2025-2026学年北京市门头沟区2026届高三下册3月综合练习数学试题【附答案】

/北京市门头沟区2026届高三下学期3月综合练习数学试题一、选择题：本大题共10小题，共50分。1.已知集合M=xx−1>1，N=A.−1,1 B.−1 C.1 D.⌀2.在复平面内，复数z满足iz=1+i，则z⋅A.0 B.1 C.2 D.3.下列函数中，既是奇函数又在0,+∞上单调递减的是(

)A.y=2−x B.y=14.已知双曲线x2−y2m=1的一条渐近线方程为A.3 B.3 C.335.已知等比数列an的前n项和为Sn，且a4+a5=3A.31 B.15 C.318 D.6.设a>0，b>0，则“log2aA.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件7.某家用方形分装漏斗的主体结构可抽象成一个上大下小的正四棱台ABCD−A1B1C1D1，若AB=30cmA.1600cm2 B.2003c8.农产品质量安全研究表明，有机磷农药在果蔬表面的自然降解符合一级动力学模型，可用C=C0e−kt(C0,k为正常数)描述，其中C为喷施农药t天后，果蔬表面的农药残留量(A.3天 B.6天 C.9天 D.12天9.设函数fx=sinωx−3cosωx(ω>0)，若点π3A.4 B.5 C.7 D.1010.无穷数列an满足如下条件①sinan+1=cosA.若a1=0，则满足条件的单调数列an有且只有2个

B.对于任意给定的a1，满足条件的单调数列an有且只有1个

C.存在a1使得满足条件的数列an有且只有1个

D.存在无数个a二、填空题：本大题共5小题，共25分。11.x+ax5的展开式中x3的系数为−10，那么实数a=12.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到其准线的距离为2，点M在C上，若13.在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若cosβ−α=2214.在平面直角坐标系xOy中，OP=1，直线y=−x+2与x轴和y轴分别交于点A，B，则PA+PB的最大值为15.对于定义域为R的函数fx，令gx①若对于∀x∈R，g②若对于∀x∈R，g③若fx是周期函数，则g④若偶函数fx的图象关于直线x=aa≠0其中所有正确结论的序号是

．三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.如图，四边形ABCD为正方形，平面PADE⊥平面ABCD，PA//ED，ED⊥AD，ED=1，PA(1)求证：DF//平面PBE(2)求直线PC与平面PBE所成角的正弦值．17.在▵ABC中，b=26(1)求cosB(2)再从以下条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得▵ABC存在，求▵条件①：c=10条件②：cosA条件③：▵ABC的面积为注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．18.某公司对其销售的A、B两种型号扫地机器人向消费者进行满意度调查，从购买这两种型号扫地机器人的消费者中各随机抽取12人进行评分调查(满分100分，该公司规定评分不低于80分为满意)，评分结果如下：数据Ⅰ(A型号)：75，81，85，74，83，77，86，85，92，70，86，90数据Ⅱ(B型号)：71，76，81，68，72，87，86，85，73，84，70，92假设所有消费者的评分结果相互独立，用频率估计概率．(1)从参与A型号扫地机器人评分调查的12名消费者中随机抽取2人，求至少1人满意的概率P；(2)从购买A型号扫地机器人的所有消费者中随机抽取1人，购买B型号扫地机器人的所有消费者中随机抽取1人，设X为被抽到的2人中满意的人数，求X的分布列和数学期望EX；(3)假设购买A型号和B型号扫地机器人的消费者人数相同，公司从所有购买A、B两种型号扫地机器人的消费者中随机抽取1人，开展满意度跟进回访，若已知抽到的消费者对其购买的扫地机器人不满意，设其购买的是A型号的概率估计值为p1，其购买的是B型号的概率估计值为p2，试比较p1与p219.已知椭圆E:x2a2+y2(1)求椭圆E的方程；(2)设O为坐标原点，过点Pt,0(t<2)且不与y轴平行的直线l与椭圆E交于不同的两点A、B，点B关于x轴的对称点为C，直线AC与x轴交于点D，设▵ADB和▵AOB的面积分别为S120.已知函数fx=eax(1)当a=1时，求曲线y=f(2)求函数fx(3)若函数fx有2个不同的零点x1,x2，且21.设A是n行n列的数表，n≥2且n∈N∗，aij表示数表第i行第j列的数，且aij∈1,2,⋅⋅⋅,m，i=1,2,⋅⋅⋅,n，j=1,2,⋅⋅⋅,n.例如是3行3列的数表，其中a21(1)当n=3时，写出一个具有性质P的数表A(2)设数表A，B具有性质P，若A，B满足：若aij=akl，则bij(ⅰ)当n=3时，写出一组正交的数表A，B(ⅱ)当n=5时，设A1,A2,⋅⋅⋅,A答案1.B

