专题强化练2 空间向量与立体几何的综合应用

专题强化练2空间向量与立体几何的综合应用1.(2022黑龙江八校期中联考)如图所示的三棱锥P-ABC中,D是棱PB的中点,PA⊥底面ABC,PA=BC=2,AB=4,AB⊥BC,则异面直线PC,AD所成角的正弦值为()A.30C.62.(多选)(2021辽宁六校期中联考)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是A1D1,C1D1的中点,则下列结论正确的是()A.A1C1∥平面CEFB.B1D⊥平面CEFC.CE=12DAD.点D与点B1到平面CEF的距离相等3.(2022广东广州华侨中学期中)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,点E是棱AB的中点,则点E到平面ACD1的距离为.

4.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,点E在棱AB上移动,则直线D1E与A1D所成角的大小是,若D1E⊥EC,则AE=.

5.(2022广东佛山第一中学月考)如图,四边形ABCD为正方形,E,F分别为AD,BC的中点,以DF为折痕把△DFC折起,使点C到达点P的位置,且PF⊥BF.(1)证明:平面PEF⊥平面ABFD;(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值.6.(2021天津静海四校联考)如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,∠BAC=90°,点D,E,N分别为棱PA,PC,BC的中点,M是线段AD的中点,PA=AC=4,AB=2.(1)求证:MN∥平面BDE;(2)求平面CEM与平面EMN所成角的正弦值;(3)已知点H在棱PA上,且直线NH与直线BE所成角的余弦值为721

答案全解全析1.D因为PA⊥平面ABC,所以PA⊥AB,PA⊥BC.过点A作AE∥CB,又CB⊥AB,则AP,AB,AE两两垂直.如图,以A为坐标原点,AB,AE,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),P(0,0,2),B(4,0,0),C(4,-2,0).因为D为PB的中点,所以D(2,0,1).故CP=(-4,2,2),AD=(2,0,1).设异面直线PC,AD所成的角为θ,则cosθ=|cos<AD,CP>|=|-6|5所以异面直线PC,AD所成角的正弦值为1-3010故选D.2.AC∵E,F分别是A1D1,C1D1的中点,∴EF∥A1C1,又EF⊂平面CEF,A1C1⊄平面CEF,∴A1C1∥平面CEF,故A中结论正确.建立空间直角坐标系,如图所示,设正方体的棱长为2,则C(0,2,0),E(1,0,2),F(0,1,2),B1(2,2,2),D(0,0,0),∴DB1=(2,2,2),EF=(-1,1,0),设平面CEF的法向量为n=(x,y,z),∴n·EF令x=2,则y=2,z=1,∴n=(2,2,1).∵DB∴B1D不垂直于平面CEF,故B中结论错误.CE=CD+DD1+D1E=CD+DD1+12易知DC=(0,2,0),设点D到平面CEF的距离为d1,则d1=|DC·n||易知B1C=(-2,0,-2),设点B1到平面CEF的距离为d2,则d2=|B3.答案1解析以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,如图所示,则D1(0,0,1),E(1,1,0),A(1,0,0),C(0,2,0).∴D1E=(1,1,-1),AC=(-1,2,0),设平面ACD1的法向量为n=(a,b,c),则n·AC=0∴n=(2,1,2).∴点E到平面ACD1的距离为|D1E·n4.答案90°;1解析以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),D1(0,0,1),A1(1,0,1),C(0,2,0).设E(1,m,0),0≤m≤2,则D1E=(1,m,-1),EC=(-1,2-m,0).∵D1E·A1D=-1+0+1=0,∴直线D∵D1E⊥EC,∴D1E·5.解析(1)证明:由已知可得BF⊥EF,又因为PF⊥BF,且PF,EF⊂平面PEF,PF∩EF=F,所以BF⊥平面PEF.又BF⊂平面ABFD,所以平面PEF⊥平面ABFD.(2)作PH⊥EF,垂足为H.由(1)得,PH⊥平面ABFD.以H为坐标原点,HF的方向为y轴正方向,|BF|为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系Hxyz.易知DE⊥EF,由(1)可得,DE⊥PE.又DP=2,DE=1,所以PE=3,又PF=1,EF=2,所以PE⊥PF,所以PH=32,EH=3则H(0,0,0),P0,0,所以HP=0,0,32易知HP=0,设DP与平面ABFD所成角为θ,则sinθ=HP·DP|HP||所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为346.解析由已知得AB,AC,AP两两垂直.如图,以A为坐标原点,AB,AC,AP的方向分别为x轴,y轴,z轴正方向建立空间直角坐标系.依题意可得B(2,0,0),D(0,0,2),E(0,2,2),M(0,0,1),N(1,2,0).(1)证明:DE=(0,2,0),DB=(2,0,-2),MN=(1,2,-1).设n=(x,y,z)为平面BDE的法向量,则n·DE=0所以n=(1,0,1).因为MN·n=0,MN⊄平面BDE,所以MN∥平面BDE.(2)易知n1=(1,0,0)为平面CEM的一个法向量.EM=(0,-2,-1),MN=(1,2,-1).设n2=(x',y',z')为平面EMN的法向量,则n2·EM=0,因此有cos<n1,n2>=n1·n于是sin<n1,n2>=10