函数零点高三备考核心考点与应用-2026高考数学一轮常考题

18.突破函数零点压轴的常见微专题

L浅谈函数“取点”问题中的基本方法

一.基本原理

1.找点原理：对于函数/(x)=〃(x)-g(x),倘若我们要找/(x)>0的点，且发现当

Xf+OC时，函数砥丫)1+8居(丫)7+8均趋向正无穷，此时我们可以考虑将函数/(、)

的结构加以变形：

不妨假设变形为/(工)=a(x)-g(X),从而X->+8,/(x)f+8,g'(x)f〃z,即将一

部分放缩控制为有限极限，从而欲解/(X)>0只需解〃'(幻〉〃?即可.为此，我们需要特别

留意下面这些函数的极值点：

/(x)=xevf(x)=《f(x)=—

ex

InXr

f(x)=x\nx/«=—/«=—

xInx

2.三角找点原理.有关三角函数的零点问题处理主要手段有：

(1)分段处理；分段的依据主要是由三角函数的取值象限来进行，(0,]7T),(：TT/)等.

(2)讨论好单调性与端点(特殊点)，注意高阶导数的应用，直到能清楚判断所讨论区间

的单调性；

(3)关注有关三角的不等式放缩，有时候可优化解题，避免繁杂的找点过程！

.x3x2

sinx<x.x>0；sinx>x--->0；cosx>1------.

62

二.典例分析

例1.(2022全国乙卷)已知函数/(x)=ln(l+x)+〃工。7

(1)当。=1时，求曲线/(%)在点(0,/(0))处的切线方程；

(2)若/(x)在区间(-1,0),(0,+8)各恰有一个零点，求a的取值范围.

解析：(1)/(0)=0,/"(0)=2,所以/(x)在点(0,/(0))处的切线方程为y=2x;

ex+a(l-x2)

(2)由于「(X)=-L+""一')(「＞一1),&pf\x)=

1十xeex(l+x)

当。之0时，当xe(—l,O］时，/'(x)>0成立，所以/(x)在X£(—1,O］单调递增，且

/(%)=0,故xw(—1,0］时，/(x)无零点，舍去.

当。<0时，当工->一1时，/(x)f—8,/(0)=0,由题意可知，必有了'(0)=1+。工0,即

a.

(1)当a=-l时，f\x\=----+----=----------,

1+xer(l+x)ex

令g(x)=/+x?-1,当x£(0,+oo)时，g(x)=er+2x>0,故g(x)>g(0)=0,故

八x)>0,/'⑴单调递增，在X£(0,+8)无零点，舍去；

x2

(ii)当。<一1时，/'(')=-——算+",令h(x)=ex-ax~+a,h(x)=ex-lax

(l+x)e、

当x>0时，/j(x)>0fMr)单调递增，且〃(0)=1+。<0,/?(l)=e>0,故切€(0,1),

使得〃(x())=0,当工£(0,工0)时,/?(.¥)<0,f\x)<0,/(x)单调递减；X£(Xo，+oc)时,

h(x)>0,f\x)>0,/(x)单调递增；又/(0)=0,这时,我们只需说明存在4e(x0,+oo)

使得/(G>0即可.

X1

下面来考虑找点过程：由于ln(x+l)f+8,而一<1,故axe-x>4,那么

ee

/(x)=ln(x+1)+ax-'>ln(x+1)+o，故只需满足：

ln(x+I)+Q>0即可，取4="“一1,则/("“一1)>111""+。=0,于是此时在(0,+8)

上有一个零点;

h(x)=ex-2ax,由/?(x)单调递增，且〃(-1)=1+2〃<

当xe(-l,0)时,—2<0,

/?(0)=1>(),故肛6(7,0),使得〃'⑷=0,当xw(T，x)时,h\x)<0,〃⑴单调

递减，xe(x，0)时，加x)单调递增；又/7(-1)=，>0,6(0)=1+。<0,

故土2£(-1，°)，使得力(丫2)=0，当工£(一1,工2)时，力(x)>。，/'(X)〉O,/(工)单调递

增，刀£(马，0)时，h(x)<0,f\x)<0,/(X)单调递减；又/(0)=0,这时，我们只需

说明存在，2正(一1，3)，使得/«2)<0即可.

