浙江省杭州市萧山区部分校2022-2023学年九年级下学期3月份联考数学试题（试卷+解析）

2022学年第二学期九年级三月独立作业

数学试题卷

一、选择题（本题共有10小题，每小题3分，共30分）

1.抛物线J=2（"-"2+3的顶点坐标是（）

A.（-1,3）B.（-1,-3）C.（1,3）D.（1,-3）

2.下列说法正确的是（）

A.某•事件发生的可能性非常大就是必然事件

B.概率很小的事情不可能发生

C.2022年1月27日杭州会下雪是随机事件

D.投掷一枚质地均匀硬币1000次，正面朝上的次数一定是500次

在中，BC=3,斜边4C=5,则下列等式正确的是

K

B3C

3434

A.sinC=—B.cosC=—C.tan4=­D.sinA=—

5345

04.如图，桌面上放着一只一次性纸杯,它的俯视图是（）

主视方向

A）cO

U7《

5.下列命题中，正确的是（）

A.圆心角相等，所对的弦相等B.三点确定一个圆

C.长度相等的弧是等弧D.弦的垂直平分线必经过圆心

6.如图，。。为AABC的外接圆，ZA=45°,。。的半径为2,则BC的长为（)

oA

B

A.2B.2cC.4D.2G

7.如图是著名画家达•芬奇的名画《蒙娜丽莎》.画中的脸部被包在矩形ABCD内，点E是AB的黄金分

割点，BE>AE,若AB=2a,则BE长为（)

A.(75+1)aB.(V5-1)aC.(3-x/5)aD.(75-2)a

8.若二次函数y=f+法+c的图象经过点（一2,〃），（2,q）,（6,p）,则p,夕的大小关系为（）

A.p>qB.p=q

C.P<qD.p,q的大小无法比较，与儿。的取值有关

9.如图已知4B为半圆。的直径，AC,AD为弦,且AO平分NBAC.若AB=6,AC=2,则AO

C.4A/2D.4百

10.已知二次函数丁=（1+"7—2乂工一加）+2,点A（N，）'I），8伍,必）（工1〈9）是其图象上两点，下列

说法正确的是（）

A.若%+%>2,则）\>y2B.若斗+々<2,则y>为

C若X1+%>-2,则必D.若为+多〈-2,则弘<必

二、填空题：（本题有6小题，每小题4分，共24分）

11.已知OO半径为6cm,圆心。到直线AB的距离为3cm,则直线与O。的位置关系是.

12.随机从2男1女三位学生中抽取两人，被抽中的两人性别不同的概率是.

13.一个扇形的圆心角为60。，半径为2,则这个扇形的面积为.(结果保留知)

14.已知VA3C中，A8=AC,点。为VABC的外心，且NBOC=80。，则/H4C度数为

15.设y=(x+a)(x+Z?)图象与x轴有〃?个交点，函数丁=(a丫+1)(法+1)的图象与x轴有八个交点，则

所有可能的数对(〃?,〃)是

16.如图，在矩形ABCO中，AB=6,BC=60点P在矩形内运动，且始终满足/A尸B=150。，

则DP的最小值为.

三、解答题：

17.计算：

o（1Y1

（1）712+（72023-1）——

（2）cos2450+tan600sin60°

18.己知VABC,按要求完成作答

(1)用直尺和圆规作如图VA3C的内切圆。O.

(2)若ZAOC=110。，则N"=°；

(3)若VA8C面积为6,周长为10,则VAAC的内切圆半径为.

19.数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现：一副三角板中，含45。的三角板的斜边与含30。的

三角板的长直角边相等，于是，小陆同学提出一个问题：如图，将一副三角板直角顶点重合拼放在一起，

点B，C,£在同一直线上，若BC=2,求A”的长.

请你运用所学的数学知识解决这个问题.

