8.6.2直线与平面垂直（第1课时）（教案）

第八章立体几何初步8.6.2直线与平面垂直（第1课时）一、教学目标1.掌握直线与平面垂直的定义并会用其判断直线与平面垂直;2.理解直线与平面所成角的概念，并能解决简单的线面角问题;4.掌握直线与平面垂直的判定定理并会用其进行证明;3.通过对直线与平面垂直判定定理的学习，培养学生数学抽象、逻辑推理、直观想象等数学素养.二、教学重难点1.直线与平面垂直的判定定理；2.会运用直线与平面垂直的判定定理解决问题.三、教学过程：（1）创设情景动手操作准备正三角形、矩形纸片各一张，分别对折后适当放开并竖立在桌面上，观察折痕与桌面有怎样的位置关系？新知探究问题1:如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线垂直于这个平面吗？学生回答（不一定垂直），教师点拨问题2:如果一条直线与平面内的任意一条直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面吗?学生回答（垂直），教师点拨给出直线与平面垂直的定义.问题3:大家思考一下,除了直线与平面垂直的定义外有没有比更好的方法判别直线与平面垂直?学生回答，教师点拨,(提出本节课所学内容直线与平面垂直的判定定理)新知建构直线与平面垂直的定义：如果一条直线与平面内的任意一条直线都垂直，那么直线垂直于平面，记为．直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面，垂线与平面的交点叫垂足．如图所示:画法：通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直。思考：大家都知道在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，那么将这一结论推广到空间，过一点垂直于已知平面的直线有几条？为什么？学生回答(有且只有一条)，教师点拨,思考：过一点垂直于与已知直线的平面有几个?为什么?学生回答(有且只有一个)，教师点拨,3.过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离.线面垂直的判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线和这个平面垂直．符号表示：若，则．图形表示:注意：面内两条相交直线（4）数学运用例1.求证：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面.已知：，求证：．变式训练1:如图，在四棱锥中，平面，，，求证：平面；证明：因为AD⊥平面PDC，直线PD平面PDC，所以AD⊥PD.又因为BC//AD，所以PD⊥BC，又PD⊥PB，所以PD⊥平面PBC.例2.在四棱锥中，平面ABCD，，，，.（1）求证：平面PAD；（2）若E是PC的中点，求直线BE与平面PAD所成角的正切值.【答案】(1)证明见解析;(2)【解析】（1）证明：取的中点，连接，如图，则//，∴四边形是平行四边形，∴.又∵，，，∴，又∵，∴，又平面，∴，∵平面，，∴平面.（2）取的中点，靠近点的四等分点，连接，，，如图所示，∵//////，∴四边形是平行四边形，∴，∴直线与平面所成的角即为直线与平面所成的角.∵平面，∴即为直线与平面所成的角.在中，，，∴，即直线与平面所成角的正切值为变式训练:如图,在四棱锥P-ABCD中,AD⊥CD,AD∥BC,AD=2BC=2CD=4,PC=,△PAD是正三角形.(1)求证:CD⊥PA;(2)求AB与平面PCD所成角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）；【解析】(1)证明:∵△PAD是正三角形,AD=2CD=4,∴PD=4,CD=2,又PC=,∴PC2=PD2+CD2,∴CD⊥PD,又AD⊥CD,AD∩PD=D,∴CD⊥平面PAD,∵PA⊂平面PAD,∴CD⊥PA.(2)如图,取PD的中点E,连接AE,延长DC、AB交于点H,连接EH,∵△PAD是正三角形,∴AE⊥PD,AE=,由(1)得CD⊥平面PAD,∴CD⊥AE.∵CD∩PD=D,CD,PD⊂平面PCD,∴AE⊥平面PCD.∴∠AHE就是AB与平面PCD所成的角,∵AD⊥CD,BC∥AD,AD=2BC=2CD=4,∴DH=4,AH=,EH==,∴cos∠AHE===,∴AB与平面PCD所成角的余弦值为.例3:如图所示，四棱锥中，平面平面，为的中点，为的中点，且，．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）若，求三棱锥的体积．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.【解析】（I）由题意知△ABC为等腰直角三角形，而F为BC的中点，所以AF⊥BC．又因为平面AEDC⊥平面ABC，且∠ACD=90°，所以DC⊥平面ABC．而AF⊂平面ABC，所以AF⊥DC．而BC∩DC=C，所以AF⊥平面BCD．连结PF，则PF∥DC，PF=DC，而AE∥DC，AE=DC，所以AE∥PF，AE=PF，AFPE是平行四边形，因此EP∥AF，故EP⊥平面BCD．（II）因为EP⊥平面BCD，所以EP⊥平面BDF，EP是三棱锥E﹣BDF的高．所以EP=AF=BC==．故三棱锥E﹣BDF的体积为：V=．变式训练:在△ABC中,∠ACB=90°,D是BC的中点,PA⊥平面ABC,如果PB、PC与平面ABC所成的角分别为30°和60°,那么PD与平面ABC所成的角为__________【答案】45°【解析】连接AD,设PA=1,∵PA⊥平面ABC,PB、PC与平面ABC所成的角分别是30°和60°,∴∠ABP=30°,∠ACP=60°,∠ADP是PD与平面ABC所成的角,∴PB=2,AB=,AC=,∴CD=BC=×=,∴AD===1,∴tan∠ADP==1,∴∠ADP=45°,∴PD与平面ABC所成角的大小为45°.故答案为：45°四、小结：直线与平面垂直的定义：如果一条直线与平面内的任意一条直线都垂直，那么直线垂直于平面，记为．直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面，垂线与平面的交点叫垂足．如图所示:线面垂直的判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线和这个平面垂直．符号表示：若，则．图形表示:注意：面内两条相交直线A级必备知识基础练1.[探究点二]若空间四边形ABCD的四边相等,则它的两对角线AC,BD的关系是()A.垂直且相交 B.相交但不一定垂直C.垂直但不相交 D.不垂直也不相交2.[探究点一、二·2023江苏淮安清江浦期中]如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M,N分别为AC,A1B的中点,下列说法中不正确的是()A.MN∥平面ADD1A1B.MN⊥ABC.MN与CC1所成角为45°D.MN⊥平面ACD13.[探究点三]在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为1的正方形,PA⊥平面ABCD,且PA=6,则PC与平面ABCD所成角的大小为()A.30° B.45° C.60° D.90°4.[探究点一]如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱AB,BC的中点,O是底面ABCD的中心,则EF与平面BB1O的位置关系是.(填“平行”或“垂直”)

