第20章 勾股定理（单元基础卷）解析版-2025-2026学年人教版八年级数学下册

第20章勾股定理（单元基础卷）

一、选择题（本大题共10个小题,每小题3分，共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目

要求）

1.（25-26八年级上•浙江金华•期末）一个直角三角形，若三边的平方和为338,则斜边长为（）

A.11B.12C.13D.14

【答案】C

【分析】本题主要考查了勾股定理，设直角三角形的两条直角边长分别为。、斜边长为。，由勾

股定理可得再由题意得到4+/+。2=338,则。2+。2=338,据此可得答案.

【详解】解：设直角三角形的两条直角边长分别为。、b,斜边长为c,

0«2+Z?2=c2，

又向三边的平方和为338,

^a2+b2+c2=338,

团/+/=338,即2^=338,

解得c=13或c=-13（舍去）

团斜边长为13,

故选：C.

2.（25-26八年级上•湖南林K州•期末）下列各组数中，为勾股数的是（）

A.3,4,5B.3,4,6C.32,42,52D.0.5,1.2,1.4

【答案】A

【分析】此题主要考查了勾股数，解题关键是熟记勾股数的概念.

根据勾股数的定义（满足〃+/=/的正整数组合），逐一验证选项即可.

【详解】解：A、32+42=?5=52.故3,4.5是勾股数，符合题意：

B、32+42=25^62,故3,4,6不是勾股数，不符合题意：

C、3?=9,4?=16,52=25，9?+16?=337工25?=625,故3:4、52不是勾股数，不符合题意;

D、0.5,1.2,1.4不是正整数，故0.5,1.2,1.4不是勾股数，不符合题意；

故选:A.

3.（22-23八年级下•辽宁抚顺•月考）等腰三角形腰长为5,底边长为6,则底边上的高为（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】c

【分析】根据等腰三角形底边高线和中线重合的性质，则BO=DC=3,可以根据勾股定理计算底边

的高AQ=JAB2-BD2•

【详解】解：如图，在AABC中，AB=AC=5,ADd.BC,

则4。为8c边上的中线，即。为BC中点，

:.BD=DC=3,

在直角MBD中=飞AB?-BD?=4-

故选：C.

【点睛】本题考查了勾股定理在直角三角形中的正确运用，考查了等腰三角形底边高线、中线重合

的性质，本题中根据勾股定理正确计算AO是解题的关键.

4.(25-26八年级上•重庆北储•期末)如图，《九章算术》中的“折竹抵地〃问题：今有竹高一丈，末

折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈(一丈等于十尺)，虫伤有病，

一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，设竹子折断处离地面的高度为工

尺，根据题意，下面所列方程正确的是()

A.X2+32=(10-X)2B.x2+32=\(f

C.X2-32=(10-X)2D.X2+(10-X)2=32

【答案】A

【分析】本题考查了勾股定理的应用，竹子折断后刚好构成一个直角三角形，设竹子折断处离地面

x尺，则斜边为(1()-力尺，利用勾股定理解题即可.

【详解】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为(10-%)尺，

由勾股定理得:X2+32=(10-X)2,

故选;A.

5.（25-26八年级上•全国•假期作业）如图，为了测得湖两岸A点和B点之间的距离，嘉淇在C点

设桩，使ZA8C=90。，并测得AC长100米，长80米，则A点和8点之间的距离为（）米

A.100B.80C.60D.120

【答案】C

【分析】本题考查了勾股定理，熟练运用勾股定理是解题关速.

根据勾股定理可以直接求解•.

【详解】解：由题可知，40=100米，BC=80米，ZABC=90°,

AB=>JAC2-BC2=V1OO2-8O2=60米・

故选：c

6.（25-26八年级上•陕西汉中•月考）已知VA3C的三条边分别为“，b,c,满足〃2一〃=/,下

列判断正确的是（）

A.ZC=90°B.?B90?C.ZA=90°D.Z4-ZB=90°

【答案】C

【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解决此题的关健是熟练掌握勾股定理的逆定理；

【详解】解：（3V48C的三条边分别为。，b,。，满足/=。2,

0c2+b2=cr,

根据勾股定理逆定理可知：4=90。，

故选：C.

