第二十八章 锐角三角函数 全章同步练习-2025-2026学年人教版数学九年级下册

第二十八章锐角三角函数

28.1锐角三角函数

第1课时锐角三角函数：一）正弦

易错点睛

在RtAABC中,AC=5,BC=12,则sinB的值为.

【点睛】当直角边与斜边不明时，应分类讨论.

A基础题夯实

知识点1正弦的定义

1.把RtAABC的各边长都扩大为原来的3倍，则锐角A的正弦值（）

A.不变B.扩大为原来的3倍C.缩小为原来的gD.不能确定

2.如图，在△ABC中,NACB=90o,CD_LAB于点D.则下列结论错误的是（）

知识点2知边长求正弦值

3.（2025深圳中考）如图是人行天桥的示意图,若高BC长为10米，斜道AC长为30米，则sinA的值为

4.（2025浙江中考）如图,在菱形ABCD中,AB=5,AC=8厕sin/BAC的值为.

5.如图,N1的顶点为A（l,0）,另一边AP经过点P（-2,4）,则sin/1的值为.

知识点3知正弦值求边长

6.在R（AABC中，□C=901siiv1=I«C=9,则AB的长为.

7.如图在RtAABC中.NACB=90。.若siM=：0C=6,求AC的长.

AB

B中档题运用

8.如图，网格中的小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上，则sin%比的值为

第8题图

9.如图，DJC5=90\DE于点E,AB=10,AC=8,则sin8。确值为.

10如图，O是等腰口力8。的底边BC的中点,腰AC与半圆0相切于点D,BC与半圆O交于E,F两点,

连接OA.若CD=4,CF=2,则sin/OAC的值为.

H如图，在△ABC中,NC=90。.

(1)实践操作：用尺规作图法作/A的平分线AD交BC于点D；(不写作法，保留作图痕迹)

⑵问题解决:在⑴的条件下，若BD=2CD,求sinZBAC的值

C综合题探究

12.(1)【问题背景】如图I,锐角三角形ABC内接于半径为r的。O,求证：三=2「；

Slivf

⑵【问题解决】如图2,在RtABC^,口。=9(),8C=9,4012”经过点B的。O交AB于点D,交CB的延

长线于点E.

①直接写出sinZMBCfi勺值为；

②连接DE.若。0的半径为5,求DE的长.

第2课时锐角三角函数（二）余弦、正切

易错点睛

如图.点A的坐标是（-2,3）,则lana=,cosa=.

【点睛】应理解余弦，正切的定义.

A基础题夯实

知识点1余弦的定义

1.在RtAABC中./090。68=4人01.则85人的值为（）

2.在RtAABC中,NC=90o,NA,NB,NC的对边分别是a,b,c厕下列表达式正确的是（）

B.c=—C.c=acosAD.c=a-sinA

COS0

3.如图点A为Na边上的任意一点，过点A作ACJ_BC于点C过点C作CD_LAB于点D.下列用线段的比表

示COSft的值，错误的是（

RD「

AA.——AD

BCD啜

知识点2正切的定义

4.在△ABC中,AB=10,AC=6,BC=g.则tanA的值为

5.在RtAABC中,NC=90°,AB=3BC.则tanB的值为

6.如图，在每个小正方形的边长都为1的网格中,△ABC的顶点均在格点上，则NA的正切值为，

7.如图.在△ABC中,NC=90。,若cos4=｛求tanA.tanB的值

A,.

B

知识点3锐角三角函数

8.如图在RtAABC中,NC=90°,BC=2AC,分别求sinB,cosB,（anB的值.

B

B中档题运用

9.如图，边长为1的小正方形网格中，。。的圆心在格点上，则NAED的余弦值是.

第11题图

10.（2025苏州中考）如图，［MCW=60以点O为圆心，2为半径画弧,分别交OM,ON于点AR再分别以点

A.B为圆心，遍为半径画弧，两弧在ZhWOW内部相交于点C,作射线OC,连接AC.BC.KIJtanZOCB的值为

11（2025东营中考）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出悻，其中《方田》章记载了有关弧田的问题.弧

田（如图）是由圆弧和其所对的弦所围成，“弦''即圆弧所对的弦长AB「矢等于半径长与圆心。到弦的距离之差.在

如图所示的弧田中，"弦''为8，“矢”为2,则cosZOAB的值为.

12如图在RtAABC中，LUC8=901an8=半.

