八年级数学寒假作业04 认识实数、平方根（巩固培优）解析版

限时练习：40niin完成时间：一月一日天气：・“

作业04认识实数、平方根

积累运用

一、认识实数

定义：无限不循环小数称为无理数.

有理数和无理数统称实数，即实数可以分为有理数和无理数.

二、算术平方根和平方根的区别与联系

算术平方根平方根

一般地，如果一个正数X的一般地，如果一个数X的平

平方等于火即力=小那么这方等于即炉=小那么这个

定义

个正数X就叫作。的算术平数X就叫作。的平方根（也

方根叫作二次方根）

一个正数有两个平方根，它

区别一个正数只有一个算术平

个数们互为相反数：负数没有平

方根

方根

表示方法正数。的算术平方根为④正数a的平方根表示为

式具有双重非负性，即〃的平方根可正可负，也可

取值范围

£>0,a>0为0

平方根包含了算术平方根，算术平方根是平方根中正的

联系

二者那个

联系

关于00的算术平方根和平方根都是0

三、开平方

1.定义：求一个数。的平方根的运算，叫作开平方，。叫作被开方数.

2.开平方和平方根的区别与联系

（I）开平方时，被开方数〃必须是非负数.

（2）平方根是数，是开平方的结果；开平方是一种运算，是求平方根的过程.

（3）平方和开平方互为逆运算，可以用平方运算来检验开平方的结果是否正确.

四、一与q的性质

培优训练

三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型

1巩固提升练

题型一认识实数

1•在数-65,1,3,14,0,2,36,-71,0.020020002□□中，无理数共有——个・

【答案】2

【解析】解；由无理数的定义可得，无理数有一兀,（）.020020（）02□匚，共2个，

故答案为：2.

题型二平方根的概念

2.用式子表示“9的平方根等于±3”正确的是（）

A.乃=-3B.可=3C.可=±3D.±乃=±3

【答案】D

【解析】解：用式子表示“9的平方根等于±3”为士乃=±3；

故选：D.

题型三算术平方根的概念

3.一个数的算术平方根是x,则比这个数大2的数的算术平方根是（）

A.x2+2B.4+2C.7W.2D.7

【答案】D

【解析】因为•个数的算术平方根是M所以这个数是小,比这个数大2的数是』+2,所以比这个数大2的数的算

术平方根是专G，

故选D.

题型四平方根的性质

4.已知实数x，不相等，且x=l-2a，产3a4

（1）若X的算术平方根为3,求q的值；

（2）如果一个正数的平方根为丫，v，求这个正数.

【答案】（1）.4

⑵25

【解析】（1）解：・・・尸|_24,且K的算术平方根为3,，］_2a=32=9,解得a=4

（2）解：•・•一个正数的平方根为丫，y,

又•「尸1-24,y=3a-4f,l-2a+（3a-4）=0，解得〃=3，

♦.•卡・5片5,•••这个正数为（-5）2=25・

题型五开平方

5.如果自然数a的平方根是土〃?，那么a+1的平方根用机表示为（）

A.±（w+l）B.（MH）C.±Vw+JD.土%+]

【答案】D

【解析】由题意得：这个自然数。为：/,・・・a+]=m2+l，

故a+1的平方根用机表示为：土

故选:D.

题型六求未知数的值

6.解方程：

（1）/-6=0；（2）2（X-3）2=50

【答案】⑴工1=式，X2=-K；⑵X[=8，%2=-2

【解析】（1）解：*_6=0，♦.•公=6，解得X2=-火；

（2）解：20-3）2=50,Q-3）2=25，x-3=±5，x-3=5或x-3=5，

解得xi=8,&=2

题型七算术平方根的双重非负性

7.若加、"满足（昨2）2+匕元=（），则的平方根是----

[答案】±2

,

【解析】解：:（帆-2）2沙Vn.j4>0'怯2=0'=14=0'.%=2'〃=14'

、蕊"2+14=兀=44的平方根是±2•

故答案为：±2*

题型八有意义的条件

8.如已知：严“%>不+：,求代数式J：+：+2-辰工的平方根・

【答案】±1【解析]解：由题意可知1&K），8x-l>0*

则公司，

尸$则:+；+2=%4+2=卞；+；-2=%4-24

VI的平方根为±],・•・代数式J：+：+2.J：+%2的平方根为±1•

题型九算术平方根在实际生活中的应用

9.某小区为了促进全民健身活动的开展，决定在一块面积为500m2的正方形空地上建一个排球场.已知排

球场的面积为162m2,其中长和宽的比为2：1，且排球场的四周必须留出im宽的空地，请你通过计算说明能

否按规定在这块空地上建一个排球场？

【答案】能，计算见解析

【解析】解：设排球场的宽为则长为以m,根据题意，得2X”=162，

□X2=8Pdr为正数，Qx=9,□2r=18,□2x+2=2x9+2=20，

□202=400,400<500,□20<^500,□能按规定在这块空地上建.个排球场，

题型十算术平方根的规律探究

10.如何迅速准确地计算出四位数的算术平方根呢？按照下面思路你也能办到.

