2025江苏省扬州市中考真题数学试卷(解析版)

扬州市2025年初中毕业升学考试数学注意事项请各位考生在开始作答之前，务必仔细阅读本注意事项以及每道题的具体答题要求。1．本套试卷全长6页，由选择题（第1至8题，共8道）与非选择题（第9至88题，共20道）两部分组成。总分150分，答题限时120分钟。考试完毕后，请务必将试卷与答题卡一同上交。2．在开始作答之前，请确认已使用0.5mm黑色签字笔在试卷与答题卡的指定区域内写好姓名及准考证号，并在试卷首页的右下角标注好座位号。3．请仔细检查答题卡上由监考人员粘贴的条形码，确认其中的姓名及准考证号是否与本人信息一致。4．在填写选择题时，请使用2B铅笔将答题卡中相应选项的方框完整涂黑；若要修改答案，请先用橡皮擦除干净，再重新涂写。在填写非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题卡规定的区域内作答，凡在指定区域以外书写的内容均不予计分。5．若涉及作图，请务必使用2B铅笔绘制并书写清晰，且所有线条与符号均需加粗、加黑处理。一、单项选择题（本部分共8道题，每题3分，合计24分。每题给出的四个选项中仅有一个正确，请将正确答案的字母填在答题卡指定区域）1.下列温度中，比低的温度是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了有理数大小的比较．根据题意，选出比小的数即可．【详解】解：根据两个负数，绝对值大的反而小可知，所以比低的温度是．故选：．2.在中国传统的木质建筑中，窗棂不仅具有浓郁的古典气息，还蕴含着几何美感。在给出的下列窗棂图案中，属于轴对称图形且不属于中心对称图形的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【解析】本题旨在考查对轴对称图形与中心对称图形的辨析能力。解题的核心在于准确理解相关定义：在平面几何中，若一个图形能够沿某条直线对折，且折叠后的两部分完全重叠，则该图形为轴对称图形；若一个图形绕定点旋转180°后能与原图形完全重合，则该图形为中心对称图形。在实际操作中，只需依据上述轴对称和中心对称的判定标准进行分析即可。【解析】解答：选项A同时具备轴对称和中心对称的特征，与题目要求不符；B.该图形同时具备轴对称与中心对称的特性，与题目要求不符；C．该图形具备轴对称特性，但并不满足中心对称条件，与题目要求相符；D.该图形虽为中心对称图形，但并非轴对称图形，因此不满足题目要求；故选C．3.下面所列的表述中，错误的一项是（）A.“明天是否下雨”属于随机事件B.若要调研长江流域内现有的鱼类品种，采取普查法较为合适C.若要展现一周中每日最高气温的波动趋势，选用折线统计图最为合适。D.若甲组数据的方差，乙组数据的方差，则乙组数据更稳定【答案】B【解析】【解析】本题旨在考察对随机事件、调查手段、统计图表选取以及方差含义的理解，深入掌握上述相关知识点是顺利完成本题的核心。请结合相应的知识点进行判定。【解析】选项A：关于明天是否下雨的结果无法预先确定，这符合随机事件的定义，该表述正确，因此不符合题目要求；B：由于长江鱼类的种类繁多且个体数量巨大，调查范围较广，应当采取抽样调查法，该表述错误，因此该项符合题意；C：折线统计图能够有效地呈现数据的波动趋势，因此用于描述气温的演变是恰当的。该选项表述正确，不符合题干要求；D：方差的数值越小，表明数据的波动程度越低，稳定性越强。由于乙的方差较低，其稳定性更佳，因此该选项正确，不符合题目要求。因此，正确选项为：B。4.关于一元二次方程的根的情况，下列结论正确的是（）A.拥有两个互不相同的实数根

B.拥有两个相等的实数根C.不存在实数根

D.无法确定根的性质【答案】A【解析】【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键在于熟练掌握：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．通过计算一元二次方程的判别式，即可判断方程根的情况．【详解】解：，，该方程拥有两个互不相同的实数根，因此，正确选项为：A。5.如图，数轴上点表示的数可能是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】本题考查实数与数轴，无理数的估算，设点表示的数为，根据点在数轴上的位置，判断出的范围，夹逼法求出无理数的范围进行判断即可．【详解】解：设点表示的数为，由图可知：，，即：，故选项A不符合题意；，即：，故选项B不符合题意；，即：，故选项C符合题意；，即：，故选项D不符合题意；故选C．