（1疾践操作：用尺规作AB的垂直平分线，交直线BC于点D；（不写作法，保留作图痕迹）

BC

综合题探究

13.（2025上海中考改编）如图,在平面直角坐标系中.已知C（0,4）,P（2,0）,D（0,3m+1）,Q（2,1-m）.

⑴求繇的值；

⑵当四边形CDPQ是直角梯形时，求其最小内角的正切值.’

C

第3课时特殊角的三角函数值

易错点睛

判断:若0。＜/人＜90。,贝(Jsin2A=2sinA().

【点睛】可取特殊角进行验证，当/A=30。时，sin24=?,而2sinA=l.

A基础题夯实

知反点1特殊角的三角函数值

1sin30=_,cos45=_,tan60=_.

2.在△ABC中，EM=105口，匚8=45，则cosC的值为,

3.如图，正方形ABCD内接于OO,P是加上的一点(不与点A,D重合)，则sinNAPB的值为

知识点2特殊角的三角函数值的计算

4.计算：

n]

(l)3sin60-2cos30+tan60;(2)V2(2cos45-；tan30)+^;

(3)tan23O-cos230-sin245Etan45;(4)(2cos45),+(^-tan60)°.

知识点3利用三角函数值求特殊角

5.已知为锐角，若cos4=；.则匚力的度数为；若taiU=2sin60，则匚力的度数为

6.已知a为锐角，若sina=y,51ljtana的值为.

7.已知20<a<90,且sin(6z-20)=£厕。的度数是.

B中档题运用

8.在△ABC中,/A2B均为锐角,且满足(lranJ)2+[Jca出-弓口=0,则NC的度数为.

9.如图,AB是。O的直径,C是G)0上的一点，过点C作。。的切线，交BA的延长线于点P,连接AC,BC.若

sin4=1,求证:AC=AP.

10定义一种运算：sin(a+p)=sinacDsp+cosasinP，sin(a-p)=sinacosp—cosasinp.例如:当。=45。,口=30。时.sin(45+3

0)=FxF+gx：=W上利用此定义，求：sinl5的值.

z22224

11如图，在平面直角坐标系中.已知点A(l,0),B(0,・V3)，点C在x轴上(位于点A右侧)，连接AB,BC.若

cosFU8C=E，求点C的坐标.

综合题探究

12.(2025内蒙中考改编)如图,AB是。O的直径.半径OC_LAB,垂足为O,P是BA延长线上一点,连接CP,交。O

于点D，连接AD.且NBAD=75。.

⑴求NC的度数；

(2试点P作。O的切线，切点为E,交CO的延长线于点F,求cosZOFP的值.

28.2解直角三角形及其应用

28.2.1解直角三角形

易错点睛

在AABC中，DZ?=30〃8=百/。=1厕NC的度数是________.

【点睛】过点A作AD_LBC于点D.分两种情况讨论:①点D在边BC上;②点D在边BC的延长线上.

A基础题夯实

知识点1已知两边解直角三角形

1.在RsABC+，ZC=90°,AC=l,BC=近厕AB的长为,sinB的值为

2.如图，在△ABC中,AB=AC=9,BC=I2,贝JcosC的值为

3.如图，在ABC中,CD是斜边AB上的中线，已知CD=3,AC=4,求BC的长及tan/ACD的值

知识点2已知一边及一锐角解直角三角形

4.在RIAABC中,NC=9()c,AB=6,/B=45c,贝！JAC的长为.A

5.(2025黑龙江中考)在RSABC中，CC=90工4=60,8。=6,,则AB的长为.(

6.如图.△ABC内接于。O.BD是直径.若8C=8,siM=g,则弦CD的长为.

7.如图.在RtAABC中.NACB=qOo,CD_LAB于点D,力。=6,tan8=；，求sinNACD的值及BC的长.

4

B中档题运用

8.如图，在平面直角坐标系中,四边形AOCB是菱形，tan以".且点A落在双曲线产j上，点B落在

双曲线y=-±.则k的值为___________

,V-----------------

9.如图.AB是。O的直径,P是AB延长线上的一点.

（1）实践操作：运用直尺和圆规作以OP为直径的半圆，交OO于点C（不写作法,保留作图痕迹），连接AC,BC,

PC并证明/A=/PCB;

（2府⑴的条件下、若tanPC8=；,P8=3,求AB的长.