⑴以下是小明探究胃嬴的过程，请补充完整：

①由102=100，1()()2=10()00可以确定，1849是位数；

②由1849的个位上的数是9,可以确定，丽的个位上的数是或；

③如果划去］849后面的两位49得到数18，而42=16,5?=25,可以确定V1849的卜位上的数是4；因4x(4+l)=20,

而18<20，所以选择较小的个位数字，则7］849=__________♦

(2)已知336也是一个整数的平方，请根据材料的方法求出771*，并说明理由.

【答案】(1)①两；②3,7：③43；Q)56,理由见解析

【解析】(1)解：①由］()2=lOO,1002=10000可以确定V1849是两位数；

②由1849的个位上的数是9,可以确定匕面的个位上的数是3或7；

③如果划去［849后面的两位49得到数18,而42=16,52=25，可以碓定山849的十位上的数是4；囚4x(4+l)=20,

而18<20,

所以选择较小的个位数字，则V■丽43•

故答案为：①两：②3，7*③43：

(2)已知3136也是一个整数的平方，根据材料的方法求出5/S高的过程如下：

①由102=100，1002=10000可以确定，3136是两位数；

②由3136的个位上的数是6,可以确定V7后的个位上的数是4或6：

③如果划去3136后面的两位36得到数31,而52=25,62=36,可以确定而的十位上的数是5；因5x(5+l尸30,

而31>30，

所以选择较大的个位数字，则京=56。

2能力培优练

1.已知。、〃满足等式,小62+口m，则於心房024的值为-2.

(Q十z)十、2—u

【答案】-2.

【解析】解：由条件可知(〃+2)2=41=0，'a+ZR,忌=0，'a=-2,b=2f

・・・原式=l・a2024b2024=〃・(H)202412t)24=_2x(-1)2024=-2xl=-2,

—ZX(-2X2)

故答案为：-2.

2.一个数的立方根恰好等于这个数的算术平方根的一半，那么这个数是0或64.

【答案】0或64

【解析】解：设这个数为羽

则Q争，(X)6=(5)6,.•・,=(力3,

x1(x-64)=0=>xi=X2=0或X3=64.故填0或64.

3.如图，已知4、B是数轴上的两个点，点4表示的数为13,点B表示的数为-5,动点尸从点8出发，

以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为/(/>0)秒.

(1)8P=4],点。表示的数-5+4/(分别用含，的代数式表示)；

(2)点?运动多少秒时，PB=2必？

(3)若M为8P的中点，N为附的中点，点。在运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变

化，请说明理由；若不变，请求出线段mN的长.

B•O•/・A

-5013

【答案】见试题解答内容

【解析】解：(1)由题意：8P=41,点P表示的数-5+4/

故答案为4/,-5+4/.

(2)由题意：4r=2(18-4力或4/=2(4r-18)

解得/—3或9

(3)线段"N的长度不变，

理由：①当点P在线段48上时，MN」尸朋=X4B=9.

-22-2

②当点P在线段84的延长线二时，MN=>PB1M=1(PB-PA)=U8=9；

~2'2~2~2

故MN的长度不变.

4.把下列各数填在相应的大括号内，-3,匕，小，171,0,3.14,.5

24

正实数集合1—；兀，171,3.14—…｝

4

非正数集合｛_43G0,…｝

正分数集合［3.14...｝

自然数集合｛171,（）…｝

无理数集合｛_'心

4

【答案】见试题解答内容

【解析】解：正实数集合｛,心「I,3.14｝

4'.

非正数集合｛3G0,-餐｝

正分数集合｛3.14...｝

自然数集合｛171,0...｝

1

无理数集合｛7r，一百｝

4，

故答案为：4,171,3.14；J，-3,^64,0,-43.14；171,0：二,心

5.阅读下列材料：“为什么“不是有理数”.

假设£是有理数，那么存在两个互质的正整数〃?，"，使得石=%于是有2〃P=〃2.

•・・2/〃2是偶数，・・・〃2也是偶数，・・・〃是偶数.

设〃=2/（f是正整数），则〃2=4产，即4/2=2〃/，

；・2产一〃落

・•・〃?也是偶数

・•・〃?，〃都是偶数，不互质,与假设矛盾.

・•・假设错误，

・•・立不是有理数

有类似的方法，请证明班不是有理数.

