《空间向量的数量积运算》课件

1.1.2空间向量的数量积运算第一章内容索引0102课前篇自主预习课堂篇探究学习课标阐释思维脉络1.理解空间两个向量夹角的定义.(直观想象)2.掌握空间向量数量积的定义、性质、运算律,会求空间向量的数量积.(数学运算)3.能够运用空间向量的数量积解决夹角与距离问题.(数学运算)课前篇自主预习[激趣诱思]G20峰会向世界展示了杭州的无穷魅力,一些别致的建筑和设计令人印象深刻!设计、制造这些宏伟的建筑、精美的造型,都会遇到许多立体几何问题,比如建筑的地面垂不垂直,要不要垂直?构成建筑的部件长度是多少?彼此成多少角度比较合适等等.怎么样才能解决这些问题呢,必须有强大的数学工具!问题1:在所学的数学工具中,哪些可以用来研究垂直问题,计算长度、角度问题?问题2:我们已经学习了平面向量,并深刻地体会到平面向量在解决垂直、长度、角度等问题中的应用.我们还学习了空间向量的加法、减法、数乘运算,那么空间向量中,怎么样的运算能支持判断垂直问题,计算长度、角度问题?[知识点拨]一、空间向量的夹角已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作,则∠AOB叫做向量a,b的夹角,记作<a,b>,向量夹角的取值范围是[0,π].如果<a,b>=,那么向量a,b互相垂直,记作a⊥b.名师点析

1.由定义知,只有两个非零空间向量才有夹角,当两个非零空间向量共线同向时,夹角为0;共线反向时,夹角为π.2.对空间任意两个非零向量a,b有:①<a,b>=<b,a>;②<-a,b>=<a,-b>=π-<a,b>;③<-a,-b>=<a,b>.微练习

A.30° B.60° C.150° D.120°答案

D二、空间向量的数量积1.定义:已知两个非零向量a,b,则|a||b|cos<a,b>叫做a,b的数量积,记作a·b.即a·b=|a||b|cos<a,b>.特别地,零向量与任意向量的数量积为0.2.数量积的运算性质a·e=|a|cos<a,e>(e为单位向量).若a,b是非零向量,则a⊥b⇔a·b=0;若a与b同向,则a·b=|a||b|;若a与b反向,则a·b=-|a||b|.特别地,|a|2=a·a或|a|=.若θ为a,b的夹角,则cosθ=.|a·b|≤|a||b|(当且仅当a,b共线时,等号成立)3.向量a在向量b上的投影向量在空间,向量a向向量b投影,得到与向量b共线的向量c,c=|a|cos<a,b>,向量c称为向量a在向量b上的投影向量.4.向量a在平面β上的投影向量分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线,垂足分别为A',B',得到向量5.数量积的运算律:(λa)·b=λ(a·b),λ∈R;a·b=b·a(交换律);(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).名师点析

1.对空间向量数量积的理解

(1)两个空间向量的数量积是数量,而不是向量,它可以是正数、负数或零;(2)若a·b=k(k≠0),则不能得出

,即空间向量不能进行除法运算.2.空间向量数量积的应用(3)利用关系a⊥b⇔a·b=0(a,b为非零向量)可以证明空间两直线的垂直.微思考(1)若a·b=0,则一定有a⊥b吗?(2)若a·b>0,则<a,b>一定是锐角吗?(3)数量积运算满足结合律、消去律吗?提示

(1)若a·b=0,不一定有a⊥b,也可能a=0或b=0.(2)当<a,b>=0时,也有a·b>0,故当a·b>0时,<a·b>不一定是锐角.(3)数量积运算不满足结合律,也不满足消去律,即(a·b)·c≠a·(b·c),a·b=a·c

b=c.微练习1答案

C微判断对不为0的三个实数a,b,c,有(ab)c=a(bc)成立,所以对三个非零向量a,b,c,也有(a·b)·c=a·(b·c)成立.(

)解析

因为a·b是一个实数,所以(a·b)·c是一个与c共线的向量.同理知a·(b·c)是一个与a共线的向量,但a与c不一定共线,故不正确.答案

×微练习2已知空间向量a,b的夹角为120°,且|a|=1,|b|=2,则a·(2a-3b)=

.