综合题探究

10（2025深圳中考改编）【抽象定义】以等腰三角形的一腰为边向乍等腰三角形，使该边所对的角等于原等腰

三角形的顶角，此时该四边形称为''双等四边形”，原等腰三角形称为该四边形的“伴随三角形

ZJ1

【问题解决】如图，在△ABC中，AC=BC,cosB=^AB=5./、

（1求AC的长及cosZACB的值：/\

B乙--------1c

（2诺四边形ABCD是以△ABC为伴随三角形的双等四边形，求CD的长.

28.2.2应用举例

第1课时视角问题

易错点睛

如图，AB是伸缩式的遮阳棚，CD是窗户，要想在夏至的正午时刻阳光刚好不能射入窗户，则AB的长度是

m.（假设夏至的正午时刻阳光与地平面夹角为60。）

AB

【点睛】应正确理解题意，构造直角三角形求解.与卜0光

2m/

A基础题夯实

知俱点仰角与俯角

1.黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点,享有“天下江山第一楼”的美誉.在一次综合实践活动中，某数学小组用无人

机测量黄鹤楼AB的高度.具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面102m的C处，测得黄鹤楼顶部

A的俯角为45°,底部B的俯角为63。，则测得黄鹤楼的高度是_______m.（参考数据：tan63或）

AD

笨K^--

C

第2题图

2.如图，无人机在空中A处测得某校旗杆顶部B的仰角为30、底部C的俯角为60。，无人机与旗杆的水平

距离AD为6m,则该校的旗杆高约为,m.(.73,结果精E角至［J0.1)

3.如图所示，一座小山顶的水平观景台的海拔高度为1600m，小明想利用这个观景平台测量时面山顶C处的

海拔高度，他在该观景平台上选定了一点A,在点A处测得点C的仰角/CAE=42。再在AE上选一点B在点B

处测得点C的仰角NCBE=45o,AB=10m.求山顶C处的海拔高度.（小明身高忽略不计，结果精确到1m参考数据：

sin42Y).67,cos42M.74,tan42M.90)

4.如图为了测量百货大楼CD顶部广告牌ED的高度在距离百货大楼30m的A处用仪器测得口“1。=3（）一

向百货大楼的方向走10m,到达B处时，测得，匚正心48，仪器高度忽略不计，求广告牌ED的高度（结果保

留小数点后一位）.

(参考数据：75=1.732,sin48=0.743,cos48=0.669,tan48=1.111)

5.如图，计划在山顶A的正下方沿直线CD方向开通穿山隧道EF.在点E处测得山顶A的仰角为45，在距

E点80m的C处测得山顶A的仰角为30，从与F点相距10m的D处测得山顶A的仰角为45，点C,E,F,

D在同一直线上•求隧道EF的长度.

综合题探究

6.如图所示，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中P处，测得楼CD楼顶D处的俯角为45测得

楼AB楼顶A处的俯角为60.已知楼AB和楼CD之间的距离BC为100m,楼AB的高度为10m,从楼AB的A

处测彳导楼CD的D处的仰角为30（点A.B,C,D,P在同一平面内）.

⑴求楼CD的高度（结果保留根号）；

⑵求此时无人机距离地面BC的高度.

第2课时方位角、坡度问题

易错点睛

一斜坡的坡度i=l：2,高度为2m,那么这一斜坡的坡长为m.

【点睛】坡度是坡面的铝直高度和水平宽度的比.

A基础题夯实

知识点1坡角、坡比

1.若一斜坡坡角为30。，则该斜坡的坡度为1:.

2.公园的一处台阶高出地面1.3m,台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列说法正确的是

）

A斜坡AB的坡度是tan100B.JC=1.3tanl()m

C.斜坡AB的坡度是10°m

第2题图第3题图第4题图

3.（2025绥化）如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的斜面坡度！=1:於,堤坝高BC=15m,则迎水坡面AB的长

m.

4.如图，斜坡AB上相邻两棵树间的坡面距离为1.8m.若该斜坡的坡角为24。，则相邻两棵树的株距（水平距离）

为m（用三角函数表示）.

知识点2方位角

5.淇淇一家要到革命圣地西柏坡参观.如图，西柏坡位于淇淇家南偏西7（）。的方向，则淇淇家位于西柏坡的

6.一艘轮船在小岛A的北偏东6。。方向距小岛80海里的B处，沿正西方向航行4小时后到达小岛的北偏西4

5。的C处，则该船行驶的平均速度为海里/时.

