高中数学人教A版高一数学上册必修一期末综合测试试卷（附答案与解析）

高一上学期必修一期末测试试卷（一）

（考试时间：120分冲送卷满分：150分）

第I卷（选择题：共58分）

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个

选项是正确的.）

I.（5分）计算sin（-枭）的值为（）

1

A.TB.-C.一女D.—

2

解：sin（-竽71）=si7i（-47T一百）=­=一竽.故选：C.

2.（5分）已知府R,则“2”是“衿”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

解：当〃=2时，满足41,不满足卜1,充分性不成立,

当。=劣时，满足工>1，但不满足〃>1,必要性不成立,

/a

故%>1”是>1”的既不充分也不必要条件.故选：D.

3.（5分）要得到函数），=sin（Zr-与）的图象，只需将函数y=sin2x的图象（)

A.向左平移g个单位B.向右平移g个单位

7T

C向左平移三个单位D.向右平移2个单位

66

解：Vy=sin(2x—)=sin[2(x—])],

JT

・•・将函数y=sin2r的图象上所有的点向右平移二个单位，即可得到函数），=sin⑵T)

6

的图象.故选：D.

4.(5分)设a=0.99i叫人=1.01°",c=logi.oi0.99,则()

A.c<b<aB.c<a<bC.a<b<cD.a<c<b

解：V«=O.99,olG(0,1),/?=1.01°">1,c=logioi0.99<0,

则c<a<h,故选：B.

5.（5分）已知0<aVl,则函数/（x）=4）与函数ga）=log“x,的图象在同一坐标系中

解：当OVaVl时，g（x）=log"在定义域（0,+8）上单调递减,

f（x）=。-'=（尸在R上单调递增，，对应的图形为。，故选：D.

6.（5分）已知a为锐角，且cos（a+看）=苧，则tang-a）=（）

A.一孝B.-V2C.V2D.—

22

解：因为a为锐角，所以a+1£（看，冬）且cos（a+看）=坐，

所以

sin(a+看)>0

1，解得sin(a+^)=y»

sin2(a+5)+cos2(a+5)=

由诱导公式得sin(掾-a)=sing-(a+看)]=cos(a+5)=苧，cos6一a)=sin(a+

看）=冬所以tan©-a）=:;*詈=寺=导.故选：》

7.（5分）“圆材埋壁”是我国古代的数学著作《九章算术》中的一个问题，现有一个“圆

材埋壁”模型，其截面如图所示.若圆柱材料的截面圆的半径长为1,圆心为O,墙壁截

面4BC。为矩形，且劣弧崩的长等于半径0A长的2倍，则圆材埋在墙壁内部的截面面

积是（）

A.1

1

B.-sin2

2

C.2—sin2

1

D.1-^sin2

解：由题意得劣弧丽的长为2,半径r=l,设NAOE=a,则ar=2,即a=2,

则扇形40B的面积为工a，=1,

Z

过点。作。"则ZAOH=ZBOH=1,

AUCH

WOsinl=^=AH,cosl=^=0H,AB=2A"=2sinl,

11

则S“O8=x2sinlccsl=ysin2,

所以圆材埋在墙壁内部的截面面积等于S阚形-SzvW8=lSE2.故选：D.

8.（5分）函数/（X）的定义域为。，若对于任意的XI,X2W。，当X1VX2时，都有/5|）

W/（X2）,则称函数/（X）在。上为非减函数.设函数/（X）在［0,1］上为非减函数，且

满足以下三个条件:$/（0）=0；②6）=/%）;-X）=1-/（6则f（焉）等

于（）

1111

A.-B.-C.-D.-

6432168

解：根据题意，fix）满足/（1-x）=1-/（外且/（0）=0,

令x=l可得：/（1）=1-f（0）=1,

11111

令x=轲得：/（』）=1-/（-）,变形可得/（;）=1,

乙222乙

111

对于/⑴=1,有/（：）=；，

3乙乙

1111

J92，34

111I

/（—）v=V（­）

-27'98

1、11、1

/（£）/石）二田

i、i,i、1

f（---）=}/（—）=

'24318132

111、1

f（z---）=of（----）=7T»

J729124364

,11—1111

对于/（I）=2,有八工）=引（7=4'

1111

/（—）=4/1（-）='

18268

1111

八£）二川茄：痔

111、1

f（---）二讨（——）=

」162/5432

1111

4862，16264

十1、1、1

由于/（---）=/（----）=

48672964

而函数/⑴在［0,1］上为非减函数，/（高）=/（烹）=八短）=白

故选：A.

二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）

（多选）9.（6分）已知210g3：+I。。3b=0，则下列等式一定正确的是（）

A.（2“）2=2“B.d=b

C.1）=aD.Iog2a=log8〃h

解：依题意，-21og3a+log3/?=0,即［093，）=，og3a之，

则b=a2且a,〃>0,故C正确；

对于A,（2。）2=2。・2a=22。工2”,故4错误；

对于3,a9elna=a2=b,故8正确：

对于。，log8ab=Log23a3=log2a,故。正确.故选：BCD.

