安徽省滁州市2025-2026学年高一数学下学期期中试题 (一)【含答案】

注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷．2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题上．第Ⅰ卷（选择题共58分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列命题正确的是A.若都是单位向量，则B.两个向量相等的充要条件是它们的起点和终点都相同C.向量与是两个平行向量D.若，则四点是平行四边形的四个顶点【答案】C【解析】【分析】利用单位向量的定义可判断A；利用向量相等的定义可判断B；利用平行向量的定义可判断C；利用向量相等的定义可判断D.【详解】对于A，单位长度为的向量为单位向量，都是单位向量，但方向可能不同，故A不正确；对于B，模相等，方向相同的向量为相等向量，故B不正确；对于C，向量与为相反向量，所以两个为平行向量，故C正确；对于D，，若四点在同一条直线上，不能构成平行四边形，故D不正确；故选：C【点睛】本题考查了向量的基本概念，需理解单位向量、相等向量、共线向量的概念，属于基础题.2.若复数（为虚数单位）是纯虚数，则实数A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】试题分析：因为,由题意可得,解得.故B正确.考点：复数的运算.【易错点晴】本题主要考查的是复数的乘法运算和的性质，属于容易题．解题时一定要注意和运算的准确性.当复数为纯虚数时一定要注意其实部等于0,虚部不等于0,否则极易出错.3.已知两个单位向量满足，则（）A.5 B.4 C.3 D.2【答案】A【解析】【分析】根据题意可得，，结合数量积的运算律求模长.【详解】由题意可知：，，所以.故选：A．4.设为平面内的一个基底，则下面四组向量中不能作为基底的是（）A.和 B.和C.和 D.和【答案】C【解析】【分析】根据基底的定义，结合共线向量的性质判断即可.【详解】平面向量的基底由两个不共线的非零向量组成，C选项中，，即和为共线向量，所以它们不能作为基底．其他选项中的两个向量都不共线，所以可以作为基底．故选：C5.如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则四边形的周长为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【详解】由题意知直观图为等腰梯形，，，，则；将直观图复原为原图，如图所示：则，，，作于F，则，所以，故四边形的周长为.6.的三内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c，设向量.若使，则角C的大小为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据共线向量定理可知，再根据向量共线的坐标表示即可列出方程，然后利用正弦定理以及余弦定理即可解出．【详解】因为，所以，即，边角转化得，所以，而，所以．故选：C.7.某远洋运输船在海面上航行至海上处，测得小岛上灯塔顶端位于其正西方向且仰角为45°，该运输船继续沿南偏西30°的方向航行100米至处，测得灯塔顶端的仰角为30°，则该灯塔顶端高于海面（）A.50米 B.100米 C.米 D.米【答案】A【解析】【分析】设灯塔顶端高于海面的距离为米，利用锐角三角函数的定义算出米，米，然后在中利用余弦定理建立关于的等式，解之即可得到本题的答案．【详解】根据题意作出示意图，如图所示，设灯塔顶端高于海面的距离为米，由题意得，，所以米，米，在中，，，由余弦定理得，即，整理，解得不符合题意，舍去）．综上所述，灯塔顶端高于海面的距离为50米．故选：．8.已知梯形中，，点为边上的动点，若，则的范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】建立平面直角坐标系，应用向量的夹角公式计算最后结合值域求解.【详解】如图所示建立平面直角坐标系，则，，设，则，，，令，则，，可得，故选:D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.在中，下列结论正确的是（）A.若，则为等腰三角形B.若，则是直角三角形C.若，则是钝角三角形D.若，则是等边三角形【答案】CD【解析】【分析】由三角函数的性质结合诱导公式判断选项AB；正弦定理角化边余弦定理得角的范围判断选项C；正弦定理结合倍角公式化简判断选项D.【详解】对于A，中，若，则有或，当时，，为等腰三角形；当时，，为直角三角形，故A选项不正确，对于B，中，若，则或，即或，因此不一定是直角三角形，故B选项不正确；对于C，中，若，则根据正弦定理得，余弦定理得，则为钝角，是钝角三角形，故C选项正确；对于D，中，若，则，即，由，得，所以，，是等边三角形，故D选项正确．故选：CD．10.i是虚数单位，下列说法正确的是（）A.B.若，则C.若，则的最小值为1D.