2().为满足即将到来春节市场需求，某超市购进一种品牌的食品，每盒进价为3()元，根据往年的销

售经验发现：当售价定为每盒5()元时，每天可卖出100盒，每降价1元，每天可多卖出10盒，超市规

定售价不低于40元/盒，不高于5。元/盒.

(1)求每天的销售利润W(元)与每盒降价x(元)之间的函数关系式(注明自变量的取值范围)；

(2)当每盒售价为多少元时，每天的销售利润最大？

(3)若要使每天的销售利润不低于2090元，那么每盒的售价应定在什么范围？

21.如图，AB为。O直径，C是OO上一点，CO_LAB于点O,弦CD与AB交于点E过点D作/CDE

=NDFE,DE交AB的延长线于点E,过点A作。。的切线交ED的延长线于点G.

(1)求证：GE是。O的切线；

(2)若tanC=‘，BE=4,求AG的长.

3

22.如图，在oABCO中，点E在A8上，AE=^-AB,E/)和AC相交于点F,过点尸作产G〃A3,交

A。于点G.

（1）求FG:AE的值.

（2）若AB.AC=62,

①求证：ZAEF=ZACB.

②求证：DF2=DGDA.

23.已知抛物线y=£—（〃?+1）x++3的顶点为尸.

（1）当，〃=0时，请判断抛物线与坐标轴的交点情况；

（2）该抛物线的顶点P的位置随着用的变化而移动，当顶点P移动到最高处时，求该抛物线的顶点P的

坐标；

（3）已知点七（一1,一1）、F（3,7）,若该抛物线与线段E厂只有一个交点，求该抛物线顶点P的横坐标4

的取值范围.

2022学年第二学期九年级三月独立作业

数学试题卷

一、选择题（本题共有10小题，每小题3分，共30分）

1.抛物线J=2（"-"2+3的顶点坐标是（）

A.（-1,3）B.（-1,-3）C.（1,3）D.（1,-3）

【答案】C

【解析】

【分析】本题主要考查二次函数的性质，根据形如,，=〃（］一〃）2+左500）的顶点坐标为（万水）进行求解

即可.

【详解】解：由抛物线y=2（x-，y+3可知其顶点坐标为（1,3）；

故选：C.

2.下列说法正确的是（）

A.某一事件发生的可能性非常大就是必然事件

B.概率很小的事情不可能发生

C.2022年I月27日杭州会下雪是随机事件

D.投掷一枚质地均匀的硬币1000次，正面朝上的次数一定是500次

【答案】C

【解析】

【分析】根据必然事件、随机事件、不可能事件、概率的含义去判断即可.

【详解】A、某一事件发生的可能性非常大也是随机事件，故此选项错误；

B、概率很小的事情也可能发生，故此选项错误；

C、2022年I月27日杭州会下雪是随机事件，正确；

D、投掷一枚质地均匀的硬币10。。次，正面朝上的次数是500次，是随机事件，故此选项错误；

故选:C.

本题考查了必然事件、随机事件、不可能事件、概率的含义，理解这些概念的含义是正确解答的关键.

3.如图，在中，BC=3,斜边AC=5,则下列等式正确的是（）

A

A.Q434

B.cosC=—C.tan/\=­D.sin/l=—

5345

1C

【解析】

【分析［根据勾股定理求出AB,再根据锐角三角函数逐项判断即可.

【详解】解：由勾股定理得，A5=J万=4,

AB4BC3BC3BC3

所以sinC=-----=—,cosC=------=—,taoA=----=—,sinA=-----=—

AC5AC5AB4AC5

故选：C.

本题考杳勾股定理和锐角三角函数，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键.

4.如图，桌面上放着一只一次性斑杯，它的俯视图是（）

D.

【解析】

【分析】根据俯视图是从上方看到的图形结合图形特征即可解答.

【详解】解：由图可得它的俯视图是两个同心圆，即选项D符合题意.

5.下列命题中，正确的是（）

A.圆心角相等，所对的弦相等B.三点确定一个圆

C.长度相等的弧是等弧D.弦的垂直平分线必经过圆心

【答案】D

【解析】

【分析】根据圆的有关性质对每一项进行判断即可得出答案.

