六年级上册数学知识点

六年级上册数学学问点最新

第一部分数与代数

一、分数乘法

（一）分数乘法的计算法则：

1、分数与整数相乘：分了与整数相乘的积做分了，分母不变。（整

数和分母约分）

2、分数与分数相乘：用分子相乘的积做分子，分母相乘的积做

分母。

3、为了计算简便，能约分的要先约分，再计算。

留意：当带分数进行乘法计算时，要先把带分数化成假分数再进

行计算。

（二）规律：（乘法中比较大小时）

一个数（0除外）乘大于1的数，积大于这个数。

一个数（0除外）乘小于1的数（0除外），积小于这个数。

一个数（0除外）乘1,积等于这个数。

（三）分数混合运算的运算依次和整数的运算依次相同。

（四）整数乘法的交换律、结合律和安排律，对于分数乘法也同样

适用。

乘法交换律：axb二bxa

乘法结合律：（axb）xc=ax（bxc）

乘法安排律:（a+b）xc=ac+bcac+bc=（a+b）xc

二、分数乘法的解决问题（具体见重难点分解）

（已知单位”1〃的量（用乘法），求单位“1〃的儿分之几是多少）

1、找单位〃1〃：在分率句中分率的前面；或〃占〃、〃是〃、〃比〃

的后面

2、求一个数的几倍：一个数x几倍；求一个数的几分之几是多

少：一个数XO

3、写数量关系式技巧：

⑴〃的〃相当于〃x〃（乘号）

〃占〃、〃是〃、〃比〃〃相当于〃相当于J〃（等号）

（2）分率前是〃的〃:

单位"1〃的量x分率二分率对应量

⑶分率前是〃多或少〃的意思：

单位〃1〃的量x（l士分率）二分率的对应量

二、分数除法

（一）倒数

1、倒数的意义：乘积是1的两个数互为倒数。

强调：互为倒数，即倒数是两个数的关系，它们相互依存，倒数

不能单独存在。（要说清谁是谁的倒数）。

2、求倒数的（方法）：（原数与倒数之间不要写等号哦）

(1)求分数的倒数：交换分子分母的位置。

⑵求整数的倒数：把整数看做分母是1的分数，再交换分子分母

的位置。

⑶求带分数的倒数：把带分数化为假分数，再求倒数。

⑷求小数的倒数：把小数化为分数，再求倒数。

3、因为1x1=1,1的倒数是1;

因为找不到与0相乘得1的数0没有倒数。

4、对于随意数a(a^O),它的倒数为1/a;非零整数a的倒数为1/a;

分数b/a的倒数是a/b;