若是关于的方程的根，则【答案】BC【解析】【分析】根据复数的乘方即可判断A；根据复数的乘法运算及共轭复数的定义即可判断B；设，再根据，求出的关系，再结合复数的模的公式即可判断C；根据方程的复数根互为共轭复数即可判断D.【详解】对于A，，故A错误；对于B，若，则，故B正确；对于C，设，由，得，即，所以，则，所以的最小值为1，故C正确；对于D，若是关于的方程的根，则也是关于的方程的根，所以，故D错误.故选：BC.11.在中，角的对边分别为，外接圆的半径为2，且，则下列结论正确的是（）A.B.C.面积的最大值为D.若，角的平分线交于点，则【答案】ABC【解析】【分析】由正弦定理及两角和正弦公式化简判断A；由正弦定理计算判定B；由余弦定理结合基本不等式可得，再利用三角形面积公式计算判定C；由，利用三角形面积公式计算判断D.【详解】对于A，因为，所以，所以，又，即，则，又，所以，解得，又，故，故A正确；对于B，因为，外接圆的半径为2，所以，故B正确；对于C，因为，即，又，所以，得，当且仅当时，取等号，所以，即面积的最大值为，故C正确；对于D，由，结合，解得，由，即，解得，故D不正确．第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的高为______【答案】【解析】【分析】由题意可知圆锥的母线长为2，根据圆锥侧面展开图的弧长为圆锥的底面圆的周长，可求得底面圆的半径，进而求得圆锥的高.【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，高为，有题意知，，解得，所以.故答案为：.13.设非零向量、的夹角为，，在方向上的投影向量为，则______．【答案】##【解析】【分析】由投影向量的定义可求得的值.【详解】由题意可知，在方向上的投影向量为，故.故答案为：.14.已知三棱锥的四个顶点均在球O上，平面为等腰直角三角形，A为直角顶点．若，且，则球O的表面积为_______．【答案】【解析】【分析】把三棱锥补成长方体，利用三棱锥的外接球就是长方体的外接球，且长方体的体对角线就是长方体外接球直径，可求球的表面积.【详解】因为平面平面，所以．所以在中，由，可求得．在等腰中，．易知三棱锥是球O内接长方体的一部分（如图），是该长方体的体对角线，故球心O在的中点处．因为，所以球O的半径为，故球O的表面积为．故答案为：【点睛】关键点点睛：本题主要考查三棱锥的外接球表面积，将三棱锥的外接球转化为长方体的外接球为解题的关键.四、解答题：本题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在中，内角的对边分别是，若，（1）求边，（2）求．【答案】（1）（2），.【解析】【分析】（1）根据余弦定理求边.（2）利用勾股定理的逆定理判断的形状，再求角.【小问1详解】由余弦定理，，所以.【小问2详解】因为，所以为直角三角形，，.16.如图，在正四棱锥中，是这个四棱锥的高，是斜高，且.（1）求这个四棱锥的侧棱长;（2）求这个四棱锥的全面积和体积.【答案】（1）（2）；【解析】【分析】（1）利用勾股定理计算出，可得出，然后利用勾股定理可计算出，即为该四棱锥的侧棱长；（2）计算出该正四棱锥的侧面积和底面积，相加即可得出该正四棱锥的全面积.再由体积公式求得体积.【小问1详解】在中，.在中，，，侧棱长；【小问2详解】，，，.,17.在锐角三角形中，角所对的边分别为，且，（1）求角的取值范围；（2）求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据正弦定理化简等式，根据角的关系，再根据锐角三角形列式求解；（2）根据正弦定理由边的关系转化为角的关系，再根据三角恒等变换转化为的二次函数求解.【小问1详解】，∴由正弦定理得，即，为锐角三角形，,则所以，即，，.【小问2详解】由正弦定理得，.18.如图，长方体由，，，，过作长方体的截面使它成为正方形.（1）求三棱柱的表面积；（2）求三棱锥的体积；（3）求.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】(1)根据截面为正方形，可得，利用三棱柱的表面积公式即可求解；(2)利用结合三棱锥的体积即可求解；(3)根据即可求解.【小问1详解】因为截面为正方形，所以，在中，，即，解得，所以三棱柱的表面积【小问2详解】由题可得：【小问3详解】因为，在长方体中平面，所以三棱锥的高为，所以.19.著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德·费马（）于年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”，费马问题中的所求点称为费马点．已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点．在锐角中，角的对边分别为，且．若是锐角的“费马点”，．（1）求角；（2）若；求的面积；（3）若，且．①求的周长；②求的值．【答案】（1）（2）（3）①；③【解析】【分析】（1）利用正弦定理结合已知条件求解；（2）利用正三角形的性质，结合费马点定义、余弦定理构造方程求出，进而利用三角形面