【详解】解：A.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故本选项错误；

B.K在同一直线上的三点确定,个圆，故本选项错误；

C.在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧，长度相等的弧不一定能够重合，故本选项错误;

D.弦的垂直平分线必经过圆心，故本选项正确.

故选：D.

本题考查了命题与定理，关键是熟练掌握有关性质和定理，能对命题的真假进行判断.

6.如图，。。为△4BC的外接圆，ZA=45°,的半径为2,则8。的长为（）

A.2B.2血C.4D.2G

【答案】B

【解析】

【分析】由。。是AABC的外接圆，ZA=45°,易得AQAC是等腰直角三角形，继而求得答案.

【详解】解：如图，连接。8,0C,

•.•0O是AA8C的外接圆，ZA=45°,

.•.NAOC=2ZA=90。，

•：OB=OC=2,

.•.AO8C是等腰直角三角形，

BC=VOB2+OC2=V4+4=V8=2>/2-

故选:B.

本题主要考查圆周角定理，勾股定理，掌握圆周角定理以及勾股定理是解决问题的关键.

7.如图是著名画家达•芬奇的名画《蒙娜丽莎》.画中的脸部被包在矩形ABCD内，点E是AB的黄金分

割点，BE>AE,若AB=2a,则BE长为（)

A.（小+1）aB.（石-I）aC.（3-、6）aD.（非-2）a

【答案】B

【解析】

【分析】直接根据黄金分割的定义求解.

【详解】解：•・•点E是AB的黄金分割点，BE>AE,

BE=AB=2a=（6-Da.

22

故选B.

考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AOBC）,且使AC是AB和BC的比例中项（即

AB：AC=AC：BC）,叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点.其中AC二或二1

2

AB-0.618AB,并且线段AB的黄金分割点有两个.

8.若二次函数y=V+〃x+c的图象经过点（一2,〃），（2国），（6,/?）,则p,q的大小关系为（）

A.p>qB.p=q

c.p<qD.p,4的大小无法比较，与〃，。的取值有关

【答案】A

【解析】

【分析】利用二次函数的对称性求对称轴，再根据开口方向比较函数值大小，开口向上的抛物线上，对称

轴处函数值最小.

【洋解】解：:二次函数y=V+法+c中，二次项系数

・•・抛物线开口向上，函数在对称轴处取得最小值，

•・•函数图象经过（一2,〃），（6,p）,两点纵坐标相等，

，两点关于对称轴对称，可得对称轴为直线x=二^=2,

2

•・•点（2,G在对称轴卜,4为函数的最小值.

，可得夕.

9.如图已知A3为半圆。的直径，AC,AD为弦，且八。平分NB4C.若AB=6,4c=2,则人。

的长为（）

A.2GB.5C.472D.4石

【答案】A

【解析】

【分析】如图，连接0。，作DE/AB于E,O/_LAC于R运用圆周角定理可证得

/DOB=/BAC,即证JAOFg-OE。，所以。石=4/=1,根据勾股定理，得。£二28，然后在

中，利用勾股定理求解即可.

【详解】解：如图：连接0。，伶于E,Ob_LAC于凡

:.^AFO=ZOED=90°,AF=-AC=\,

2

VAD平分NBAC,

ABAC=2ABAD,

又，：/DOB=2/BAD,

:"DOB=/BAC,

在丛O尸和4。瓦)中，

ZAFO=ZOED

<ZBAC=4D0B,

OA=OD

・•・4AOb也aODE(AAS),

:^OE=AF=\,

AB=6,

OD=AO=3,

AE=AO+OE=3+\=4,

在RtZ\OOE中，DE=dOD2-OF=6-尸=2后，

Rt二APE中，AD=4DE、A炉=J（2&『+4?=2向

10.已知二次函数y=（x+w—2）（x—m）+2,点H（x，y）,3（%，%）（再＜W）是其图象上两点，下列

说法正确的是（）

A.若与+X）＞2,则x＞必B.若%+*,＜2,则y＞必

C.若％+々＞一2,则M＞%D.若玉+多＜一2,则弘＜必

【答案】B

【解析】

【分析】可画出抛物线的草图，先根据二次函数的对称性求得对称轴为方程1=1,再根据图象法求解即可.

