4.2.2 指数函数的图象和性质 第2课时

第4页共5页4.2.2指数函数的图象和性质（二）一、选择题1．下列判断正确的是()A．2.52.5＞2.53 B．0.82＜0.83C．4＜π D．0.90.3＞0.90.52．函数y＝eq\r(16－4x)的值域是()A．[0，＋∞) B．[0,4]C．[0,4) D．(0,4)3．若函数f(x)＝eq\r(ax－a)的定义域是[1，＋∞)，则a的取值范围是()A．[0,1)∪(1，＋∞) B．(1，＋∞)C．(0,1) D．(2，＋∞)4．已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)的图象如图所示，则函数g(x)＝ax＋b的图象是()5．若函数y＝ax＋m－1(a＞0)的图象经过第一、第三和第四象限，则()A．a＞1 B．a＞1，且m＜0C．0＜a＜1，且m＞0 D．0＜a＜16．函数f(x)＝eq\f(x·2x,|x|)的图象大致为()7．若函数y＝2－|x|－m的图象与x轴有交点，则()A．－1≤m＜0 B．0≤m≤1C．0＜m≤1 D．m≥0二、填空题8．函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))的值域是________．9．若－1＜x＜0，a＝2－x，b＝2x，c＝0.2x，则a，b，c的大小关系是________．10．已知实数a，b满足等式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))b，给出下列五个关系式：①0<b<a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a＝b.其中，不可能成立的有________个．三、解答题11．若函数f(x)＝ax－1(a＞0，且a≠1)的定义域和值域都是[0,2]，求实数a的值．12．画出函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))|x－1|的图象，并根据图象写出函数的单调区间及值域．13．(1)求函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))的定义域与值域；(2)求函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))x－1－4·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x＋2，x∈[0,2]的最大值和最小值及相应的x的值．14．已知函数f(x)＝ax＋b(a＞0，且a≠1)．(1)若f(x)的图象如图①所示，求a，b的值；(2)若f(x)的图象如图②所示，求a，b的取值范围；(3)在(1)中，若|f(x)|＝m有且仅有一个实数根，求m的取值范围．15．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝2－x.(1)求函数f(x)在R上的解析式，并作出f(x)的大致图象；(2)根据图象写出函数f(x)的单调区间和值域．答案：1、解析：选D∵y＝0.9x是减函数，且0.5＞0.3，∴0.90.3＞0.90.5.2、解析：选C要使函数有意义，须满足16－4x≥0.又因为4x＞0，所以0≤16－4x＜16，即函数y＝eq\r(16－4x)的值域为[0,4)．3、解析：选B∵ax－a≥0，∴ax≥a，∴当a＞1时，x≥1.故函数定义域为[1，＋∞)时，a＞1.4、解析：选A由函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)的图象可知0<a<1，b<－1，所以函数g(x)＝ax＋b是减函数，排除选项C、D；又因为函数图象过点(0,1＋b)(1＋b<0)，故选A.5、解析：选By＝ax(a＞0)的图象在第一、二象限内，欲使y＝ax＋m－1的图象经过第一、三、四象限，必须将y＝ax向下移动．当0＜a＜1时，图象向下移动，只能经过第一、二、四象限或第二、三、四象限，故只有当a＞1时，图象向下移动才可能经过第一、三、四象限．当a＞1时，图象向下移动不超过一个单位时，图象经过第一、二、三象限，向下移动一个单位时，图象恰好经过原点和第一、三象限，欲使图象经过第一、三、四象限，则必须向下平移超过一个单位，故m－1＜－1，所以m＜0，故选B.6、解析：选Bf(x)＝eq\f(x·2x,|x|)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，x＞0，,－2x，x＜0.))由指数函数的图象知B正确．7、解析：选C易知y＝2－|x|－m＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))|x|－m.若函数y＝2－|x|－m的图象与x轴有交点，则方程eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))|x|－m＝0有解，即m＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))|x|有解．∵0＜eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))|x|≤1，∴0＜m≤1.8、解析：设t＝－x2＋2x＝－(x2－2x)＝－(x－1)2＋1≤1，∴t≤1.∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))t≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))1＝eq\f(1,2)，∴函数值域为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)).答案：eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))9、解析：因为－1＜x＜0，所以由指数函数的图象和性质可得：2x＜1,2－x＞1,0.2x＞1，又因为0.5x＜0.2x，所以b＜a＜c.答案：b＜a＜c10、解析：作y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x与y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x的图象．当a＝b＝0时，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))b＝1；当a<b<0时，可以使eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))b；当a>b>0时，也可以使eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))b.故①②⑤都可能成立，不可能成立的关系式是③④.答案：211、解：当0＜a＜1时，函数f(x)＝ax－1(a＞0，且a≠1)为减函数，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a0－1＝2，,a2－1＝0))无解．当a＞1时，函数f(x)＝ax－1(a＞0，且a≠1)为增函数，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a0－1＝0，,a2－1＝2，))解得a＝eq\r(3).综上，a的值为eq\r(3).12、解：原函数变形为y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－1，x≥1，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－x＋1，x<1.))显然函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))|x|是偶函数，先画出y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x(x≥0)的图象，再作出其关于y轴对称的图象，即得y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))|x|的图象，再向右平移1个单位得到y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))|x－1|的图象，如图所示．由图象可知，函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))|x－1|在(－∞，1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数，其值域是(0,1]．13、解：(1)由x－2≥0，得x≥2，所以定义域为{x|x≥2}．当x≥2时，eq\r(x－2)≥0，又因为0＜eq\f(1,3)＜1，所以y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\r(x－2)的值域为{y|0＜y≤1}．(2)∵y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))x－1－4·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x＋2，∴y＝4·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))x－4·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x＋2.令m＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))x＝m2.由0≤x≤2，知eq\f(1,4)≤m≤1.∴f(m)＝4m2－4m＋2＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m－\f(1,2)))2＋1.∴当m＝eq\f(1,2)，即当x＝1时，f(m)有最小值1；当m＝1，即x＝0时，f(m)有最大值2.故函数的最大值是2，此时x＝0，函数的最小值为1，此时x＝1.14、解：(1)f(x)的图象过点(2,0)，(0，－2)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋b＝0，,a0＋b＝－2，))又因为a＞0，且a≠1，所以a＝eq\r(3)，b＝－3.(2)f(x)单调递减，所以0＜a＜1，又f(0)＜0.即a0＋b＜0，所以b＜－1.故a的取值范围为(0,1)，b的取值范围为(－∞，－1)．(3)画出|f(x)|＝|(eq\r(3))x－3|的图象如图所示，要使|f(x)|＝m有且仅有一个实数根，则m＝0或m≥3.故m的取值范围为[3，＋∞)∪{0}．15、解：(1)当x＜0时，－x＞0，所以f(－x)＝2x.因为f(x)是偶函数，所以f(x)＝f(－x)＝2x，所以f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，x＜0，,2－x，x≥0.))作出函数大致图象如图所示．(2)由图象得：函数f(x)的单调递增区间是(－∞，0]，单调递减区间是[0，＋∞)．值域是(0,1]．A级必备知识基础练1.[探究点一]如果函数f(x)=2a·3x和g(x)=2x-(b+3)都是指数函数,则ab=()A.18 B.1C.9 D.82.[探究点二(角度2)]指数函数y=ax与y=bx的图象如图所示,则()A.a>1,0<b<1B.a>1,b>1C.0<a<1,b>1D.0<a<1,0<b<13.[探究点三·2024河南郑州高一期中]设a=0.80.8,b=0.80.9,c=0.90.8,则a,b,c的大小关系是()A.c>b>a B.a>b>cC.a>c>b D.c>a>b4.[探究点二(角度3)]如果函数f(x)=3x+b的图象经过第一、二、三象限,不经过第四象限,则()A.b<-1 B.-1<b<0C.0<b<1 D.b>15.[探究点二(角度2)]函数y=ax-a(a>0,且a≠1)的图象可能是()6.[探究点二(角度3)]已知0<a<1,-1<b<0,则函数y=ax+b的图象不经过第象限.