7.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东72。方向，距离灯塔100nmilc的A处，它沿正南方向行驶一段时间后，

到达位于灯塔P的南偏东40。方向上的B处，则此时B处距离灯塔P的距离约为nmile.（结果取整数.

参考数据：sin72=0.95,cos72参.31,tan72«3.08,sin40»0.64,cos4D»0.77,tan40参.84）

B中档题运用

8.（2025长沙中考）如图，某景区内两条互相垂直的道路a,b交于点M,景点A,B在道路a上，景点C在道

路b上.为了进一步提升景区品质，景区管委会在道路b上又开发了风景优美的景点D.经测得景点C位于景点B

的北偏东60。方向上，位于景点A的北偏东30方向上，景点B位于景点D的南偏西45方向上.已知AB=800

m.

⑴求LUC8的度数；

（2）求景点C与景点D之间的距离.（结果保留根号）

综合题探究

9.(2025烟台中考)烟台山灯塔被誉为“黄海夜明珠”，它坐落在烟台山上,为过往船只提供#般员务为了解渔船

海上作业情况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动.

如图，一艘渔船自东向西以每小时10海里的速度向码头A航行，小组同学们收集到以下信息：

码头A在灯塔B北偏西14。方向

位置信息14：30时，渔船航行至灯塔B北偏东53。方向的C处

15：00时，渔船航行至灯塔B东北方向的D处

天气预警受暖湿气流影响，今天17：30到夜间，码头A附近海域将出现浓雾天气.请注意防范.

请根据以上信息，解答下列问题：

(1)求渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离；

⑵若不改变航行速度,请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头A

(参考数据:sin37°=0.60,cos37=O.80,tan37=O.75;sinl4=0.24,cosl4=0.97,tanl4=0.25).

重点强化1三角函数(一)内构双直角三角形

图形

L方法：解锐角三角形，常作高，构造两个直角三角形求解.

类型一已知两边及夹角

1.如图.在△ABC中、C4=C8,cosC=g则sinB的值为.

类型二已知两角一边8

2.如图，在△ABC中.匚8=30,cosC=》C=IO,则BC的长为.

类型-已知R/

3.如图，在△ABC中,AB=5,AC=6,BC=7,求cosB的值.

A

类型四已知两角

4.如图.在△ABC中.tan8=｛匚。=451求tanZBAC的值.

1.如图，在△ABC中，匚"C=120〃8=10/。=5,求sin4CB的值.

2.如图.在△ABC^.ZABC=i35°,AB=23C=3>/2^tanZACB和：sinUB/l侬值.

A

3.如图.在△ABC中.匚48C=150求学的值.

5BC

4.如图，在△ABC中，CACB=90点D在AB的延长线上，若48=24。,tan匚3c£>=：求?的值.

3Z»C

重点强化3三角函数（三）分类讨论

图形

方法：已知两边及其中一边的对角解三角形，常

常需要分类讨论.

1.在△ABC中，若4。=角8口。=30□，则NABC的度数为.

2.在△ABC中，48=12/,/C=13,cos8=♦，则BC边的长为.

3.在△ABC中,AB=AC=6,AABC的面积为9,则NBAC的度数为.

4.在△ABC中，44=10/0=27,sin〃=g,；^aABC的面积.

5.在△ABC中.sinC=y,fi2AC=述AB,求NBAC的度数

重点强化4三角函数（四）等角转换

类型一同角（等角）的余角相等

1.如图，在矩形ABCD中.AB=6.BC=8,点E在CD上把△ADE沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处,

则cosZCEF的值为

类型二同角（等角）的补角相等

2.如图，在正方形纸片ABCD中，E是AB的中点，将正方形纸片沿CE折叠，点B落在点P处，延长C

P交AD于点Q,则sinNAEP的值为

类型三同弧（等弧）所对圆周角（圆心角）相等

3.如图.在。0的内接△ABC中,BD_LAC于点D.若力8=29口。8/）=1则。0的半径为.

类型四等量代换

4.如图在RlAABC中,点M,N在边AB上若tanZBCN=，且/MCN=45。,则A

AC=BC=32,nJ05=90,

3，

M的长为

类型五平移得等角

5.如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A,B,C,D都在格点处，AB与CD相交于点P,

则cosZAPC的值为

重点强化5三角函数（五）隐直角

类型一对角线隐直角

1.如图，在菱形ABCD中，48=2五』C=4,点E在边AD上，且片石="。,连接BE交AC于点M,求tanZAME

的值.