5.[探究点三]如图,在三棱柱ABC-A'B'C'中,底面ABC是正三角形,AA'⊥底面ABC,且AB=1,AA'=2,则直线BC'与平面ABB'A'所成角的正弦值为.

6.[探究点二]在三棱锥V-ABC中,当三条侧棱VA,VB,VC之间满足条件时,有VC⊥AB.(注:填上你认为正确的一种条件即可)

7.[探究点三、四·2023江西九江德安期末]如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD为菱形,AP=AD=2,∠ABC=60°.点E,F分别在棱PA,PB上,且EF∥AB.(1)求证:EF∥CD;(2)若直线PD与平面CEF所成的角的正弦值为68,求点P到平面CEF的距离8.[探究点二]如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,AP=AB=2,BC=22,E,F分别是AD,PC的中点.证明:PC⊥BE.9.[探究点一、三]如图,在棱长均为1的直三棱柱ABC-A1B1C1中,D是BC的中点.(1)求证:AD⊥平面BCC1B1;(2)求直线AC1与平面BCC1B1所成角的正弦值.B级关键能力提升练10.(多选题)如图,ABCD-A1B1C1D1为正方体,下面结论正确的是 ()A.BD∥平面CB1D1B.AC1⊥BDC.AC1⊥平面CB1D1D.异面直线AD与CB1所成的角为60°11.(多选题)在正三棱锥A-BCD中,侧棱长为3,底面边长为2,E,F分别为棱AB,CD的中点,则下列结论中正确的是()A.EF与AD所成角的正切值为3B.EF与AD所成角的正切值为2C.AB与面ACD所成角的余弦值为7D.AB与面ACD所成角的余弦值为712.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=8,∠BAC=60°,PC⊥平面ABC,PC=4,M是AB边上的一动点,则PM的最小值为()A.27 B.7C.19 D.513.(多选题)如图,等边三角形ABC的边长为1,BC边上的高为AD,沿AD把三角形ABC折起来,则()A.在折起的过程中始终有AD⊥平面BDC'B.三棱锥A-DC'C的体积的最大值为3C.当∠C'DC=60°时,点A到C'C的距离为15D.当∠C'DC=90°时,点C到平面ADC'的距离为114.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,有下列结论:①AC∥平面CB1D1;②AC1⊥平面CB1D1;③AC1与底面ABCD所成角的正切值是22;④AD1与BD为异面直线其中正确结论的序号是.

