小专题(七)矩形中的折叠问题

小专题(七)

矩形中的折叠问题【方法指导】如图，与折叠有关的计算常用性质：(1)折叠问题的本质是全等变换，折叠前的部分与折叠后的部分是全等图形；①线段相等：ED′＝

，EG＝

，FD′＝

；②角度相等：∠D′＝

，∠D′EG＝

，∠D′FG＝

；③全等关系：四边形FD′EG≌

；ADAGFD∠D∠DAG∠DFG四边形FDAG(2)折痕可看作垂直平分线：GF⊥

(折痕垂直平分连接两个对应点的连线)；(3)折痕可看作角平分线，∠EGF＝

(对称线段所在的直线与折痕的夹角相等)；(4)折叠遇平行线等腰必出现(平行线＋角平分线等腰必出现)：△AGE，△FEG为

三角形；(5)在折叠问题中，常用到的解题方法有：①勾股定理；②相似；③等面积法；④锐角三角函数．AE∠AGF等腰【针对训练】

类型一：折痕过矩形的对称轴1．如图，矩形ABCD中，E，I分别是边AB，DC的中点，G为AD边上一点，将△CDG沿CG翻折，点D落在EI上点F处，若CG＝4，则AB＝

.62．折纸活动中含有大量数学知识，如图，已知四边形ABCD是一张正方形彩纸，在一次折纸过程中，我们首先通过两次对折，得到了对开(二分之一)折痕EI和四开(四分之一)折痕KJ，然后将A，D分别沿EF，EG折叠到点H，并使H刚好落在KJ上，∠EHK＝

，已知BF＝4－6，则FG的长度为

.30°8

B4．在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8.如图，沿矩形的对角线BD翻折，得到△BC′D，BC′交AD于点E，则AE的长为

.1.755．如图，在矩形ABCD中，将△ADE沿AE翻折，使得点D落在BC边上点D′处，若AB＝6，AD＝10，则DE的长为

.

(5，0)7．如图，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，∠ABE＝30°，将△ABE沿BE折叠得△FBE，连接CF，DF，若CF平分∠BCD，AB＝2，则DF的长为

.

8．如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处．(1)求证：四边形AECF是平行四边形；(2)若AB＝6，AC＝10，求四边形AECF的面积．(1)证明：由折叠，得AM＝AB，CN＝CD，∠FNC＝∠D＝90°，∠AME＝∠B＝90°，∴∠ANF＝∠CME＝90°，∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD，AD∥BC，∴AM＝CN，∠FAN＝∠ECM.∴AM－MN＝CN－MN，即AN＝CM.∴△ANF≌△CME(ASA)，∴AF＝CE.又∵AF∥CE，∴四边形AECF是平行四边形．

类型三：折痕过邻边上两点9．若∠α和∠β均为大于0°小于180°的角，且|∠α－∠β|＝60°，则称∠α和∠β互为“伙伴角”．根据这个约定，如图，将一矩形纸片沿着EP对折(点P在线段BC上，点E在线段AB上)使点B落在点B′，若∠1与∠2互为“伙伴角”，则∠3的度数是()A．40°

B．80°或40°C．80°或60°

D．40°或60°B

类型四：折痕过对边上两点10．如图，将矩形ABCD沿直线PE折叠，点C，D分别落在点C′，D′处．若C′E与AD交于点G，且∠BEG＝76°，则∠CEP＝

.52°11．如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点C落在点A处，点D落在点G处，若AB＝4，BC＝2AB，(1)求AF的长；(2)求折痕EF的长．解：(1)∵AB＝4，BC＝2AB，∴BC＝8.由折叠的性质可知AF＝FC，设AF＝x