类型二角度关系隐直角

2.如图，在四边形ABCD中，5/=£匚8=120」,匚C=】50,/8=4,CD=v5,求BC的长.

类型三线段关系隐直角

3.如图，在矩形ABCD中,E是BC的中点，连接ED交AC于点F.若siE4C5=今求tan/CFD的值

类型四“格点”图形隐直角

4.（2025威海中考改编）如图，「48。的三个顶点都在正方形网格线的交点（格点）处，将「48旅点A逆时针旋

转得到口"‘。'.若A,CB三点共线，则tanCJB'CB的值为

回归教材1三角函数与圆(一)连切点构直角

方法技巧：连过切点的半径构造直角三角形，将三角函数值转化为线段的比.

教材母题(九上修02八2改编)如图，AB是。O的直径.AD是。0的弦C是属的中点过点C的切线分别与A

B,AD的延长线交于点E,F.

(1成证：AF3EF\

(2)若，求tan功用)值

/ICt*T

【枚材变式1】如图.AB为。。的直径,AE是。0的弦C是防的中点，过点C的切线分别与AE,AB的延

长线交于点D,F.

(1)求证：□E44+□尸=90;

(2旌接OD.若cos「l。4尸=(，求tannOQ/•的值

【教材变式2】如图,D是。O的直径AB延长线上一点,DC与。O相切于点C连接BC.AC

(1)求证：口。。3=口4

(2)若sin□£>=,,求tanZA的值.

回归教材2三角函数与圆(二)用直径构直角

图形1图形2

见直径，构直角作直径，两直角

教材母题（九上4正改编）如图，OO的半径为r,3比,是。0的内接三角形.

（1股□4C8=a/8=%求证：sina=£;

（2作。口48于点D,若r=3/C=4诿求sin匚8CZ）的值

【教材变式1】如图,AB为OO的直径,CD为。。的弦，直线AD与I3C相交于点P.

(1)求证：1DPC〜匚BP4;

(2)若AB=10,CD=6,求tan□力尸B的值.

【教材变式2】（九上心/改编）如图,△ABC内接于。O,AB=AC连接AO.

⑴求证：AOBC;

（2）CO的延长线交AB于点D,若tanW4C'=：.求装的值•

回归教材3三角函数与圆（三）作垂线构直角

方法技巧：作垂线构造直角三角形，在直角三角形中转化三角函数.

教材母题（九上与"1改编）如图，AB是。O直径，AD是弦，过点B的切线与AD的延长线交于点C,且.

AD=CD.

⑴求□/1的度数；

⑵求tan的值

【枚材变式1】（2025苏州中考）如图，在四边形ABCD中、BD=CDQC=「B4D..以AB为直径的。O经过点D,

交边CD于另一点E,连接AE.BE.

（1球证:BC为。O的切线；

（2诺彳8=而,$吊口月£。二零,求BE的长.

【教材变式2］如图，在口/出。中，匚力。?=90羟过B,C两点的交AB于另一点E,直径CD交AB

于点M.过点E作。O的切线EF,交AC于点F,且EF\CD.

⑴求匚8的度数;

（2）若4M=4v5,tan求AM的长.

回归教材4三角函数与圆(四)用垂径构直角

图形1图形2

条件：AB=AC.条件:OD_LBC于点D.

结论:AOJ_BC于点E,结论:NB0C=2ZB0D=2ZA,

ZBOE=ZBAC=ZBDC,ZADC=ZABC.sinBAC=sinCBOD=".

教材母题(九上修0/4改编)如图ABC是。0的内接三角形.AB=AC,P是々的中点，连接PA,PB,PC连接A

0并延长交BC于点M,连接B0,已知sin匚8PC=£.

(1)求证:/BPC二NBOM;

⑵求。的值；

An

(3球tanZPAB的值.

【教材变式I】如图，在。。中，加死D为篇上任意一点若求(anZADC的值

A

【教材变式2】如图，已知△ABC内接于半径为5的。O,sinQBAC=j.

⑴求BC的长；

(2)求^ABC的面积的最大值.

回归教材5三角函数与圆(五)倍半图

图形1图形2

条件：AB=BD.条件:AB是直径.AC是弦.

