6.4.3 第1课时 余弦定理（基础练）解析版

第六章平面向量及其应用6.4.3第一课时余弦定理(基础练）一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）1．在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC＝()A.eq\f(π,6) B．eq\f(π,3)C.eq\f(2π,3) D.eq\f(5π,6)【答案】C【解析】因为在△ABC中，设AB＝c＝5，AC＝b＝3，BC＝a＝7，所以由余弦定理得cos∠BAC＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(9＋25－49,30)＝－eq\f(1,2)，因为∠BAC为△ABC的内角，所以∠BAC＝eq\f(2π,3).故选：C.2．在中所对的边分别是，若，则（）A．37 B．13 C． D．【答案】D【解析】∵，∴，∴，故选：D．3．在中，分别是角的对边，，则角的正弦值为（）A．1 B． C． D．【答案】A【解析】由题意知，整理得，由余弦定理，可得，又由，所以，所以.故选：A.4．在中，角，，所对的边分别为，，，若，则的形状为（）A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．不确定【答案】C【解析】因为，所以，所以，所以的形状为钝角三角形.故选：C5.若△ABC的三边长分别为AB＝7，BC＝5，CA＝6，则eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))的值为()A.19 B.14 C.－18 D.－19【答案】D【解析】设三角形的三边分别为a，b，c，依题意得，a＝5，b＝6，c＝7.∴eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(BC,\s\up6(→))|·cos(π－B)＝－ac·cosB.由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac·cosB，∴－ac·cosB＝eq\f(1,2)(b2－a2－c2)＝eq\f(1,2)(62－52－72)＝－19，∴eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝－19.故选：D二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）6．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝2，c＝2eq\r(3)，cosA＝eq\f(\r(3),2)，则b＝()A．2B．3C．4 D．2eq\r(2)【答案】AC【解析】由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA，∴4＝b2＋12－6b，即b2－6b＋8＝0，∴b＝2或b＝4.故选：AC7.在中，已知，，则形状不可能为（）A．等边三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形【答案】BCD．【解析】由余弦定理，得，因为，，所以，化为，得，所以为等边三角形．故选:BCD．8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a2＋c2－b2)tanB＝eq\r(3)ac，则角B的大小为()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,3)C.eq\f(2π,3) D.eq\f(5π,6)【答案】BC【解析】∵(a2＋c2－b2)tanB＝eq\r(3)ac，∴eq\f(a2＋c2－b2,2ac)tanB＝eq\f(\r(3),2)，即cosBtanB＝eq\f(\r(3),2)，sinB＝eq\f(\r(3),2)，B＝eq\f(π,3)或B＝eq\f(2π,3).故选：BC三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）9．在中，若，则角_______【答案】．【解析】由，得，由余弦定理，得，所以，得，又，所以．故答案为:．10．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若cosA＝eq\f(1,2)，b＋c＝2a，则△ABC的形状为________．【答案】等边三角形【解析】由余弦定理及cosA＝eq\f(1,2)得eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(1,2)，∴b2＋c2－a2＝bc.∵b＋c＝2a，∴a＝eq\f(b＋c,2)，∴b2＋c2－(eq\f(b＋c,2))2＝bc，即(b－c)2＝0，∴b＝c，于是a＝b＝c.∴△ABC为等边三角形．故答案为:等边三角形11．在中，已知，，边上的中线长，则．【答案】．【解析】如图，设，在中，由余弦定理，得，在中，由余弦定理，得，由，得，化为，解得，所以．故答案为:9.四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）12．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，且a，b是方程x2－2eq\r(3)x＋2＝0的两根，2cos(A＋B)＝1.(1)求角C的度数；(2)求AB的长.【答案】(1)120°;(2)eq\r(10).【解析】(1)cosC＝cos[180°－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－eq\f(1,2).又∵0°<C<180°，∴C＝120°.(2)∵a，b是方程x2－2eq\r(3)x＋2＝0的两根，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b＝2\r(3)，,ab＝2.))∴AB2＝a2＋b2－2abcos120°＝(a＋b)2－ab＝10，∴AB＝eq\r(10).13．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(a－c)2＝b2－eq\f(3,4)ac.(1)求cosB的值；(2)若b＝eq\r(13)，且a＋c＝2b，求ac的值．【答案】(1)eq\f(5,8);(2)12.【解析】(1)由(a－c)2＝b2－eq\f(3,4)ac，可得a2＋c2－b2＝eq\f(5,4)ac.所以eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(5,8)，即cosB＝eq\f(5,8).因为b＝eq\r(13)，cosB＝eq\f(5,8)，由余弦定理，得b2＝13＝a2＋c2－eq\f(5,4)ac＝(a＋c)2－eq\f(13,4)ac，又a＋c＝2b＝2eq\r(13)，所以13＝52－eq\f(13,4)ac，解得ac＝12.14．在中，、、分别为角、、的对边，且。(1)求角的大小；(2)设函数，当取最大值时，判断的形状。【解析】(1)在中，根据余弦定理：，而，∴；(2)由题意可知，即，则，∵，∴当，即，又，∴，∴取最大值，此时是直角三角形。A级必备知识基础练1.[探究点一]在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=13,b=3,A=60°,则c=()A.1 B.2 C.4 D.62.[探究点二]若△ABC的三边长分别为AB=7,BC=5,CA=6,则AB·BC的值为(A.19 B.14 C.-18 D.-193.(多选题)[探究点一]在锐角三角形ABC中,b=1,c=2,则a的值不可以是()A.1 B.2 C.3 D.44.[探究点二]在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C所对的边,已知2acosC=2b+3c,则角A等于()A.π6 B.π3 C.2π5.[探究点二]在△ABC中,AB=3,BC=13,AC=4,则边AC上的高为()A.322 B.332 C.6.[探究点三]在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足c=2acosB,则△ABC的形状是.