6.在如图的房屋人字梁架中，，点在上，下列条件不能说明的是（）A.B.C.D.平分【答案】B【解析】【解析】本题旨在考察“三线合一”的相关知识，通过运用三线合一的性质即可得出结论。【详解】解：当时，点在上，，，；故选项A不符合题意；，，不能得到；故选项B符合题意；，当或平分时，；故选项C，D均不符合题意；故选B7.如图，平行于主光轴的光线和经过凸透镜折射后，折射光线，交于主光轴上一点，若，，则的度数是（）A.B.C.D.【正确选项】C【解析】【分析】本题考查平行线的性质，对顶角，先根据平行线的性质求出的度数，再根据角的和差关系和对顶角相等，求出的度数即可．【详解】解：，，，，，；故选C8.已知，则一次函数的图象不经过（）A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了一次函数的图象，熟练掌握一次函数的图象特点是解题关键．先根据可得，从而可得，再可得，然后根据一次函数的图象特点即可得．【详解】解：，，当时，，，与矛盾，当时，，，与矛盾，当时，，，与矛盾，当时，，，与矛盾，，，一次函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，因此，正确选项为：D。二、填空题（共10道小题，每题3分，总分30分。无需提供计算或推导过程，请将最终结果直接填入答题卡指定区域）9.2025年3月30日，大运河马拉松系列赛之扬州鉴真半程马拉松在市民中心广场正式启动，大约有30000名参赛者通过奔跑感受古城的千年底蕴，用汗水展现对运动的热爱。请将数值30000转化为科学记数法形式，结果为______．【答案】【解析】【分析】本题考查了科学记数法将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法，熟记科学记数法的定义是解题关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．根据科学记数法的定义即可得．【详解】解：，故答案为：．10.分解因式：______．【答案】【解析】【解析】本题旨在考察因式分解的能力。解题的核心在于熟练运用各种分解技巧（如提取公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法及换元法等）。本题可通过应用平方差公式直接完成分解。【详解】解：，故答案为：．11.计算：______．【答案】##【解析】【解析】本题重点考察分式的综合运算能力。解题的核心在于熟练运用分式的运算规律：首先处理括号中的减法运算，随后进行除法计算即可得出结果。【详解】解：原式，故答案为：．12.若，则代数式的值是______．【正确选项】1【解析】【分析】本题考查了代数式求值，掌握整体的思想是解题的关键．先将变形为，再将变形为，然后整体代入求解即可．【详解】解：，，，因此，最终结果为：1．13.若多边形的每个内角都是，则这个多边形的边数为______．【答案】9【解析】【分析】本题考查了正多边形的内角和与外角和问题，熟练掌握多边形的外角和等于是解题关键．先求出这个多边形的每个外角都是，再根据多边形的外角和等于求解即可得．【详解】解：这个多边形的每个内角都是，这个多边形的每个外角都是，这个多边形的边数为，因此，最终结果为：9．14.如图，点，，在上，，则______．【答案】40【解析】【分析】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题关键．先根据圆周角定理可得，再根据等腰三角形的性质即可得．【详解】解：点在上，，，，，因此，最终结果是：40。15.如图，在中，点，分别是边，的中点，点在线段的延长线上，且，若，，则的长是______．【答案】6【解析】【分析】本题考查了三角形的中位线定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握三角形的中位线定理是解题关键．先根据三角形的中位线定理可得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，然后根据求解即可得．【详解】解：在中，点，分别是边，的中点，，，，，，，因此，最终结果是：6．16.清朝扬州的数学家罗士琳在深入钻研勾股定理后，总结出了一套推算勾股数的特定方法，即“罗士琳法则”。该法则在简化勾股数生成步骤的同时，也展现了中国古代数学在数论方面的成就。