教材母题(九上尸981改编)如图，AB是。0的直径，D是半圆.々的中点，过点B的切线BC与AD的延长

线交于点C,连接0C.

(1球tanZICOA的值；

(2)延长CO交。O于点E,连接DE.求lan匚力。月的值

【教材变式1］如图，匚48。内接于(DOCD是。O的直径，且tanUCAB=^.

(1)求的值；

(2诺衣'=2比，求sin3BC的值.

【教材变式2】如图,AB为。0的直径,DB,DE分别与。。相切于点B,E,AD交。0于点M,连接EM.

(1或证：BDE\

(2府求sinZAME的值.

回归教材6三角函数与圆（六）双切图

图形条件:PA.PB是切线,AC是直径

结论：CtanJ2=tan□3=tan□CBD=tan====

APAEPEAB'

口5LMP8=S〃口DOB=黑哮.

D"

教材母题（九上修0/6改编）如图FA,PB分别与。。相切于点AB弦.BCUAP.

(1)求证：AB=AC\

(2)若4P=10,sinE14P8=I求BC的长.

【教材变式I］（九上修01八改编）如图、AR为⑷。的直径CAXT＞分别与G。相切于A,D两点.连接。C、RD、R

C.

(1)求证:8D〃。(3;

⑵若cosEL4C8=｛求tanZCBD的值

BD

【教材变式2】如图.AB为。O的直径,AC_LAB,D为。O上一点，且CD为。0的切线,BC与AD交于点E.

若AE=3DE,求tan-子的值.

回归教材7三角函数与圆(七)内切圆

图形

B条件:。0与AABC的三边分别相切于点D,E,F.

急

结论：tan□DEF=tannA0F=.

Ob

A/­C

教材母题(九上修03,4改编)在^ABC中,NC=90。,。。为△ABC的内切圆,切点分别为D,E,F.

(1)如图1.求sinZDFE的值;

(2)如图2,若察=［求sinZDEF的值

Ab3

【教材变式】如图在△ABC+^\B=AC,D为AC边上的一点是4ABD的内切圆，切点分别为E,F.G.

⑴求证:BE=CF;

(2涟接EF,FG,EG.若BD=10,CD=4,tanD£：GF=|cos/EFG的值.

回归教材8三角函数与圆（八）切垂图

AB是直径(DOC//AD

CD是切线②AC平分NBAD,CE=CB，/DCA=NCBA

ADA.CD③OF=CD=EG=BG=CH,BH=DE=CG,OG=EF=AF=OH

OF1AE④AO+DE=AB

CH±AB⑤AE+AB=2AH=2AD

已知AB是。0的直径CD与。O相切于点CAD_LCD于点D,交。O于点E.

（1）（九上八02八2改编）如图1.连接AC.若AE=3DE,求lanZBAC的值;

⑵如图2.连接AC,BD.若sinZJO£>=l求tanZBDC的值:

图2

（3）（2025内江中考改编）如图3.直线CD与AB的延长线交于点F,连接AC.若sinZCAD=*求cosF的值

D

A

图3

(4)如图4.连接ACQD交于点G.若cosdB/E=g,求器的值.

回归教材9三角函数与圆(九)切割图

图形条件：P是。O的直径AB延长线上的一点，PC与。O相切于点C.

结论:①NPCB=NA=NHCB,APCB^APAC；

OHjBP□CH2*"BH=OHJPH;

□tan□PCB=tanA=tanUBCH=与=彳=?=4二

AfiACPCCH

1.(2025新疆中考改编)如图,AB为OO的直径。为。O上一点CF_LAB于点F,E是AB延长线上一点.且/F

CE=2/A.

(1)求证9£是。O的切线:

⑵过点B作BD〃CE.交CF于点G.交AC于点D,连接BC若tan1由。£=；/£=1.求DG的长.

2.如图，点C在以AB为直径的。O上，过点C的切线交BA的延长线于点D,G是OB上的一点,过点G

作OB的垂线，交BC于点F,交DC的延长线于点E.已知tanZ?=1.

⑴求sinD的值:

B

G

(2)若DA=FG=1,求CE的长.

3.如图,△ABC内接于。O,AB=AC,过点A作。0的切线AE,交直径BD的延长线于点E.

(1)求证:AE〃BC;

(2)若BD=3DE.求tanZCAE的值

实践操作1三角函数与尺规作图

类型一作过定点的垂线

1.如图.在菱形ABCD中、对角线AC,BD相交于点0.