2

Y—1

下面来考虑找点过程：由于ln(x+l)f而p=-e,^.axe-x<-ae^

ee

那么/(x)=ln(x+l)+oxeT<ln(x+l)-讹(，故只需满足：

ln(x+l)-〃cvO即可，取贝iJ/'(e“e-l)<lnG“e-ae=O,于是此时在(0,+8)

上有一个零点；此时在(-1,0)上有一个零点；综上，a<-\

对于函数/(x)=/7(x)-g(x),倘若我们要找/&)>0的点，且发现当

XT+8时，函数〃(对->+8名(刈->+8均趋向正无穷，此时我们可以考虑将函数/(X)

的结构加以变形：

不妨假设变形为/(x)=/i(x)-g(X)，从而X->+8,/(x)f+8,g'(X)->〃7,即将一

部分放缩控制为有限极限，从而欲解了(X)〉0只需解万(x)〉〃?即可.

2•零点同构

函数同构问题是当下的一个热门问题，2022,2020,的导数问题就可以从同构角度构造恒成

立.同构问题常见于指对混合函数的恒成立或零点问题中，重在观察和变形，所以技巧性

较强.当然这类指对混合函数的恒成立也可用其他方法完成，在这里学习同构，更多的是

提升观察与思维能力.

一.基本原理

1.解决指对混合不等式时，常规的方法计算复杂，则将不等式变形为/[g(x)]〉/[/"x)]

的结构，/(》)即为外层函数，其单调性易于研究.常见变形方式：①工产=《+近；②

—=ev-lnv；③三=@x+lnx=ln(xex)；⑤x-lnx=lnJ.

xex

2.多变量同构型零点的基本规律

2.1./(x)=er-x,g(x)=x-lnx,图象如下，左端为/(x),右端为g(x).

3

⑴ZninW=^m＞nW=^

(2)同构特性：/(lnx)=g(x)

(3)若方程/(X)二g(x)二b存在三个实数根，分别记为叩户2，工3,则2〃=7+再有

(4)若方程/(x)=g(x)=b存在四个实根，记为再,孙工3，/，且有*＜七＜》3＜工4,

则有：*+/=々+七(

2.2./(x)=8,g(x)=坦,图象如下:，左端为/(劝,右端为g(x).

ex

性质：

⑴人(加右㈤」

e

(2)同构特性：/(lnx)=g(x)

(3)若方程/(幻二8(》)二方存在三个实数根，分别记为演＜七，贝情石二中3

(4)若方程/(x)=g(x)=b存在四个实根,记为再,孙工3，口且有$＜七＜》3＜工4,

则有：再必=》2七(

4

例2.(2023届成都

24

己知函数/(外二号，其中x>0,aeR.

(1)求函数/(x)的单调区间；

(2)当。>0时，函数g(x)=alnx+Z1d-2x+l恰有两个零点，求。的取值范围.

e*

解析：(1)当aWO时，函数〃x)的单调递增区间为(0,18),无单调递减区问；

当。>0时，函数的单调递减区间为(0,单调递增区间为件+8).

(2)函数g(x)=alnx+华-2x+l恰有两个零点，等价于方程匚=2x-l-〃lnx有两个

e-e2%47

e2K1

不等的实数解.*.*j>0,6/>0,-=—=2x-1-aInx=Ine2r-Ine-Inxa=In------,

c-xaxa

PTft11

令/=---->0,则一=lnz.令〃(/)=lnz--,则，«)=----.；・当Owe时,//(/)>0；

xaeeie

当时，/⑺<0.・,•函数〃(/)在(0,e)上单调递增，在C+oo)上单调递减.・・・〃(c)=0,

二方程」二In/有唯一解/=e.・•・方程里=2x-1-aIn二有两个不等的实数解等价于方程

ee-xa

e=£二有两个不相等的实数解.等价于方程alnx=2x-2有两个不相等的实数解.构造函

x

数代x)=alnx—2x+2,贝］以犬)=乌一2.Vf/>0,，当0<x<?时，政制>0；当时，

X22

如)<0.・••函数左卜)在(o,£j上单调递增，在e,+8)上单调递减.W，^(A-)->-00.

