2027届新高考数学热点精准复习两直线的位置关系

2027届新高考数学热点精准复习两直线的位置关系1.能根据斜率判定两条直线的平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.3.探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.课标要求1.两条直线的位置关系直线l1:y＝k1x＋b1，l2:y＝k2x＋b2，l3:A1x＋B1y＋C1＝0，l4:A2x＋B2y＋C2＝0的位置关系如下表:位置关系l1，l2满足的条件l3，l4满足的条件平行_____________________________________________(或B1C2-B2C1≠0)垂直_____________________________相交_______________________________k1=k2且b1≠b2A1B2-A2B1=0且A1C2-A2C1≠0k1·k2=-1A1A2+B1B2=0k1≠k2A1B2-A2B1≠0

交点(2)两直线的位置关系与方程组解的关系一组无数组______直线l1与l2的公共点的个数一个_________零个直线l1与l2的位置关系______重合______无解无数个相交平行

常用结论与微点提醒1.四种常用对称关系(1)点(x，y)关于原点(0，0)的对称点为(－x，－y)，点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x，2b－y).(2)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y).(3)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线

y＝b的对称点为(x，2b－y).(4)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x).常用结论与微点提醒2.若直线l1∥l2，则k1＝k2或者k1，k2都不存在;若直线l1⊥l2，则k1k2＝－1或者k1，k2一个为0，一个不存在.3.应用点到直线的距离公式与两平行直线间的距离公式中的直线的方程必须是一般式.特别地，在两平行线间的距离公式中，两直线方程的一般式中x，y的系数必须对应相等.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)如果两条直线l1与l2平行，则它们的倾斜角和斜率分别相等.(

)(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.(

)(3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交.(

)(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.(

)(1)倾斜角相等，但当两直线都与x轴垂直时，斜率均不存在.(2)当l1⊥l2时，若l1的斜率k1＝0，则l2的斜率不存在，不满足题意.诊断自测

概念思考辨析+教材经典改编√××√2.(人教A选修一P102T1(3)原题)与直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线的方程为(

)A.3x＋4y－5＝0 B.3x＋4y＋5＝0C.3x－4y＋5＝0 D.3x－4y－5＝0B

3.(苏教选修一P27T2改编)以点A(－1，1)，B(2，－1)，C(1，4)为顶点的三角形是(

)A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.无法判断B

4.(人教B选修一P100T2改编)已知点B(m，6)到直线y＝3x＋6的距离为3，则实数m的值为____________.

例1已知直线l1:ax＋2y＋6＝0和直线l2:x＋(a－1)y＋a2－1＝0.(1)试判断l1与l2是否平行;考点一两直线的平行与垂直

(2)当l1⊥l2时，求a的值.

感悟提升1.当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件.2.在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.训练1(1)(2026·南充诊断)“m＝1”是“直线l1:x＋(m＋1)y＋1＝0与直线l2:(m＋1)x－my－1＝0垂直的”(

)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件Al1与l2垂直等价于(m＋1)×1＋(m＋1)(－m)＝(m＋1)(1－m)＝0，得m＝±1，所以“m＝1”是“直线l1:x＋(m＋1)y＋1＝0(A1，B1不同时为0)与直线l2:(m＋1)x－my－1＝0(A2，B2不同时为0)垂直”的充分不必要条件.故选A.(2)使三条直线x＋y＝2，mx＋y＝0，x－y＝4不能围成三角形的实数m的值为____________.

A考点二两直线的交点与距离问题

(2)点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为____________.

感悟提升1.求两直线的交点，通常情况下解由两直线方程组成的方程组即可.若已知交点坐标求直线方程中的参数，直接代入交点坐标即可.若判断交点所在象限，可根据各象限内点的横、纵坐标的特点确定.2.利用距离公式应注意:(1)点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|;(2)两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化为对应相等.

AD

(2)经过两直线l1:2x－y＋3＝0与l2:x＋2y－1＝0的交点，且平行于直线3x＋2y＋7＝0的直线方程是(

)A.2x－3y＋5＝0 B.2x＋3y－1＝0C.3x＋2y－2＝0 D.3x＋2y＋1＝0D

1.所谓直线系方程，是指满足某种特征的直线方程的全体.在求与已知直线平行或垂直的直线方程，或过两已知直线交点的直线方程时，利用相应的直线系方程能简化解题过程，提高解题效率.2.直线系方程的设法(1)过点(x0，y0)的直线系方程为A(x－x0)＋B(y－y0)＝0(其中A，B不全为零);(2)平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程Ax＋By＋C0＝0(C≠C0);(3)垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程Bx－Ay＋C0＝0;直线系方程微点突破(4)过两条已知直线l1:A1x＋B1y＋C1＝0和l2:A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0.(这个直线系方程不包括直线l2:A2x＋B2y＋C2＝0，解题时注意检验l2是否满足题意)(5)到点(x0，y0)的距离为定值d的直线系方程(x－x0)cosθ＋(y－y0)sinθ＝d.典例