15.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=2,AB=AA1=2,E是棱CC1的中点.(1)求证:AE⊥BC;(2)求点A1到平面ABE的距离.16.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,M,N分别是AB,PC的中点.求证:(1)MN∥平面PAD;(2)AB⊥MN.C级学科素养创新练17.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,动点E在线段A1C1上,F,M分别是AD,CD的中点,则下列结论中正确的是.

①FM与BC1所成角为45°;②BM⊥平面CC1F;③存在点E,使得平面BEF∥平面CC1D1D;④三棱锥B-CFE的体积为定值.18.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,底面ABCD是矩形,AD=PD,E,F分别为CD,PB的中点.(1)求证:EF∥平面PAD;(2)求证:EF⊥平面PAB;(3)设AB=2BC=2,求三棱锥P-AEF的体积.参考答案1.C取BD的中点O,连接AO,CO,则BD⊥AO,BD⊥CO,故BD⊥平面AOC,BD⊥AC.又BD,AC异面,故选C.2.D对于A,如图,连接BD,AD1,A1D.在正方形ABCD中,∵M为AC的中点,∴AC∩BD=M,即M也为BD的中点.在△A1BD中,∵M,N分别为BD,A1B的中点,∴MN∥A1D.又∵MN⊄平面ADD1A1,A1D⊂平面ADD1A1,∴MN∥平面ADD1A1,故A正确;对于B,∵AB⊥平面ADD1A1,∴AB⊥A1D,又MN∥A1D,∴AB⊥MN,故B正确;对于C,∵MN∥A1D,CC1∥D1D,∴MN与CC1所成角为∠A1DD1=45°,故C正确;对于D,连接B1C,B1D1,D1C,AD1,CD1.∵B1C=CD1=B1D1,∴∠B1CD1=60°.∵B1C∥A1D,∴A1D与CD1不垂直,即MN与CD1不垂直,则MN不垂直于平面ACD1,故D错误.故选D.3.C如图,连接AC.∵PA⊥平面ABCD,∴∠PCA就是PC与平面ABCD所成的角.∵AC=2,PA=6,∴tan∠PCA=PAAC=62=4.垂直∵底面ABCD为正方形,∴AC⊥BO.∵BB1⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,∴AC⊥BB1.又BO∩BB1=B,∴AC⊥平面BB1O.∵EF是△ABC的中位线,∴EF∥AC,∴EF⊥平面BB1O.5.1510如图所示,取A'B'的中点D,连接C'D,BD.∵底面△A'B'C'是正三角形,∴C'D⊥A'B'.∵AA'⊥底面ABC,∴A'A⊥C'D.又AA'∩A'B'=A',∴C'D⊥侧面ABB'A',故∠C'BD是直线BC'与平面ABB'A'所成角.等边三角形A'B'C'的边长为1,C'D=32在Rt△BB'C'中,BC'=B'B2+B'C'6.VC⊥VA,VC⊥VB(答案不唯一,只要能保证VC⊥AB即可)只要VC⊥平面VAB,即有VC⊥AB;故只要VC⊥VA,VC⊥VB即可.7.(1)证明因为底面ABCD为菱形,所以CD∥AB,又因为EF∥AB,所以EF∥CD.(2)解因为EF∥CD,所以C,D,E,F四点共面.设点P到平面CEF的距离为h.因为PA⊥平面ABCD,AB⊂平面ABCD,所以PA⊥AB.因为PA=AD=2,所以PD=PA2+A因为直线PD与平面CEF所成的角的正弦值为68,所以h=PD·68.证明如图,连接PE,EC,在Rt△PAE和Rt△CDE中,PA=AB=CD,AE=DE,所以PE=CE,即△PEC是等腰三角形.又因为F是PC的中点,所以EF⊥PC.又因为BP=AP2+ABF是PC的中点,所以BF⊥PC.又因为BF∩EF=F,所以PC⊥平面BEF.因为BE⊂平面BEF,所以PC⊥BE.9.(1)证明在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1⊥平面ABC,∴BB1⊥AD,∵AB=AC,D是BC的中点,∴AD⊥BC.又BC∩BB1=B,∴AD⊥平面BCC1B1.(2)解连接C1D.由(1)知AD⊥平面BCC1B1,则∠AC1D即为直线AC1与平面BCC1B1所成角.在Rt△AC1D中,AD=32,AC1=2,sin∠AC1D=AD即直线AC1与平面BCC1B1所成角的正弦值为6410.ABC由于BD∥B1D1,BD⊄平面CB1D1,B1D1⊂平面CB1D1,则BD∥平面CB1D1,所以A正确;因为BD⊥AC,BD⊥CC1,AC∩CC1=C,所以BD⊥平面ACC1,所以AC1⊥BD,所以B正确;可以证明AC1⊥B1D1,AC1⊥B1C,所以AC1⊥平面CB1D1,所以C正确;由于AD∥BC,则∠BCB1=45°是异面直线AD与CB1所成的角,所以D错误.11.BC设AC中点为G,BC的中点为H,连接EG,FG,AH,DH.因为AE=BE,AG=GC,CF=DF,所以EG∥BC,FG∥AD.所以∠EFG就是直线EF与AD所成的角.在三角形EFG中,EG=1,FG=32由于三棱锥A-BCD是正三棱锥,BC⊥DH,BC⊥AH,又因为AH,HD⊂平面ADH,AH∩DH=H,所以BC⊥平面ADH.因为AD⊂平面ADH,所以BC⊥AD,所以EG⊥FG,所以tan∠EFG=EGFG=132=2过点B作BO垂直AF,垂足为O.因为CD⊥BF,CD⊥AF,BF∩AF=F,BF,AF⊂平面ABF,所以CD⊥平面ABF.因为BO⊂平面ABF,所以CD⊥BO.因为BO⊥AF,AF∩CD=F,AF,CD⊂平面ACD,所以BO⊥平面ACD.所以∠BAO就是AB与平面ACD所成角.由题得BF=3,AF=22,AB=3,所以cos∠BAO=9+8-32×3×22=141212.A如图所示,连接CM.因为PC⊥平面ABC,所以PC⊥CM,则△PCM是直角三角形,故PM2=PC2+CM2,所以当CM⊥AB时,CM最小,此时PM也最小.由条件知BC=43,故CM的最小值为23,又PC=4,则PM的最小值为42+(213.ABCD因为AD⊥BD,AD⊥DC',且BD∩DC'=D,BD,DC'⊂平面BDC',所以AD⊥平面BDC',故A正确;当DC'⊥DC时,△DC'C的面积最大,此时三棱锥A-DC'C的体积也最大,最大值为13×32×当∠C'DC=60°时,△DC'C是等边三角形.设C'C的中点为E,连接AE,DE,因为AC=AC',所以AE⊥C'C,即AE的长度为点A到C'C的距离,AE=(32)