【答案】见试题解答内容

【解析】解：假设乃是有理数，

则存在两个互质的正整数〃?，心使得正=以，

于是有3m2=n2,

•••3汴是3的倍数，・・・〃2也是3的倍数，・・.〃是3的倍数，

设是正整数）,则〃2=9洛即％2=3小，・・・33=〃落.・./〃也是3的倍数，.•.〃?，〃都是3的倍数,

不互质，与假设矛盾，，假设错误，・•・"不是有理数.

6.已知在等式磔地f中，出b,c,d都是有理数，x是无理数，解答：

cx+d

(1)当〃，b,c,d满足什么条件时，s是有理数：

(2)当a,b,C,d满足什么条件时，S是无理数.

【答案】见试题解答内容

【解析】解：(1)当4=c=0,存0时，s=人是有理数.

~d

当时•s_〃丫+/，__°+力-f.

cx-^dcx+dccx+d

其中：“是有理数，cr+4是无理数，从〃是有理数.

cC

要使S为有理数，只有尻必=。，即儿=ad.

综上知，当a=c=0且表0或50且“4=加时，s是有理数.

(2)当c=0,存0,且。却时，s是无理数.

当今0时，$_八+方+b-1

CA+C/CA+CZCcx+d

其中：4是有理数，cx+4是无理数，力〃是有理数.

cC

所以当人山J),即。存ad,S为无理数.

V

综上知，当c=0,存()，存。或"()，。存be时，s是无理数.

7.【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合.研究数轴我们发现

了许多重要的规律：若数轴上点A、点8表示的数分别为a、b,则A,8两点之间的距离AB=|a-〃|,

线段AB的中点表示的数为血.

2

।।।।1।।1111111111111P।,

-4-3-2-101234567891011121314151617

【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为-4,点8表示的数为16,点尸从点A出发，以每秒3个单

位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动.设

运动时间为/秒(/>0).

【综合运用】

(1)填空：

①A、8两点间的距离48=2(),线段A8的中点表示的数为6；

②当t为4秒时，点P与点Q相遇.

(2)①用含/的代数式表示：/秒后，点P表示的数为-4+3」；点。表示的数为16-2/；

②若将数轴翻折，使点A与数轴上表示6的点重合，则此时点8与数轴上表示数-14的点重合.

(3)若点M为％的中点，点N为P8的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若

变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长.

【答案】见试题解答内容

【解析】解：（1）①A、8两点间的距离A8=16-（-4）=20,线段A8的中点表示的数为（16-4）

=6；

②20-（3+2）=4（秒）.

故当，为4秒时，点尸与点Q相遇.

（2）①用含/的代数式表示：/秒后，点。表示的数为-4+"点。表示的数为16-2/；

②（-4+6）+2=1,

16-（16-1）x2=-14.

故此时点B与数釉上表示数-14的点重合.

（3）点M表示的数为＜3=4+"点N表示的数为M3=6+上，

2222

MN=6+y（Y+乎=10.

故线段MN的长度没有发生变化，线段MN的长为10.

故答案为：20,6：4：-4+31,16-2/：-14.

8.阅读下面材料：若点4、B在数轴上分别表示实数〃、b,则八、B两点之间的距离表示为AB,且4B=|a

-b|；

回答下列问题：

（1）①数轴上表示x和2的两点A和8之间的距离是t-21；

②在①的情况下，如果48=3,那么x为7或5；

（2）代数式k+1|+卜-2|取最小值时，相应的工的取值范围是-13区2.

（3）若点A、B、C在数轴上分别表示数a、b、c,。是最大的负整数，且（c-5）2+|“地一0,

①直接写出。、6c的值.

②点4、8、C同时开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点8和点C

分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设/秒钟过后，若点8与点C之间的距离

表示为BC,点4与点B之间的距离表示为人&请问：8C-A8的值是否随着时间/的变化而改变？若

变化，请说明理由；若不变，请求其值.

【答案】见试题解答内容

【解析】解：（1）①数轴上表示x和2的两点A和8之间的距离是k-2|；

②在①的情况下，如果48=3,|x-2|=3,

解得：x=5或尸-1,

故答案为：|A--2|,-1或5.

（2）由数形结合得，

若|x+l|+|x-2|取最小值，那么表示x的点在・I和2之间的线段上，

所以-1SE2,最小值是3,

故答案为：-1三让2；

（3）①是最大的负整数，・•・”=-1.

■:（c-5）2+\a+b\=O,.*./>=1,c=5；

②8。-48的值不随着时间，的变化而改变，其值是2,理由如下：

•.•点A都以每秒1个单位的速度向左运动，点4和点C分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度

向右运动，，BC=2/+4,AB=2t+2,：,BC-AB=（2什4）-（2什2）=2.

