2026年高考数学一轮考点复习 第八章 平面解析几何 第8节 圆锥曲线常见结论的应用

第8节园锥曲线常见结论的应用

知识拓展

1.椭圆、双曲线焦点三角形中的一些结论

92双曲线

椭圆/+$=

（。>0,b>0）

①面积S/\PF\F?

=||PFi||PF2|sin0

=||PFi||PF2|sin0

_b1

=/Aan孝e

tan2

=dwl

=c|.yu|;

=(a+c)r(r为内切圆半径);

②|PFi||P乃|

、如2

③|PFi||PB|=7Tif—2b2

1+cos3

1-cos6

@P在短轴顶点时，〃最大

②\AF2\~\-\BF2\~\AB\=4a

周长=|4B|+HB|+|B乃|=4。（图①）

户在短轴顶点时，〃最大

（图②）

2.椭圆、双曲线的焦半径与焦点弦

椭圆：已知P（xo,yo）是椭圆上的一点，双曲线：已知P（xo,>»）是双曲线上的一

。为直线A8倾斜角，Fi,后为左、右焦点，夕为直线A8倾斜角，Fi,后为左、

点右焦点

①尸在左支，\PF\\=~exo~a,\PF2\=-

①|P尸i|=a+exo,exo+m

小乃|=。一"0；尸在右支，\PF\\=exQ-\-a,|PF2|=exo—

②焦半径最小为a—c,最大为a+c（长。（左加右减）；

轴两端点处）②同侧焦半径最小。一々，异侧最大。+

。（实轴两端点处）

①通径=詈2b2，为最短焦点弦；

2届

①通径一彳，为最短焦点弦；2b2

②焦点弦'］一2s2a；

②焦点弦长6co

2lr③若A8是过焦点尸的弦，A8交在同支

____a____

时，亲+V产患，交在两支时，

|1-e2cos物’

③右A8是过焦点尸的弦，则a尸+〃下一

ArnrAFBF~b2^AF<BF）;

2a

1?④焦点到渐近线的距离总是b；

⑤顶点到渐近线的距离为日

V*

3.与离心率有关的结论

v2«72

椭圆了+京=1（公6>0）双曲线q2力—21（4>0，b>0）

C

公式一e=5e=a

e=\11+,知渐近线求离心率）

公式二

72

(1)椭圆。+为=13>">0)的参数方程为

x=acos仇

y=bsin8；

92

(2)双曲线方一%=1(小比>())的参数方程为

a八

产百jsec。；

y=/?tan0.

51旭物线中焦点弦的几个结论

设A8是过抛物线产=2/*(2>0)焦点厂的弦，若A(»,yi),33,p),则

(1)X1-X2=4,J1J2=-P2；

(2)若A在第一象限，B在第四象限，则|AF|=[2，，弦长队同

1—cosal+cosa

=w+%2+〃=羔(a为弦AB所在直线的倾斜角)：

〉111CA

⑶网+两=7

(4)通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p,为最短焦点弦；

(5)S/QW=燃｝(a为弦48所在直线的倾斜角)；

(6)以弦AB为直径的圆与准线相切；

(7)以AF或BF为直径的圆与)，轴相切.

题型一与焦点三角形有关的问题

例1⑴(2021・新高考I卷)已知A,B是椭圆C：5+：=1的两个焦点，点加在

。上，则|MB|・|MB|的最大值为()

A.13B.12

C.9D.6

22

(2)设双曲线C：,一方=13>0,比>0)的左、右焦点分别为尸2,离心率为小.P

是。上一点，且乃P_LBP.若△PQB的面积为4,则〃=()

A.lB.2

C.4D.8

思维建模1.与焦点三角形有关的问题，如面积、周长、焦半径、焦点弦的求解

问题，公式的准确记忆与灵活选择是关键，特别是面积公式.

2.常用结论的使用在选择、填空中应用广泛，可以避免繁杂的计算，快速求解.

92

训练1⑴（2025•南京模拟）已知椭圆C：5+5=1（公>/>0）,其左、右焦点分别为

1JT

Fi,F2,其离心率为e=i,点P为该椭圆上一点，且满足NBPF2=?已知△?犬”2

的内切圆的面积为3兀，则该椭圆的长轴长为（）

A.2B.4

C.6D.12

（2）已知双曲线标一百=1的左、右焦点分别为人，尸2,若在双曲线的右支上有一

个点P,满足|PFi|=3|PB|,则点。的横坐标为.

