜40；B.40≤x＜80；C.80≤x＜120；D.120≤x＜160进行分类整理，得到如下结果．①被调查学生每周用于课外阅读的时间分布情况：组别每周用于课外阅读的时间x/min组中值频数（人数）A0≤x＜40203B40≤x＜80605C80≤x＜1201008D120≤x＜1601404②C组的数据是81，81，82，82，90，100，100，110．根据以上信息，回答下列问题：（1）这20名学生每周用于课外阅读的时间的中位数落在组，中位数是；（2）求这20名学生每周用于课外阅读的时间的平均数；（每组中各数据用该组的组中值代替）（3）王辰每周用于课外阅读的时间为87分钟，结合调查结果，他认为自己每周用于课外阅读的时间在本校属于中等偏上的水平，你认为他的判断是否正确？请说明理由．19．（8分）综合与实践：【问题情境】如图1，投石车在春秋时期就已经开始使用，是古代战车的一种，上装机枢，弹发石块．校园科技节活动中，科学小组的同学自制了一个小型投石机，并在活动当天进行投石试验展示．【实验操作】如图2是投石机的侧面示意图．其原理是通过弹力使杠杆绕着支点O旋转把石头甩出，以达到伤敌的效果．已知OB⊥OC，木架OC＝1米．杠杆AB的初始位置与地面成30°角，即∠ABC＝30°．当点B上升到点B′时甩出石头，此时B′、O、C在同一直线上．【问题解决】（1）求OB的长度；（2）甩出石头时，杠杆顶端B′与地面的距离B′G的长度．20．（11分）学校计划印制一种宣传册，A打印部：需要先收取制版费200元，每印制一册再收取0.3元；B打印部：不收制版费，每印制一册收取0.5的费用．（1）写出A、B两家打印部收取的费用y（元）和印制册数x（册）之间的函数关系式；（2）如果学校需要印制1500册，两家收费分别为多少？哪家收费更便宜？21．（12分）如图1，已知AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是上一点，连结AD，AG，DG．（1）求证：∠AGD＝∠ADC；（2）如图2，延长AG，DC相交于点F，连结CG，记DG与AB的交点为P，若AB＝10，CD＝8，当AG＝AP时，求的值．22．（12分）如图，在边长为8的正方形ABCD中，点P，Q分别是边AB，AD上的两动点（点P，Q不与点A，B，D重合），以AP，AQ为邻边作矩形APEQ，PE交BD于M点，QE交BD于N点．设AP＝x，AQ＝y，已知xy＝32．（1）证明：BM2+DN2＝MN2；（2）连接AM，AN．①如图1，当x＝y时，求∠MAN的大小；②如图2，当x≠y时，①中的结论是否成立？并说明理由．23．（13分）抛物线y＝x2+bx+c（a＞0）交x轴于点A，B（4，0），与y轴交于点C（0，﹣2）．（1）直接写出b，c的值和A点的坐标；（2）如图（1），点D是第四象限抛物线上一点，连接CD，BC，若∠OCD+∠ABC＝180°，求D点的坐标；（3）如图（2），将（2）中的抛物线平移到顶点在原点的位置，点M，N是平移后抛物线上两点，且∠MON＝90°，作OH⊥MN于点H，求当∠HCO最大时，H点的坐标．

答案一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．【考点】算术平方根【分析】根据算术平方根的计算方法得出结论即可．解：2，故选：B．【点评】本题主要考查算术平方根的知识，熟练掌握算术平方根的计算方法是解题的关键．2．【考点】倒数【分析】根据倒数的定义，可知倒数是它本身的数是±1．解：倒数是它本身的数是±1，故选：A．【点评】本题考查了倒数的意义，关键是搞清互为倒数的两数之积为1．3．【考点】简单几何体的三视图；点、线、面、体【分析】应先得到旋转后得到的几何体，找到从正面看所得到的图形即可．解：Rt△ABC绕直角边AB旋转一周，所得几何体是圆锥，圆锥的主视图是等腰三角形，故选：C．【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．4．【考点】平行线的性质；余角和补角【分析】利用平行线的性质得出∠2的度数，再结合余角的定义即可解决问题．解：∵a∥b，∠1＝46°，∴∠2＝∠1＝46°，∴∠2的余角是44°．故选：C．【点评】本题主要考查了平行线的性质及余角和补角，熟知平行线的性质及余角的定义是解题的关键．