9.综合与探究：数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数

与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础.小明在一条长方形纸带上画了一条数轴，进行如图操作

探究：

-I012345

图①图②图③

（1）操作1：折叠纸带，使数轴上表示1的点与表示-1的点重合，则表示-3.5的点与表示数3.5的

点重合；

（2）操作2：折叠纸带，使数轴上表示I的点与表示3的点重合，则数轴上表示-2的点与表示数」

的点重合，表示数，〃的点与表示数（4-W的点重合（用含〃?的代数式表示）；

（3）操作3：在数轴上前下6个单位长度（从-1到5）的一段纸带（如图①），将纸带按图②所示向左

折叠，剪掉不重叠部分，不重叠部分的纸带长度为〃个单位长度，将重叠部分按图③所标注的剪切处剪

切，得到三条长度相等的纸带，请直接写出图③剪切处对应的点所表示的数（用含。的代数式表示）.

【答案】（1）3.5；

（2）6,（4-机）；

（3）图③剪切处对应的点所表示的数为3+〃或i+船.

【解析】解：（1）由题意得：对•折中心点表示的数为0,因此表示-3.5的点与表示3.5的点重合；

故答案为：3.5；

（2）折叠纸面，使表示1的点与表示3的点重合，中心点表示的数为2,

-2与2之间的距离为：2-（-2）=4,则表示与-2的点重合的点为：2+4=6；

加与2之间的距离为:2-m,则表示与机的点重合的点为：2+2-m=4-m；

故答案为:6,(4-m)；

(3)如图，由题意得AE=5-(-1)=6,BE=6-a,

4P??耳

-\/5

剪切处

***BC=CD=DE=/=2-£，

・•・剪切处。对应的点所表示的数=5.（2_,=3+?

剪切处C对应的点所表示的数=5_2（2-4）=1+幼；

综上：图③剪切处对应的点所表示的数为3+；或1+?.

10.已知。、b、。满足1aMi+V^+g/语2=（）.

（1）求。、b、c的值；

（2）试问以4、。、C为边能否构成三角形？若能构成三角形，请求出三角形的周长，若不能，请说明理

由.

【答案】见试题解答内容

【解析】解：（1）由题意得：。_%=0；八5=0；c_G=。，

解之得：a=V^=2V^,b=5,c=V"j"^=3V^；

（2）根据三角形的三边关系可知，4、氏。能构成三角形.

此时三角形的周长为a+Hc=2石+5+3正=5+5".

11.求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如㈢，有些数则不能直接求得，如盘，但可以通过

计算器求得.还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请同学们观察表：

n160.160.00161600160000...

以40.40.0440400...

（1）表中所给的信息中，你能发现什么规律？（请将规律用文字友达出来）被开方数的小数点向左或

向右移动2〃位，算术平方根的小数点就向左或向右移动）7位

（2）运用你发现的规律，探究下列问题：

已知后^.435,求下列各数的算术平方根：①0.0206；②2060000.

【答案】见试题解答内容

【解析】解：（1）被开方数扩大或缩小1。2〃倍，非负数的算术平方根就相应的扩大或缩小10〃倍；

或者说成被开方数的小数点向左或向右移动2〃位，算术平方根的小数点就向左或向右移动〃位，

故答案为：被开方数的小数点向左或向右移动2〃位，算术平方根的小数点就向左或向右移动〃位；

（2）7^0206=0.1435；72060000=1435,

2

12.设4、b、c都是实数，且满足（2-a）+Va2+^+c.+|c+8|=0,GN+/U-+C=0,求代数式/+.X+1的值.

【答案】见试题解答内容

【解析】解：•・•（2-a）2>0,G/，"|对

而（2“）2+日+什丁什8|=0

.2-。=0

***c+8=0

^a2+h+c=0

解这个方程组得

Q=-8

8=0

xr+lx-4=0

.*.x=-I+V5

,v+l=±V^

.*.x2+x+l=（x+\）2-x=（土Vp2-（-l±W）=6±V^.

3创新题型练

1.我们在学习"实数''时，画了这样一个图，即“以数轴上的单位长为T的线段作一个正方形，然后以原点。

为圆心，正方形的对角线长为半径画弧交x轴于点A”，请根据图形回答下列问题：

（1）线段OA的长度是多少？（要求写出求解过程）

（2）这个图形的目的是说明什么？

（3）这种研究和解决问题的方式，体现了A的数学思想方法.

（将下列符合的选项序号填在横线I.）

A、数形结合;

B、代入；

C、换元；

D、归纳.

【答案】见试题解答内容

【解析】解：⑴•・•0亦=『+12=2,

**•08=,

・・.。人=0叫£；

（2）数轴上的点和实数一一对应关系；

（3）4.

2.把几个数用大括号括起来，中间用逗号断开，若；［1,