利用这一法则，可以依次得出如下几组勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41。依照上述数列的演变规律，请写出第5组勾股数为______．【答案】【解析】【分析】本题考查勾股定理，数字类规律探究，观察可知，每组勾股数的第一个数字为奇数，后面两个数字为两个连续的整数，得到第组勾股数的第1个数为11，设第2个数为，则第3个数为，根据勾股定理列出方程进行求解．【详解】解：由题意，第组勾股数的第1个数为11，设第2个数为，则第3个数为，由勾股定理，得：，解得：，；第组勾股数为；故答案为：．17.如图1，棱长为的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，其中水面高度．将此正方体放在坡角为的斜坡上，此时水面恰好与点齐平，其主视图如图2所示，则______．【答案】【解析】【分析】本题考查了求角的正切值、一元一次方程的几何应用、主视图、平行线的性质等知识，熟练掌握正切的定义是解题关键．延长，交直线于点，设，则，先根据水的体积不变建立方程，解方程可得的值，再根据平行线的性质可得，然后根据正切的定义计算即可得．【详解】解：如图，延长，交直线于点，由题意得：，设，则，密封透明正方体容器水平放置在桌面上与放在坡角为的斜坡上，容器里水的体积不变；且放在坡角为的斜坡上时，水的体积等于长为、宽为、高为的长方体的体积与长为、宽为、高为的长方体的体积的一半之和，，解得，即，，，，，，故答案为：．18.如图，在矩形中，，，点是边上的动点，将沿直线翻折得到，过点作，垂足为，点是线段上一点，且．当点从点运动到点时，点运动的路径长是______．【答案】【解析】【分析】分点在矩形内部和点在矩形外部，两种情况进行讨论求解，当点在矩形内部时，作，交于点，证明，进而得到，进而得到点在以为直径圆上运动，得到当点从点开始运动直至点落在上时，点的运动轨迹为半圆，当点在矩形外部时，同法可得，点在以为直径的圆上，得到当点运动到点时，点的运动轨迹是圆心角为的，求出两段路径的和即可得出结果．【详解】解：矩形，，翻折，，当点在矩形内部时，作，交于点，则：，，，，，，，，，点在以为直径的圆上运动，当点从点开始运动直至点落在上时，点的运动轨迹为半圆，点的运动路径长为：；当点在矩形的外部时，作，交的延长线于点，同法可得：，，，点在以为直径的上运动，连接，当点运动到点时，如图：，，，，，折叠，，，，，点的运动轨迹为圆心角为的，路径长为，点的运动路径总长为：；故答案为：【点睛】本题考查矩形与折叠，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形，求弧长，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造相似三角形，确定点的运动轨迹，是解题的关键．三、综合解答题（本部分包含10道小题，总分96分。请在答题卡相应区域完成，解答过程中需提供必要的文字描述、证明推导或计算步骤）19.请计算下列算式：（1）；（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题考查了含特殊角三角函数值的实数的混合运算、整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．（1）首先对二次根式进行化简，并计算零指数幂以及包含特殊角的三角函数值的混合运算，随后再完成二次根式的综合计算即可。（2）首先处理单项式与多项式的乘法以及同底数幂的除法运算，随后再进行整式的加减计算即可得出结果。【第一小问详细解析】解：原式．【第二小问详细解析】解：原式．20.解不等式组，并写出它的所有负整数解．【答案】不等式组的解集为，它的所有负整数解为【解析】【解析】本题旨在考察对一元一次不等式组求解方法的掌握情况。解题的核心在于：首先独立求解组内每个不等式的解集，随后通过取交集的方式确定不等式组的整体解集，最后从中筛选出所有符合条件的负整数解即可。【详解】解：，解不等式得：，解不等式得：，所以不等式组的解集为，它的所有负整数解为．21.小红与小丽为了争取参加市级校园音乐达人挑战赛的资格，共同参加了学校内部的选拔赛。10名评委给出的评分结果如下（单位：分）．表1：评委打分统计表评委评委评分小红7878777879小丽7768888878对表2中评委给出的评分数据进行分析选手平均数中位数众数小红7小丽8请结合上述材料，解答以下问题：（1）表2中______，______，______；（2）在小红与小丽两人之中，你觉得谁的学习成绩更优秀？