5．【考点】列表法与树状图法；概率公式【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，其中两次摸出的球上的汉字组成“龙飞”的结果有2种，再由概率公式求解即可．解：画出树状图如下：共有12种等可能的结果，其中两次摸出的球上的汉字组成“龙飞”的结果有2种，∴两次摸出的球上的汉字组成“龙飞”的概率为．故选：A．【点评】本题考查了列表法与树状图法，概率公式，解答本题的关键要明确：树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适用于两步或两步以上完成的事件，解题时还要注意是放回试验还是不放回试验，6．【考点】二次函数图象与几何变换；二次函数的三种形式【分析】根据“左加右减”的平移法则即可得到答案．解：将抛物线y＝﹣x2先向左平移3个单位、再向下平移2个单位后，所得新抛物线的表达式是y＝﹣（x+3）2﹣2．故选：B．【点评】本题考查二次函数图象与几何变换，解题的关键是掌握“左加右减”的平移法则．7．【考点】解一元一次不等式组；实数与数轴【分析】先根据数轴的性质可得﹣2＜m＜﹣1，再分别求出两个不等式的解集，然后找出它们的公共部分即为不等式组的解集．解：由题意可得：数轴的性质可得﹣2＜m＜﹣1，，分别求出两个不等式的解集可得：解不等式①得：x＞﹣2，解不等式②得：x≤m，∴﹣2＜x≤m．故选：C．【点评】本题考查了数轴、解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．8．【考点】弧长的计算【分析】根据直接求解即可得到答案．解：∵扇形的半径为3，圆心角为60°，∴，故选：A．【点评】本题考查考查扇形的弧长公式，正确记忆弧长公式是解题关键．9．【考点】三角形的面积；坐标与图形性质【分析】根据题意，画出示意图，可得OB＝2，OA＝2，AP＝5，分两种情况：当P位于A左边时，当P位于A右边时即可求解．解：如图，∵A（2，0），B（0，2），点P在x轴上，∴OB＝2，OA＝2，∵△APB的面积为5，∴AP＝5．当P位于A左边时，P1（﹣3，0），当P位于A右边时，P2（7，0），故选：D．【点评】本题考查了三角形的面积，坐标与图形性质，求出AP是解题的关键．10．【考点】矩形的性质；解直角三角形；勾股定理【分析】作FG⊥CD交CD的延长线于G，由矩形的性质可得∠C＝90°，CD＝AB＝4，证明△BCE∽△EGF，得出，从而可得EG＝4，设CE＝2x，则FG＝x，DE＝4﹣2x，GD＝EG﹣DE＝4﹣（4﹣2x）＝2x，再由勾股定理计算即可得解．解：作FG⊥CD交CD的延长线于G，∵四边形ABCD为矩形，BC＝8，AB＝4，∴∠C＝90°，CD＝AB＝4（矩形的对边相等），∵∠BEF＝90°，，∴∠BEC+∠FEG＝90°，，∵∠BEC+∠CBE＝90°，∴∠GEF＝∠CBE，∵∠C＝∠G＝90°，∴△BCE∽△EGF，∴，∴EG＝4，设CE＝2x，则FG＝x，DE＝4﹣2x，∴GD＝EG﹣DE＝4﹣（4﹣2x）＝2x，∵FG2+DG2＝DF2，∴，∴x＝1，∴CE＝2x＝2，∴DE＝CD﹣CE＝4﹣2＝2．故选：A．【点评】题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形，利用相似是解题的关键．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．【考点】实数的运算【分析】把x＝3代入图中运算程序中计算即可得到结果．解：把x＝3代入操作步骤得（3﹣5）2+3＝7，开平方得．故．【点评】此题考查了有理数的混合运算，弄清操作程序中的运算是解本题的关键．12．【考点】多边形内角与外角【分析】根据多边形内角和公式计算即可．解：∵八边形ABCDEFGH是正八边形，∴∠A（8﹣2）×180°＝135°．故135°．【点评】本题考查了多边形内角和定理，掌握多边形内角和公式是解题的关键．13．【考点】一次函数的性质；一次函数的定义【分析】根据一次函数的定义和一次函数的性质求解．解：代数式“x2﹣2x﹣（□+1）”，把这个代数式化简后所得到式子记为y，若y是一次函数，∴二次项的系数为0，∴“□”表示的单项式是x2，此时函数为y＝﹣2x﹣1，其图象过二、三、四象限，故x2．