5、真分数的倒数大于1;假分数的倒数小于或等于1;带分数的倒

数小于lo

(二)分数除法

1、分数除法的意义：

分数除法与整数除法的意义相同，表示已知两个因数的积和其中

一个因数，求另一个因数的运算。

2、分数除法的计算法则：除以一个不为0的数，等于乘这个数

的倒数。

3、规律(分数除法比较大小时)：

(1)当除数大于1,商小于被除数；

(2)当除数小于1(不等于0),商大于被除数；

⑶、当除数等于1,商等于被除数。

4、〃口〃叫做中括号。一个算式里，假如既有小括号，又有中括

用分数表示，也可以用小数或整数表示）。

例如

15：10=154-10=1.5

团团回回

前项比号后项比值

3、比可以表示两个相同量的关系，即倍数关系。也可以表示两

个不同量的比，得到一个新量。

例：路程。速度=时间。

4、区分比和比值

比：表示两个数的关系，可以写成比的形式，也可以用分数表示。

比值：相当于商，是一个数，可以是整数，分数，也可以是小数。

5、依据分数与除法的关系，两个数的比也可以写成分数形式。

6、比和除法、分数的联系：

7、比和除法、分数的区分：除法是一种运算，分数是一个数，

比表示两个数的关系。

8、依据比与除法、分数的关系，可以理解比的后项不能为0。

体育竞赛中出现两队的分是2:0等，这只是一种记分的形式，不

表示两个数相除的关系。

（五）比的基本性质

1、依据比、除法、分数的关系：

商不变的性质：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），

商不变。

分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数忖（0

除外），分数值不变。

比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外）,

比值不变。

2、最简整数比：比的前项和后项都是整数，并且是互质数，这

样的比就是最简整数比。

3、依据比的基本性质，可以把比化成最简洁的整数比。

4.化简比：

（1）用比的基本性质化简

①用比的前项和后项同时除以它们的公因数。

②两个分数的比：用前项后项同时乘分母的最小公倍数，再按

化简整数比的方法来化简。

③两个小数的比：向右移动小数点的位置，先化成整数比再化

简。

（2）用求比值的方法。留意：最终结果要写成比的形式。

5.按比例安排：把一个数量依据肯定的比来进行安排。这种方法

通常叫做按比例安排。

如：已知两个量之比为，则设这两个量分别为o

6、路程肯定，速度比和时间比成反比。（如：路程相同，速度比

是4：5,时间比则为5：4）

工作总量肯定，工作效率和工作时间成反比。

（如：工作总量相同，工作时间比是3:2,工作效率比则是2:3）

三、百分数

（一）百分数的意义和写法

1、百分数的意义：表示一个数是另一个数的百分之几。

百分数是指的两个数的比，因此也叫百分率或百分比。

2、白分数和分数的主要联系与区分：

（1）联系：都可以表示两个量的倍比关系。

（2）区分：

①意义不同：百分数只表示两个数的倍比关系，不能表示具体

的数量，所以不能带单位；

分数既可以表示具体的数，又可以表示两个数的关系，表示具本

数时可以带单位。

②、百分数的分子可以是整数，也可以是小数；

分数的分子不能是小数，只能是除。以外的自然数。

3、百分数的写法：通常不写成分数形式，而在原来分子后面加

上“％〃来表示。

（二）百分数与小数的互化：

1、小数化成百分数：把小数点向右移动两位，同时在后面添上

百分号。

2.百分数化成小数：把小数点向左移动两位，同时去掉百分号。

（三）百分数的和分数的互化

1、百分数化成分数：

先把百分数化成分数，先把百分数改写成分母是否100的分数,

能约分要约成最简分数。

2、分数化成百分数:

①用分数的基本性质，把分数分母扩大或缩小成分母是100的

分数，再写成百分数形式。

②先把分数化成小数（除不尽时，通常保留三位小数），冉把小数

化成百分数。

（四）常见的分数与小数、百分数之间的互化

其次部分图形与几何

INI

一、相识圆

1、圆的定义：圆是由曲线围成的一种平面图形。

2、圆心：将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，

这一点叫做圆心。

一般用字母O表示。它到圆上随意一点的距离都相等。

3、半径：连接圆心到圆上随意一点的线段叫做半径。一般用字

母r表示o

把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。

4、直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。一般用

字母d表示。

直径是一个圆内最长的线段。

5、圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。

6、在同圆或等圆内，有多数条半径，有多数条直径。全部的半

径都相等，全部的直径都相等。

7.在同圆或等圆内，直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直

径的。

用字母表示为：（1=2「或「=€1/2

8、轴对称图形：

假如一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这

个图形是轴对称图形。

折痕所在的这条直线叫做对称轴。（经过圆心的随意一条直线或

直径所在的直线）

9、长方形、正方形和圆都是对称图形，都有对称轴。这些图形

都是轴对称图形。

10、只有1一条对称轴的图形有：角、等腰三角形、等腰梯形、

扇形、半圆。

只有2条对称轴的图形是：长方形

只有3条对称轴的图形是：等边三角形

只有4条对称轴的图形是：正方形

有多数条对称轴的图形是：圆、圆环。

二、圆的周长

1、圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。用字母C表

示O

2、圆周率试验：

在圆形纸片上做个记号，与直尺0刻度对齐，在直尺上滚动一周，

求出圆的周长。发觉一般规律，就是圆周长与它直径的比值是一个固

定数(兀)。

3.圆周率：随意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数,

我们把它叫做圆周率。用字母R(pai)表示。

(1)一个圆的周长总是它直径的3倍多一些，这个比值是一个固定

的数。圆周率n是一个无限不循环小数。在计算时，一般取n-3.14。

(2)在推断时，圆周长与它直径的比值是71倍，而不是3.14倍。

⑶世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之。

4、圆的周长公式

5、在一个正方形里画一个的圆，圆的直径等于正方形的边长。

在一个长方形里画一个的圆，圆的直径等于长方形的宽。

6、区分周长的一半和半圆的周长：

(1)周长的一半：等于圆的周长“

计算方法：2兀”2即nr

(2)半圆的周长：等于圆的周长的一半加直径。

计算方法：nr+2r

三、圆的面积

1、圆的面积：圆所占平面的大小叫做圆的面积。用字母S表示。

2、一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。

顶点在圆心的角叫做圆心角。

3、圆面积公式的推导：

(1)、用渐渐靠近的转化思想：体现化圆为方，化曲为直;化新为

旧，化未知为已知，化困难为简洁，化抽象为具体。

(2)、把一个圆等分(偶数份)成的扇形份数越多，拼成的图像越接

近长方形。

(3)、拼出的图形与圆的周长和半径的关系。

4、环形的血根：

一个环形，外圆的半径是R,内圆的半径是r。(R=r+环的宽度.)

S环=nR?mr?或

环形的面积公式：S环=n(R?-r?)。

5、一个圆，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小

相同的倍数。

而面积扩大或缩小的倍数是这倍数的平方倍。

例如：

在同一个圆里，半径扩大3倍，那么直径和周长就都扩大3倍，

而面积扩大9倍。

6、两个圆:半径比=直径比=周长比;而面积比等于这比的平方。

例如：

两个圆的半径比是203,那么这两个圆的直径比和周长比都是

203,而面积比是4回9

7、随意一个正方形与它内切圆的面积之比都是一个固定值，即：

4团II

8、当长方形，正方形，圆的周长相等时，圆面积，正方形居中，

长方形面积最小。反之，面积相同时，长方形的周长最长，正方形居

中，圆周长最短。

9、确定起跑线：

(1)、每条跑道的长度=两个半圆形跑道合成的圆的周长+两个

直道的长度。

(2)、每条跑道直道的长度都相等，而各圆周长确定每条跑道的总

长度。(因此起跑线不同)

⑶、每相邻两个跑道相隔的距离是：2XTIX跑道的宽度

(4)、当一个圆的半径增加a厘米时，它的周长就增加271a厘米;

当一个圆的直径增加a厘米时，它的周长就增加布厘米。

11、常用各N值结果：

2n=6.283n=9.42

4n=12.565n=15.7

6n=18,847n=21.98

8n=25.129n=28.26

lOn=31.416n=50.24

25n=78.536n=113.04

64n=200.9696R=301.44

扇形统计图

一、扇形统计图的意义：

用整个圆的面积表示总数，用圆内各个扇形面积表示各部分数量

同总数之间的关系。

也就是各部分数量占总数的百分比(因此也叫百分比图)。

二、常用统计图的优点：

1、条形统计图：可以清晰的看出各种数量的多少。

2、折线统计图：不仅可以看出各种数量的多少，还可以清晰看

出数量的增减改变状况。

3、扇形统计图：能够清晰的反映出各部分数量同总数之间的关

系O

三、扇形的面积大小：在同一个圆中，扇形的大小与这个扇形的

圆心角的大小有关，圆心角越大，扇形越大。（因此扇形面积占圆面

积的百分比，同时也是该扇形圆心角度数与圆周角度数的百分比。）

小学（六班级数学）上册学问点

第一单元位置

1、什么是数对？

——数对：由两个数组成，中间用逗号隔开，用括号括起来。括

号里面的数由左至右为列数和行数，即〃先列后行〃。

作用：确定一个点的位置。经度和纬度就是这个原理。

例：在方格图（平面直角坐标系）中用数对（3,5）表示（第三列，第

五行）。

注：（1）在平面直角坐标系中X轴上的坐标表示列，y轴上的坐标

表示行。如：数对（3,2）表示第三列，其次行。

（2）数对（X,5）的行号不变，表示一条横线，（5,Y）的列号不变，

表示一条竖线。（有一个数不确定，不能确定一个点）

（列，行）

竖排叫列横排叫行

（从左往右看乂从下往上看）

（从前往后看）

2、图形左右平移行数不变;图形上下平移列数不变。

3、两点间的距离与基准点（0,0）的选择无关，基准点不同导致数

对不同，两点间但距离不变。

其次单元分数乘法

（一）分数乘法意义：

1、分数乘整数的意义与整数乘法的意义相同，就是求几个相同

加数的和的简便运算。

注：〃分数乘整数〃指的是其次个因数必需是整数，不能是分数。

例如：x7表示：求7个的和是多少？或表示：的7倍是多少?