7.（23-24八年级上•江苏宿迁•期中）若一个三角形的三条边的长度分别为4、5、6,则这个三角形

是（）

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等边三角形

【答案】A

【分析1本题考查勾股定理的逆定理的拓展知识，只需比较较小的两边的平方和与最长边的平方的

22

大小关系即可得解.若三角形的三边分别是。、b、c,。是三角形的最长边，则有：（1）a^b>c

O这个三角形是锐角三角形；（2）这个三角形是直角三角形；（3）/+〃<c2。这

个三角形是钝角三角形.掌握利用比较较小的两边的平方和与最长边的平方的大小关系来?隹导三角

形的形状是解题的关键.

【详解】解：042+52=41>36=62,

同这个三角形是锐角三角形.

故选：A.

8.（25-26八年级上•陕西咸阳•期末）运动铸就辉煌，汗水燃烧激情！阳光小学举办运动会，如图是

运动会的颁奖台.3个长方体颁奖台的长均为8dm,宽均为6dmJ2,3号颁奖台的高度分别是

4dm,3dm,2dm.若一只蚂蚁从3号颁奖台的顶点A处沿表面爬到1号颁奖台的顶点8处，则蚂蚁爬

C.I2&dmD.66dm

【答案】B

【分析】本题主要考杳展开图求最短路径的问题，运用勾股定理求两点之间的距离是解题的关键.

根据题意将长方体展成平面图，根据两点之间线段最短，由勾股定理即可求得蚂蚁爬行的最短路程.

【详解】解：将长方体部分展成平面图如佟I,则AB的长为蚂蚁爬行的最短距离，

一二一一r

由题意，AC=8+（4—2）+8=l8dm,BC=6dm.

=J（8+（4-2）+8『+62=>/360=6M（dm）,

故选：B.

9.（25-26八年级上•山西临汾・期末）如图为一块光学直角棱镜的截曲，记为RtZXABC,所在的

面为不透光的磨砂面，ZACB=90。，BC=10cm,现将一束单色光从AC边上的点。射入，折射后

到达4B边.上的点。，恰有CO_LAB,再经过反射后，从点E射出，DE1BC,垂足为点E,已知

80=6cm,则OE的长为（）

A.8cmC.4.8cmD.6.4cm

【答案】C

【分析】本题考查了勾股定理的应用，先由勾股定理计算得出CO=8cm,再由等面积法计算即可得

出结果，熟练掌握勾股定理是解此题的关键.

【详解】解：0BC=lOcm,8O=6cm,CDLAB,

©CD=4BC2—Blf=8cm，

DEIBC,

0S=-BDCD=-BCDE,

I.MI0）22

团DE=4.8cm,

BC

故选：C.

10.（25-26八年级上•山东济南•期末）如图，在VA8C中，按照如下尺规作图的步骤进行操作:

①以点3为圆心，以适当长为半径作弧，分别与A8,BC交于M,N两点；

②分别以M,N为圆心，以话当长为半径作弧，两弧交干点。，作射线A力，AD与AC交于点E：

③分别以孙。为圆心，以大于38。的长为半径作弧，两弧交于点P,Q,作直线P。，PQ与BD交

于点F\

④连接C".

若=BE=AC=4f则△CQ'面积为（）

【答案】B

【分析】根据作图过程可知；巫1平分N49C,PQ是8。的垂直平分线，结合等腰三角形的性质得

AE=2,设所=x,则B/=CF=4-x,在Rl△瓦C中，亘■根据勾股定理求得x的值，最后根据三

角形的面积公式即可求解.

【详解】解：根据作图过程可知：跖平分/ABC,

•；AB=BC,

BE±AC,AE=CE=—AC-2,

2

根据作图过程可知：P。是8c的维直平分线，

：.BF=CF,

-BE=AC=4,

i^EF=x,则8/=。产=4一人，

在RtZkEFC中,EF2+EC2=FC2»即x?+2?=(4—x1，

解得x=|,

1133

I2SCFF=-CEEF=-x2x-=-,

.ver2222

故选：B.

【点睛】本题考查了作图一一亚杂作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的

性质和勾股定理，熟练掌握基本作图是解题的关键.

二、填空题(本大题共8小题，每小题4分，共32分)

11.(2025八年级上•江苏泰州•专题练习)点(-1,2)到原点的距离是.