2.D

3.B

4.B

5.C

6.A

7.A

8.C

9.C

10.D

11.−2

12.6

13.3π814.4；−1,315.①④

16.解：(1)设PB的中点为G，连接FG,在▵ABP中，F为AB所以FG//AP且因为PA//ED且所以DE//FG且所以四边形DEGF是平行四边形，所以DF//因为GE⊂平面PBE，DF⊄

平面所以DF//平面PBE(2)因为平面PADE⊥平面ABCD，平面PADE∩平面PA//ED，所以PA⊥AD，PA⊥因为四边形ABCD为正方形，所以AB,以A为坐标原点，AB,AD,则P0,0,2，B2,0,0，C2,2,0PC=2,2,−2，BP=设平面PBE的一个法向量为n=则n⋅BP=−2x+2所以平面PBE的一个法向量为n=设直线PC与平面PBE所成角为θ，则sinθ所以直线PC与平面PBE所成角的正弦值3

17.解：(1)因为b=26，c由正弦定理得sinCsin2所以sin2B=23所以cosB(2)若选条件①：c=10因为b=26，由(1)可知cos即24=a2+100−20a⋅方程无解，所以a边不存在，故▵ABC若选条件②：cosA因为b=26，由(1)可知cos同理cosA=所以在▵ABC中由正弦定理asinA再由余弦定理b2=a即c2−2c−15=0，解得c=5所以三角形的周长a+若选条件③：▵ABC的面积为5因为b=26，由(1)可知cos由三角形面积公式S=12再由余弦定理b2=a2+所以a+c2所以三角形的周长a+

18.解：(1)在数据I(A型号)中，评分不低于80分的有81，85，83，86，85，92，86，90，共评分低于80分的有75，74，77，70，共4人，从12名消费者中随机抽取2人，两人都不满意的概率为C4因为“至少1人满意”与“两人都不满意”是对立事件，所以至少1人满意的概率p=1−(2)由(1)可知，购买A型号扫地机器人的消费者满意的概率PA则不满意的概率为1−2在数据II(B型号)中，评分不低于80分的有81，87，86，85，84，92，共所以购买B型号扫地机器人的消费者满意的概率PB=6X的可能取值为0，1，2，PXPXPXX的分布列为：X012P111EX(3)由题可知抽取样本中，A型号不满意的有4人，B型号不满意的有6人，则p1的估计值为44+6=25故p1

19.解：(1)已知椭圆E:x2a2周长为4a=8，得a=2，因此c=ae=(2)设直线l的方程为y=k(x−t)(联立直线与椭圆方程：{y=k由韦达定理得：x1根据两点式得直线AC的方程为y−y1−y将y1=k(x化简得xD=xS1S2由题知S1=3S化简得∣4−t2∣=3t2，又t

20.解：(1)当a=1时，fx=exf'x=ex(2)f当a≤0时，aeax≤0，故f'当a>0时，令f'(x)=0，得当x<−lnaa时，当x>−lnaa时，综上所述，a≤0时，单调递减区间为(−∞,+∞)a>0时，单调递减区间为(−∞,−lna(3)由(2)可知当a≤0时f(x)单调递减，仅当a>0时，由(2)知f(x令g(a)=1+lna−a所以当a∈0,1，g'当a∈1,+∞，g'所以g(a)故fxmin≤0，要保证f(x)存在两个根，则注意到对任意a，f(0)=e0−0−1=0，即因此f(x