2、一个数乘分数的意义就是求一个数的几分之几是多少。

注：〃一个数乘分数〃指的是其次个因数必需是分数，不能是整数。

（第一个因数是什么都可以）

例如：x表示：求的是多少？

9x表示：求9的是多少？

Ax表示：求a的是多少？

（二）分数乘法计算法则：

1、分数乘整数的运算法则是：分子与整数相乘，分母不变。

注：（1）为了计算简便能约分的可先约分再计算。（整数和分母约

分）

（2）约分是用整数和下面的分母约掉公因数。（整数千万不能与分

母相乘，计算结果必需是最简分数）

2、分数乘分数的运算法则是：用分子相乘的积做分子，分母相

乘的积做分母。（分子乘分子，分母乘分母）

注：（1）假如分数乘法算式中含有带分数，要先把带分数化成假分

数再计算。

（2）分数化简的方法是：分子、分母同时除以它们的公因数。

⑶在乘的过程中约分，是把分子、分母中，两个可以约分的数先

划去，再分别在它们的上、下方写出约分后的数。（约分后分子和分

母必需不再含有公因数，这样计算后的结果才是最简洁分数）

（4）分数的基本性质：分子、分母同时乘或者除以一个相同的数（0

除外），分数的大小不变。

（三）积与因数的关系：

一个数（0除外）乘大于1的数，积大于这个数。axb=c,当b1时,

ca.

一个数（0除外）乘小于1的数，积小于这个数。axb=c,当b1时，

c

一个数（0除外）乘等于1的数，积等于这个数。axb=c,当b=1时，

c=a.

注：在进行因数与积的大小比较时，要留意因数为0时的特殊状

况。

附：形如的分数可折成()x

(四)分数乘法混合运算

1、分数乘法混合运算依次与整数相同，先乘、除后加、减，有

括号的先算括号里面的，再算括号外面的。

2、整数乘法运算定律对分数乘法同样适用;运算定律可以使一些

计算简便。

乘法交换律：axb二bxa

乘法结合律：(axb)xc=ax(bxc)

乘法安排律：ax(b±c)=axb±axc

(五)倒数的意义：乘积为1的两个数互为倒数。

1、倒数是两个数的关系，它们相互依存，不能单独存在。单独

一个数不能称为倒数。(必需说清谁是谁的倒数)