（多选）10.（5分）已知函数/⑺=2sin（2x+刍，则（）

A.f（x）的最小正周期是n

B.（一看，0）是f（x）图象的对称中心

C.将/（X）的图象向左平移F个单位后其图象关于y轴对称

6

D./（x）在区间（0,同上单调递减

解：对于函数/（%）=2s）（2%+》它的最小正周期是手故A正确.

令x=一高求得/（x）=0,可得（一看，0）是/（上图象的对称中心，故8正确.

将/«）的图象向左平移:个单位后，可得），=2sin（2x+等）的图象，

显然，它的图象不关于），轴对称，故C错误.

在区间（0，刍上，2i+肥（|,TT）,/（x）在区间（0,今上不单调，故。错误.

故选：AB.

(l-|2x-3|,l<x<2,

(多选)11.(6分)已知函数/(%)=i%则下列说法正确的是()

2f(力，%>2,

1

A.函数y=f(x)-&式有3个零点

B.关于x的方程/(x)-£=0(九EN*)有2〃+4个不同的解

C.对于实数在［1,+8),不等式讨(外-3W0恒成立

D.在区间［2〃r,2〃］(〃WN*)内，函数/(x)的图象与x轴围成的图形的面积为g

解.•函数木)=〔(l-|2为x-3…|,1<x,<2,

o3

当1<x<2时,f(x)=2x~2,当5Vx<2时，f(x)=4-2r,

当2VxW3时,则/(工)=力(*)=>1，

当3<后4时，贝吕<2,/(%)="=2一参

当4VxW6时，则2V*43,/(x)=1/-(^)=1-j,

当6<rW8时，则3Vm4,/(幻=打弓)=1弋，

令y="，由图象可知y=寡与y=/(x)的图象只有3个交点，

・,・函数y=f(%)—春有3个零点，故4正确；

对于选项&当〃=1时，/(x)-1=0,即/'(%)=］由图象可知y=,与y=/(x)的图

乙乙乙

象只有3个交点，

・•・关于x的方程f(x)-4=。有3个不同的解，而当〃=1时，2〃+4=6,故8错误;

对于选项C，对于实数.r曰1,+8),不等式2v(x)-3W0恒成立，即/(%)三方恒成立，

由图可知函数f(X)的图象的每一个上顶点都在曲线y=/上，・・・/(x)</恒成立，故

C正确；

对于选项Q,当〃=1时，则x£[l,2],此时函数f(x)的图象与x轴围成的图形的面积

,11

为一X1X1=一，

22

当n=2时，则戈£[2,4],此时函数火x)的图象与x轴围成的图形的面积为工x2X-=

222

当〃=3时，则x€[4,8],此时函数人外的图象与x轴围成的图形的面积为]x4X]=今…,

当八日2〃7,2〃](〃61<)时，函数小外的图象与工轴围成的图形的面积为；'(2"-2〃T)X

11

——r=-»故。正确.故选：ACD.

2n-12

第H卷(非选择题：共92分)

三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分.)

2XX<7

12.(5分)已知函数/(%)='-'则/，(7))的值为________.

Uog3(2+x)，x>2,

解：f(7)=log3(2+7)=2,故/(/(7))=/(2)=22=4.故答案为：4.

13.(5分)函数/(%)=丽(枭+颖勺单调递增区间为.

解：对于函数/(x)=£angx+今)，由而一*V枭+*EZ),

Q1

可得V%<2k+W(kEZ),

所以，函数/(工)的单调递增区间为(2k-怖，2/c+i)(/ceZ).

故答案为：(2〃-最，2Z+/k£Z).

14.(5分)已知函数/()=1一另J，若不等式/(如)+/(-x2-^)>1对a隹(1,2)

恒成立，则实数。的取值范围是.

解：由题意知)，="单调递增，故/。)=1一昌1在氏上单调递增，

11PX+A

X/(x)+/(-x)=11-^H=2-^+i=1，

故不等式/(吟+/(-9一手>1对VxE(1,2)恒成立，

即f(Q%)>1-f(-x2-^)=/(x2+令对V,隹(I,2)恒成立,

所以。%>%2+今即a>%+2对V.隹(1,2)恒成立，

当次隹(1,2)时，x+1<2+1=1,

故a2即实数〃的取值范围是底，+8).

故答案为：官，+8).

四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)

15.(13分)函数y=2sin(2x+(p)(0<"wV刍的,条对称轴为直线％=各

(1)求(P；

(II)用五点法画出了数y=2sin⑵+(p)在［一/引上的简图.

TC

(k^Z),又(p€(0,-)

2

•一71

777T5/1TT

(II)由(I)知,y=2sin⑵+"Vxef-^,—]9冥0,2n],

7137r,

2x+可取0,—,TT,—,2n,作图如下:

22

16.(15分)已知函数fQ)=%2+-a#0,bRO.