题型二离心率问题

例2⑴已知椭圆E：%+方=1（。20）的左、右焦点分别为Q,凡若在椭圆£

上存在点P,使得PFI_LPF2,则椭圆E的离心率的取值范围为（）

A惇1)B.(0,由

D.&1)

⑵（2025•昆明质检）已知“，乃是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共

点，且NQ尸尸2=?则椭圆和双曲线离心率倒数之和的最大值为（）

A.14s

B.,3

4^6

C.4D.,3

思维建模1.离心率的计算方法较多，尤其是与焦点三角形有关的离心率结论较

多，需准确记忆应用条件.

2—12—1

2•公式(z+1)cos^可变形为欧3例=布.

训练2(1)如图，a,后是椭圆。：j+/=i与双曲线C2的公共焦点，A,B分

别是G,C2在第二、四象限的公共点.若四边形AK3F2为矩形，则C2的离心率

是()

美系

A.V2B.小

C，2D.^~

(2)过双曲线C：£一方=1的右焦点尸作直线/交。的右支于4,。两点，且满足

AF=y[3FBfO为坐标原点，若NO必=12()。，则双曲线C的离心率为.

题型三抛物线中结论的应用

例3(1)(2025•泉州段考)过抛物线f=4x的焦点F的直线I与抛物线交于A,8两

点，若|Af]=2|3F|,则|A引等于()

A.4B,^

C.5D.6

(2)(2025・长沙调研)过抛物线V=8工焦点的直线与抛物线交于M,N两点，设抛物

线的准线与x轴的交点为A,当AM_LNA时，|MM=.

思维建模1.抛物线中的结论较多，与过焦点的弦有关的结论出现频率较高，宜

多加以记忆.

2.抛物线的焦点弦长计算方法：

(1WI=4+(/-X2|=yj1+p|y)-pl；

(2)\AB\=x\+%2+/?；

(3)恒3|=悬(。为倾斜角)；

(4)|48|=2乂1+颉r为斜率).

训练3(1)(2025•深圳调研)直线y=x—1过抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点扛且与

。交于A,8两点，则|A8|=()

A.2B.4

C.6D.8

(2)已知抛物线C：)2=2〃%(〃>0)的焦点F,过点产且斜率为镉的直线交。于A,

在上方)，且14rl=6,则|BF|=.

|圆锥曲线的第二、第三定义拓展视野

一、圆锥曲线的第二定义

圆锥曲线的第二定义，也称圆锥曲线的统一定义：在平面内到定点的距离与到定

直线(定点不在直线上)的距离之比是常数e的点的轨迹为圆锥曲线.当0<e<l时，

轨迹为椭圆；当e>l时，轨迹为双曲线；当e=l时，轨迹为抛物线.其中定点是

曲线的焦点，定直线是焦点对应的准线，e是离心率.

例1希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中，完善了欧儿里得关于圆锥曲

线的统一定义，并对这一定义进行了证明.他指出，到定点的距离与到定直线的距

离的比是常数e的点的轨迹叫做圆锥曲线：当0<«<1时，轨迹为椭圆；当e=l

时，轨迹为抛物线；当e>l时，轨迹为双曲线.现有方程机（F+），2+2），+1）=（2L

y+3/表示的曲线是双曲线，则的取值范围为（）

A.(0,8)B.(8,+8)

C.(0,5)D.(5,+8)

二、圆锥曲线的第三定义

（1）平面内动点到两定点4（一〃,0）,42（〃,0）（或Ai（0,-a）,A2（0,〃））的斜率乘

积等于常数/—1的点的轨迹为椭圆或双曲线.其中两定点为椭圆或双曲线的顶点.

当0</<1时为椭圆，当”2>1时为双曲线.

⑵与第三定义有关的几个结论：

,,2

①48是椭圆a+5=1的不平行于对称轴的弦，M（A-O,），o）为A8的中点，则kawkAB

②椭圆的方程为Ai,A2为椭圆的长轴（或外，及为椭圆的短轴）

端点，尸点是椭圆上异于长轴（短轴）端点的任一点，则有左啊攵力2=—%（或攵尸%公.

③椭圆的方程为\+冬=1（。>力>0）,过原点的直线交椭圆于A,B两点,P点是椭

圆上异于A,8两点的任一点，则有攵出ZP3=-

o,2

@AB是双曲线兴一5=1的不平行于对称轴的弦,M（xo,加为A8的中点,则koM^kAB

⑤双曲线的方程为了一立=13>0,力>0）,4,4为双曲线的实轴（或外，&为双

曲线的虚轴）端点，尸点是双曲线上异于实轴（虚轴）端点的任一点，则有如叫如”=

/（或kpB[kpB2=/）.

⑥双曲线的方程为5一£=1（。＞0,疣＞0）,过原点的直线交双曲线于A,8两点，P

庐

点是双曲线上异于A,