7.[探究点二(角度1)]已知a>0,且a≠1,函数y=a3-x+1的图象恒过一个定点,此定点的坐标为.

8.[探究点三·苏教版教材例题]比较下列各组数中两个数的大小:(1)1.52.5,1.53.2;(2)0.5-1.2,0.5-1.5;(3)1.50.3,0.81.2.B级关键能力提升练9.已知指数函数y=f(x)的图象经过点(-1,2),那么这个函数的图象也经过点()A.(-2,14) B.(-1,1C.(1,2) D.(3,1810.已知函数f(x)=1-x-12,x>0,2A.4 B.1C.-4 D.-111.函数y=a|x|+1(a>0,且a≠1),x∈[-k,k],k>0的图象可能为()12.已知偶函数f(x)=3x+a,x≥0,g(x),A.(-∞,3) B.(3,+∞)C.(-1,3) D.(-∞,-1)∪(3,+∞)13.定义max{a,b,c}为a,b,c中的最大值,设M=max{2x,2x-3,6-x},则M的最小值是()A.2 B.3 C.4 D.614.(多选题)若函数f(x)=ax-b(a>0,且a≠1)的图象经过第一、二、三象限,则()A.0<ab<1 B.0<ba<1C.ab>1 D.ba>115.[北师大版教材习题]比较下列各题中两个数的大小:(1)2-1.5,21.5;(2)(16)