2当∠C'DC=90°时,CD⊥DC',CD⊥AD,故CD⊥平面ADC',则CD的长度就是点C到平面ADC'的距离,则CD=12,故D正确14.②③④①因为AC∩平面CB1D1=C,所以AC与平面CB1D1不平行,故①错误;②连接BC1,A1C1,图略.易证AC1⊥B1D1,AC1⊥B1C,因为B1D1∩B1C=B1,所以AC1⊥平面CB1D1,故②正确;③因为CC1⊥底面ABCD,所以∠C1AC是AC1与底面ABCD所成的角,所以tan∠C1AC=C1CAC=2④AD1与BD既无交点也不平行,所以AD1与BD为异面直线,故④正确.15.(1)证明因为AC=BC=2,AB=2,所以AC2+BC2=AB2,即AC⊥BC.因为直棱柱ABC-A1B1C1,所以AA1⊥底面ABC,BC⊂平面ABC,所以AA1⊥BC,又AA1∩AC=A,AA1⊂平面ACC1A1,AC⊂平面ACC1A1,所以BC⊥平面ACC1A1.又因为AE⊂平面ACC1A1,所以AE⊥BC.(2)解设点A1到平面ABE的距离为h,取AB中点O,连接EO,在△ABE中,AE=BE=3,AB=2,则EO⊥AB,所以EO=AE所以△ABE的面积为12×2×2因为VA所以13×S△ABE×h=13×所以13×2×h=13×12所以点A1到平面ABE的距离为2.16.证明(1)取PD的中点Q,连接AQ,NQ.∵N是PC的中点,∴NQ=12CD,NQ∥∵M是AB的中点,∴AM=12AB=1又AM∥CD,∴AM∥NQ,AM=NQ.∴四边形AQNM是平行四边形,∴MN∥AQ.∵MN⊄平面PAD,AQ⊂平面PAD,∴MN∥平面PAD.(2)∵PA⊥平面ABCD,AB⊂平面ABCD,∴PA⊥AB.又∵底面ABCD为矩形,∴AB⊥AD.又PA∩AD=A,PA,AD⊂平面PAD,∴AB⊥平面PAD,又AQ⊂平面PAD,∴AB⊥AQ.又∵AQ∥MN,∴AB⊥MN.17.②④连接A1B,BC1,图略.对于①,∵F,M分别为AD,CD的中点,∴FM∥AC,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1∥CC1且AA1