【详解】解：如图，

当工=〃?和穴=一〃?+2时，y=2,

in-nj+2

・•・二次函数的对称轴为直线X=-----=1,

2

•・•点4（%,%）,8（/,%）（玉＜9）是其图象上两点，且抛物线的开口向上，

・•・当$+%＞2即土产＞1时，点A到对称轴的距离比点B离对称轴的距离小，

由图象得：,＜y2，

当用+々＜2即与三＜1时，点A到对称轴的距离比点B离对称轴的距离大，

由图象得：）｝＞出，

故选:B.

本题考查二次函数的图象与性质，解答的关键是根据二次函数的表达式和图象求出对称轴，再利用数形结

合思想求解.

二、填空题：（本题有6小题，每小题4分，共24分）

11.已知CO半径为6cm,圆心。到直线人3距离为3cm,则直线与0。的位置关系是_______.

【答案】相交

【解析】

【分析】根据圆心到直线的距离与圆半径的大小关系即可判断直线与圆位置关系.

【详解】解：半径为6cm,圆心O到直线AB的距离为3cm,3<6,

・•・圆心到直线的距离小于圆的半径，即直线AB与OO相交.

12.随机从2男1女三位学生中抽取两人，被抽中的两人性别不同的概率是_____.

【答案】|

【解析】

【分析】先列出抽取两人的所有等可能结果，再找出两人性别不同的结果数，根据概率公式计算即可.

【详解】解：记两名男生分别为男I，男2,女生为女，

随机抽取两人，所有等可能的结果为：

（男、男2），（男、女）,（男a女），共3种，

其中被抽中两人性别不同的结果有2种，

符合条件的结果数

根据概率公式尸=

所有等可能的结果数

得一.

3

13.一个扇形的圆心角为60。，半径为2,则这个扇形的面积为.（结果保留乃）

【答案】—

【解析】

2

【分析】根据扇形的面积公式s=丝二求解即可得.

360

【详解】解：.••一个扇形的圆心角为60。，半径为2,

这个扇形的面积为竺三二二—,

3603

故答案为：三.

3

本胭考查了求扇形的面积，熟记扇形的面积公式是解题关键.

14.已知VA3C中，AB=AC,点。为VA8C的外心，且NBOC=80。，则N8AC度数为

【答案】40。或140。

【解析】

【分析】根据三角形外心的不同位置分情况讨论，结合圆周角定理计算即可得到/8AC的度数.

【详解】解：分两种情况讨论：

①当点。在VA8c内部时，

ZBAC=-ZBOC=1x80°=40°；

22

②当点。在VA8C外部时，

根据圆周角定理可得NB4C=1(360°-80。)=gx280°=140°.

15.设y=。+4)(为+份的图象与x轴有卅个交点，函数y=(以+1)(法+1)的图象与x轴有〃个交点，则

所有可能的数对(叽〃)是_________

【答案】(1,1),(1,0),(2,I),(2,2)

【解析】

【分析】分别对心力的值分类讨论，根据直线和二次函数的交点式：y=a(x-xi)(x-X2)(a,b,c是

常数，a#)),得出抛物线与x轴的交点坐标情况，即可求解.