XT+CO,-co.・,•只需要左二=〃1n=一a+2>0,即卜3+2一1>().构造函数

\2)22a

G1O

m(a)=In—+—1,贝|「加'(々)=----7..•.当0<。<2时，in(a)<0；当。>2时，〃/(。)>().

2aaa'

函数〃z(a)在(0,2)上单调递减，在(2,y)上单调递增.・・・m(2)=0,当。工2时，ln^+--l>0

2a

恒成立.・・・〃的取值范围为(0,2)7(2,+00).

5

例3.(2022全国新高考]卷)

己知函数/(X)=ev-or和g(x)=〃工-Inx有相同的最小值.

(1)求4;

(2)证明：存在直线y=其与两条曲线y=/(x)和y=g")共有三个不同的交点，

并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.

解析：(2)由(1)可得，/*)的最小值在x=O处取到，g(x)的最小值在x=l处取到，

且最小值均为L于是，/(x)在(0,1)上增，g(x)在(0,1)上减，则存在££(0,1)，使得

/(x2)=g(x2)>1.这样的话，令/?=/(x2)=g(x2),旦直线y=力与两条曲线y=/(x)和

y=g&)共有三个不同的交点

另一方面，注意到/(x)=e'-x-Ine'-el考虑函数gQ)=Z-InZ,则/(x)=g(£).

设直线y=h与两条曲线y=/(x)和y=g(x)从左到右的三个交点横坐标为x„x2,.v3.且

有为〈OCX?<1<占•由上述讨论可知：f(X2)-S(eX：)-S(X3)»故1=七①，同理，

由/(xj=/(In/)②可得：x]=Inx2.又因为。"一/二x?-Inx?=>2x2=e"+Inx?③

联立①，②，③可得：2工2=芭+刍，即从左到右的三个交点横坐标成等差数列.

3.复合方程与函数作图

一.基本原理：

f(x),x>a、

L已知/(x)=(r,、,且“+/”+c=o的两个具体的根，求/2(x)+〃、(x)+e=o

f2(x\x<a

根的个数，或者根据解的个数求参数范围.

解法剖析：换元，最终转化为/=/(刈根的个数，这类问题由于一元二次方程的根最终可

以求解，所以实际就转化成函数作图后找到交点个数，或者根据交点个数求参数即可

f(x)X2Q

2.已知函数/'(x)=FI,且知一元二次型方程〃&)+仔(刈+。=0根的个数，

求参数的取值范围.

解法剖析：换元，最终转化为一元二次方程根的分布.

6

3.一元二次方程根的分布

对一元二次方程or?+bx+c=0(其中awO)和二次函数/(x)=or?+6x+c=0,有:

A>0,

(1)方程/(x)=0的2个根都比k小的充要条件是J-2<女，

2a

0W>0.

fA>0,

(2)方程/'&)=0的2个根都比A大的充要条件是

叭k)>0.

(3)方程/(x)=0的一根都在(私，z)内，另一根在(PM内的充要条件是""〃)<°

af(p)<0,

af(q)>0.

A>0,

af(m)之0,

(4)方程/(x)=0的2个根都在［〃z,n］内的充要条件是af(n)>0,

b

tn<------<n.

2a

(5)方程/(x)=0的一根比左大，一根比女大，一根比女小的充要条件是4(％)<().

(6)方程/(x)=0的2个根都在［〃?,〃］外，且一根比小小，另一根比〃大的充要条件是

“(〃?)<0,

叭〃)<0.