【点评】本题考查的是一次函数的定义，一次函数的性质，熟知一次函数y＝kx+b（k≠0）中，当k＜0，b＜0时函数图象经过二、三、四象限是解答此题的关键．14．【考点】切线的性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质【分析】连接OA，OB，由切线的性质得到∠PAO＝∠PBO＝90°，求出∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°，由圆周角定理求出∠C∠AOB＝60°，由圆内接四边形的性质求出∠C′＝120°，即可得到∠ACB＝60°或120°．解：如图，连接OA，OB，∵PA，PB是⊙O的切线，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠PAO＝∠PBO＝90°，∵∠P＝60°，∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°，∴∠C∠AOB＝60°，∵四边形ACBC′内接于圆，∴∠C+∠C′＝180°，∴∠C′＝120°，∵C可能在优弧ACB上，也可能在劣弧AB上，∴∠ACB＝60°或120°．故60°或120°．【点评】本题考查圆周角定理，切线的性质，圆内接四边形的性质，关键是由圆周角定理求出∠C∠AOB＝60°．15．【考点】反比例函数的性质【分析】先根据反比例函数的性质判断出k的符号，再写出符合条件的函数关系式即可．解：∵反比例函数y其图象所在的每个象限内y随着x的增大而增大，∴k＜0，∴k的值可以为﹣1（答案不唯一）．故﹣1（答案不唯一）．【点评】本题考查的是反比例函数的性质，即反比例函数y（k≠0），当k＜0时，反比例函数图象在第二、四象限内，在每一象限内y随x的增大而增大．16．【考点】菱形的性质；解直角三角形；等边三角形的判定与性质；勾股定理【分析】延长BC交格点于E，连接AE，设每个小菱形的边长均为a，证明∠AEC＝90°，△CEG是等边三角形，得CE＝CG＝a，再由勾股定理求出EFEFa，则AE＝2EF＝2a，即可解决问题．解：如图，延长BC交格点于E，连接AE，设每个小菱形的边长均为a，由题意可知，∠ABC∠ABD＝60°，∠CFE60°＝30°，∴∠AEC＝180°﹣60°﹣30°＝90°，△CEG是等边三角形，∴CE＝CG＝a，∴CF＝2CE＝2a，∴EFa，∴AE＝2EF＝2a，∴tan∠BCD＝tan∠ACE2，故2．【点评】本题考查了菱形的性质、锐角三角函数定义、勾股定理、等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．三．解答题（共7小题，满分72分）17．【考点】整式的混合运算—化简求值；解分式方程【分析】（1）先去括号，再合并同类项，然后把a，b的值代入化简后的式子进行计算，即可解答；（2）利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可．解：（1）（a﹣b）2﹣2a（a+3b）+（a+2b）（a﹣2b）＝a2﹣2ab+b2﹣2a2﹣6ab+a2﹣4b2＝﹣8ab﹣3b2，当a＝1，b＝﹣3时，原式＝﹣8×1×（﹣3）﹣3×（﹣3）2＝24﹣3×9＝24﹣27＝﹣3；（2）原方程去分母得：2+2x﹣2＝3，解得：x，检验：当x时，2（x﹣1）≠0，故原方程的解为x．【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，解分式方程，熟练掌握解方程的方法，准确熟练地进行计算是解题的关键．18．【考点】中位数；频数（率）分布表；加权平均数【分析】（1）根据中位数的定义进行解答即可；（2）根据平均数的计算方法进行计算即可；（3）根据中位数的定义进行解答即可．解：（1）将被调查的20名学生的每周用于课外阅读的时间从小到大排列，处在第10，第11位的两个数的平均数81.5，因此中位数是100落在C组，故C，81.5；（2）这20名学生每周用于课外阅读的时间的平均数为＝86（min），答：这20名学生每周用于课外阅读的时间的平均数是86min；（3）不正确，理由：因为王辰每周用于课外阅读的时间为87分钟，而中位数是100分钟，所以王辰每周用于课外阅读的时间在本校属于中等偏下的水平．