【详解】因为y=(x+a)(x+〃)是二次函数，令y=(x+a)(x+〃)=0,有x+a=0或x+〃=0,解得:

X=_〃或X=_/?;

对m来说，

①当。一5时，图像与x轴有一个交点，即小一1；

②当ar。时，图像与x轴有两个交点，即〃?=2；

函数》=（奴+1）（法+1）：令y=（ar+l）（灰+1）=0,有，次+1=0或辰+1=0,

对n来说，

①当。二8/0时，关于x的方程有一个解，图象与x轴有I个交点，即〃=1；

②当。=。=0时，关于x的方程无解，图像与x轴没有交点，即〃=0；

③当。工〃且，力=0时，关于x的方程有一个解，图象与x轴有1个交点，即〃=1；

④当aKb且abxO时，关于x的方程有两个不相等的解，图像与x轴有两个交点，即〃=2；

综上所述，当々=〃时，〃=1或〃=0：当aw〃时，〃=1或〃=2.

，所有可能的数对（罐,〃）是（1,1）,（1,0）,（2,I）,（2,2）

故答案为：（1,0）或（2,1）或（1,1）或（2,2）.

本题考查了二次函数与x轴的交点问题，解决本题的关键是正确理解二次函数的交点式.

16.如图，在矩形43co中，A8=6,8C=6JJ，点2在矩形内运动，且始终满足NAPB=150。,

则。尸的最小值为.

【答案】6x/7-6

【解析】

【分析】如图：以过A、B、。作0。，在CO上取一点F，连接入/、BF,即04=48,根据圆的内接

四边形的性质、I员I周角定理可得VAOB是等边三角形，如图：连接。。交劣弧AB于点〃，连接。P，

则。。=0户，分析得到当点P与点P'重合时，0P最小，再求解OP'即可.

【详解】解：如图：以过A、B、。作O。，在CO上取一点F,连接A尺BF,即。4=AB,

・•・四边形A尸石厂是，O的内接四边形,

VNAPS=150。,

:.ZAFB=180°-ZAPB=30°，

・•・ZAOB=2ZAPB=60°,

•：OA=OB,

・•・V408是等边三角形，

***OA=OB=AB=6，

如图：连接力O交劣弧AA于点P',连接OP,则OP=O尸，

■:DP+OP>DO,

:・DP+OP>DP+OP,即止>十，

・•・当点。与点P'重合时，。尸最小，

如图：过点O分别作QM_LABOE_LDA交A力的延长线于点区则AM==。七=1AB=3,

91

・•・AE=OM=\lo^-OM2=3>/3，

・•・DE=QA+AE=6G+36=9。

・•・在RtZ^DOE中，DO=yJOE^DE2=,+(96了=6y/7，

；・DP=DO-OP=65-6,即£>P的最小值为6疗-6.

三、解答题：

17.计算:

0(1

(1)712+(72023-1)--

\37

⑵cos245°+tan60osin60°

【答案】(1)25/3-2

(2)2

【解析】

【分析】(1)先利用二次根式的性质、零次幕、负整数次幕化简，然后再计算即可；

(2)先利用特殊角的三角函数值化简，然后利用二次根式的混合运算法则求解即可.

【小问I详解】

J

0/«\-

解：712+(72023-1)——

k3>

=26+1-3

=26-2.

【小问2详解】

解：cos245°+tan60°sin60°

=阕+岳电

2J2

13

=­H-

22

=2.

18.已知VABC,按要求完成作答

（1）用直尺和圆规作如图VAAC内切圆。O.

（2）若ZAOC=UO。，则NB=°；

（3）若VA3C面积为6,周长为10,则VA3C的内切圆半径为.

【答案】（1）见解析（2）40°

⑶1.2

【解析】

（分析］（1）先分别作NA8C和ZACB的角平分线，以B为圆心，大于'AB长度为半径画弧,交AB、AC

2

于两点，再分别以这两点为圆心，大于两点间距离一半的长度为半径画弧，两弧交点与点B的连接即为

NA3C的角平分线，同理得到NAC8的角平分线，两条角平分线相交于点。，再过点。作0。上BC于

点。，以点。为圆心，0。的长为半径画圆，即为所求；

（2）点。是NABC内心，得至ij^OAC=-ZOCA=-^ACB,求出

22

ZCZ4C+ZOC4=180°-110°=70°,得至ijZBAC+ZACB=2x70°=140°,再根据

NB=180°—（N84C+NAC8）,即可求出答案；

（3）根据内切圆半径，周长，三角形面积的关系进行计算即可.