4.求解复合函数y=g［/(x)］零点问题的技巧：

(1)此类问题与函数图象结合较为紧密，在处理问题的开始要作出/(x),g(x)的图像

(2)若已知零点个数求参数的范围,则先估计关于/(x)的方程g［/(x)］=0中/(x)解的个

数，再根据个数与/(幻的图像特点，分配每个函数值/(口被几个X所对应,从而确定£(x)

的取值范围,进而决定参数的范围.

二.典例分析

例4.函数〃x)=,方程/(力-犷(》)=0有6个不同的实根，则实数/的取值

-.r2-4x,x„0

范围为()

A.e</<4B.t>4C.t<eD.e<r<4

解析：由方程/2(x)-/0)=O得/("=/或/(x)=0,

则方程/2(x)rf(x)=0有6个不同的实根，等价于，=/'")的图象与直线y=f,y=O有6

个不同的交点，当x>0时，/(x)=-,贝11/心)=叵二坐，令八》)=0,得：x=l,

Xx~

当X€(0,1)时，/")<0,/(X)单调递减；当XW(l,+8)时，八外>0,/(X)单调递增，

2

故x=l时，/(X)取极小值〃l)=e,当X.0时，/(x)=-r-4x=-U+2)+4,当XC(TO「2)

时，/⑶单调递增；当》€(-2,0)时，/(x)单调递减，且/(-4)=/(0)=0,/(-2)=4,根据以

上信息，作出八x)的大致图象如图，

由图可知，y=/(x)的图象与直线y=o有2个不同的交点，由题意，只需y=/(x)的图象与

直线y=7有4个不同的交点，则e<f<4,综上得：，的取值范围是e</<4.故选：A.

例5.已知函数/(戈)=.-d,关于x的方程[/(x)]2+/(x)_l=()有三个不相等的实数根，则

/的取值范围是()

r

解析：/'(x)=(^+2x)e=x(x+2).e\所以/(x)在区间(-oo=2),(0,+oo)J(x)>O,/(x)

递增；在区间(-2,0),/(”<0,/(月递减.所以/(工)有极大值〃-2)=3，有极小值/(0)=0.

e

结合〃%)=、％造0,可画出/(X)的大致图象如下图所示.

8

依题意，关于X的方程[力力『+"（幻-1=0有三个不相等的实数根，令z=/（x）,则

2

z+tz-\=0f△=『+4>0,方程z2+/z-1=0有两个不相等的实数根，设为4，z2,

贝”Z2=—l<0,所以方程z?+/z-1=0有一正根和一负根，z=/（x）<0无解，当z=/（x）为

4（4A

正时，根据图象可知，0</（x）<三即方程z2+/z-l=0的正根在区间0-±,

eIeJ

^g（z）=z2+/z-l,g（0）=-l,故8仁卜仔+Zxp--1>0,解得/.故选:C

4.函数的对称性与零点问题

一.基本原理

1点关于点对称：点（。,与关于（〃[,〃）对称的点坐标为（2〃?-4,2〃-加，

2.点关于线对称

一般地，若点PQ，凹）关于直线/:而+&+C=0对称的点为P'（与,%）,可连接。产交/

于M点，贝I"垂直平分尸P,所以尸PJL/,且用为PU的中点，又因为M在直线/上，

k[・kpp.——1,

可得力山+4江5+。=0「

22

进一步，我们可以通过上式算得：点（〃/）关于直线4\+故+C=0对称的点的坐标可计

百一2A（Aa+Rb+C）28（/a+A6+C）、

算为（Q------;----;----，bL-----------------）.

K+B2A2+B2

特别地：

（1）点（。,人）关于直线y对称的点为（-。/）

（2）点①力）关于直线x对称的点为（。,-6）

（3）点（。力）关于直线'二不对称的点为3,4）

9

上述问题经常可以通过两个函数图象上存在上述特征的对称点求参数范围而出现，其本质

是一个方程根的存在性问题，我们的基本做法就是分离参数，然后求得参数的范围.