【点评】本题考查中位数，频数分布表以及加权平均数，掌握中位数，加权平均数的计算方法是正确解答的关键．19．【考点】解直角三角形的应用【分析】（1）根据OB求OB的长度即可；（2）先计算B′C＝BO+OC＝（（米），再利用正弦函数解答即可．解：（1）∵OB⊥OC，∴∠BOC＝90°，在Rt△OBC中，OB（米），答：OB的长度为米；（2）∵∠BOC＝90°，∠ABC＝30°，∴∠C＝90°﹣∠ABC＝90°﹣30°＝60°，∵BO＝B′O，∴B′C＝BO+OC＝（1）（米），∵B′G⊥BC，在Rt△B′CG中，B′G＝B′C×sinC＝（1）（米），答：杠杆顶端B′与地面的距离B′G的长度为米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．20．【考点】一次函数的应用【分析】（1）分别根据A、B两个打印部的收费标准作答即可；（2）当x＝1500时，分别计算两个函数对应y的值并比较大小即可．解：（1）A打印部收取的费用y（元）和印制册数x（册）之间的函数关系式为y＝0.3x+200，B打印部收取的费用y（元）和印制册数x（册）之间的函数关系式为y＝0.5x．（2）当x＝1500时，A打印部收取的费用为y＝0.3×1500+200＝650，B打印部收取的费用为y＝0.5×1500＝750，∵650＜750，∴A打印部收费更便宜．【点评】本题考查一次函数的应用，分别根据A、B两个打印部的收费标准写出对应函数关系式是解题的关键．21．【考点】圆周角定理；勾股定理；垂径定理【分析】（1）根据垂径定理得出，再根据圆周角定理即可得出答案；（2）连接OD．BD，BC，根据垂径定理得出DE＝CECD＝4，根据勾股定理得出BC＝2，根据等腰三角形的性质得出PE＝BE＝2，DC平分∠BDP，证明△CGF∽△AGD，得出即可．（1）证明：∵AB是⊙O直径，AB⊥CD，∴，∴∠AGD＝∠ADC；（2）解：连接OD．BD，BC，如图：∵AB是⊙O直径，AB⊥CD，∴DE＝CECD＝4．∵OA＝OB＝OD＝5，∴OE＝3．∴BE＝OB＝OE＝2，∴BC2，∵AP＝AG，∴∠AGP＝∠APG＝∠DBA＝∠DPB，∴DP＝DB，∵AB⊥CD，∴PE＝BE＝2，DC平分∠BDP，∴AG＝AP＝AB﹣PE﹣BE＝10﹣2﹣2＝6，，∴CG＝BC＝2，∵四边形ADCG是圆的内接四边形，∴∠CGF＝∠ADC，∠GCF＝∠DAG，由（1）可知∠AGD＝∠ADC，∴∠CGF＝∠AGD，∴△CGF∽△AGD，∴．【点评】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，等腰三角形的性质，圆周角定理，三角形相似的判定和性质，圆内接四边形的性质，解题的关键是正确作出辅助线．22．【考点】四边形综合题【分析】（1）根据题意可得BP＝AB﹣AP＝8﹣x，DQ＝8﹣y，表示出BM，ND，求出BM2+ND2，再求出MN2，即可得证．（2）①如图，连接AE交BD于G点，证明四边形APEQ是正方形，△DQN，△EMN，△BPM是等腰直角三角形，即可求解．②将△ABM绕A点逆时针旋转90°至△ADF，连接FN，如图，利用勾股定理证明△MAN≌△FAN（SSS），即可求解．（1）证明：根据题意可得BP＝AB﹣AP＝8﹣x，DQ＝8﹣y，∴，，∴BM2+ND2＝2（8﹣x）2+2（8﹣y）2＝2（x2+y2﹣16x﹣16y+128），∴，∵xy＝32，∴MN2＝2（x+y﹣8）2＝2（x2+y﹣16x﹣16y+64+2xy）＝2（x2+y2﹣16x﹣16y+128），∴BM2+ND2＝MN2．（2）解：①如图，连接AE交BD于G点，∴x＝y，∴四边形APEQ是正方形，AE平分∠PEQ，∴AE⊥BD，∠AGM＝90°∴△DQN，△EMN，△BPM是等腰直角三角形，∴MN2＝BM2+ND2MN2＝EM2+EN2，∴EM＝EN＝DN＝BM，∴QN＝NG＝MG＝MP，∴∠MAP＝∠MAG，∠QAG＝∠NAG，∵∠DAB＝90°∴．②①中的结论仍然成立，理由如下：将△ABM绕A点逆时针旋转90°至△ADF，连接FN，如图，∴∠FDA＝∠ABM＝45°，DF＝BM，∴∠FDN＝∠FDA+∠ADN＝90°，∴FN2＝DF2+DN2＝BM2+DN2，