2、推断两个数是否互为倒数的标准是：两数相乘的积是否为“1〃。

例如：axb=l则a、b互为倒数。

3、求倒数的方法：

①求分数的倒数：交换分子、分母的位置。

②求整数的倒数：整数分之1。

③求带分数的倒数：先化成假分数，再求倒数。

④求小数的倒数：先化成分数再求倒数。

4、1的倒数是它本身,因为1x1=1

。没有倒数，因为任何数乘0积都是0,且0不能作分母。

5、随意数a(a^O),它的倒数为；非零整数a的倒数为；分数的

倒数是。

6、真分数的倒数是假分数，真分数的倒数大于1,也大于它本

身。

假分数的倒数小于或等于lo

带分数的倒数小于lo

（六）分数乘法应用题一一用分数乘法解决问题

1、求一个数的几分之几是多少?（用乘法）

〃1〃X=

例如：求25的是多少?列式：25X=15

甲数的等于乙数，已知甲数是25,求乙数是多少？列式：25x=15

注：已知单位〃1〃的量，求单位〃1〃的量的几分之儿是多少，用单

位“1〃的量与分数相乘。

2、（什么）是（什么）的o

（）=（z/r）x

例1:已知甲数是乙数的，乙数是25,求甲数是多少？

甲数二乙数x即25x=15

注:⑴”是〃〃的〃字中间的量〃乙数〃是的单位〃1〃的量，即是把乙

数看作单位〃1〃，把乙数平均分成5份，甲数是其中的3份。

（2广是〃〃占〃〃比〃这三个字都相当于〃=〃号，〃的〃字相当于

（3）单位〃1〃的量x分率=分率对应的量

例2：甲数比乙数多（少），乙数是25,求甲数是多少？

甲数二乙数士乙数x即25±25x=25x（l±）二40（或10）

3、巧找单位〃1〃的量：在含有分数（分率）的语句中，分率前面的

量就是单位“1〃对应的量，或者〃占是〃''比〃字后面的量是单位

4、什么是速度？

一一速度是单位时间内行驶的路程。速度;路程+时间时间=路程

・速度路程=速度x时间

——单位时间指的是1小时1分钟1秒等这样的大小为1的时间

单位，每分钟、每小时、每秒钟等。

5、求甲比乙多（少）几分之几？

多：（甲-乙）+乙

少：（乙•甲）+乙

第三单元分数除法

一、分数除法的意义：分数除法是分数乘法的逆运算，已知两个

数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。

二、分数除法计算法则：除以一个数（0除外），等于乘上这个数

的倒数。

1、被除数+除数二被除数x除数的倒数。例-3=x=3^=3x=5

2、除法转化成乘法时，被除数肯定不能变，V〃变成〃x〃，除数

变成它的倒数。

3、分数除法算式中出现小数、带分数时要先化成分数、假分数

再计算。

4、被除数与商的改变规律：

①除以大于1的数，商小于被除数：a^b=c当bl时，c

②除以小于1的数,商大于被除数：a-b=c当bl时,ca(a—brO)