解析

a·(2a-3b)=2|a|2-3a·b=2×12-3×1×2×=5.答案

5课堂篇探究学习探究一求空间向量的数量积例1已知三棱锥O-ABC的各个侧面都是等边三角形,且边长为2,点M,N,P分别为AB,BC,CA的中点.试求:思路分析求出每个向量的模及它们的夹角,然后按照数量积的定义求解,必要时,对向量进行分解.反思感悟

空间向量运算的方法与步骤方法:(1)利用定义,直接利用a·b=|a||b|cos<a,b>并结合运算律进行计算.(2)利用图形,计算两个向量的数量积,可先将各向量移到同一顶点,利用图形寻找夹角,再代入数量积公式进行运算.(3)利用向量分解,在几何体中进行向量的数量积运算时,要充分利用几何体的性质,把待求向量用已知夹角和模的向量表示后再进行运算.步骤:(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的线性组合形式;(2)利用向量的运算律将数量积展开,转化为已知模和夹角的向量的数量积;(3)代入a·b=|a||b|cos<a,b>求解.解析

如图,连接AG并延长,与BC交于点D,连接OG,∵点G是底面△ABC的重心,探究二利用数量积求夹角例2如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求向量

夹角的大小.思路分析求两个向量的夹角,可以把其中一个向量平移到与另一个向量的起点重合,从而转化为求平面角的大小;也可以用两个向量的数量积定义反思感悟

利用向量数量积求夹角问题的思路(1)结合图形,平移向量,把向量夹角转化为平面几何中的对应角,利用三角形的知识求解;(2)先求a·b,再利用公式cos<a,b>=求cos<a,b>,最后确定<a,b>.变式训练2(1)若非零空间向量a,b满足|a|=|b|,(2a+b)·b=0,则a与b的夹角为(

)A.30° B.60° C.120° D.150°(2)已知空间四面体OABC各边及对角线长都等于2,E,F分别为AB,OC的中点,则向量

所成角的余弦值为

.

解析

(1)设a与b的夹角为θ,则由(2a+b)·b=0,得2|a||b|cos

θ+|b|2=0.又因为|a|=|b|,所以cos

θ=-,所以θ=120°.探究三利用数量积证明垂直问题例3如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P是DD1的中点,O是底面ABCD的中心.求证:OB1⊥平面PAC.反思感悟

利用数量积证明垂直问题的一般方法将所证垂直问题转化为证明线线垂直,然后把直线转化为向量,并用已知向量表示未知向量,然后通过向量的线性运算以及数量积运算,证明直线所在向量的数量积等于零,即可证明线线垂直.变式训练3已知在四面体OABC中,M,N,P,Q分别为BC,AC,OA,OB的中点,若AB=OC,求证:PM⊥QN.探究四利用数量积求距离或长度例4如图所示,在平行四边形ABCD中,AB=AC=1,∠ACD=90°,沿着它的对角线AC将△ACD折起,使AB与CD成60°角,求此时B,D间的距离.要点笔记求两点间的距离或线段长度的方法(1)将此线段用向量表示;(2)用其他已知夹角和模的向量表示该向量;(3)利用

,通过计算求出|a|,即得所求距离.变式训练4正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为2,E,F分别是AB,A1C1的中点,则EF的长是(

)答案

C

素养形成利用向量的数量积求两异面直线所成角典例如图,在直三棱柱ABC

-A1B1C1中,∠ABC=90°,AB=BC=1,AA1=,求异面直线BA1与AC所成角的余弦值.【规范答题】

【答题模板】

第1步:确定两两垂直的向量,把待求直线看作向量,用相关向量表示.⇓第2步:计算直线BA1与AC对应向量的数量积.⇓第3步:利用数量积公式计算两个向量夹角的余弦值.⇓第4步:将两向量夹角的余弦值转化为两直线夹角的余弦值.失误警示

通过阅卷统计分析,发现造成失分的原因主要如下:(1)解题时忽视条件∠ABC=90°,从而得不出两两垂直的向量;

当堂检测1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列各对向量夹角为45°的是(

)解析

四个选项中两个向量的夹角依次是45°,135°,90°,180°,故选A.答案

A答案

D3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是上底面A1B1C1D1的中心,则AC1与CE的位置关系是(

)A.重合 B.平行C.垂直 D.无法确定答案

C答案

05.如图所示,已知平行六面体ABCD

-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°,求证:CC1⊥BD.

A

A

B

AC

BCD

【解析】

AB√C√D√

第一节

空间向量及其运算课时2

空间向量的数量积运算过基础

教材必备知识精练知识点1

空间向量的数量积及其运算律

A