二.典例分析

例6(广州一模T11).己知函数/(力=/+2(.丫20)63)=碇-标>0),点分别在函数

y=/W的y=g(x)的图像上，。为坐标原点，则下列命题正确的是()

A.若关于X的方程/(x)-g(x)=O在［0,1］上无解,则。>3e

B.存在P,。关于直线P=x对称

C.若存在尸,。关于y轴对称，贝I1OVC/K2

D.若存在只。满足/0口？=90'，则°<”工态；

解析：函数/卜)=/+2(20)若卜)=讹一血〉0),对于A,方程

/(力-8(X)=00/7")=<2+2-©*=0在［0川上有解，显然函数Mx)在［05上单调递增，

则有%)=3-讹-h0,解得253c,因此关于*的方程/(x)-g(x)=0在［0』上无解，

贝!］0<。<2或。>3e,A错误；

对于B,设点。。,优一)依题意，点。关于直线P=x对称点(僦1)在函数/(x)=W-2的

图象上，即关于，的方程/=。2。2+2有解，即/=(一母级有解，此时"2,令函数

°”)=(/-2)e2,,r>2,(p'［t}=(It-3)e”>0,即函数的)在⑵+<»)上单调递增，9。)>例2)=0,

而函数y=/-2/="在(2,+8)上都单调递增，它们的取值集合分别为(0,+x),(e4,+8),

因此函数加)的值域为(0,+8),又。2>0,于是/=(―2)e〃在(2,+8)有解，所以存在P,。

关于直线歹=X对称，B正确；

对于C,设点P(…2+2),&20,则点尸关于y轴对称点(-M,M2+2)在函数g(x)=aex(a>0)

的图象上，即“e"="'+2oa=----,令尸(〃)="

eHeM

2

尸(〃)=一"+"-2=—(“一厅+0,即函数F(〃)在［0,”)上单调递减,F(W)nm=F(0)=2,

e"d'

又V〃e［0,+oo),恒有2〃)>0,因此0<〃42,C正确；D正确.故选：BCD

例7.已知在函数/(x)-*+lnx与函数的图象上存在关于V轴对称的点，

10

则实数。的取值范围为()

A.B.I-co,--C.(f，y]D.

ke」I2」

解析：由题可得/⑺=g(r)在(0,+e)有解,即/+限=2/+”在(0,+8)有解，

所以4=11匚工在(0,也)有解，令力(x)Jnu二工€(0,冏,则l(x)=士

XAX

令〃(x)=-/+1-lnr,xe=(0,+oc),则//(x)=-2x-gv0,所以〃(丫)在(。,+8)单调递减，

且P⑴=0,所以当xe(OJ)时,p(x)>0,贝！l/(x)>0,4x)单调递增，当x«l,+8)时，

p(x)<o,则方。)单调递减，所以力(力-=〃(1)=一1，故故选:D.

5.同零点型恒成立

一.基本原理

1.类型1的基本特征

这类题目的原理很简单，对于/7(X)=/(X)g(X)2恒成立，根据乘法原理，可将其

拆解为：[八(以及/(X)与g(x)在XW。上每个横坐标处同正

同负，即零点相同！

综上所述，这类题目需要分类讨论求解(一般情况下，展开无法完成)，求讨论的步骤为:

(i)f(x)<0=>g(x)<0,VxG£),

(ii)/(x)>0=>g(x)>0,VxG。，以及易忽视的第三步：

(iii)/(x)与g(x)在X6。上每个横坐标处同正同负，零点相同，即恒同号！

2.类型2的基本特征

若方程〃幻二0有唯一根.日./(尤)=0可转化为g(x)-〃(x)=0,而g(x)为上凸型偶函

数(轴对称函数)，〃*)为下凹型偶函数(轴对称函数)，这样唯一的零点就会出现在一个

函数的最低点和另一个函数的最高点(即对称轴相同的地方)

11

二.典例分析

例8,(2024年新课标全国2卷)设函数/(工)=4X+1)2-1,g(x)=cosx+2ov,当xe(-1,1)

时，曲线歹=/(》)与N=g(x)恰有一个交点，则。=()