【答案】x/5

【分析】本题主要考杳了平面直角坐标系内两点之间的距离公式，掌握两点间的距离公式是解题的

关键.

直接运用两点之间的距离公式求解即可.

【详解】解：(3点(一1,2),原点坐标为(0,0),

团点(-1,2)到原点的距离是0)2+(2-0『=蓬.

故答案为：＞/5.

12.(2026八年级上•重庆•专题练习)如图，在平面直角坐标系xQy中，点A的坐标为(-2,0),点3

的坐标为（0,1）,连接/W,以点人为圆心，A8的长为半径画皿，交x轴于点。（点C在点人的右侧），

则点C的坐标为.

【答案】（-2+6,0）/（6-2,0）

【分析】本题考查了勾股定理，坐标与图形，先利用勾股定理求出A8的长，进而得到AC的长，即

可求出点C的坐标.

【详解】解：•.•点A的坐标为（-2,0）,点3的坐标为（0,1）,

二•AB=J（_2_0j+（0—1）2=百，

由题意知，AC=A8=百，

.••点。的横坐标为-2+6，

点C的坐标为（一2+逐,0）；

故答案为：（-2+百,0）.

13.（25-26八年级下•全国•期末）如图，在Rt^ABC中，Z4CB=90°,以A3、AC为边的正方形的

【答案】2

【分析】本题考查的是勾股定理的应用.根据勾股定理求出4C=则可得出答案.

【详解】解：在RtZXABC中,ZACB=90°,

回转』，AC?=5，

0BC2=AB2-AC2=9-5=4,

团NC=2.

故答案为:2.

14.（25・26八年级上•江苏淮安・期末）在VA8C中，A8=17cm,4C=30cm,/3c上的中线4D=8cm,

则AC=cm.

【答案】17

【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，线段垂直平分线的性质，熟练掌握勾股定理的逆定理及线

段垂直平分线的性质是关键.先根据勾股定理的逆定理，证羽人AC,再根据线段垂直平分线的

性质，即可求得答案.

【详解】解：...AO是4c上的中线，

.・.BD=CD=-BC=\5cm,

2

/.AD2+BD2=82+152=289=AB2，

.•一ABD是直角三角形，ZAD3=90°,

/.ADIBC,

BD=CD,

「.AO是BC的垂直平分线，

/.4C=AA=17cm.

故答案为:17.

15.（22-23八年级上•福建宁德•月考）对角线互相垂直的四边形叫做"垂美"四边形，现有如图所示

的“垂美"四边形48c。，对角线AC,BO交于点0.若AD=2,BC=5,则41+。。？=.

【答案】29

【分析】先利用勾股定理求出04+002=4）2=4,OB2+OC2=BC2=25,可得

OA2+OD2+OB2+OC2=29，然后由O4+OB、AB?，oc'+。。?=。。?得出答案.

【详解】解：由题意知8。_LAC,

0/COB=ZAOB=ZAOD=/COD=90°,

根据勾股定理得，OA2+OD2=AD2=22=4,08?+002=802=52=25，

^OA2+OD2+OB2+OC2=4+25=29,

222222

根据勾股定理得，OA+OB=AB,OC+OD=CD,

^AB^CD1=29,

故答案为:29.

【点睛】本题考查勾股定理的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键.

16.（24-25八年级上•河南平顶山•期中）如果的三边长分别是25cm,7cm,24cm,则这个三角

形中最大的内角的度数是.

【答案】900

【分析】本题考杳了勾股定理的逆定理的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键.

根据勾股定理的逆定理，判断三角形是否为直角三角形，即可求解.

【详解】解：072+242=49+576=625>25?=625,

072+242=252,满足勾股定理的逆定理，

团VABC是直角三角形，

团最大内角为90。.

故答案为：90。.

17.（2022•山东枣庄•模拟预测）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美"四边形，现有如图所示的“垂

美”四边形A8CO,若AO=3,BC=5,则A夕+CQ，=.

【分析】本题考查勾股定理的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键.

在RtCEB^WRtAEB中，根据勾股定理得8炉+CE?=。夕，ED^+EA^=AD\进一步得

222222

BE+CE+EZ）+E4=89>再根据人公=3炉+4炉，CD-=EC+ED,然后根据等量弋换即可

解答.