(1)当〃=1,且4Vo时，解关于x的不等式/(x)<0；

(2)若a>2,b>2,若/(I)=0,求。+力的最小值.

解：(1)当。=1时，/(x)=『+(--2).1-5<0，

aQ

即(X-2)(x+i)<0,a<(),

当一：=2,即。=一;时，不等式的解集为0；

当一之>2,即-2V4Vo时，不等式的解集为{x|2VxV-<},

a404

当一(V2,即aV—*时，不等式的解集为{工|—1V%V2},

综上，当。=一/时，不等式的解集为0;

当—Va<0时，不等式的解集为324〈一工

11

当aV-g时，不等式的解集为<工<2};

(2)a>2,b>2,若f(I)=1+^^一(二°，

则2(a+b)=\+ab<1+(分乃，当且仅当a=b时取等号，

因为a>2,b>2,

所以a+〃>4,

解得a+〃24+2V5,即a+b的最小值为4+2g.

17.(15分)已知函数f(x)=2cosxcos(x——V3sin2x+s\nxco^x+\.

(1)求/(x)的最小正周期和最大值；

(2)将/(x)的函数图象向左平移(p(<p>0)个单位后得到的函数g(A)是偶函数,

求%»的最小值.

解：(1)由题意：/(x)=2cosxcos(x—看)—>/3sin2x4-sinxcosx+1

=V5cos2%+sinxcosx—y/3sin2x+sinxcosx+1=遮cos2x+sin2x+1=2sin(2x+

分+1,

由此可得：T=号•=71,/（幻nm=3

(2)由题意可知:g(x)=2sin(2(x+@)+，)+1=sin(2x+号+2»)+1,

7171

因为g(X)为偶函数，所以1十2(p=kn+;(kWZ),

•"=竽+佥(&WZ),

又因为巾>0,所以当L=0时，6的最小值为专.

18.(17分)己知定义在R上的函数人x)满足/-x)-/x)=0,Hf(x)=log2d+1)+kx,

g(x)=f(x)+x.

(1)求/(x)的解析式；

(2)若不等式g(4V-a*2x+\)>g(・3)恒成立，求实数a的取值范围：

(3)设〃(X)=x^-2nix+1,若对任意的xiW［0,3］,存在X2W［1,3］,使得g(xi;

Cx2),求实数〃?的取值范围.

xx

解：(1)由题意知，log2(2-+1)-/ex-log2(2+1)-/ex=0,

x

xx2~+l

即2―=log2(2-+V)-log2(24-1)=log2=-%,

所以k=-2,故/'(%)=Zog2(2*+1)—聂.

x

(2)由(1)知,g[x}=/(x)+x=log2(2+1)+^x,

所以g(A-)在R上单调递增，

所以不等式g(4工-〃・竺+1)>g(-3)恒成立等价74*-〃・2'+1>-3,

即aV工”.恒成立，

4x-4t2+44

设f=2\则/>0,—二=----=t+->4,当且仅当f=2,即x=1时取等号,

2tt

所以a<4,

所以实数a的取值范隹是(・8,4).

(3)囚为对任意的如日0,31，存在4日1,31，使得g(xi)(X2),

所以g(x)在［0,3］上的最小值不小于。(x)在［1,3］上的最小值，

因为g(x)=/ogzQx+1)+*”在［0,3］上单调递增，

所以当“6［0,3］时,g(X)min=g(0)=1,

h(x)=J?-2mx+l的对称轴为X=M,xe［\,3］,

当wiWl时，h(x)在［1,3］上单调递增,

1

所以/?(x)min=h(I)=2-2"?W1,解得m>2,

所以工<m<1,

2

当1V〃?V3时，h(x)在[1,上单调递减，在的,3]上单调递增,

九(x)min=h(m)=1-m2<1,解得〃?GR，

所以l<m<3,

当〃?23时，h(x)在[1,3]上单调递减，

所以/?(x)min=h(3)=10-6mWl,解得mN亍

所以〃?23,

综上可知，实数，〃的取值范围是。，+00).

19.(17分)已知函数/(%)=/-/x(e为自然底数，e=2.7).

(1)判断/(x)的单调性和奇偶性；

(2)解不等式/(/(X))>与贮；

(3)若对任意x>0»0G(0>—),不等式/(8加£2xsinecose-2rcos2-x2—2rcosO)-iyi4xsin20

22

-2(2+sin0)f-/(l+sinB)・/]W0都成立，求正数/的取值范围.

解：(1)由函数定义域为R,

111

xx

令A-i>A2,贝疗(右)-f(x2)=e"i—西一e"2+市=(e»-e^(l+ex1+X2)，

1

由/1一靖2>0,1+-r+K->0»则/(刘)>/(X2)故