A.-IB.yC.1D.2

解析：令析x)=g(x),Bp«(x+1)2-1=cosX+lax,可得#+a-l=cosx，

令b(x)=&+a-l,G(x)=cosA-,原题意等价于当xw(-1,1)时，曲线y=尸⑴与歹=G(x)恰

有一个交点，注意到“(",6卜)均为偶函数，可知该交点只能在y轴上，可得产(0)=G(0),

即"1=1,解得Q=2,若a=2,令尸(x)=G(x),可得2x?+l-cosx=0,因为xw(-14)，

贝Ij2fN0』—cosxN0,当且仅当x=0时，等号成立，可得Zd+l—cosxNO,当且仅当T=0

时，等号成立，则方程2f+l-cosx=0有且仅有一个实根0,即曲线了=/(外与旷=6。)恰

有一个交点，所以。=2符合题意；综上所述：。=2.

例9.(2024年新高考2卷T8)设函数〃x)=(x+a)ln(x+b),若/(x)20,则/+/的

最小值为()

A.—B.-C.-D,1

842

解析：由/(x)20可得ln(x+与与X+Q始终同号，故而可得：ln(x+6)=0时X+。也等

22222

于0,.­.1-/?+«=0,«+/?=(a+l)+a=2(«+1)+^>1,选C.

三.习题演练

1.(2017年全国2卷)若函数/(x)=-W+4x+/〃(产2+/')有唯一的零点，则实数

m=_______

解析：因为〃x)=x(4—x)+巩，?+/，),所以/(4-x)=(4T)x+Mei+e2T)=〃x)

12

所以/(4-x)=/(x)即函数图象关于x=2轴对称，故函数的图象与x轴的交点也关于x=2对

称，又因为函数有唯一零点，故根据函数的对称性可知，只能交在(2,0),即/(2)=4+2〃：=0,

所以〃[=-2.故答案为：-2.

2.已知函数/(x)=e2=2e，+2x在点尸(小,/(%))处的切线方程为/：y=g(x)t若对任意

xeR,都有(x-%)(/(x)-g(x))20成立，则/=.

2tJ

解析：因为/。)=r'-2/+2工，所以八幻=2©2'-2/+2,/(x0)=c0-2c-+2x0,

所以g(x)=(2c"。—2e"+2)(x—/)+。2*。-2e"+2.%,令M》)=/(幻一g(x),

贝IjMx)=c2,—2c*+lx-[(2c2%—2c*。+2)(t—x0卜c2%_2c%+2x0],贝I]/?(%)=0,

/r(x)=2e2l-2er-(2e2x0-2ex"),令Q(X)=Ze?'—2e',贝ij"(x)=4e2'—2e',令0(x)=0,得

x=-ln2,所以xu(8,ln2)时，w'(x)<0,o(x)单调递减，xc(ln2,ia)时，(p'(x)>0,

°(x)单调递增，当/£(-In2,+功，xNx。时,夕(x)>°(x(J,则“。)二。(%)一0伉)>0,h(x)

单调递增，h(x)^h(xo)=0,即/(x)Ng(x),所以当与6(一柏2,+8),工之与时，

(x-xo)(/(x)-g(x))20成立，当x()e(y,Tn2),x<x)时，(p(x)>(p(x0),则

”(幻=8(》)一*(.%)>0,/?(x)单调递增，h(x)<h(xo)=0,即/(x)<g(x),

所以当.6(-8,-1112),时，(.”Xo)(/(x)-g(x))>O成立，综上所述x°=-ln2.

3.已知函数f(x)=a(ex+e'+2x)-l,g(x)=-x2+lax,若/(x)与g(x)的图象在xe(-11)上

有唯一交点，则实数。=()

A.2B.4C.-D.1

2

解析：令h(x)=/(r)-g(r)=r/(e'+e'x)+r2-I,xe(-1.1),由h(-x)=a(ex+ev)+r2-1=h(x)»

得〃(X)是(-1J)上的偶函数，其图象关于)'对称，由/(X)与g(x)的图象在；rw(-Ll)上有唯一

交点，