【详解】解：0BD1AC,

0Z.CEB=ZAEB=ZAED=ZCED=90°，

在RtZiCEB和Rl,AED中，根据勾股定理得：BE2+CE2=CB2,ED2+EA2=AD2>

0BE2+CE2+ED2+E42=CB1+AD2=25+9=34,

^AB2=BE2+AE2»CD2=EC2+ED2,

团AB2+CD2=BE2+AE2+EC-+ED2

=（6炉+ED2）+（A炉+EC~）

=CB2+AD2=34.

故答案为:34.

18.（25-26九年级上•浙江绍兴・期末）如图，已知圆柱的高为3cm,底面圆周长为8cm,若一只蚂

蚁准备从圆柱的底面A处，沿着圆柱的侧面爬到8处，则它爬行的最短路程是cm.

【答案】5

【分析】本题考查了圆柱体的侧面展开最短路径问题，勾股定理.根据题意，画出图形，利用勾股

定理解答即可.

【详解】解：根据题意，设展开图为矩形4CB。，8C=女m,AC=4cm,

如图所示：AB=jAC、BC2=J42+32=5（cm）,

故答案为：5.

三、解答题（本大题共6小题，共58分）

19.（本小题满分8分）.（25-26八年级上•福建泉州•期末）如图，在VA4C中，ZC=90°.

⑴尺规作图：在3C上作一点。，使得NADC=2NB.（保留作图痕迹，不写作法）

（2）若8c=2AC=8,求AD的长.

【答案】（1）见解析（2）八。=5

【分析】本题考行基本作图，垂直平分线的性质，勾股定理，正确掌握垂直平分线的尺规作图和性

质是解题的关键.

(1)作A4的垂直平分线，可得即NTMO—NZT根据NAZ>C=NB+N8AZ)可得

ZADC=2ZB；

(2)根据题意，得DB=DA,设D4=O8=x,再根据勾股定理，列方程，求解即可.

【详解】(1)解：如图，点。即为所作图形；

(2)BC=2AC=8,

AC=4,

连接A。，

ZADC=2ZB,ZADC=NB+NBAD,

4BAD=/B，

：.DA=DB，

设==则8=8—X,

在Ri/DC中，AC2+CD2=AD2,

.\42+(8-x)2=x2,解得x=5,

故人》=5.

20.(本小题满分8分)(25-26八年级上•江苏盐城•期末)已知：如图，在VA8C中，

ZAC8=90。,8c=16,A8=20,CDLAB,垂足为DA/平分/CAB交CQ、3C分别于点E、F,点、

N为EF的中点,过点N作MV〃4B交AC于M,

⑴求证：CE=CF-

(2)求MN的长.

【答案】⑴见解析(2)6

【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，勾股定理，角平分线的定义以及平行线的性质等:

(1)根据等角的余角相等可得NA£D=NAFC,从而得到ZAFC=NCE产，即可求证；

(2)连接CN,根据角平分线的定义以及平行线的性质可得NC4F=N/WM,从而得到AM=MV,

可得到NACN=NCNM,从而得到MN=4AC,即可求解.

【详解】(1)证明：0ZACB=90°,CDLAB,

0Z4DC=ZACA?=9O°,

0ZAED+ZDAE=90°.ZC4F+ZAFC=90°,

^AF平分NC45,

0ZmE=ZC4F,

^ZAED=ZAFCf

回NAEO=NCE7"

⑦ZAFC=NCEF,

0CE=CF；

(2)解：如图，连接CN,

回CE=B，点N为七尸的中点，

回CNJ.A尸，

回瓶平分NC48,

0ZDAE=ZC4F,

团MN〃A8,

^ZDAE=ZANM,

^ZCAF=ZANM,

0AW=MV,

国ZCAF+ZACN=90。,NAMM+ZCNM=90°,

国ZACN=NCNM,

0CM=A^V,

^MN=-AC,

2

团NAC8=90。,8c=16,A8=20,

^AC=y)AB2-BC2=12>

=-AC=b.

2

21.（本小题满分10分）（23-24八年级下•江西九江•月考）如图，把等边VABC沿着。E折叠，使

点A恰好落在BC边上的点P处，且OP_L8C.