⑴尺规作图：过点C作AB的垂线，垂足为E；（不写作法，保留作图痕迹）

（2）©1）所作图形中若AC=4,BD=2,求sinZBCD的值

类型二作角平分线

2.如图,在咫口48。中,00=90\

⑴用尺规在图中作出菱形BDEF.且使点D,E,F分别在边AB.AC,BC上:

（2）在（1）所作图形中，连接BE.若sin/l=［求（anZFEB的值.

类型三作垂直平分线

3.（2025福建中考改编）如图在矩形ABCD中,AB<AD.

⑴求作正方形EFGH,使得点E,G分别落在边AD,BC上.点F,H落在对角线BD上:（要求：尺规作图，不写作

法，保留作图痕迹）

（2疮⑴所作的图形中，若tan1405=！，求条的值.

实践操作2三角函数与无刻度直尺作图

类型一运用已知直角

1.如图,△ABC的三个顶点A,B,C均为正方形网格的格点.仅用无刻度的直尺在AB上画点E，使tanE5CE=

“画线不得超过三条）

2.在下列正方形网格中，每个小正方形的边长都是1,每个小网格的顶点叫做格点，△ABC的三个顶点都是格

Joi*

（1）直接写出（anZBAC的值为;

（2点AC上画点E,使tanNCBE=ian/BAC.（画线不得超过三条）

类型二运用隐含直角

3如图是由小正方形组成的7x7网格,每个小正方形的边长都是1,每个小正方形的顶点叫做格点,△ABC

的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在AC边上画一点E，使画线不得超过三条）

4.如图是由小正方形组成的5x7网格，每个小正方形边长都是1,每个小正方形的顶点叫做格点，四边形ABC

D的四个顶点都是格点.仅用无刻度的直尺在CD上画点M,使tan/MBC=）画线不得超过三条）

类型三一题多法

5.如图,在平面直角坐标系中,A（4,2）,连接OA,在y轴上画点P,使ttanE1216>2.（画线不得超过三条）

三角函数综合1三角函数与特殊四边形

1.【验证体验】⑴如图1.在正方形ABCD中,E,F分别是边AB和对角线AC上的一点，且CJE。尸=45.连接B

D.求证：JBDEQCDF-,

【思考探究】（2）如图2.在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,E,F分别是边AB和对角线AC上的一点，且tanLEDF=

I若AE=2,求AF的长.

2.（2025安徽中考改编）如图，点A在正方形ABCD内点E在边AD上,BE垂直平分AA\AA的延长线交CD

于点F,连接AB,ACAE

（1求」“邢）度数；

⑵若E是AD的中点，求tan的值.

三角函数综合2三角函数与抛物线

1.如图，抛物线尸r2-5"4与x轴交于A,B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C,D是OC的中点，

连接BD.在抛物线上是否存在点Q，使tan若存在，求出点Q的坐标;若不存在，请说明理由.

2.如图，抛物线产f+4.什3交x轴于A,B两点（点A在点B左边），交y轴于点C.P为第二象限内抛物线上一

点，且口。3=3匚。CB.

⑴求tan尸C8的值；y

⑵求点P的横坐标xp的值

新情境（三）生活中的三角函数

1.如图，矩形ABCD为一个正在倒水的水杯截面示意图,AB=15cm，杯中水面与CD交于点E,当水杯底面

AD与水平面的夹角为a时,则杯中水的最大深度（即AF的长）为（)

A.I5sinacmB.15cosacm

C.15tanacm

sina

2.［生活情境|我国纸伞的制作工艺十分巧妙.如图，两条伞骨所成的角/BAC=130。,点D在伞柄AP上、AE=AF=

DE=DF=m，则AD的长度可表示为（）

A.msin650B.mcos65°C.2msin65°D.2mcos65°

3.小媛在物理实验课上研究光的折射现象，了解到当光从空气射入介质时，折射率，尸码（i为入射角，「为折射

角）.如图，一束光从空气射向横截面为直角三角形的硫系玻璃透镜斜面，经折射后沿垂直AC边的方向射出.若i=30。,

AB=20cm.BC=5cm.则该玻璃透镜的折射率n为（）

B.I.6C.1.5D.1.4

4.［新考法|某数学研究性学习小组制作了如下的三角函数计算图尺，在半径为