-6,(16(3)82,(18)-1.(4)20.1,30.2.16.已知函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)的图象经过点(2,19)(1)求a,并比较f(b2+b+1)与f(34)(2)求函数g(x)=ax217.已知函数f(x)=ax+b(a>0,且a≠1).(1)若f(x)的图象如图①所示,求a,b的值;(2)若f(x)的图象如图②所示,求a,b的取值范围;(3)在(1)中,若|f(x)|=m有且仅有一个实数解,求出m的取值范围.C级学科素养创新练18.(多选题)已知函数f(x)是定义在[-4,0)∪(0,4]上的奇函数,当x∈(0,4]时,f(x)的图象如图所示,那么满足不等式f(x)≥3x-1的x的可能取值是()A.-3 B.-1 C.1 D.319.设f(x)=3x,g(x)=(13)x(1)在同一平面直角坐标系中作出f(x),g(x)的图象;(2)计算f(1)与g(-1),f(π)与g(-π),f(m)与g(-m)的值,从中你能得到什么结论?答案：1.D根据题意可得2a=1⇒a=12,-(b+3)=0⇒b=-3,则ab=(12)-3=8.故选2.C因为函数y=ax的图象是下降的,所以0<a<1.又因为函数y=bx的图象是上升的,所以b>1.故选C.3.D令f(x)=0.8x,由指数函数的单调性可知f(x)在R上单调递减,又因为0.8<0.9,所以f(0.8)>f(0.9),即0.80.8>0.80.9,所以a>b.令g(x)=x0.8,由幂函数的性质可知g(x)=x0.8在(0,+∞)上单调递增,又因为0.8<0.9,所以g(0.8)<g(0.9),即0.80.8<0.90.8,所以a<c.所以b<a<c.故选D.4.B函数f(x)=3x+b的图象经过第一、二、三象限,不经过第四象限,则0<f(0)<1,即0<b+1<1,解得-1<b<0.故选B.5.C当a>1时,y=ax是增函数,-a<-1,则函数y=ax-a的图象与y轴的交点在x轴的下方,故选项A不正确;y=ax-a的图象与x轴的交点是(1,0),故选项B不正确;当0<a<1时,y=ax是减函数,y=ax-a的图象与x轴的交点是(1,0),又-1<-a<0,故选项D不正确,选项C正确.6.三0<a<1,指数函数y=ax单调递减,-1<b<0,将函数y=ax的图象向下平移|b|个单位长度,得到y=ax+b的图象,可知图象不过第三象限.7.(3,2)当x=3时,y=a0+1=2,∴y=a3-x+1的图象一定经过定点(3,2).8.解(1)考察指数函数y=1.5x,因为1.5>1,所以y=1.5x在R上是增函数.又因为2.5<3.2,所以1.52.5<1.53.2.(2)考察指数函数y=0.5x,因为0<0.5<1,所以y=0.5x在R上是减函数.又因为-1.2>-1.5,所以0.5-1.2<0.5-1.5.(3)因为1.5>1,所以y=1.5x在R上是增函数,又因为0.3>0,所以1.50.3>1.50=1.同理0.81.2<0.80=1,故1.50.3>0.81.2.9.D设f(x)=ax,a>0且a≠1.∵f(-1)=1a=2,解得a=12,即f(x)=(12∵f(-2)=(12)-2=4,f(-1)=(12)-1=2,f(1)=12,f(3)=(12)3=1810.B∵f(19)=1-(19)

-1∴f(f(19))=f(-2)=2-2=111.C由题意易知,函数y=a|x|+1为偶函数,且y>1,排除A,B.当0<a<1时,函数图象如选项C所示.当a>1时,函数图象在区间[0,k]上单调递增,但图象应该是下凸的,排除D.故选C.12.C当x≥0时,f(x)=3x+a单调递增,又由函数f(x)为偶函数,故当x<0时,f(x)单调递减.若f(x-1)<f(2),则|x-1|<2,解得-1<x<3.故选C.13.C画出函数M=max{2x,2x-3,6-x}的图象,如图所示.由图可知,函数M在A(2,4)处取得最小值4.故选C.14.BC因为函数f(x)=ax-b(a>0,且a≠1)的图象经过第一、二、三象限,所以a>1,且f(0)=1-b∈(0,1),即0<b<1,所以y=ax是增函数,y=bx是减函数,则ab>a0=1,0<ba<b1<1.故选BC.15.解(1)因为函数y=2x在R上单调递增,且-1.5<1.5,所以2-1.5<21.5.(2)因为函数y=(16)x在R上单调递减,且-6<-1.5,所以(16)

-6>(1(3)因为(18)-1.4=81.4,而函数y=8x在R