AA

⑴求N40石的度数；

（2）若BP=l,求等边V48C的周长.

【答案】⑴75。；⑵6+36.

【分析】本题考查了等边三角形的性质以及折叠性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的

关键.

（1）先由等边三角形的性质得/8=60。，AB=AC=BC.因为DP上BC,得N3QP=30°,根据折叠

性质以及平角的概念，列式计算，即可作答.

（2）先运用勾股定理，得DP=B因为折密，得AQ=PZ）=6,结合周长公式列式代入数值，

即可作答.

【详解】（1）解：皆VA8C是等边三角形，

0Z5=6O°,AB=AC=BC.

^DPLBC,

团乙肛>=90。,

0Z^DP=3O°,

0ZADP=15O°.

由折叠的性质可如，/ADE=4DE=；/ADP=W.

（2）解：在Rt_BOP中，NBPD=W,NBDP=30°,BP=\,

回班）=2,

^DP=>Jl3D2-BP2=73.

由折叠的性质可知，AD=PD=g,

^AB=AD+BD=y/3+2,

团等边VABC的周长=A3+AC+4C=3A8=6+3X/5.

22.（本小题满分10分）（23-24八年级下全国•假期作.业〉某地要开发一个三角形植物园，其平面

示意图如图所示（图上距离是由实际距离按适当比例缩小后得到），测得4c=80cm,BC=60cm,

AB=100cm.

⑴若入口E在边48上，且=求从入口E到出口。的距离（线段CE的长度）；

（2）在（1）的条件下，若线段CO是一条水渠，且点D在边上，CD=CE,求线段DE的长度.

【答案】（1）50cm（2）28cm

【详解】解：（1）BAC=80cm,BC=60cm,A8=100cm,802+602=1002»

^AC2^BC2=AB2^

史LA3C为直角三角形，且NAC4=90。.

^AB=2BE,

团E为A8的中点，

0CE=—AB=50cm.

2

（2）如图,过点C作Cr_LA8交48于点E

⑦CE=CD,®EF=DF.

国Sv.。=^AC?3c^AB?CF,

80x60,,、

0CF=----------=48o（cm）.

1001）

在RtHCE/中，根据勾股定理，得律=45（）2—48?=14（cm）,

则。E=2防=28cm.

23.（本小题满分10分）（25-26八年级上•河北沧州•期末）如图，一条东西走向的公路一侧有一村

庄从村庄M到公路原有两个出口A,B,其中A3=MA,MA=1.5kni.由于暴雨导致M到A

的小路路面塌陷，现已不通，该村为方便村民出行，次定在旁边新修一条小路MC(4,C,“在

同一条直线上)，测得MC=L2km,BC=0.9km.

⑴从村庄“到公路，请通过计算说明是否为距离最近的路；

⑵求新修的路MC比原来的路短多少.

【答案】⑴是(2)0.05km

【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理、垂线段最短的性质，熟练掌握勾股定理及其逆定理

的应用，以及利用垂线段最短判断最短距离•是解题的关键.

(1)先利用勾股定理的逆定理，验证,MC8三边是否满足M82=MC2+BC2,以此判断)次力是否

为直角三角形，进而得到MC与公路垂直，再根据“垂线段最短〃确定MC是否为距离最近的路.

(2)先设M4的长度为未知数，结合=表示出AC的长度，再在用MCA中利用勾股定理列

方程，求解出MA的长度，最后计算M4与"。的差值.

【详解】(1)解：・・・M8=1.5,MC=12.8c=0.9,

MB1=1.52=2.25，MC2+BC2=1.22+0.92=2.25，

MB1=MC2+BC1.

.・.△MC8是直角三角形，且NMCB=90。,

MC是村庄闻到公路距离最短的路；

(2)解：•.AB=MA^

:.AC=MA-0.9.

由(1)可知MC_LA8,

.•.ZMC4=90°,

MA^=AC2+MC2,

MA?=(MA—0.9)2+1.22,解得姓=]25,

.,.M4-A/C=0.05(km),

答：新修的小路MC比原来的路IVIA短().()5kni.

24.（本小题满分12分）（23-24八年级上•廿肃兰州期末）【问题初探】

（1）如图①，在V48c中，ZABC=90°,BD上