③除以等于1的数，商等于被除数：a・b=c当b=l时，c=a

三、分数除法混合运算

1、混合运算用梯等式计算，等号写在第一个数字的左下角。

2、运算依次：

①连除：属同级运算，依据从左往右的依次进行计算;或者先把

全部除法转化成乘法再计算;或者依据〃除以几个数，等于乘上这几个

数的积〃的简便方法计算。力口、减法为一级运算，乘、除法为二级运

算。

②混合运算：没有括号的先乘、除后加、减，有括号的先算括

号里面，再算括号外面。

注：(a±b)4-c=avc±bvc

四、比：两个数相除也叫两个数的比

1、比式中，比号(助前面的数叫前项，比号后面的项叫做后项，

比号相当于除号，比的前项除以后项的商叫做比值。

注：连比如：3：4：5读作：3比4比5

2、比表示的是两个数的关系，可以用分数表示，写成分数的形

式，读作几比几。

例：12团20==12+20==0.612团20读作：12比20

注：区分比和比值：比值是一个数，通常用分数表示，也可以是

整数、小数。

比是一个式子，表示两个数的关系，可以写成比，也可以写成分

数的形式。

3、比的基本性质：比的前项和后项同时乘以或除以相同的数（0

除外），比值不变。

3、化简比：化简之后结果还是一个比，不是一个数。

（1）、用比的前项和后项同时除以它们的公约数。

（2）、两个分数的比，用前项后项同时乘分母的最小公倍数，再

按化简整数比的方法来化简。也可以求出比值再写成比的形式。

（3）、两个小数的比，向右移动小数点的位置，也是先化成整数

比。

4、求比值：把比号写成除号再计算，结果是一个数（或分数），相

当于商，不是比。

5、比和除法、分数的区分：

除法被除数除号（+）除数（不能为0）商不变性质除法是一种

运算

分数分子（分数线）（一一）分母（不能为0）分数的基本性质分

数是一个数

比前项比号倒后项（不能为0）比的基本性质比表示两个数

的关系

附：商不变性质：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），

商不变。

分数的基本性质：分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），

分数的大小不变。

五、分数除法和比的应用

1、已知单位'T的量用乘法。例：甲是乙的，乙是25,求甲是

多少？即：甲二乙x（15x=9）

2、未知单位的量用除法。例：甲是乙的，甲是15,求乙是

多少？即：甲二乙x（15+=25）（建议列方程答）

3、分数应用题基本数量关系（把分数看成比）

（1）甲是乙的几分之几？

甲=乙乂几分之几（例：甲是15的,求甲是多少？15x=9）

乙二甲+几分之几（例：9是乙的,求乙是多少?9+=15）

几分之几二甲♦乙（例：9是15的几分之几?9+15=）（〃是〃字相当

号，乙是单位〃1〃）

（2）甲比乙多（少）儿分之几？

A差■乙=（〃比〃字后面的量是单位〃1〃的量乂例:9比15少几分之

几?（15-9）+15===）

B多几分之几是：?1（例：15比9少几分之几?15+9=-1=?1=）

C少几分之几是：1?（例：9比15少几分之几?1-9+15=1?=1?=）

D甲二乙士差=乙士乙x二乙士乙x=乙（1±）（例：甲比15少,求甲是

多少？15?15x=15x（1?）=9（多是'+〃少是〃?〃）

E乙=甲+（1±）（例：9比乙少，求乙是多少?9+（1-）=9+=15）（多是〃+〃

少是〃?〃）

（例：15比乙多,求乙是多少?15+（1+）=1539）（多是“少是？）

4、按比例安排：把一个量按肯定的比安排的方法叫做按比例安

排。

例如：已知甲乙的和是56,甲、乙的比3团5,求甲、乙分别是多

少？

方法一：564-(3+5)=7甲：3x7=21乙：5x7=35

方法二：甲：56x=21乙：56x=35

例如：已知甲是21,甲、乙的比3团5,求乙是多少？

方法一：214-3=7乙：5x7=35

方法二：甲乙的和21+=56乙：56x=35

方法二：甲4■乙二乙二甲《=21+=35

5、画线段图：

⑴找出单位“1〃的量，先画出单位〃1〃，标出已知和未知。

⑵分析数量关系。

⑶找等量关系。

⑷列方程。

注：两个量的关系画两条线段图，部分和整体的关系画一条线段

图。

第四单元圆

一、,圆的特征

1、圆是平面内封闭曲线围成的平面图形，.