(1)过两直线l1:x－3y＋4＝0和l2:2x＋y＋5＝0的交点和原点的直线方程为(

)A.3x－19y＝0 B.19x－3y＝0C.19x＋3y＝0 D.3x＋19y＝0D

(2)经过点A(2，1)且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程为______________.

x-2y=0因为所求直线与直线2x＋y－10＝0垂直，所以设该直线方程为x－2y＋c＝0.又直线过点A(2，1)，所以有2－2×1＋c＝0，解得c＝0，故所求直线方程为x－2y＝0.(3)已知定点P(－2，－1)和动直线l:(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y－(2＋5λ)＝0，则P到直线l的距离最大值为____________.

将原直线l整理成关于λ的一元一次方程，即(x＋y－2)＋λ(3x＋2y－5)＝0，

考点三对称问题3x-2y-2=0

(2)过点P(0，1)作直线l，使它被直线l1:2x＋y－8＝0和l2:x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l方程为__________________.

设l1与l的交点为A(a，8－2a).由题意知，点A关于点P的对称点B(－a，2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4，0)在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.x+4y-4=0

C

(2)已知入射光线经过点M(－3，4)，被直线l:x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2，6)，则反射光线所在直线的方程为____________.

6x-y-6=0感悟提升对称问题的类型和处理方法(1)点关于点对称:利用中点坐标公式找关系求解.(2)直线关于点对称①在已知直线上任取两点，利用点关于点对称，求出对称点坐标，利用两点式求出直线方程;②在已知直线上任取一点，求其对称点，利用关于一点对称的两条直线平行，求出直线方程.感悟提升(3)直线关于直线对称①若直线与对称轴平行，则可在直线上任取一点，求出该点关于对称轴的对称点，然后用点斜式求出直线方程.②若直线与对称轴相交，则先求出交点，然后取直线上除交点外一点，求该点关于对称轴的对称点，最后利用两点式求出直线方程.训练3已知直线l:2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2).求:(1)点A关于直线l的对称点A'的坐标;设A'(x，y)，(2)直线m:3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m'的方程;在直线m上取一点，如M(2，0)，则M(2，0)关于直线l的对称点必在m'上.设对称点为M'(a，b)，

(3)直线l关于点A对称的直线l'的方程.法一在l:2x－3y＋1＝0上任取两点，如P(1，1)，N(4，3)，则P，N关于点A的对称点P'，N'均在直线l'上.易知P'(－3，－5)，N'(－6，－7)，由两点式可得l'的方程为2x－3y－9＝0.法二设Q(x，y)为l'上任意一点，则Q(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为Q'(－2－x，－4－y).∵Q'在直线l上，∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，即直线l'的方程为2x－3y－9＝0.一、单选题1.直线x－y－1＝0与直线x＋y－1＝0的交点坐标为(

)A.(0，1) B.(0，－1)C.(1，0) D.(－1，0)C

2.(2026·济南模拟)若直线l1:(m－2)x＋3y＋3＝0与直线l2:2x＋(m－1)y＋2＝0平行，则m＝(

)A.4 B.－4C.1或－4 D.－1或4D因为直线l1与l2平行，所以(m－2)(m－1)＝3×2且(m－2)×2≠2×3，解得m＝－1或m＝4.故选D.

C

4.四边形ABCD的四个顶点是A(3，0)，B(0，4)，C(4，7)，D(11，6)，则四边形ABCD为(

)A.矩形 B.菱形C.等腰梯形 D.直角梯形D

C

6.经过点P(1，0)和两直线l1:x＋2y－2＝0，l2:3x－2y＋2＝0交点的直线方程为(

)A.x－y－1＝0 B.x＋y－1＝0C.x－y＋1＝0 D.x＋y＋1＝0B

7.已知从点(5，2)发出的一束光线，经x轴反射后，反射光线恰好过点(1，2)，则入射光线所在的直线方程为(

)A.x－y－3＝0 B.x＋y－7＝0C.x－y＋3＝0 D.x＋y－3＝0A运用点关于直线对称，求出(1，2)关于x轴的对称点为(1，－2)，又(1，－2)与(5，2)在同一条直线上，

C

二、多选题9.点P(x，y)到直线5x－12y＋13＝0和直线3x－4y＋5＝0的距离相等，则点P的轨迹方程可能是(

)A.32x－56y＋65＝0 B.4x－8y＋9＝0C.7x＋4y＝0 D.x－4y＋4＝0AC

10.已知直线l:(a2＋a＋1)x－y＋1＝0，其中a∈R，则下列说法正确的是(

)A.当a＝－1时，直线l与直线x＋y＝0垂直B.若直线l与直线x－y＝0平行，则a＝0C.直线l过定点(0，1)D.当a＝0时，直线l在两坐标轴上的截距相等AC对于A，当a＝－1时，直线l的方程为x