小问1详解】

解：作图如下,

【小问2详解】

解：•••点。是VA8C内心，

二。4平分/84。，OC平分NAC8,

ZOAC=-ZBACZOCA=-ZACB

2y2

zAOC=u(r

:.^OAC+ZOCA=180°-110°=70°

/3AC+ZACB=2x70°=140°

:"B=180。-(N84C+ZACB)=180°-140°=40°.

【小问3详解】

解:根据内切圆性质得到18coE_LA8,ObJ.AC,

且OD=OE=OF=r,

,.SAHC=SOA/i+SOBC+SOAC，

.•.Ssc+；8coO+O尸=g(A6+8C+AC»,

•/C=AB+BC+AC，

.\r=—=1.2.

C

19.数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现：一副三角板中，含45。的三角板的斜边与含30。的

三角板的长直角边相等，于是，小陆同学提出一个问题：如图，将一副三角板直角顶点重合拼放在一起,

点8,C,E在同一直线上，若BC=2,求A尸的长.

请你运用所学的数学知识解决这个问题.

【答案】2道一遍.

【解析】

【详解】试题分析：根据正切的定义求出AC,根据正弦的定义求出。忆计算即可.

Be_

试题解析：解：在RtaABC中，BC=2,NA=30。，AC=--=2>/3,则E/H4O

tanA

2.，VZE=45°,:・FC=EF・sEE=R,:.AF=AC-FC=26-瓜.

20.为满足即将到来的春节市场需求，某超市购进一种品牌的食品，每盒进价为30元，根据往年的销

售经验发现：当售价定为每盒50元时，每天可卖出100盒，每降价1元，每天可多卖出10盒，超市规

定售价不低于4（）元/盒，不高于50元/盒.

（I）求每天的销售利润W（元）与每盒降价x（元）之间的函数关系式（注明自变量的取值范围）；

⑵当每盒售价为多少元时，每天的销售利润最大？

⑶若要使每天的销售利润不低于2090元，那么每盒的售价应定在什么范围？

【答案】（1）卬=-10f+100工+2000（0«工工10）；（2）当每盒售价为45元时，每天的销售利润最大；（3）

每盒的售价不高于49元，不低于41元.

【解析】

【分析】（1）根据总利润:每件商品的利润X商品数量即可求出每天的销售利润W（元）与每盒降价x（元）

之间的函数关系式；

（2）配方成顶点式，利用二次函数的性质即可解答本题；

（3）根据题意，令利润等于2090,然后解方程求出工的值，根据函数的性质，即可得出结论.

【详解】（1）依题意得：

W=（50-X-30）（100+10X）=-10X2+100X+2000（0<X<10）

（2）W=-10X2+100X+2000=-10（X-5）2+2250

*.*=-10<0>

・♦•当％=5时，%大=2250,

・•・当每盒售价为45元时，每天的销售利涧最大.

（3）依题意得:

-10（x-5）2+2250=2090

解得：XI=1,X2=9.

根据函数图象的性质可知，当时，W22090.

・•・每盒的售价不不低于41元，高于49元.

本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件.

21.如图，AB为。O直径，C是。O上点，CO_LAB丁点O,弦CD与AB交丁点F,过点D作NCDE

=NDFE,DE交AB的延长线于点E,过点A作。O的切线交ED的延长线于点G.

（1）求证：GE是。。的切线；

（2）若tanC=g,BE=4,求AG的长.

【答案】（1）证明见解析;（2）AG=12.

【解析】

【分析】（1）连接。。，如图，先证明N3=N1,再证明NC=N4,然后利用N3+NC=90。得到

Nl+N4=90。，则O加工少石，然后根据切线的判定定理即可得到结论；

（2）设=则OB=3x,则可表示出B/=2%,再利用Nl=N2得到ED=M=2x+4,然后在

MODE中,根据勾股定理得到（3X）2+（2X+4『=（4+3X）2,再解方程求出工即可得到结论.