2、圆的特征：外形美观，易滚动。

3、圆心o：圆中心的点叫做圆心.圆心一般用字母。表示.圆多次

对折之后，折痕的相交于圆的中心即圆心。圆心确定圆的位置。

半径r：连接圆心到圆上随意一点的线段叫做半径。在同一个圆

里，有多数条半径，且全部的半径都相等。半径确定圆的大小。

直径d:通过圆心且两端都在圆上的线段叫做直径。在同一个圆

里，有多数条直径，且全部的直径都相等，直径是圆内最长的线段。

同圆或等圆内直径是半径的2倍：d=2r或r=dv2=d=

4、等圆：半径相等的圆叫做同心圆，等圆通过平移可以完全重

合。

同心圆：圆心重合、半径不等的两个圆叫做同心圆。

5、圆是轴对称图形：假如一个图形沿着一条直线对折，两侧的

图形能够完全重合，这个图形是轴对称图形。折痕所在的直线叫做对

称轴。

有一条对称轴的图形：半圆、扇形、等腰梯形、等腰三角形、角

有二条对称轴的图形：长方形

有三条对称轴的图形：等边三角形

有四条对称轴的图形：正方形

有无条对称轴的图形：H,圆环

6、画圆

(1)圆规两脚间的距离是圆的半径。

(2)画圆步骤：定半径、定圆心、旋转一周。

二、圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长，周长用字母

C表不。

1、圆的周长总是直径的三倍多一些。

2、圆周率：圆的周长与直径的比值是一个固定值，叫做圆周率,

用字母N表示。

即：圆周率71==周长+直径之3.14

所以，圆的周长(c);直径(d)x圆周率(yr)----周长公式：c=nd,c=2nr

注：圆周率n是一个无限小循环小数，3.14是近似值。

3、周长的改变的规律：半径扩大多少倍直径也扩大多少倍，周

长扩大的倍数与半径、直径扩大的倍数相同。

假如rl团r2团r3=dl团d2团d3二cl团c2团c3

4、半圆周长=网周长一半+直径=x2iir=nr+d

三、圆的面积s

1、圆面积公式的推导

如图把一个圆沿直径等分成若干份，剪开拼成长方形，份数越多

拼成的图像越接近长方形。

圆的半径=长方形的宽

圆的周长的一半=长方形的长

长方形面积=长x宽

所以：圆的面积=长方形的面积=长*宽=圆的周长的一半

(7ir)x圆的半径(ij

S圆=nrxr

S圆=nrxr=nr2

2、几种图形，在面积相等的状况下，圆的周长最短，而长方形

的周长最长;反之，在周长相等的状况下，圆的面积则，而长方彩的

面积则最小。

周长相同时，圆面积，利用这一特点，篮子、盘子做成圆形。

3、圆面积的改变的规律：半径扩大多少倍直径、周长也同时扩

大多少倍，圆面积扩大的倍数是半径、直径扩大的倍数的平方倍。

假如：门团r2团r3;dl团d2团d3=cl团c2团c3=2l33团4

则：S1回S2团S3=4团9团16

4、环形面积二大圆？小圆二nr大2-nr小2=rc（r大2・r小2）

扇形面积=nr2x（n表示扇形圆心角的度数）

5、跑道：每条跑道的周长等于两半圆跑道合成的圆的周长加上

两条直跑道的和。因为两条直跑道长度相等，所以，起跑线不同，相

邻两条跑道起跑线也不同，间隔的距离是：2XTIX跑道宽度。

注：一个圆的半径增加a厘米，周长就增加271a厘米

一个圆的直径增加b厘米，周长就增加Jib厘米

6、随意一个正方形的内切圆即圆的直径是正方形的边长，它们

的面积比是4周I

7、常用数据

n=3.142n=6.28371=9.424n=12.565R=15.7

第五单元、百分数

一、百分数的意义：表示一个数是另一个数的百分之儿。

注：百分数是特地用来表示一种特殊的倍比关系的，表示两个数

的比，所以，百分数又叫百分比或百分率，百分数不能带单位。

1、百分数和分数的区分和联系：

(1)联系：都可以用来表示两个量的倍比关系。

⑵区分：意义不同：百分数只表示倍比关系，不表示具体数量,

所以不能带单位。分数不仅表示倍比关系，还能带单位表示具体数量。

百分数的分子可以是小数，分数的分子只以是整数。

注：白分数在生活中应用广泛，所涉及问题基本和分数问题相同，

分母是100的分数并不是百分数，必需把分母写成〃％〃才是百分数，

所以“分母是100的分数就是百分数〃这句话是错误的。〃％〃的两个0

要小写，不要与百分数前面的数混淆。一般来讲，出勤率、成活率、

合格率、正确率能达到100%,出米率、出油率达不到100%,完成率、

增长了百分之几等可以超过100%o一般出粉率在70、80%,出油率

在30、40%o

2、小数、分数、百分数之间的互化

(1)百分数化小数：小数点向左移动两位，去掉〃％〃。

(2)小数化百分数：小数点向右移动两位，添上〃

(3)百分数化分数：先把百分数写成分母是100的分数，然后再化

简成最简分数。

(4)分数化百分数：分子除以分母得到小数，(除不尽的保留三位

小数)然后化成百分数。

(5)小数化分数：把小数成分母是10、100.1000等的分数再

化简。

⑹分数化小数：分子除以分母。

二、百分数应用题

1、求常见的百分率如：达标率、及格率、成活率、发芽率、

出勤率等求百分率就是求一个数是另一个数的百分之几

2、求一个数比另一个数多（或少）百分之几，实际生活中，人们

常用增加了百分之几、削减了百分之儿、节约了百分之几等来表示增

加、或削减的幅度。

求甲比乙多百分之几（甲-乙）+乙