请给出你的分析理由。【答案】（1）；7；8（2）小丽的成绩相对更优秀，具体原因请参考解析部分。【解析】【解析】本题的核心考点为平均数、中位数以及众数。解题的关键在于准确掌握并运用这三种统计量定义。（1）直接利用平均数、中位数以及众数的定义进行计算即可；（2）两人的平均分一致，但小丽的中位数与众数均更高，由此可以得出结论。【第一小问详细解析】解：由题意得，；将小红获得的10位评委的评分，由低至高依次排列为：7，7，7，7，7，7，8，8，8，9。小红的10位评委的评分的中位数为分，即；在给小丽打分的10位评委中，给出8分的人数在所有评分档位中占比最高，小丽的10位评委的评分的众数为8，即；【第二小问详细解析】分析：小丽的成绩更为优秀，具体原因如下：就平均分而言，两人的成绩水平一致；但从中位数与众数的角度分析，小丽在这两项指标上均高于小红，因此可以判定小丽的成绩表现更佳。22.为了提升校园活力，某学校在课间休息时间组织了多样化的活动。目前共有四项体育类项目供学生挑选：A.羽毛球，B.乒乓球，C.花样跳绳，D.踢毽子。每位学生仅限从中选择一项体育活动参加。（1）假设小明从这4项体育活动中随机抽取一项，那么抽到乒乓球的概率为______；（2）请通过绘制树状图或列举所有可能结果的方式，计算小明与小聪随机挑选时，两人选到同一项体育活动的概率。【答案】（1）（2）【解析】【解析】本道题目重点考察如何利用列表法或树状图来计算概率，其核心在于能否准确地构建表格或绘制树状图。（1）利用概率计算公式进行直接求解；（2）首先通过绘制树状图来确定所有等可能结果的总数，随后筛选出满足题目条件的特定结果数，最后利用概率计算公式得出答案。【第一小问详细解析】解析：学生可从中挑选一项体育活动，具体选项包括：A.羽毛球，B.乒乓球，C.花样跳绳，D.踢毽子。选中乒乓球的概率是，故答案为：；【第二小问详细解析】解析：通过绘制树状图可得：根据树状图分析，总共存在16种等可能的随机结果。在这些结果中，小明与小聪两人所选体育活动相同的情况共有4种。小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的概率是．23.某文创商店推出甲、乙两款具有纪念意义和实用价值的书签，已知甲款书签价格是乙款书签价格的倍，且用100元购买甲款书签的数量比用128元购买乙款书签的数量少3个，求这两款书签的单价．【答案】乙型书签的单价是16元，甲型书签的单价是20元【解析】【解析】本题旨在考察分式方程在实际场景中的运用。解题的核心在于准确把握题目含义，并构建正确的等量关系式。设乙款书签价格为（元），则甲款书签价格为（元），根据用100元购买甲款书签的数量比用128元购买乙款书签的数量少3个建立分式方程求解即可．【详解】解：设乙款书签价格为（元），则甲款书签价格为（元），由题意得：，解得：，经检验：是原方程的解，且符合题意，则甲款书签价格为（元）解：经计算，乙款书签的单价是16元，甲款书签的单价是20元。24.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，．（1）请写出反比例函数与一次函数的解析式；（2）求的面积．【答案】（1）反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为（2）8【解析】【解析】本题旨在考察一次函数与反比例函数的综合运用。解题的核心在于灵活运用待定系数法以及对反比例函数相关性质的熟练掌握。（1）将点代入可得反比例函数的解析式，再求出点的坐标，然后利用待定系数法求出一次函数的解析式即可得；（2）设一次函数的图象与轴的交点为点，先求出点的坐标，再根据的面积等于与的面积之和即可得．【第一小问详细解析】解：由题意得：将点代入得：，所以反比例函数的表达式为；将点代入可得：，，将点，代入得：，解得，所以一次函数的表达式为．【第二小问详细解析】解：如图，设一次函数的图象与轴的交点为点，将代入一次函数得：，解得，，，由（1）已得：，，的边上的高为，的边上的高为，的面积为．25.如图，在中，对角线的垂直平分线与边，分别相交于点，．（1）求证：四边形是菱形；（2）若，，平分，求的长．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）先证明得到，根据得到，那么可得四边形是平行四边形，再由线段垂直平分线的性质得到，即可证明其为菱形；（2）根据菱形的性质结合已知条件证明，即可求解．