【详解】（1）证明：连接OD,如图，

VZ1=Z2,

而N2=N3,

AZ3=Z1,

V0C1AB,

/.Z3+ZC=90°,

AZI+ZC=90°,

而OC=OD,

AZC=Z4,

.\Z1+Z4=9O°,即NODE=90。，

AOD1DE,

・・・GE是。O的切线；

[2)解：设OF=x,则OC=3x,

・・・BF=2x,

VZ1=Z2,

.•・ED=EF=2x+4,

在RtZ\ODE中，

VOD2+DE2=OE2,

(3x)2+(2x+4)2=(4+3x)2,解得x=2,

A0D=6,DE=8,OE=IO

又,•,△AGEs△»()£,

AE=16,

可得AG=12.

本题考查了切线的判断与性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过半径的外端且垂直「这条半径的直

线是圆的切线，常见的辅助线有：判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂

线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”.

22.如图，在oABCD中，点E在4B上，AE=-AB,皮＞和AC相交于点F,过点尸作/G〃A3,交

3

AO于点G.

D

（l）求尸G:AE的值.

（2）若AB:AC=6:2，

①求证：ZAEF=ZACB.

②求证：DF2=DGDA.

【答案】（1）FG:AE=3:4

（2）①详见解析：②详见解析

【解析】

【分析】（1）结合题意，根据平行线的性质，通过证明△APES/XCFD,得尸。二3石尸；再结合

FG//AB,根据平行线性质，通过证明根据相似比的性质计算，即可得到答案；

AEAF

（2）①AC=2a,根据题意计算得48、AE结合（1）的结论，得"，从而推导得—,通

过证明△£4/7SZ\C4B,即可完成证明；

②根据（2）①的结论以及平行线的性质，证明.DFGSADA/，根据相似三角形的性质计算，即可完成

证明.

【小问1详解】

解：・：uABCD,

：.AB//CD,

・•・乙EAF=/DCF,

•・•ZAFE=/CFD,

・•・^AFE^CFD,

*EFAEAF

'~FD~~CD~~FC

•：AE=-AB,AB=CD,

3

EFAEAE1-

—=---=----=—,即on

FDCDAB3

•・•FG〃AB,

・•・/AED=/GFD,

•・•ZADE=/GDF,

・•・J\ADE^/\GDF,

FGFDFD3EF3

即FG:AE=3:4；

,瓦―面―EF+FD-EF+3EFF

【小问2详解】

证明：①设AC=2a,

■:AB:AC=6.2,

**•AB=y/3ci，

AE_EFAF

由（1）的结论，得:

c5=75=7C=3*

14

Ac

-=-

AAF42

AEAB=cr=AFAC^

AEAF

即：——=——，

ACAB

•:"4尸=”46,

・•・AEAF^AGAB,

:.ZAEF=ZACB；

②•：FG〃AB,

・•・/DFG=/DEA,

,:AEAF^ACAB,

・•・"EF=ZACB,

AD//BC,

・•・ZACB=ZFAD.

:・/DFG=/FAD,

•・•/FDG=ZADF,

/.IDFG^ADAF,

.DFDG

•,丽=丽‘

:・DF?=DGDA.

本题考查了平行四边形、平行线、相似三角形的知识；解题的关键是熟练掌握平行线、相似三角形的性

质，从而完成求解.

23.已知抛物线y=/_（〃?+1卜+2m+3的顶点为尸.

（1）当〃?=0时，请判断抛物线与坐标轴的交点情况；

（2）该抛物线的顶点尸的位置随着〃?的变化而移动，当顶点P移动到最高处时，求该抛物线的顶点P的

坐标：

（3）已知点E（—1,—1）、尸（3,7）,若该抛物线与线段放只有一个交点，求该抛物线顶点P的横坐标〜>