求乙比甲少百分之几（甲―乙）+甲

3、求一个数的百分之几是多少一个数（单位〃l〃）x百分率

4、己知一个数的百分之几是多少，求这个数部重量+百分率=

一个数（单位〃1〃）

5、折扣折扣、打折的意义：儿折就是特别之儿也就是百分之

几十

折扣成数几分之儿百分之几小数通用

八折八成特别之八百分之八十0.8

八五折八成五特别之八点五百分之八十五0.85

五折五成特别之五百分之五十0.5半价

6、纳税缴纳的税款叫做应纳税额。

（应纳税额）=（总收入）=（税率.）

（应纳税额）=（总收入冈税率）

7、利率

⑴存入银行的线叫做本金。

（2）取款时银行多支付的钱叫做利息。

（3）利息与本金的比值叫做利率。

利息二本金x利率x时间

税后利息=利息•利息的应纳税额=利息-利息x5%

注：国债和（教化）储蓄的利息不纳税

8、白分数应用题型分类

（1）求甲是乙的百分之几一一（甲♦乙）x100%=X100%=百分之几

（2）求甲比乙多（少）百分之几一一xlOO%=xlOO%

例

①甲是50,乙是40,甲是乙的百分之几?（50是40的百分之

几?）50+40=125%

②甲是50,乙是40,乙是甲的百分之几?（40是50的百分之

几？）40+50=80%

③乙是40,甲是乙的125%,甲数是多少?（40的125%是多

少？）40xl25%=50

@甲是50,乙是甲的80%,乙数是多少？（50的80%是多

少？）50x80%=40

⑤乙是40,乙是甲的80%,甲数是多少?（一个数的80%是40,

这个数是多少？）40-80%=50

⑥甲是50,甲是乙的125%,乙数是多少?（一个数的125%是50,

这个数是多少?）50+125%=40

⑦甲是50,乙是40,甲比乙多百分之几?（50比40多百分之

JL?)(50-40)4-40X100%=25%

⑧甲是50,乙是40,乙比甲少百分之几?(40比50少百分之

几?)(50-40)050x100%=20%

⑨甲比乙多25%,多10,乙是多少?10・25%=40

⑩甲比乙多25%,多10,甲是多少?10・25%+10=50

?乙比甲少20%,少10,甲是多少？10"0%=50

?乙比甲少20%,少10,乙是多少？10・20%-10=40

?乙是40,甲比乙多25%,甲数是多少？(什么数比40多

25%?)40x(l+25%)=50

?甲是50,乙比甲少20%,乙数是多少？(什么数比50多

25%?)50x(l-20%)=40

?乙是40,比甲少20%,甲数是多少?(40比什么数少

20%?)40-?(1-20%)=50

?甲是50,比乙多25%,乙数是多少？(50比什么数多

25%?)40-(1+25%)=40

第六单元、统计

1、扇形统计图的意义：用整个圆的面积表示总数，用圆内各个

扇形面积表示各部分数量同总数之间关系，也就是各部分数量占总数

的百分比，因此也叫百分比图。

2、常用统计图的优点：

(1)、条形统计图直观显示每个数量的多少。

(2)、折线统计图不仅直观显示数量的增减改变，还可清晰看出各

个数量的多少。

(3)、扇形统计图直观显示部分和总量的关系。

第七单元、数学广角

一、探讨中国古代的鸡兔同笼问题。

1、用表格方式解决有局限性，数目必需小，例:

头数鸡(只)兔(只)腿数

35134

35233

35332

(逐一列表法、腿数少，小幅度跳动;腿数多，大幅度跳动。跳动

逐一相结合、取中列表)

2、用假设法解决

(1)假如都是兔

(2)假如都是鸡

⑶假如它们各抬起一条腿

(4)假如兔子抬起两条前腿

3、用代数方法解(一般规律)

说明：这个问题，是我国古代趣题之一。大约在1500年前，《孙

子算经》中就记载了这个好玩的问题。书中是这样叙述的：〃今有鸡

兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何?这四句话的

意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头;从下

面数，有94只脚。求笼中各有几只鸡和兔？

二、和尚分馒头

100个和尚吃100个馒头，大和尚一人吃3个，小和尚三人吃一

个。大小和尚各多少人？

国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道算题：

一白馒头一白僧，

大僧三个更无争，

小僧三人分一个，

大小和尚各几丁？

假如译成白话文，其意思是：有100个和尚分100只馒头，正好

分完。假如大和尚一人分3只，小和尚3人分一只，试问大、小和尚

各有几人？

方法一，用方程解：

解：设大和尚有x人,则小和尚有(100-x)人，依据题意列得方程：

3x+(100-x)=100

x=25

100-25=75人

方法二，鸡兔同笼法：

(1)假设100人全是大和尚，应吃馒头多少个？

3x100=300(个).

(2)这样多吃了几个呢？

300-100=200(个).

(3)为什么多吃了200个呢?这是因为把小和尚当成大和尚。那么

把小和尚当成大和尚时，每个小和尚多算了几个馒头？

3-二（个）

（4）每个小和尚多算了8/3个馒头，一共多算了200个，所以小和

尚有：

小和尚:200+=75（人）

大和尚：10075=25（人）

方法三，分组法