【第一小问详细解析】证明：四边形是平行四边形，，，对角线的垂直平分线是，，，，，四边形是平行四边形，，四边形是菱形；【第二小问详细解析】解答：请参考下图，平分，，菱形，，，四边形是平行四边形，，，，，，．【核心解析】本题综合考察了相似三角形的判定及性质、菱形的判定方法、平行四边形的判定与特性、全等三角形的判定及性质，以及线段垂直平分线的相关性质。解题的关键在于能够熟练掌握上述各项知识点，并将其灵活地应用于具体分析中。26.探讨材料的疏水特性在被誉为“荷藕之乡”的扬州宝应，当微风轻拂，莲叶随之摇曳。正如诗中所云“青玉盘中泻水银”，水滴在莲叶表面滚动且难以渗透，这表明莲叶展现出了显著的疏水特性。所谓疏水性，是指某种材料与水之间存在相互排斥的物理性质。【基础概念掌握】材料疏水性的强弱通常用接触角的大小来描述．材料上的水滴可以近似的看成球或球的一部分，经过球心的纵截面如图1所示，接触角是过固、液、气三相接触点（点或点）所作的气液界线的切线与固液界线的夹角，图1中的就是水滴的一个接触角．（1）请利用圆规与无刻度直尺，在图2中绘制出水滴的一个接触角，并使用三个大写字母来标注该接触角；（请保留作图过程，并提供相应的文字说明）（2）接触角越大，材料所表现出的疏水性就______（选填：变强、不变、变弱）．【实操探究】实践中，可以通过测量水滴经过球心的高度和底面圆的半径，求出的度数，进而求出接触角的度数（如图3）．（3）请探索图3中接触角与之间的数量关系（用等式表示），并说明理由．【启发式探究】（4）材料的疏水性除了用接触角以及图3中与相关的量描述外，还可以用什么量来描述，请你提出一个合理的设想，并说明疏水性随着此量的变化而如何变化．【答案】（1）图见解析（2）变强（3），理由见解析（4）见解析（答案不唯一）【解析】【解析】本题旨在考察尺规作图中的综合作图能力，以及对切线判定定理与性质的理解。解题的核心在于能够灵活运用新定义，并熟练掌握切线的判定条件与相关性质。（1）圆弧上取一点，交界面与圆弧的交点为，连接，分别作的中垂线，交于点，则点为圆弧的圆心，连接，过点作，则为圆的切线，即为所求；（2）结合题目要求可以得出：接触角数值越大，水滴的形状就越接近球体，表明其疏水性能越强，据此进行回答即可；（3）连接，等边对等角，得到，切线的性质，结合等角的余角相等，得到，进而得到即可；（4）可以根据，进行判断，根据越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强进行作答即可．【详解】解：（1）圆弧上取一点，交界面与圆弧的交点为，连接；分别作的中垂线，交于点，则点为圆弧的圆心；连接，过点作，则为圆的切线，故即为所求；（2）根据题目描述及图示分析可知，接触角越大，水滴的形状就越接近球体，表明其疏水性能越强。因此，接触角越大，该材料所表现出的疏水性能就越强；因此，正确答案是：变强；（3），理由如下：连接，则：，，为切线，，，，，，，；（4）水滴弧的长度为：，，可以根据的大小，进行判断，越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强（答案不唯一）．27.如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象（记为）与轴交于点，，与轴交于点，二次函数的图象（记为）经过点，．直线与两个图象，分别交于点，，与轴交于点．（1）求，值．（2）当点在线段上时，求的最大值．（3）设点，到直线的距离分别为，．当时，对应的值有______个；当时，对应的值有______个；当时，对应的值有______个；当时，对应的值有______个．【答案】（1），（2）（3）2，0，4，无数个【解析】【解析】本题旨在考查二次函数的图像及其相关性质、函数与坐标轴的交点分析、利用待定系数法确定函数解析式以及一元二次方程判别式的应用。解题的核心在于能够熟练掌握并灵活运用上述相关知识点。（1）先求出抛物线与坐标轴的交点坐标，再将代入，解方程组即可求解；（2）表示出，，则，再利用二次函数的性质求解最值即可；（3）过点作于点，过点作于点，即直线与直线交于点，可求直线表达式为，则，表示出，，可得均为等腰直角三角形，则，，然后分别计算每一种情况即可．【第一小问详细解析】解：对于二次函数，当时，，解得：，，当时，，，二次函数的图象（记为）经过点，，解得：，；【第二小问详细解析】解：，，二次函数解析式为，直线与轴垂直，，，，整理得：，，当时，取得最大值为；【第三小问详细解析】解：如图，过点作于点，过点作于点，即直线与直线交于点，，设直线表达式：，代入