7.[探究点二]在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知B=C,2b=3a,则cosA=.

8.[探究点二]在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=3b,则cosB的最小值是.

9.[探究点二]在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a-b=4,a+c=2b,且最大角为120°,则此三角形的最大边长为.

10.[探究点一]在△ABC中,cosC=17,c=8,a=(1)b的值;(2)角A的大小.B级关键能力提升练11.(多选题)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=2,c=23,cosA=32,则b=(A.2 B.3 C.4 D.2212.[2023全国高一专题练习]在△ABC中,b=3,c=3a,B=π6,则cosC=(A.32 B.C.-32 D.-13.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若c2-a2-b2A.一定是锐角三角形B.一定是直角三角形C.一定是钝角三角形D.是锐角或直角三角形14.在△ABC中,a,b,c为角A,B,C的对边,且b2=ac,则B的取值范围是()A.0,π3C.0,π615.在△ABC中,若a4+b4+c4=2c2(a2+b2),则角C等于()A.60° B.45°或135°C.120° D.30°16.(多选题)在钝角△ABC中,若c=8,A=π3,则边a的值可能为(A.7 B.9 C.12 D.1617.在△ABC中,AB=3,BC=13,AC=4,则A=,AC边上的高为.

18.如图,在△ABC中,已知点D在边BC上,AD⊥AC于点A,sin∠BAC=223,AB=32,AD=3,则BD的长为19.若2a+1,a,2a-1为钝角三角形的三边长,求实数a的取值范围.20.设△ABC是锐角三角形,a,b,c分别是内角A,B,C所对的边,且sin2A=sinπ3+Bsinπ3-B+sin2B.(1)求A的值;(2)若AB·AC=12,a=27,且b<c,求b,cC级学科素养创新练21.在△ABC中,BC=a,AC=b,且a,b是方程x2-23x+2=0的两根,2cos(A+B)=1.(1)求角C的大小;(2)求AB的长.参考答案1.C由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA,即13=9+c2-3c,即c2-3c-4=0,解得c=4(负值舍去).2.D设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,依题意,得a=5,b=6,c=7.∴AB·BC=|AB|·|BC|·cos(π-B)=-ac·cosB.由余弦定理得b2=a2+c2-2ac·cosB,∴-ac·cosB=12(b2-a2-c2)=12(62-52-72)=-19,∴3.ACD若a为最大边,则b2+c2-a2>0,即a2<5,∴a<5,若c为最大边,则a2+b2>c2,即a2>3,∴a>3,故3<a<5.4.D∵2acosC=2b+3c,∴由余弦定理的推论,得2a·a2+b2-c22ab=2b+3c,化简可得b∴cosA=b2+c又A∈(0,π),∴A=5π6.故选5.B在△ABC中,AB=3,BC=13,AC=4,由余弦定理的推论,得cosA=AB∴A=60°.∴边AC上的高h=AB·sinA=3sin60°=332.故选6.等腰三角形∵c=2acosB,∴c=2a·a2∴a2=b2,∴a=b,∴△ABC的形状是等腰三角形.7.13由B=C,得b=c=32a.由余弦定理的推论,得cosA=8.223由余弦定理得cosB=a2+c2-b22ac,又当且仅当43×bc=16×cb所以cosB的最小值是229.14已知a-b=4,则a>b且a=b+4.又a+c=2b,则b+4+c=2b,所以b=c+4,则b>c,从而知a>b>c,所以a为最大边,故A=120°,b=a-4,c=2b-a=a-8.由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2+bc=(a-4)2+(a-8)2+(a-4)(a-8),即a2-18a+56=0,解得a=4或a=14.又b=a-4>0,所以a=14,即此三角形的最大边长为14.10.解(1)a=7,cosC=17,c=利用c2=a2+b2-2abcosC,整理得b2-2b-15=0,解得b=5或-3(负值舍去),故b=5.(2)因为cosA=b2且A∈(0,π),所以A=π311.AC由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA,∴4=b2+12-6b,即b2-6b+8=0,∴b=2或b=4.经检验,b=2与b=4均符合题意.12.D由题意,在△ABC中,b=3,c=3a,B=π6由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,得9=a2+3a2-2a×3a×32,即a2=9,a=故a=b,即A=B=π6所以C=π-A-B=2π3,则cosC=-12.13.C由c2-a2-b22ab>0得-cosC>0,所以cosC<0,14.AcosB=a2+c2-b22ac=(15.B∵a4+b4+c4=2c2(a2+b2),∴(a2+b2)2-2c2(a2+b2)+c4-2a2b2=0,∴(a2+b2-c2)2-2a2b2=0,∴(a2+b2-c2+2ab)(a2+b2-c2-2ab)=0,∴a2+b2-c2+2ab=0或a2+b2-c2-2ab=0.∵cosC=a2+b2-c2∵0°<C<180°,∴C=135°或45°.故选B.16.AD∵c=8,A=π3∴由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得a2=b2-8b+64=(b-4)2+48.若B为钝角,由余弦定理得cosB=a2+c2-b22ac<0,即a2+c2-b则b2-8b+64<b2-64,8b>128,b>16.结合二次函数的性质可知a2>(16-4)2+48=192,a>83,a=16符合题意.若C为钝角,则a<8,由于A=π3,则0<B<π6由余弦定理得cosC=a2+b2-c22ab=a2+b2-即b2-8b+64<64-b2,b2-4b<0,0<b<4,此时48<a2<64,即43<a<8,所以a=7